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Articulo de referencia

dodecaedro regular

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Un dodecaedro regular o dodecaedro pentagonal [ 1 ] es un dodecaedro (un poliedro con 12 caras ) compuesto por caras pentagonales regulares , tres de las cuales convergen en cada vértice . Es uno de los sólidos platónicos , descrito en los diálogos de Platón como la forma del universo mismo. Johannes Kepler utilizó el dodecaedro en su modelo del Sistema Solar de 1596. Sin embargo, el dodecaedro y otros sólidos platónicos ya habían sido descritos por otros filósofos desde la antigüedad.

El dodecaedro regular es un trapezoedro truncado, ya que se obtiene al truncar los vértices axiales de un trapezoedro pentagonal . También es un poliedro de Goldberg, puesto que es el poliedro inicial para la construcción de nuevos poliedros mediante el proceso de chaflán . Guarda relación con otros sólidos platónicos, entre ellos el icosaedro regular , con el que tiene relación dual . Otros poliedros pueden construirse a partir de un dodecaedro regular.

Las propiedades métricas y la construcción del dodecaedro regular están asociadas con la proporción áurea . El dodecaedro regular aparece en algunas obras artísticas y narrativas. Algunos juguetes y objetos también tienen forma de dodecaedro regular, incluido el dodecaedro romano . Los dodecaedros regulares también se pueden encontrar en la naturaleza y las supramoléculas, así como en la forma del universo. El esqueleto de un dodecaedro regular se puede representar como el grafo dodecaédrico , un grafo platónico . Su propiedad del hamiltoniano , un camino que visita todos sus vértices exactamente una vez, se puede encontrar en un juego llamado juego icosiano .

Como un sólido platónico

Descripciones

Pintura de un dodecaedro regular realizada por Johannes Kepler.
El modelo de sólido platónico de Kepler del Sistema Solar

El dodecaedro regular es un poliedro con doce caras pentagonales, treinta aristas y veinte vértices. [ 2 ] Es uno de los sólidos platónicos , un conjunto de poliedros cuyas caras son polígonos regulares congruentes y en cuyos vértices converge el mismo número de caras. [ 3 ] Este conjunto de poliedros recibe su nombre de Platón . En el Teeteto , un diálogo de Platón, este planteó la hipótesis de que los elementos clásicos estaban formados por los cinco sólidos regulares uniformes. Platón describió el dodecaedro regular y comentó de forma enigmática: «...el dios lo usó para organizar las constelaciones en todo el cielo». Timeo , como personaje del diálogo de Platón, asocia los otros cuatro sólidos platónicos —tetraedro regular , cubo , octaedro regular e icosaedro regular— con los cuatro elementos clásicos , añadiendo que existe un quinto patrón sólido que, aunque comúnmente asociado con el dodecaedro regular, nunca se menciona directamente como tal; «este Dios lo usó en la delineación del universo». [ 4 ] Aristóteles también postuló que los cielos estaban hechos de un quinto elemento, al que llamó aithêr ( éter en latín, ether en inglés americano). [ 5 ]

Tras su atribución a la naturaleza por Platón, Johannes Kepler, en su Harmonices Mundi, dibujó cada uno de los sólidos platónicos, entre ellos un dodecaedro regular. [ 6 ] En su Mysterium Cosmographicum , Kepler también propuso el Sistema Solar utilizando los sólidos platónicos anidados uno dentro del otro y separándolos con seis esferas que se asemejan a los seis planetas. Los sólidos ordenados iban del más interno al más externo: octaedro regular, icosaedro regular, dodecaedro regular, tetraedro regular y cubo. [ 7 ]

Modelo 3D de un dodecaedro regular

Muchos filósofos de la Antigüedad describieron el dodecaedro regular, incluyendo el resto de los sólidos platónicos. Teeteto ofreció una descripción matemática de los cinco y pudo haber sido responsable de la primera prueba conocida de que no existen otros poliedros regulares convexos. Euclides describió matemáticamente de forma completa los sólidos platónicos en los Elementos , cuyo último libro (Libro XIII) está dedicado a sus propiedades. Las proposiciones 13-17 del Libro XIII describen la construcción del tetraedro, octaedro, cubo, icosaedro y dodecaedro en ese orden. Para cada sólido, Euclides halla la razón entre el diámetro de la esfera circunscrita y la longitud de su arista. En la proposición 18 argumenta que no existen más poliedros regulares convexos. Jámblico afirma que Hipaso , un pitagórico, pereció en el mar por jactarse de haber sido el primero en revelar «la esfera con los doce pentágonos». [ 8 ]

El dodecaedro regular, como parte de la familia de sólidos platónicos, es un poliedro regular . Es isogonal , isoédrico e isotoxal : cualesquiera dos vértices, dos caras y dos aristas de un dodecaedro regular pueden transformarse mediante rotaciones y reflexiones bajo su órbita de simetría, respectivamente, conservando su apariencia.

Relación con el icosaedro regular

El icosaedro regular dentro del dodecaedro regular

El poliedro dual de un dodecaedro es el icosaedro regular . Una propiedad del poliedro dual es que, en general, el poliedro original y su dual comparten el mismo grupo de simetría tridimensional . En el caso del dodecaedro regular, tiene la misma simetría que el icosaedro regular, la simetría icosaédrica.Ih{\displaystyle \mathrm {I} _ {\mathrm {h} }}. [ 9 ] El dodecaedro regular tiene diez ejes de simetría triple que pasan por pares de vértices opuestos, seis ejes de simetría quíntuple que pasan por los centros de las caras opuestas y quince ejes de simetría doble que pasan por los puntos medios de los lados opuestos. [ 10 ]

Cuando un dodecaedro regular se inscribe en una esfera , ocupa más volumen de la esfera (66,49 %) que un icosaedro inscrito en la misma esfera (60,55 %). [ 11 ] El resultado de los volúmenes de ambas esferas se originó a partir del problema de los antiguos griegos, que consistía en determinar cuál de dos figuras tiene mayor volumen: un icosaedro inscrito en una esfera o un dodecaedro inscrito en la misma esfera. El problema fue resuelto por Herón de Alejandría , Papo de Alejandría y Fibonacci , entre otros. [ 12 ] Apolonio de Perga descubrió el curioso resultado de que la razón de los volúmenes de estas dos figuras es la misma que la razón de sus áreas superficiales. [ 13 ] Ambos volúmenes tienen fórmulas que involucran la proporción áurea, pero se elevan a diferentes potencias. [ 2 ]

El rectángulo áureo también puede estar relacionado con el icosaedro regular y el dodecaedro regular. El icosaedro regular se puede construir intersectando perpendicularmente tres rectángulos áureos, dispuestos ortogonalmente en cuadrículas de dos por dos, y conectando cada uno de los vértices del rectángulo áureo con un segmento de línea. Hay 12 vértices del icosaedro regular, considerados como el centro de las 12 caras del dodecaedro regular. [ 14 ]

Relación con el tetraedro regular

Cinco tetraedros inscritos en un dodecaedro. También se pueden inscribir cinco tetraedros opuestos (no mostrados).

Así como dos tetraedros opuestos pueden inscribirse en un cubo, y cinco cubos pueden inscribirse en un dodecaedro, diez tetraedros en cinco cubos pueden inscribirse en un dodecaedro: dos conjuntos opuestos de cinco, donde cada conjunto cubre los 20 vértices y cada vértice está en dos tetraedros (uno de cada conjunto, pero no del par opuesto). Como afirman Coxeter et al. (1938) , [ 15 ]

"Así como un tetraedro puede inscribirse en un cubo, un cubo puede inscribirse en un dodecaedro. Por reciprocidad, esto conduce a un octaedro circunscrito alrededor de un icosaedro. De hecho, cada uno de los doce vértices del icosaedro divide una arista del octaedro según la " sección áurea ". Dado el icosaedro, el octaedro circunscrito puede elegirse de cinco maneras, dando un compuesto de cinco octaedros , que entra dentro de nuestra definición de icosaedro estrellado . (El compuesto recíproco, de cinco cubos cuyos vértices pertenecen a un dodecaedro, es un triacontaedro estrellado ). Otro icosaedro estrellado puede deducirse inmediatamente, estelazando cada octaedro en una estela octangula , formando así un compuesto de diez tetraedros . Además, podemos elegir un tetraedro de cada estela octangula, para derivar un compuesto de cinco tetraedros , que aún conserva toda la simetría rotacional del icosaedro (es decir, el grupo icosaédrico), aunque ha perdido las reflexiones. Al reflejar esta figura en cualquier plano de simetría del icosaedro, obtenemos el conjunto complementario de cinco tetraedros. Estos dos conjuntos de cinco tetraedros son enantiomorfos, es decir, no directamente congruentes, pero están relacionados como un par de zapatos. [Dicha] figura que no posee ningún plano de simetría (de modo que es enantiomorfa a su imagen especular) se denomina quiral .

Matriz de configuración

La matriz de configuración es una matriz en la que las filas y columnas corresponden a los elementos de un poliedro, como vértices, aristas y caras. La diagonal de la matriz indica la cantidad de cada elemento que aparece en el poliedro, mientras que la parte no diagonal indica la cantidad de elementos de la columna que aparecen en la fila o en la misma. El dodecaedro regular se puede representar mediante la siguiente matriz: [ 16 ] [ 17 ][203323025512]{\displaystyle {\begin{bmatrix}20&3&3\\2&30&2\\5&5&12\end{bmatrix}}}

Relación con la proporción áurea

La proporción áurea es la razón entre dos números igual a la razón de su suma con respecto a la mayor de las dos cantidades. [ 18 ] Es una de las dos raíces de un polinomio, expresada comoϕ=(1+5)/2≈1.618{\textstyle \phi =(1+{\sqrt {5}})/2\approx 1.618}. [ 19 ] A continuación, la proporción áurea se puede aplicar a las propiedades métricas del dodecaedro regular, así como para construir el dodecaedro regular.

La superficieA{\displaystyle A}y el volumenV{\displaystyle V}de un dodecaedro regular de longitud de aristaa{\displaystyle a}son: [ 20 ]A=3(5ϕ)3a2,V=5ϕ42a3.{\displaystyle A=3{\sqrt {({\sqrt {5}}\phi )^{3}}}a^{2},\qquad V={\frac {{\sqrt {5}}\phi ^{4}}{2}}a^{3}.}

Coordenadas cartesianas de un dodecaedro regular en la siguiente figura:
  •  : los vértices naranjas se encuentran en (±1, ±1, ±1) .
  •  : los vértices verdes se encuentran en (0, ± ϕ , ± ⁠ 1 / ϕ ⁠ ) y forman un rectángulo en el plano yz .
  •  : los vértices azules se encuentran en (± ⁠ 1 / ϕ ⁠ , 0, ± ϕ ) y forman un rectángulo en el plano xz .
  •  : los vértices rosas se encuentran en (± ϕ , ± ⁠ 1 / ϕ ⁠ , 0) y forman un rectángulo en el plano xy .

Las siguientes coordenadas cartesianas definen los veinte vértices de un dodecaedro regular centrado en el origen y convenientemente escalado y orientado: [ 21 ](±1,±1,±1),(0,±ϕ,±1/ϕ),(±1/ϕ,0,±ϕ),(±ϕ,±1/ϕ,0).{\displaystyle {\begin{aligned}(\pm 1,\pm 1,\pm 1),&\qquad (0,\pm \phi ,\pm 1/\phi ),\\(\pm 1/\phi ,0,\pm \phi ),&\qquad (\pm \phi ,\pm 1/\phi ,0).\end{aligned}}}

Si la longitud de la arista de un dodecaedro regular esa{\displaystyle a}, el radio de una esfera circunscritardo{\displaystyle r_{c}}(uno que toca el dodecaedro regular en todos sus vértices), el radio de una esfera inscritari{\displaystyle r_{i}}( tangente a cada una de las caras del dodecaedro regular), y el radio mediormetro{\displaystyle r_{m}}(uno que toca el centro de cada borde) son: [ 22 ]rdo=ϕ32a≈1.401a,ri=5ϕ520a≈1.114a,rmetro=ϕ22a≈1.309a.{\displaystyle {\begin{aligned}r_{c}&={\frac {\phi {\sqrt {3}}}{2}}a\approx 1.401a,\\r_{i}&={\sqrt {\frac {{\sqrt {5}}\phi ^{5}}{20}}}a\approx 1.114a,\\r_{m}&={\frac {\phi ^{2}}{2}}a\approx 1.309a.\end{aligned}}} Dado un dodecaedro regular de longitud de arista uno,rdo{\displaystyle r_{c}}es el radio de una esfera circunscrita a un cubo de longitud de aristaϕ{\displaystyle \phi }, yri{\displaystyle r_{i}}es la apotema de un pentágono regular de longitud de aristaϕ{\displaystyle \phi }.

El ángulo diedro de un dodecaedro regular entre cada dos caras pentagonales adyacentes es2arctan⁡(ϕ){\displaystyle 2\arctan(\phi )}, aproximadamente 116,565°.

El dodecaedro regular puede interpretarse como el poliedro de Goldberg . Es un conjunto de poliedros que contienen caras hexagonales y pentagonales. A excepción de dos sólidos platónicos —el tetraedro y el cubo— , el dodecaedro regular es el poliedro inicial de Goldberg, y el siguiente se obtiene truncando todas sus aristas, un proceso llamado chaflán . Este proceso puede repetirse continuamente, dando como resultado nuevos poliedros de Goldberg. Estos poliedros se clasifican como la primera clase de poliedros de Goldberg. [ 23 ]

Dodecaedro estrellado pequeño y trapezoedro

Las estelaciones del dodecaedro regular constituyen tres de los cuatro poliedros de Kepler-Poinsot . La primera estelación de un dodecaedro regular se construye uniendo su capa con pirámides pentagonales, formando un pequeño dodecaedro estrellado . La segunda estelación se obtiene uniendo el pequeño dodecaedro estrellado con cuñas , formando un gran dodecaedro . La tercera estelación se obtiene uniendo el gran dodecaedro con pirámides triangulares puntiagudas, formando un gran dodecaedro estrellado . [ 24 ]

Otros poliedros relacionados son:

Apariciones

dodecaedro romano
Un Megaminx de seis caras de colores resuelto

Los dodecaedros regulares se han utilizado como dados y posiblemente también como instrumentos de adivinación. Se han encontrado pequeños dodecaedros romanos huecos de bronce en el norte del Imperio Romano; su propósito es incierto. [ 29 ] [ 30 ]

En el arte del siglo XX , los dodecaedros regulares aparecen en la obra de M. C. Escher , como en sus litografías Reptiles , [ 31 ] y en la pintura de Salvador Dalí El sacramento de la Última Cena (en la que la habitación es un dodecaedro regular hueco). [ 32 ] Gerard Caris basó toda su obra artística en el dodecaedro regular y el pentágono, presentados como un nuevo movimiento artístico denominado Pentagonismo. [ 33 ]

En los juegos de rol modernos , el dodecaedro regular se usa a menudo como dado de doce caras, uno de los dados poliédricos más comunes . El Megaminx es un rompecabezas retorcido similar al Cubo de Rubik , pero su forma es un dodecaedro con caras pentagonales. [ 34 ]

En la novela infantil El peaje fantasma , el dodecaedro regular aparece como un personaje en el mundo de las Matemáticas. Cada cara del dodecaedro regular describe las distintas expresiones faciales , girando hacia el frente según sea necesario para reflejar su estado de ánimo. [ 35 ]

En el cuento de Bertrand Russell de 1954 , La pesadilla del matemático: La visión del profesor Squarepunt , el número 5 dijo: «Soy el número de dedos de una mano. Hago pentágonos y pentagramas. Y si no fuera por mí, los dodecaedros no podrían existir; y, como todos saben, el universo es un dodecaedro. Así que, si no fuera por mí, no podría haber universo». [ 36 ]

En la naturaleza

Braarudosphera bigelowii en una concha dodecaédrica
El cocolitóforo Braarudosphaera bigelowii cubierto con una cocosfera formada por doce pentalitos .
Dodecaedro de holmio-magnesio-zinc, un cuasicristal real
Las caras de un cuasicristal de holmio-magnesio-zinc (Ho-Mg-Zn) son verdaderos pentágonos regulares .

El cocolitóforo Braarudosphaera bigelowii , un alga fitoplanctónica costera unicelular , puede producir una concha de carbonato de calcio con una estructura dodecaédrica regular de unos 10 micrómetros de diámetro. [ 37 ]

El dodecaedro de hidrocarburo y el cuasicristal como el cuasicristal de holmio-magnesio-zinc tienen forma dodecaédrica (véase la figura). [ 38 ] Algunos cristales regulares, como el granate y el diamante, también se dice que exhiben hábito "dodecaédrico" , pero esta afirmación en realidad se refiere a la forma del dodecaedro rómbico .

Se han propuesto varios modelos para la geometría global del universo. Entre estas propuestas se encuentra el espacio dodecaédrico de Poincaré , un espacio con curvatura positiva que consiste en un dodecaedro regular cuyas caras opuestas se corresponden (con una pequeña torsión). Este modelo fue propuesto por Jean-Pierre Luminet y sus colegas en 2003, [ 39 ] y en 2008 se estimó una orientación óptima en el cielo para dicho modelo. [ 40 ]

Grafo dodecaédrico

La propiedad hamiltoniana del grafo dodecaédrico y el juego matemático icosiano

Según el teorema de Steinitz , el grafo puede representarse como el esqueleto de un poliedro; en términos generales, como la estructura de un poliedro. Dicho grafo posee dos propiedades: es planar , lo que significa que las aristas del grafo están conectadas a cada vértice sin cruzarse con otras aristas; y es un grafo triconexo : si un grafo tiene más de tres vértices y se eliminan dos de ellos, las aristas permanecen conectadas. [ 41 ] [ 42 ] El esqueleto de un dodecaedro regular puede representarse como un grafo, denominado grafo dodecaédrico o grafo platónico . [ 43 ]

Este grafo también puede construirse como el grafo de Petersen generalizado.GRAMO(10,2){\displaystyle G(10,2)}donde los vértices de un decágono están conectados a los de dos pentágonos, un pentágono conectado a los vértices impares del decágono y el otro pentágono conectado a los vértices pares. [ 44 ] Geométricamente, esto puede visualizarse como el cinturón ecuatorial de diez vértices del dodecaedro conectado a las dos regiones polares de cinco vértices, una a cada lado.

El alto grado de simetría del polígono se reproduce en las propiedades de este grafo, que son distancia-transitivo , [ 45 ] distancia-regular y simétrico . El grupo de automorfismos tiene orden ciento veinte. Los vértices se pueden colorear con 3 colores, al igual que las aristas, y el diámetro es cinco. [ 46 ]

El grafo dodecaédrico es hamiltoniano , lo que significa que un camino visita todos sus vértices exactamente una vez. Esta propiedad recibe su nombre de William Rowan Hamilton , quien inventó un juego matemático conocido como el juego icosiano . El objetivo del juego era encontrar un ciclo hamiltoniano a lo largo de las aristas de un dodecaedro. [ 47 ]

Véase también

Referencias

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