Operador de Laplace

En la teoría física de la difusión , el operador de Laplace surge naturalmente en la descripción matemática del equilibrio . ^{[ 6 ]} Específicamente, si u es la densidad en equilibrio de alguna magnitud como una concentración química, entonces el flujo neto de u a través del límite ∂ V (también llamado S ) de cualquier región suave V es cero, siempre que no haya ninguna fuente o sumidero dentro de V : $${\displaystyle \int _{S}\nabla u\cdot \mathbf {n} \,dS=0,}$$ donde n es el vector normal unitario exterior al límite de V. Por el teorema de la divergencia , $${\displaystyle \int _{V}\operatorname {div} \nabla u\,dV=\int _{S}\nabla u\cdot \mathbf {n} \,dS=0.}$$

Dado que esto se cumple para todas las regiones suaves V , se puede demostrar que implica: $${\displaystyle \operatorname {div} \nabla u=\Delta u=0.}$$ El lado izquierdo de esta ecuación es el operador de Laplace, y la ecuación completa Δ u = 0 se conoce como la ecuación de Laplace . Las soluciones de la ecuación de Laplace, es decir, las funciones cuyo laplaciano es idénticamente cero, representan posibles densidades de equilibrio bajo difusión.

El operador de Laplace tiene una interpretación física para la difusión fuera del equilibrio, que indica hasta qué punto un punto representa una fuente o un sumidero de concentración química, en un sentido que se precisa mediante la ecuación de difusión . Esta interpretación del laplaciano también se explica por el siguiente hecho sobre los promedios.

Dada una función dos veces continuamente diferenciable${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$y un punto${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$⁠ , el valor promedio de${\displaystyle f}$sobre la pelota con radio${\displaystyle h}$centrado en${\displaystyle p}$es: ^{[ 7 ]}$${\displaystyle {\overline {f}}_{B}(p,h)=f(p)+{\frac {\Delta f(p)}{2(n+2)}}h^{2}+o(h^{2})\quad {\text{for}}\;\;h\to 0}$$

De manera similar, el valor promedio de${\displaystyle f}$sobre la esfera (el límite de una bola) con radio${\displaystyle h}$centrado en${\displaystyle p}$es: $${\displaystyle {\overline {f}}_{S}(p,h)=f(p)+{\frac {\Delta f(p)}{2n}}h^{2}+o(h^{2})\quad {\text{for}}\;\;h\to 0.}$$

Si φ denota el potencial electrostático asociado a una distribución de carga q , entonces la distribución de carga misma viene dada por el negativo del laplaciano de φ : $${\displaystyle q=-\varepsilon _{0}\Delta \varphi ,}$$ donde ε ₀ es la constante eléctrica .

Esto es consecuencia de la ley de Gauss . En efecto, si V es cualquier región lisa con frontera ∂V , entonces, según la ley de Gauss , el flujo del campo electrostático E a través de la frontera es proporcional a la carga encerrada: $${\displaystyle \int _{\partial V}\mathbf {E} \cdot \mathbf {n} \,dS=\int _{V}\operatorname {div} \mathbf {E} \,dV={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{V}q\,dV.}$$ donde la primera igualdad se debe al teorema de la divergencia . Dado que el campo electrostático es el gradiente (negativo) del potencial, esto da como resultado: $${\displaystyle -\int _{V}\operatorname {div} (\operatorname {grad} \varphi )\,dV={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{V}q\,dV.}$$

Dado que esto se cumple para todas las regiones V , debemos tener $${\displaystyle \operatorname {div} (\operatorname {grad} \varphi )=-{\frac {1}{\varepsilon _{0}}}q}$$

El mismo enfoque implica que el negativo del laplaciano del potencial gravitatorio es la distribución de masa . A menudo se conoce la distribución de carga (o masa), pero se desconoce el potencial asociado. Encontrar la función potencial sujeta a condiciones de contorno adecuadas equivale a resolver la ecuación de Poisson .

Otra motivación para la aparición del laplaciano en física es que las soluciones de Δ f = 0 en una región U son funciones que hacen que el funcional de energía de Dirichlet sea estacionario : $${\displaystyle E(f)={\frac {1}{2}}\int _{U}\lVert \nabla f\rVert ^{2}\,dx.}$$

Para ver esto, supongamos que f  : U → R es una función y u  : U → R es una función que se anula en la frontera de U. Entonces: $${\displaystyle \left.{\frac {d}{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}E(f+\varepsilon u)=\int _{U}\nabla f\cdot \nabla u\,dx=-\int _{U}u\,\Delta f\,dx}$$ donde la última igualdad se obtiene utilizando la primera identidad de Green . Este cálculo muestra que si Δ f = 0 , entonces E es estacionario alrededor de f . Recíprocamente, si E es estacionario alrededor de f , entonces Δ f = 0 por el lema fundamental del cálculo de variaciones .

El operador de Laplace en dos dimensiones viene dado por:

En coordenadas cartesianas , $${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}}$$ donde x e y son las coordenadas cartesianas estándar del plano xy .

En coordenadas polares , $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta f&={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}\\&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}},\end{aligned}}}$$ donde r representa la distancia radial y θ el ángulo.

En tres dimensiones, es común trabajar con el laplaciano en una variedad de sistemas de coordenadas diferentes.

En coordenadas cartesianas , $${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}$$

En coordenadas cilíndricas , $${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial f}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}},}$$ dónde${\displaystyle \rho }$representa la distancia radial, φ el ángulo azimutal y z la altura.

En coordenadas esféricas : $${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}},}$$ o $${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}(rf)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}},}$$ Al expandir el primer y el segundo término, estas expresiones se leen $${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\left(\cos \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}+\sin \theta {\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}},}$$ donde φ representa el ángulo azimutal y θ el ángulo cenital o colatitud . En particular, lo anterior es equivalente a ${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}\Delta _{S^{2}}f,}$ dónde${\displaystyle \Delta _{S^{2}}f}$es el operador de Laplace-Beltrami en la esfera unitaria.

En coordenadas curvilíneas generales ( ξ ¹ , ξ ² , ξ ³ ): $${\displaystyle \Delta =\nabla \xi ^{m}\cdot \nabla \xi ^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi ^{m}\,\partial \xi ^{n}}}+\nabla ^{2}\xi ^{m}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{m}}}=g^{mn}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi ^{m}\,\partial \xi ^{n}}}-\Gamma _{mn}^{l}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{l}}}\right),}$$ donde se implica la suma sobre los índices repetidos , g ^mn es el tensor métrico inverso y Γ ^l _mn son los símbolos de Christoffel para las coordenadas seleccionadas.

En coordenadas curvilíneas arbitrarias${\displaystyle (\xi ^{1},\dots ,\xi ^{N})}$en${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}$, el laplaciano se puede escribir en términos del tensor métrico inverso${\displaystyle g^{ij}}$como $${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{i}}}\left({\sqrt {|g|}}\,g^{ij}{\frac {\partial f}{\partial \xi ^{j}}}\right),\qquad |g|=\det(g_{ij}).}$$ Este es el caso especial euclidiano del operador de Laplace-Beltrami . ^{[ 8 ] [ 9 ]}

En coordenadas esféricas en${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}$, escribir $${\displaystyle x=r\omega ,\qquad r=|x|>0,\quad \omega \in S^{N-1}}$$ dónde${\displaystyle S^{N-1}}$es la esfera unitaria ( N –1) en${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}.}$Entonces, el laplaciano se descompone en partes radiales y angulares: $${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {N-1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}\Delta _{S^{N-1}}f,}$$ o equivalentemente $${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{r^{N-1}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{N-1}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}\Delta _{S^{N-1}}f,}$$ dónde${\displaystyle \Delta _{S^{N-1}}}$es el operador de Laplace-Beltrami en${\displaystyle S^{N-1}}$, a menudo llamado el laplaciano esférico . ^{[ 10 ]}

Esta descomposición es el punto de partida para la separación de variables en la ecuación de Laplace. Si se buscan soluciones de la forma $${\displaystyle u(r,\omega )=R(r)Y(\omega ),}$$ Entonces, el factor angular debe satisfacer la ecuación de valores propios. $${\displaystyle -\Delta _{S^{N-1}}Y=\lambda Y.}$$ Los valores propios son $${\displaystyle \lambda _{\ell }=\ell (\ell +N-2),\qquad \ell =0,1,2,\dots ,}$$ y las funciones propias correspondientes son los armónicos esféricos de grado${\displaystyle \ell }$en${\displaystyle S^{N-1}}$. ^{[ 11 ]}

Sustituyendo${\displaystyle u(r,\omega )=R(r)Y(\omega )}$en${\displaystyle \Delta u=0}$da la ecuación radial $${\displaystyle r^{2}R''(r)+(N-1)rR'(r)-\ell (\ell +N-2)R(r)=0.}$$ Para${\displaystyle N\geq 3}$, sus soluciones son $${\displaystyle R(r)=Ar^{\ell }+Br^{-\ell -(N-2)},}$$ mientras que en el caso excepcional${\displaystyle N=2}$y${\displaystyle \ell =0}$uno obtiene $${\displaystyle R(r)=A+B\log r.}$$ Estos dan los armónicos sólidos clásicos . ^{[ 12 ]}

En particular, si${\displaystyle f(x)=F(r)}$es radial, entonces el término angular se desvanece y $${\displaystyle \Delta f=F''(r)+{\frac {N-1}{r}}F'(r)={\frac {1}{r^{N-1}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{N-1}F'(r)\right).}$$ Por lo tanto, toda función armónica radial en un anillo en${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}$tiene la forma $${\displaystyle F(r)={\begin{cases}A+Br^{2-N},&N\neq 2,\\[4pt]A+B\log r,&N=2.\end{cases}}}$$

Como consecuencia, el laplaciano esférico de una función en${\displaystyle S^{N-1}}$puede calcularse extendiendo la función a${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}\setminus \{0\}}$de modo que sea constante a lo largo de los rayos (es decir, homogéneo de grado${\displaystyle 0}$) y luego aplicando el laplaciano ordinario. ^{[ 13 ]}

El operador de Laplace es lineal: $${\displaystyle \Delta (af+bg)=a\,\Delta f+b\,\Delta g}$$ para todas las funciones${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$y escalares${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$.

Para la convención de signos utilizada en este artículo, $${\displaystyle \Delta =\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{j}^{2}}},}$$ el símbolo principal de${\displaystyle \Delta }$es $${\displaystyle \sigma _{2}(\Delta )(\xi )=-|\xi |^{2},}$$ que es distinto de cero para cada${\displaystyle \xi \neq 0}$. De este modo${\displaystyle \Delta }$es un operador diferencial elíptico. ^{[ 19 ]}

Si${\displaystyle \Omega \subset \mathbf {R} ^{n}}$es un límite${\displaystyle C^{1}}$dominio y${\displaystyle u,v\in C^{2}({\bar {\Omega }})}$, entonces las identidades de Green dan $${\displaystyle \int _{\Omega }u\,\Delta v\,dx=-\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,dx+\int _{\partial \Omega }u\,{\frac {\partial v}{\partial \nu }}\,dS,}$$ y $${\displaystyle \int _{\Omega }u\,\Delta v\,dx=\int _{\Omega }v\,\Delta u\,dx+\int _{\partial \Omega }\left(u{\frac {\partial v}{\partial \nu }}-v{\frac {\partial u}{\partial \nu }}\right)\,dS.}$$ En particular, si el término de frontera se anula (por ejemplo, para funciones con soporte compacto), entonces $${\displaystyle \int _{\Omega }u\,\Delta v\,dx=\int _{\Omega }v\,\Delta u\,dx,}$$ por lo que el laplaciano es formalmente autoadjunto. ^{[ 5 ]} Tomando${\displaystyle u=v}$le da identidad a la energía $${\displaystyle \int _{\Omega }u\,\Delta u\,dx=-\int _{\Omega }|\nabla u|^{2}\,dx+\int _{\partial \Omega }u\,{\frac {\partial u}{\partial \nu }}\,dS,}$$ lo cual subyace a los resultados de unicidad para problemas de valores en la frontera. ^{[ 5 ]}

Una función dos veces continuamente diferenciable${\displaystyle u}$se llama armónico si${\displaystyle \Delta u=0}$, subarmónico si${\displaystyle \Delta u\geq 0}$y superarmónico si${\displaystyle \Delta u\leq 0}$. ^{[ 5 ]}

Si${\displaystyle u}$es armónico en un conjunto abierto${\displaystyle \Omega }$y${\displaystyle B_{r}(x)\subset \Omega }$, entonces${\displaystyle u(x)}$es igual al promedio de${\displaystyle u}$sobre la pelota${\displaystyle B_{r}(x)}$y el promedio de${\displaystyle u}$sobre la esfera${\displaystyle \partial B_{r}(x)}$. Esta es la propiedad del valor medio para funciones armónicas. ^{[ 5 ]}

Una función armónica no constante no puede alcanzar un máximo o mínimo interior. En consecuencia, si${\displaystyle \Omega }$está delimitado y${\displaystyle u\in C^{2}(\Omega )\cap C({\bar {\Omega }})}$es armónico, entonces $${\displaystyle \max _{\bar {\Omega }}u=\max _{\partial \Omega }u,\qquad \min _{\bar {\Omega }}u=\min _{\partial \Omega }u.}$$ Estos son el principio máximo y el principio mínimo para funciones armónicas. ^{[ 5 ]}

Debido a que el laplaciano es elíptico, las soluciones de ecuaciones que involucran${\displaystyle \Delta }$son más regulares de lo que podría suponerse inicialmente. En particular, si${\displaystyle \Delta u}$es localmente integrable al cuadrado, entonces${\displaystyle u}$se encuentra localmente en el espacio Sobolev${\displaystyle H^{2}}$. ^{[ 20 ]} En particular, las funciones armónicas son suaves y, de hecho, analíticas reales. ^{[ 5 ]} De manera más general, el lema de Weyl establece que si${\displaystyle u}$es una solución distributiva de${\displaystyle \Delta u=0}$, entonces${\displaystyle u}$es suave. ^{[ 5 ]}

La teoría cualitativa correspondiente de las funciones armónicas, incluyendo el principio del máximo y la desigualdad de Harnack , se analiza con más detalle en la ecuación de Laplace y la función armónica .

Una generalización no local del operador de Laplace viene dada por el laplaciano fraccionario.${\displaystyle (-\Delta )^{\alpha /2}}$, dónde${\displaystyle 0<\alpha <2}$Para las funciones de Schwartz en${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$, puede definirse mediante su transformada de Fourier: $${\displaystyle {\mathcal {F}}{\big (}(-\Delta )^{\alpha /2}f{\big )}(\xi )=(4\pi ^{2}|\xi |^{2})^{\alpha /2}{\widehat {f}}(\xi ),}$$ utilizando la convención de transformada de Fourier anterior. ^{[ 22 ]}

De forma equivalente, el laplaciano fraccionario puede definirse mediante una integral singular : $${\displaystyle (-\Delta )^{\alpha /2}f(x)=c_{n,\alpha }\,\operatorname {PV} \!\int _{\mathbf {R} ^{n}}{\frac {f(x)-f(y)}{|x-y|^{n+\alpha }}}\,dy,}$$ dónde${\displaystyle \operatorname {PV} }$denota el valor principal de Cauchy . ^{[ 22 ]} A diferencia del laplaciano ordinario, este es un operador no local: su valor en un punto depende de los valores de la función en todos los puntos.${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$. ^{[ 22 ]}

El inverso del laplaciano fraccionario está estrechamente relacionado con el potencial de Riesz . Para${\displaystyle 0<\alpha <n}$, el potencial de Riesz de orden${\displaystyle \alpha }$es convolución con el kernel${\displaystyle c_{n,\alpha }|x|^{\alpha -n}}$: $${\displaystyle I_{\alpha }f(x)=c_{n,\alpha }\int _{\mathbf {R} ^{n}}{\frac {f(y)}{|x-y|^{n-\alpha }}}\,dy.}$$ Cuando ambos lados están definidos, se tiene ^{[ 22 ] [ 23 ]}$${\displaystyle (-\Delta )^{\alpha /2}I_{\alpha }f=f.}$$

Una familia relacionada de operadores viene dada por los potenciales de Bessel . Para${\displaystyle s\in \mathbf {R} }$, el operador potencial de Bessel se define por $${\displaystyle {\mathcal {F}}{\big (}(I-\Delta )^{-s/2}f{\big )}(\xi )=(1+4\pi ^{2}|\xi |^{2})^{-s/2}{\widehat {f}}(\xi ).}$$ Los espacios funcionales asociados son los espacios potenciales de Bessel.${\displaystyle H^{s,p}(\mathbf {R} ^{n})}$. ^{[ 24 ]} Los potenciales de Riesz y Bessel son operadores de suavizado estrechamente relacionados, pero los potenciales de Bessel implican${\displaystyle I-\Delta }$en vez de${\displaystyle -\Delta }$y por lo tanto se comportan mejor a bajas frecuencias. ^{[ 24 ]}

El laplaciano de cualquier campo tensorial${\displaystyle \mathbf {T} }$(El término "tensor" incluye escalares y vectores) se define como la divergencia del gradiente del tensor: $${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {T} =(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {T} .}$$

Para el caso especial donde${\displaystyle \mathbf {T} }$es un escalar (un tensor de grado cero), el laplaciano adopta la forma familiar.

Si${\displaystyle \mathbf {T} }$es un vector (un tensor de primer grado), el gradiente es una derivada covariante que resulta en un tensor de segundo grado, y la divergencia de este es nuevamente un vector. La fórmula para el laplaciano vectorial anterior puede usarse para evitar cálculos tensoriales y puede demostrarse que es equivalente a la divergencia de la matriz jacobiana que se muestra a continuación para el gradiente de un vector: $${\displaystyle \nabla \mathbf {T} =(\nabla T_{x},\nabla T_{y},\nabla T_{z})={\begin{bmatrix}T_{xx}&T_{xy}&T_{xz}\\T_{yx}&T_{yy}&T_{yz}\\T_{zx}&T_{zy}&T_{zz}\end{bmatrix}},{\text{ where }}T_{uv}\equiv {\frac {\partial T_{u}}{\partial v}}.}$$

Y, de la misma manera, un producto escalar , que se evalúa como un vector, de un vector por el gradiente de otro vector (un tensor de segundo grado) puede verse como un producto de matrices: $${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \nabla \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{bmatrix}}\nabla \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} \cdot \nabla B_{x}&\mathbf {A} \cdot \nabla B_{y}&\mathbf {A} \cdot \nabla B_{z}\end{bmatrix}}.}$$ Esta identidad es un resultado que depende de las coordenadas y no es general.

Un ejemplo del uso del laplaciano vectorial son las ecuaciones de Navier-Stokes para un flujo newtoniano incompresible : $${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} \right)=\rho \mathbf {f} -\nabla p+\mu \left(\nabla ^{2}\mathbf {v} \right),}$$ donde el término con el vector laplaciano del campo de velocidad${\displaystyle \mu \left(\nabla ^{2}\mathbf {v} \right)}$representa las tensiones viscosas en el fluido.

Otro ejemplo es la ecuación de onda para el campo eléctrico que se puede derivar de las ecuaciones de Maxwell en ausencia de cargas y corrientes: $${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} -\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=0.}$$

Esta ecuación también se puede escribir como: $${\displaystyle \Box \,\mathbf {E} =0,}$$ dónde$${\displaystyle \Box \equiv {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2},}$$es el d'Alembertiano , utilizado en la ecuación de Klein-Gordon .

El laplaciano también puede generalizarse a un operador elíptico llamado operador de Laplace-Beltrami definido en una variedad riemanniana . El operador de Laplace-Beltrami, cuando se aplica a una función, es la traza ( tr ) del hessiano de la función : $${\displaystyle \Delta f=\operatorname {tr} {\big (}H(f){\big )}}$$ donde la traza se toma con respecto al inverso del tensor métrico . El operador de Laplace-Beltrami también puede generalizarse a un operador (también llamado operador de Laplace-Beltrami) que opera sobre campos tensoriales , mediante una fórmula similar.

Otra generalización del operador de Laplace disponible en variedades pseudoriemannianas utiliza la derivada exterior , en términos de la cual el "laplaciano del geómetra" se expresa como $${\displaystyle \Delta f=\delta df.}$$

Aquí δ es el codiferencial , que también puede expresarse en términos de la estrella de Hodge y la derivada exterior. Este operador difiere en signo del "laplaciano del analista" definido anteriormente. De manera más general, el laplaciano de "Hodge" se define en formas diferenciales α mediante $${\displaystyle \Delta \alpha =\delta d\alpha +d\delta \alpha .}$$

Esto se conoce como el operador de Laplace-de Rham , que está relacionado con el operador de Laplace-Beltrami mediante la identidad de Weitzenböck .

El laplaciano puede generalizarse de ciertas maneras a espacios no euclidianos , donde puede ser elíptico , hiperbólico o ultrahiperbólico .

En el espacio de Minkowski, el operador de Laplace-Beltrami se convierte en el operador de D'Alembert.${\displaystyle \Box }$o D'Alembertiano: $${\displaystyle \square ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}.}$$

Es una generalización del operador de Laplace en el sentido de que es el operador diferencial invariante bajo el grupo de isometría del espacio subyacente y se reduce al operador de Laplace si se restringe a funciones independientes del tiempo. El signo global de la métrica se elige de tal manera que las partes espaciales del operador admitan un signo negativo, que es la convención habitual en la física de partículas de alta energía . El operador de D'Alembert también se conoce como operador de onda porque es el operador diferencial que aparece en las ecuaciones de onda , y también forma parte de la ecuación de Klein-Gordon , que se reduce a la ecuación de onda en el caso sin masa.

En física, se necesita el factor adicional c en la métrica si el espacio y el tiempo se miden en unidades diferentes; un factor similar sería necesario si, por ejemplo, la dirección x se midiera en metros y la dirección y en centímetros. De hecho, los físicos teóricos suelen trabajar con unidades tales que c = 1 para simplificar la ecuación.

El operador de d'Alembert se generaliza a un operador hiperbólico en variedades pseudoriemannianas .