Operadores integrales singulares de tipo convolución

La teoría para ^{las funciones} L² es particularmente simple en el círculo. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Si f ∈ L² ( T ), entonces tiene una expansión en serie de Fourier ^.$${\displaystyle f(\theta )=\sum _{n\in \mathbf {Z} }a_{n}e^{en\theta }.}$$

El espacio de Hardy H ² ( T ) consiste en las funciones para las cuales los coeficientes negativos se anulan, a _n = 0 para n < 0. Estas son precisamente las funciones de cuadrado integrable que surgen como valores de frontera de funciones holomorfas en el disco unitario abierto. De hecho, f es el valor de frontera de la función

$${\displaystyle F(z)=\sum _ {n\geq 0}a_ {n}z^{n},}$$

en el sentido de que las funciones

$${\displaystyle f_{r}(\theta )=F(re^{i\theta }),}$$

definida por la restricción de F a los círculos concéntricos | z | = r , satisface

$${\displaystyle \|f_{r}-f\|_{2}\rightarrow 0.}$$

La proyección ortogonal P de L ² ( T ) sobre H ² ( T ) se llama proyección de Szegő . Es un operador acotado en L ² ( T ) con norma de operador 1. Por la fórmula integral de Cauchy ,

$${\displaystyle F(z)={1 \over 2\pi i}\int _{|\zeta |=1}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\,d\zeta ={1 \over 2\pi }\int _{-\pi }^{\pi }{f(\theta ) \over 1-e^{-i\theta }z}\,d\theta .}$$

De este modo

$${\displaystyle F(re^{i\varphi })={1 \over 2\pi }\int _{-\pi }^{\pi }{f(\varphi -\theta ) \over 1-re^{i\theta }}\,d\theta .}$$

Cuando r = 1, el integrando del lado derecho tiene una singularidad en θ = 0. La transformada de Hilbert truncada se define por

$${\displaystyle H_{\varepsilon }f(\varphi )={i \over \pi }\int _{\varepsilon \leq |\theta |\leq \pi }{f(\varphi -\theta ) \over 1-e^{i\theta }}\,d\theta ={1 \over \pi }\int _{|\zeta -e^{i\varphi }|\geq \delta }{f(\zeta ) \over \zeta -e^{i\varphi }}\,d\zeta ,}$$

donde δ = |1 – e ^iε |. Dado que se define como una convolución con una función acotada , es un operador acotado en L ² ( T ). Ahora

$${\displaystyle H_{\varepsilon }{1}={i \over \pi }\int _{\varepsilon }^{\pi }2\Re (1-e^{i\theta })^{-1}\,d\theta ={i \over \pi }\int _{\varepsilon }^{\pi }1\,d\theta =i-{i\varepsilon \over \pi }.}$$

Si f es un polinomio en z entonces

$${\displaystyle H_{\varepsilon }f(z)-{i(1-\varepsilon ) \over \pi }f(z)={1 \over \pi i}\int _{|\zeta -z|\geq \delta }{f(\zeta )-f(z) \over \zeta -z}\,d\zeta .}$$

Según el teorema de Cauchy, el lado derecho tiende a 0 uniformemente cuando ε , y por lo tanto δ , tiende a 0. Así pues,

$${\displaystyle H_{\varepsilon }f\rightarrow if}$$

uniformemente para polinomios. Por otro lado, si u ( z ) = z es inmediato que

$${\displaystyle {\overline {H_{\varepsilon }f}}=-u^{-1}H_{\varepsilon }(u{\overline {f}}).}$$

Por lo tanto, si f es un polinomio en z ⁻¹ sin término constante

${\displaystyle H_{\varepsilon }f\rightarrow -if}$uniformemente.

Defina la transformada de Hilbert en el círculo mediante $${\displaystyle H=i(2P-I).}$$

Por lo tanto, si f es un polinomio trigonométrico

${\displaystyle H_{\varepsilon }f\rightarrow Hf}$uniformemente.

De ello se deduce que si f es cualquier función L ²

${\displaystyle H_{\varepsilon }f\rightarrow Hf}$en la ^norma L2 .

Esto es una consecuencia inmediata del resultado para polinomios trigonométricos una vez que se establece que los operadores H _ε están uniformemente acotados en norma de operador . Pero en [– π , π ]

$${\displaystyle (1-e^{i\theta })^{-1}=[(1-e^{i\theta })^{-1}-i\theta ^{-1}]+i\theta ^{-1}.}$$

El primer término está acotado en todo [–π,π], por lo que basta con demostrar que los operadores de convolución S _ε definidos por

$${\displaystyle S_{\varepsilon }f(\varphi )=\int _{\varepsilon \leq |\theta |\leq \pi }f(\varphi -\theta )\theta ^{-1}\,d\theta }$$

están uniformemente acotados. Con respecto a la base ortonormal e ^{en θ,} los operadores de convolución son diagonales y sus normas de operador se obtienen tomando el supremo de los módulos de los coeficientes de Fourier. El cálculo directo muestra que todos ellos tienen la forma

$${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\left|\int _{a}^{b}{\sin t \over t}\,dt\right|}$$

con 0 < a < b . Se sabe que estas integrales están uniformemente acotadas.

También se deduce que, para una función continua f en el círculo, H _ε f converge uniformemente a Hf , por lo que en particular converge puntualmente. El límite puntual es un valor principal de Cauchy , escrito

$${\displaystyle Hf=\mathrm {P.V.} \,{1 \over \pi }\int {f(\zeta ) \over \zeta -e^{i\varphi }}\,d\zeta .}$$

Si f pertenece a L ² , entonces H _ε f converge a Hf puntualmente casi en todas partes. De hecho, definimos los operadores de Poisson en funciones L ^{2 mediante}

$${\displaystyle T_{r}\left(\sum a_{n}e^{in\theta }\right)=\sum r^{|n|}a_{n}e^{in\theta },}$$

para r < 1. Dado que estos operadores son diagonales, es fácil ver que T _r f tiende a f en L ² cuando r aumenta a 1. Además, como demostró Lebesgue, T _r f también tiende puntualmente a f en cada punto de Lebesgue de f . Por otro lado, también se sabe que T _r Hf − H _{1 − r} f tiende a cero en cada punto de Lebesgue de f . Por lo tanto, H _{1 – r} f tiende puntualmente a f en los puntos de Lebesgue comunes de f y Hf y, por consiguiente, casi en todas partes. ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

Resultados de este tipo sobre convergencia puntual se demuestran más generalmente a continuación para funciones L ^p utilizando los operadores de Poisson y la función maximal de Hardy-Littlewood de f .

La transformada de Hilbert tiene una compatibilidad natural con los difeomorfismos del círculo que preservan la orientación. ^{[ 6 ]} Por lo tanto, si H es un difeomorfismo del círculo con

$${\displaystyle H(e^{i\theta })=e^{ih(\theta )},\,\,\,h(\theta +2\pi )=h(\theta )+2\pi ,}$$

luego los operadores

$${\displaystyle H_{\varepsilon }^{h}f(e^{i\varphi })={\frac {1}{\pi }}\int _{|e^{ih(\theta )}-e^{ih(\varphi )}|\geq \varepsilon }{\frac {f(e^{i\theta })}{e^{i\theta }-e^{i\varphi }}}e^{i\theta }\,d\theta ,}$$

están uniformemente acotados y tienden en la topología de operador fuerte a H. Además, si Vf ( z ) = f ( H ​​( z )), entonces VHV ⁻¹ − H es un operador con núcleo suave, por lo que es un operador de Hilbert-Schmidt .

De hecho, si G es la inversa de H con la función correspondiente g ( θ ), entonces

$${\displaystyle (VH_{\varepsilon }^{h}V^{-1}-H_{\varepsilon })f(e^{i\varphi })={1 \over \pi }\int _{|e^{i\theta }-e^{i\varphi }|\geq \varepsilon }\left[{g^{\prime }(\theta )e^{ig(\theta )} \over e^{ig(\theta )}-e^{ig(\varphi )}}-{e^{i\theta } \over e^{i\theta }-e^{i\varphi }}\right]\,f(e^{i\theta })\,d\theta .}$$

Dado que el núcleo del lado derecho es suave en T × T , se deduce que los operadores del lado derecho están uniformemente acotados y, por lo tanto, también lo están los operadores H _ε ^h . Para ver que tienden fuertemente a H , basta con comprobarlo en polinomios trigonométricos. En ese caso

$${\displaystyle H_{\varepsilon }^{h}f(\zeta )={1 \over \pi i}\int _{|H(z)-H(\zeta )|\geq \varepsilon }{\frac {f(z)}{z-\zeta }}dz={1 \over \pi i}\int _{|H(z)-H(\zeta )|\geq \varepsilon }{f(z)-f(\zeta ) \over z-\zeta }\,dz+{\frac {f(\zeta )}{\pi i}}\int _{|H(z)-H(\zeta )|\geq \varepsilon }{dz \over z-\zeta }.}$$

En la primera integral, el integrando es un polinomio trigonométrico en z y ζ, por lo que la integral es un polinomio trigonométrico en ζ . Tiende en L² al polinomio trigonométrico ^.$${\displaystyle {1 \over \pi i}\int {f(z)-f(\zeta ) \over z-\zeta }\,dz.}$$

La integral en el segundo término se puede calcular mediante el principio del argumento . Tiende en L ² a la función constante 1, de modo que

$${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}H_{\varepsilon }^{h}f(\zeta )=f(\zeta )+{1 \over \pi i}\int {f(z)-f(\zeta ) \over z-\zeta }\,dz,}$$

donde el límite está en L ² . Por otro lado, el lado derecho es independiente del difeomorfismo. Dado que para el difeomorfismo identidad, el lado izquierdo es igual a Hf , también es igual a Hf (esto también se puede comprobar directamente si f es un polinomio trigonométrico). Finalmente, haciendo ε → 0,

$${\displaystyle (VHV^{-1}-H)f(e^{i\varphi })={\frac {1}{\pi }}\int \left[{g^{\prime }(\theta )e^{ig(\theta )} \over e^{ig(\theta )}-e^{ig(\varphi )}}-{e^{i\theta } \over e^{i\theta }-e^{i\varphi }}\right]\,f(e^{i\theta })\,d\theta .}$$

El método directo de evaluación de los coeficientes de Fourier para demostrar la acotación uniforme del operador H ^ε no se generaliza directamente a espacios L ^p con 1 < p < ∞. En cambio, clásicamente se utiliza una comparación directa de H ^ε f con la integral de Poisson de la transformada de Hilbert para demostrar esto. Si f tiene series de Fourier

$${\displaystyle f(e^{i\theta })=\sum _{n\in \mathbf {Z} }a_{n}e^{in\theta },}$$

Su integral de Poisson se define por

$${\displaystyle P_{r}f(e^{i\theta })=\sum _{n\in \mathbf {Z} }a_{n}r^{|n|}e^{in\theta }={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }{(1-r^{2})f(e^{i\theta }) \over 1-2r\cos \theta +r^{2}}\,d\theta =K_{r}\star f(e^{i\theta }),}$$

donde el núcleo de Poisson K _r viene dado por $${\displaystyle K_{r}(e^{i\theta })=\sum _{n\in \mathbf {Z} }r^{|n|}e^{in\theta }={1-r^{2} \over 1-2r\cos \theta +r^{2}}.}$$

Si f está en L ^p ( T ), entonces los operadores P _r satisfacen $${\displaystyle \|P_{r}f-f\|_{p}\rightarrow 0.}$$

De hecho, los K _r son positivos, por lo tanto $${\displaystyle \|K_{r}\|_{1}={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }K_{r}(e^{i\theta })\,d\theta =1.}$$

Así, los operadores P _r tienen norma de operador acotada por 1 en L ^p . La afirmación de convergencia anterior se deduce por continuidad del resultado para polinomios trigonométricos, donde es una consecuencia inmediata de la fórmula para los coeficientes de Fourier de K _r .

La acotación uniforme de la norma del operador de H _ε se deduce porque HP _r − H _{1− r} se da como convolución por la función ψ _r , donde ^{[ 7 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{r}(e^{i\theta })&=1+{\frac {1-r}{1+r}}\cot \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)K_{r}(e^{i\theta })\\&\leq 1+{\frac {1-r}{1+r}}\cot \left({\tfrac {1-r}{2}}\right)K_{r}(e^{i\theta })\end{aligned}}}$$ para 1 − r ≤ |θ| ≤ π , y, para |θ| < 1 - r , $${\displaystyle \psi _{r}(e^{i\theta })=1+{2r\sin \theta \over 1-2r\cos \theta +r^{2}}.}$$

Estas estimaciones muestran que las normas L ^{1 ∫ |ψ} _r | están uniformemente acotadas. Dado que H es un operador acotado, se deduce que los operadores H _ε están uniformemente acotados en norma de operador en L ² ( T ). El mismo argumento puede usarse en L ^p ( T ) una vez que se sabe que la transformada de Hilbert H está acotada en norma de operador en L ^p ( T ).

Al igual que en el caso del círculo, la teoría para ^{las funciones} L2 es particularmente fácil de desarrollar. De hecho, como observaron Rosenblum y Devinatz, las dos transformadas de Hilbert pueden relacionarse mediante la transformada de Cayley . ^{[ 8 ]}

La transformada de Hilbert H _R en L ² ( R ) se define por $${\displaystyle {\widehat {H_{\mathbf {R} }f}}=\left(i\chi _{[0,\infty )}-i\chi _{(-\infty ,0]}\right){\widehat {f}},}$$ donde la transformada de Fourier viene dada por $${\displaystyle {\widehat {f}}(t)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-itx}\,dx.}$$

Definimos el espacio de Hardy H ² ( R ) como el subespacio cerrado de L ² ( R ) formado por funciones cuya transformada de Fourier se anula en la parte negativa del eje real. Su complemento ortogonal viene dado por funciones cuya transformada de Fourier se anula en la parte positiva del eje real. Es el conjugado complejo de H ² ( R ). Si P _R es la proyección ortogonal sobre H ² ( R ), entonces

$${\displaystyle H_{\mathbf {R} }=i(2P_{\mathbf {R} }-I).}$$

La transformación de Cayley $${\displaystyle C(x)={x-i \over x+i}}$$ traslada la recta real extendida al círculo, enviando el punto en ∞ a 1, y el semiplano superior al disco unitario.

Definimos el operador unitario de L ² ( T ) sobre L ² ( R ) mediante $${\displaystyle Uf(x)=\pi ^{-1/2}(x+i)^{-1}f(C(x)).}$$

Este operador traslada el espacio de Hardy del círculo H ² ( T ) a H ² ( R ). De hecho, para | w | < 1, el espacio lineal generado por las funciones $${\displaystyle f_{w}(z)={\frac {1}{1-wz}}}$$ es denso en H ² ( T ). Además, $${\displaystyle Uf_{w}(x)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {1}{(1-w)(x-{\overline {z}})}}}$$ dónde $${\displaystyle z=C^{-1}({\overline {w}}).}$$

Por otro lado, para z ∈ H , el espacio lineal generado por las funciones $${\displaystyle g_{z}(t)=e^{itz}\chi _{[0,\infty )}(t)}$$ es denso en L ² ((0,∞)). Por la fórmula de inversión de Fourier , son las transformadas de Fourier de $${\displaystyle h_{z}(x)={\widehat {g_{z}}}(-x)={i \over {\sqrt {2\pi }}}(x+z)^{-1},}$$ Por lo tanto, el espacio lineal generado por estas funciones es denso en H ² ( R ). Dado que U transforma las funciones f _w en múltiplos de las funciones h _{z , se deduce que} U transforma H ² ( T ) en H ² ( R ). Así pues, $${\displaystyle UH_{\mathbf {T} }U^{*}=H_{\mathbf {R} }.}$$

En Nikolski (1986) , parte de la teoría L² ^en la recta real y el semiplano superior se desarrolla transfiriendo los resultados del círculo y el disco unitario. Los reemplazos naturales para los círculos concéntricos en el disco son líneas paralelas al eje real en H. Bajo la transformación de Cayley, estas corresponden a círculos en el disco que son tangentes al círculo unitario en el punto uno. El comportamiento de las funciones en H² ⁽ T ) en estos círculos forma parte de la teoría de las medidas de Carleson . Sin embargo, la teoría de las integrales singulares se puede desarrollar más fácilmente trabajando directamente en R.

H ² ( R ) consiste exactamente en funciones L ² f que surgen de los valores de frontera de funciones holomorfas en H en el siguiente sentido: ^{[ 9 ]} f está en H ² siempre que exista una función holomorfa F ( z ) en H tal que las funciones f _y ( x ) = f ( x + iy ) para y > 0 estén en L ² y f _y tienda a f en L ² cuando y → 0. En este caso, F es necesariamente única y viene dada por la fórmula integral de Cauchy:

$${\displaystyle F(z)={1 \over 2\pi i}\int _{-\infty }^{\infty }{f(s) \over s-z}\,ds.}$$

De hecho, al identificar H ² con L ² (0,∞) mediante la transformada de Fourier, para y > 0 la multiplicación por e ^{− yt} en L ² (0,∞) induce un semigrupo de contracción V _y en H ² . Por lo tanto, para f en L ²

$${\displaystyle {1 \over 2\pi i}\int _{-\infty }^{\infty }{f(s) \over s-z}\,ds={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(s){\widehat {g_{z}}}(s)\,ds={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(s)g_{z}(s)\,ds=V_{y}Pf(x).}$$

Si f está en H ² , F ( z ) es holomorfa para Im z > 0, ya que la familia de funciones L ² g _z depende holomorfamente de z . Además, f _y = V _y f tiende a f en H ² ya que esto es cierto para las transformadas de Fourier. Recíprocamente, si existe tal F , por el teorema integral de Cauchy y la identidad anterior aplicada a f _y

$${\displaystyle f_{y+t}=V_{t}Pf_{y}}$$

para t > 0. Haciendo que t tienda a 0 , se deduce que Pf _y = f _y , de modo que f _y se encuentra en H ² . Pero entonces también lo hace el límite f . Dado que $${\displaystyle V_{t}f_{y}=f_{y+t}=V_{y}f_{t},}$$ La unicidad de F se deduce de $${\displaystyle f_{t}=\lim _{y\to 0}f_{y+t}=\lim _{y\to 0}V_{t}f_{y}=V_{t}f.}$$

Para f en L ² , las transformadas de Hilbert truncadas se definen por $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\varepsilon ,R}f(x)&={1 \over \pi }\int _{\varepsilon \leq |y-x|\leq R}{f(y) \over x-y}\,dy={1 \over \pi }\int _{\varepsilon \leq |y|\leq R}{f(x-y) \over y}\,dy\\H_{\varepsilon }f(x)&={1 \over \pi }\int _{|y-x|\geq \varepsilon }{f(y) \over x-y}\,dy={1 \over \pi }\int _{|y|\geq \varepsilon }{f(x-y) \over y}\,dy.\end{aligned}}}$$

Los operadores H _{ε , R} son convoluciones por funciones acotadas de soporte compacto, por lo que sus normas de operador vienen dadas por la norma uniforme de sus transformadas de Fourier. Como antes, los valores absolutos tienen la forma

$${\displaystyle {1 \over {\sqrt {2\pi }}}\left|\int _{a}^{b}{2\sin t \over t}\,dt\right|.}$$

con 0 < a < b , por lo que los operadores H _{ε , R} están uniformemente acotados en norma de operador. Dado que H _{ε , R} f tiende a H _ε f en L ² para f con soporte compacto, y por lo tanto para cualquier f , los operadores H _ε también están uniformemente acotados en norma de operador.

Para demostrar que H _ε f tiende a Hf cuando ε tiende a cero, basta con comprobarlo en un conjunto denso de funciones. Por otro lado,

$${\displaystyle {\overline {H_{\varepsilon }f}}=-H_{\varepsilon }({\overline {f}}),}$$

Por lo tanto, basta con demostrar que H _ε f tiende a si para un conjunto denso de funciones en H ² ( R ), por ejemplo las transformadas de Fourier de funciones suaves g con soporte compacto en (0,∞). Pero la transformada de Fourier f se extiende a una función entera F en C , que está acotada en Im( z ) ≥ 0. Lo mismo es cierto para las derivadas de g . Salvo un escalar, estas corresponden a multiplicar F ( z ) por potencias de z . Así, F satisface una estimación de Paley-Wiener para Im( z ) ≥ 0: ^{[ 10 ]}

$${\displaystyle |F^{(m)}(z)|\leq K_{N,m}(1+|z|)^{-N}}$$

para cualquier m , N ≥ 0. En particular, la integral que define H _ε f ( x ) se puede calcular tomando un contorno semicircular estándar centrado en x . Consiste en un semicírculo grande con radio R y un círculo pequeño de radio ε con las dos porciones del eje real entre ellos. Por el teorema de Cauchy, la integral alrededor del contorno es cero. La integral alrededor del contorno grande tiende a cero por la estimación de Paley-Wiener. La integral sobre el eje real es el límite buscado. Por lo tanto, se da como menos el límite sobre el contorno semicircular pequeño. Pero este es el límite de

$${\displaystyle {1 \over \pi }\int _{\Gamma }{F(z) \over z-x}\,dz.}$$

Donde Γ es el pequeño contorno semicircular, orientado en sentido antihorario. Mediante las técnicas habituales de integración de contorno, este límite es igual a si ( x ). ^{[ 11 ]} En este caso, es fácil comprobar que la convergencia está dominada en L ² ya que

$${\displaystyle H_{\varepsilon }f(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{|y-x|\geq \varepsilon }{\frac {f(y)-f(x)}{y-x}}\,dy={\frac {1}{\pi }}\int _{|y-x|\geq \varepsilon }\int _{0}^{1}f^{\prime }(x+t(y-x))\,dt\,dy}$$

de modo que la convergencia esté dominada por $${\displaystyle G(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{1}\int _{-\infty }^{\infty }|f^{\prime }(x+ty)|\,dy}$$ que se encuentra en L ² según la estimación de Paley-Wiener.

De ello se deduce que para f en L ² ( R ) $${\displaystyle H_{\varepsilon }f\rightarrow Hf.}$$

Esto también se deduce directamente porque, tras aplicar las transformadas de Fourier, H _ε y H se convierten en operadores de multiplicación por funciones uniformemente acotadas. Los multiplicadores de H _ε tienden puntualmente casi en todas partes al multiplicador de H , por lo que la afirmación anterior se deduce del teorema de convergencia dominada aplicado a las transformadas de Fourier.

En cuanto a la transformada de Hilbert en el círculo, H _ε f tiende a Hf puntualmente casi en todas partes si f es una función L ^2. De hecho, definimos los operadores de Poisson en funciones L ² mediante

$${\displaystyle T_{y}f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }P_{y}(x-t)f(t)\,dt,}$$

donde el núcleo de Poisson viene dado por

$${\displaystyle P_{y}(x)={\frac {y}{\pi (x^{2}+y^{2})}}.}$$

para y > 0. Su transformada de Fourier es $${\displaystyle {\widehat {P_{y}}}(t)=e^{-y|t|},}$$

de donde es fácil ver que T _y f tiende a f en L ² cuando y aumenta a 0. Además, como demostró Lebesgue, T _y f también tiende puntualmente a f en cada punto de Lebesgue de f . Por otro lado, también se sabe que T _y Hf – H _y f tiende a cero en cada punto de Lebesgue de f . Por lo tanto, H _ε f tiende puntualmente a f en los puntos de Lebesgue comunes de f y Hf y por consiguiente casi en todas partes. ^{[ 12 ] [ 13 ]} Los valores absolutos de las funciones T _y f − f y T _y Hf – H _y f pueden ser acotados puntualmente por múltiplos de la función máxima de f . ^{[ 14 ]}

En cuanto a la transformada de Hilbert en el círculo, la acotación uniforme de las normas del operador H _ε se deduce de la de T _ε si se sabe que H está acotada, ya que HT _ε − H _ε es el operador de convolución por la función

$${\displaystyle g_{\varepsilon }(x)={\begin{cases}{\frac {x}{\pi (x^{2}+\varepsilon ^{2})}}&|x|\leq \varepsilon \\{\frac {x}{\pi (x^{2}+\varepsilon ^{2})}}-{\frac {1}{\pi x}}&|x|>\varepsilon \end{cases}}}$$

Las normas L1 ^de estas funciones están uniformemente acotadas.

Las transformadas de Riesz complejas R y R * en el plano complejo son los operadores unitarios en L ² ( C ) definidos como la multiplicación por z /| z | y su conjugado en la transformada de Fourier de una función L ² f :

$${\displaystyle {\widehat {Rf}}(z)={{\overline {z}} \over |z|}{\widehat {f}}(z),\,\,\,{\widehat {R^{*}f}}(z)={z \over |z|}{\widehat {f}}(z).}$$

Al identificar C con R ² , R y R * vienen dados por

$${\displaystyle R=-iR_{1}+R_{2},\,\,\,R^{*}=-iR_{1}-R_{2},}$$

donde R ₁ y R ₂ son las transformaciones de Riesz en R ² definidas a continuación.

En L ² ( C ), el operador R y sus potencias enteras son unitarias. También pueden expresarse como operadores integrales singulares: ^{[ 15 ]}

$${\displaystyle {R^{k}f(w)=\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{|z-w|\geq \varepsilon }M_{k}(w-z)f(z)\,dx\,dy,}}$$

dónde $${\displaystyle M_{k}(z)={k \over 2\pi i^{k}}{z^{k} \over |z|^{k+2}}\,\,\,\,(k\geq 1),\,\,\,\,M_{-k}(z)={\overline {M_{k}(z)}}.}$$

Definir las transformadas de Riesz superiores truncadas como $${\displaystyle {R_{\varepsilon }^{(k)}f(w)=\int _{|z-w|\geq \varepsilon }M_{k}(w-z)f(z)\,dx\,dy,}}$$ Se puede demostrar que estos operadores están uniformemente acotados en norma de operador. Para potencias impares, esto se puede deducir mediante el método de rotación de Calderón y Zygmund, descrito más adelante. ^{[ 16 ]} Si se sabe que los operadores están acotados en norma de operador, también se puede deducir utilizando los operadores de Poisson. ^{[ 17 ]}

Los operadores de Poisson T _s en R ² se definen para s > 0 por

$${\displaystyle {T_{s}f(x)={1 \over 2\pi }\int _{\mathbf {R} ^{2}}{sf(x) \over (|x-t|^{2}+s^{2})^{3/2}}\,dt.}}$$

Se obtienen mediante convolución con las funciones

$${\displaystyle {P_{s}(x)={s \over 2\pi (|x|^{2}+s^{2})^{3/2}}.}}$$

P _s es la transformada de Fourier de la función e ^{− s | x |} , por lo que bajo la transformada de Fourier corresponden a la multiplicación por estas funciones y forman un semigrupo de contracción en L ² ( R ² ). Dado que P _y es positivo e integrable con integral 1, los operadores T _s también definen un semigrupo de contracción en cada espacio L ^p con 1 < p < ∞.

Se pueden calcular las transformadas de Riesz de orden superior del núcleo de Poisson:

$${\displaystyle {R^{k}P_{s}(z)={k \over 2\pi i^{k}}{z^{k} \over (|z|^{2}+s^{2})^{k/2+1}}}}$$

para k ≥ 1 y el conjugado complejo para − k . De hecho, el lado derecho es una función armónica F ( x , y , s ) de tres variables y para tales funciones ^{[ 18 ]}

$${\displaystyle {T_{s_{1}}F(x,y,s_{2})=F(x,y,s_{1}+s_{2}).}}$$

Como antes, los operadores

$${\displaystyle {T_{\varepsilon }R^{k}-R_{\varepsilon }^{(k)}}}$$

se obtienen mediante convolución con funciones integrables y tienen normas de operador uniformemente acotadas. Dado que las transformadas de Riesz son unitarias en L² ⁽ C ) , la acotación uniforme de las transformadas de Riesz truncadas implica que convergen en la topología de operador fuerte a las transformadas de Riesz correspondientes.

La acotación uniforme de la diferencia entre la transformada y la transformada truncada también puede observarse para k impar utilizando el método de rotación de Calderón-Zygmund. ^{[ 19 ] [ 20 ]} El grupo T actúa mediante rotación sobre funciones en C a través de $${\displaystyle {U_{\theta }f(z)=f(e^{i\theta }z).}}$$

Esto define una representación unitaria en L ² ( C ) y los operadores unitarios R _θ conmutan con la transformada de Fourier. Si A es un operador acotado en L ² ( R ) entonces define un operador acotado A ⁽¹⁾ en L ² ( C ) simplemente haciendo que A actúe sobre la primera coordenada. Con la identificación L ² ( R ² ) = L ² ( R ) ⊗ L ² ( R ), A ⁽¹⁾ = A ⊗ I . Si φ es una función continua en el círculo entonces se puede definir un nuevo operador mediante $${\displaystyle {B={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }\varphi (\theta )U_{\theta }A^{(1)}U_{\theta }^{*}\,d\theta .}}$$

Esta definición se entiende en el sentido de que $${\displaystyle {(Bf,g)={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }\varphi (\theta )(U_{\theta }A^{(1)}U_{\theta }^{*}f,g)\,d\theta }}$$

para cualesquiera f , g en L ² ( C ). De ello se deduce que $${\displaystyle {\|B\|\leq {1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }|\varphi (\theta )|\cdot \|A\|\,d\theta .}}$$

Tomando A como la transformada de Hilbert H en L ² ( R ) o su truncamiento H _ε , se deduce que $${\displaystyle {\begin{aligned}R&={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }e^{-i\theta }U_{\theta }H^{(1)}U_{\theta }^{*}\,d\theta ,\\R_{\varepsilon }&={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }e^{-i\theta }U_{\theta }H_{\varepsilon }^{(1)}U_{\theta }^{*}\,d\theta .\end{aligned}}}$$

Al tomar adjuntos se obtiene una fórmula similar para R* y su truncamiento. Esto proporciona una segunda manera de verificar las estimaciones de las normas de R , R * y sus truncamientos. Además, tiene la ventaja de ser aplicable también a espacios L ^{p .}

Los operadores de Poisson también pueden usarse para demostrar que las transformadas de Riesz superiores truncadas de una función tienden a la transformada de Riesz superior en los puntos de Lebesgue comunes de la función y su transformada. En efecto, ( R ^k T _ε − R ^{( k )} _ε ) f → 0 en cada punto de Lebesgue de f ; mientras que ( R ^k − R ^k T _ε ) f → 0 en cada punto de Lebesgue de R ^k f . ^{[ 21 ]}

Desde

$${\displaystyle {{\overline {z}} \over z}=\left({{\overline {z}} \over |z|}\right)^{2},}$$

La transformada de Beurling T en L² es el operador unitario igual a R² . Esta relación se ha utilizado clásicamente en Vekua (1962) y Ahlfors (1966) para establecer las propiedades de continuidad de ^T en espacios Lp . Los resultados sobre la transformada ^de Riesz y sus potencias muestran que T es el límite en la topología de operadores fuertes de los operadores truncados ^.$${\displaystyle T_{\varepsilon }f(w)=-{\frac {1}{\pi }}\iint _{|z-w|\geq \varepsilon }{\frac {f(z)}{(w-z)^{2}}}dxdy.}$$

En consecuencia, Tf puede escribirse como una integral de valor principal de Cauchy:

$${\displaystyle Tf(w)=-{\frac {1}{\pi }}P.V.\iint {\frac {f(z)}{(w-z)^{2}}}dxdy=-{\frac {1}{\pi }}\lim _{\varepsilon \to 0}\iint _{|z-w|\geq \varepsilon }{\frac {f(z)}{(w-z)^{2}}}dx\,dy.}$$

De la descripción de T y T * en las transformadas de Fourier, se deduce que si f es suave de soporte compacto

$${\displaystyle {\begin{aligned}T(\partial _{z}f)&=\partial _{z}T(f),\\T(\partial _{\overline {z}}f)&=\partial _{\overline {z}}T(f).\end{aligned}}}$$

Al igual que la transformada de Hilbert en una dimensión, la transformada de Beurling tiene compatibilidad con cambios de coordenadas conformes. Sea Ω una región acotada en C con frontera suave ∂Ω y sea φ una aplicación holomorfa univalente del disco unitario D sobre Ω que se extiende a un difeomorfismo suave del círculo sobre ∂Ω. Si χ _Ω es la función característica de Ω, el operador puede χ _Ω Tχ _Ω define un operador T (Ω) en L ² (Ω). A través de la aplicación conforme φ , induce un operador, también denotado T (Ω), en L ² ( D ) que puede compararse con T ( D ). Lo mismo es cierto para las truncaciones T _ε (Ω) y T _ε ( D ).

Sea U _ε el disco | z − w | < ε y V ^ε la región |φ( z ) − φ( w )| < ε . En L ² ( D ) $${\displaystyle {\begin{aligned}T_{\varepsilon }(\Omega )f(w)&=-{\frac {1}{\pi }}\iint _{D\backslash V_{\varepsilon }}\left[{\varphi ^{\prime }(w)\varphi ^{\prime }(z) \over (\varphi (z)-\varphi (w))^{2}}f(z)\right]dx\,dy,\\T_{\varepsilon }(D)f(w)&=-{1 \over \pi }\iint _{D\backslash U_{\varepsilon }}{f(z) \over (z-w)^{2}}\,dx\,dy,\end{aligned}}}$$

y las normas de operador de estos operadores truncados están uniformemente acotadas. Por otro lado, si

$${\displaystyle T_{\varepsilon }^{\prime }(D)f(w)=-{1 \over \pi }\iint _{D\backslash V_{\varepsilon }}{\frac {f(z)}{(z-w)^{2}}}dx\,dy,}$$

Entonces, la diferencia entre este operador y T _ε (Ω) es un operador truncado con núcleo suave K ( w , z ):

$${\displaystyle K(w,z)=-{1 \over \pi }\left[{\varphi '(w)\varphi '(z) \over (\varphi (z)-\varphi (w))^{2}}-{1 \over (z-w)^{2}}\right].}$$

Por lo tanto, los operadores T′ _ε ( D ) también deben tener normas de operador uniformemente acotadas. Para ver que su diferencia tiende a 0 en la topología de operador fuerte, basta con comprobar esto para f suave de soporte compacto en D . Por el teorema de Green ^{[ 22 ]}

$${\displaystyle \left(T_{\varepsilon }(D)-T_{\varepsilon }^{\prime }(D)\right)f(w)={\frac {1}{\pi }}\iint _{U_{\varepsilon }}{\partial _{z}f(z) \over z-w}dx\,dy-{1 \over \pi }\iint _{V_{\varepsilon }}{\partial _{z}f(z) \over z-w}dx\,dy+{1 \over 2\pi i}\int _{\partial U_{\varepsilon }}{\frac {f(z)}{z-w}}d{\overline {z}}-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial V_{\varepsilon }}{f(z) \over z-w}\,d{\overline {z}}.}$$

Los cuatro términos del lado derecho tienden a 0. Por lo tanto, la diferencia T ( Ω) − T ( D ) es el operador de Hilbert-Schmidt con núcleo K.

Para la convergencia puntual existe un argumento simple debido a Mateu y Verdera (2006) que muestra que las integrales truncadas convergen a Tf precisamente en sus puntos de Lebesgue, es decir, casi en todas partes. ^{[ 23 ]} De hecho, T tiene la siguiente propiedad de simetría para f , g ∈ L ² ( C )

$${\displaystyle \iint (Tf)g=-{1 \over \pi }\lim \int _{|z-w|\geq \varepsilon }{\frac {f(w)g(z)}{(w-z)^{2}}}=\iint f(Tg).}$$

Por otro lado, si χ es la función característica del disco D ( z ,ε) con centro z y radio ε , entonces

$${\displaystyle T\chi (w)=-\varepsilon ^{2}{\frac {1-\chi (w)}{(w-z)^{2}}}.}$$

Por eso $${\displaystyle T_{\varepsilon }(f)(z)={1 \over \pi \varepsilon ^{2}}\iint f(T\chi )={1 \over \pi \varepsilon ^{2}}\iint (Tf)\chi =\mathbf {Av} _{D(z,\varepsilon )}\,Tf.}$$

Según el teorema de diferenciación de Lebesgue , el lado derecho converge a Tf en los puntos de Lebesgue de Tf .

Para f en el espacio de Schwartz de R ⁿ , la j -ésima transformada de Riesz se define por

$${\displaystyle R_{j}f(x)=c_{n}\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{|y|\geq \varepsilon }f(x-y){y_{j} \over |y|^{n+1}}dy={\frac {c_{n}}{n-1}}\int \partial _{j}f(x-y){1 \over |y|^{n-1}}dy,}$$

dónde $${\displaystyle c_{n}=\Gamma \left({\tfrac {n+1}{2}}\right)\pi ^{-{\frac {n+1}{2}}}.}$$

Bajo la transformada de Fourier:

$${\displaystyle {\widehat {R_{j}f}}(t)={it_{j} \over |t|}{\widehat {f}}(t).}$$

Así, R _j corresponde al operador ∂ _j Δ ^−1/2 , donde Δ = −∂ ₁ ² − ⋯ −∂ _n ² denota el laplaciano en R ⁿ . Por definición, R _j es un operador acotado y antisimétrico adjunto para la norma L ^{2 y}

$${\displaystyle R_{1}^{2}+\cdots +R_{n}^{2}=-I.}$$

Los operadores truncados correspondientes $${\displaystyle R_{j,\varepsilon }f(x)=c_{n}\int _{|y|\geq \varepsilon }f(x-y){y_{j} \over |y|^{n+1}}dy}$$ están uniformemente acotados en la norma del operador. Esto puede probarse directamente o establecerse mediante el método de rotaciones _de Calderón-Zygmund para el grupo SO( n ). ^{[ 24 ]} Esto expresa los operadores Rj y sus truncamientos en términos de las transformadas de Hilbert en una dimensión y sus truncamientos. De hecho, si G = SO( n ) con medida de Haar normalizada y H ⁽¹⁾ es la transformada de Hilbert en la primera coordenada, entonces

$${\displaystyle {\begin{aligned}R_{j}&=\int _{G}\varphi (g)gH^{(1)}g^{-1}\,dg,\\R_{j,\varepsilon }&=\int _{G}\varphi (g)gH_{\varepsilon }^{(1)}g^{-1}\,dg,\\R_{j,\varepsilon ,R}&=\int _{G}\varphi (g)gH_{\varepsilon ,R}^{(1)}g^{-1}\,dg.\end{aligned}}}$$

donde φ ( g ) es el coeficiente matricial (1, j ) de g .

En particular, para f ∈ L ² , R _{j ,ε} f → R _j f en L ² . Además, R _{j ,ε} f tiende a R _j casi en todas partes. Esto se puede demostrar exactamente como para la transformada de Hilbert usando los operadores de Poisson definidos en L ² ( R ⁿ ) cuando R ⁿ se considera como el límite de un semiplano en R ^{n +1} . Alternativamente, se puede demostrar directamente a partir del resultado para la transformada de Hilbert en R usando la expresión de R _j como una integral sobre G . ^{[ 25 ] [ 26 ]}

Los operadores de Poisson T _y en R ⁿ se definen para y > 0 por ^{[ 27 ].}

$${\displaystyle T_{y}f(x)=c_{n}\int _{\mathbf {R} ^{n}}{\frac {yf(x)}{\left(|x-t|^{2}+y^{2}\right)^{\frac {n+1}{2}}}}dt.}$$

Se obtienen mediante convolución con las funciones $${\displaystyle P_{y}(x)=c_{n}{\frac {y}{\left(|x|^{2}+y^{2}\right)^{\frac {n+1}{2}}}}.}$$

P _y es la transformada de Fourier de la función e ^{− y | x |} , por lo que bajo la transformada de Fourier corresponden a la multiplicación por estas funciones y forman un semigrupo de contracción en L ² ( R ⁿ ). Dado que P _y es positivo e integrable con integral 1, los operadores T _y también definen un semigrupo de contracción en cada espacio L ^p con 1 < p < ∞.

Las transformadas de Riesz del núcleo de Poisson se pueden calcular.

$${\displaystyle R_{j}P_{\varepsilon }(x)=c_{n}{\frac {x_{j}}{\left(|x|^{2}+\varepsilon ^{2}\right)^{\frac {n+1}{2}}}}.}$$

El operador R _j T _ε se obtiene mediante convolución con esta función. Se puede comprobar directamente que los operadores R _j T _ε − R _{j , ε} se obtienen mediante convolución con funciones uniformemente acotadas en norma L ^1. Por lo tanto, la norma del operador de la diferencia está uniformemente acotada. Tenemos ( R _j T _ε − R _{j , ε} ) f → 0 en cada punto de Lebesgue de f ; mientras que ( R _j − R _j T _ε ) f → 0 en cada punto de Lebesgue de R _j f . Así pues , R _{j , ε} f → R _j f en los puntos de Lebesgue comunes de f y R _j f .

El teorema de Marcel Riesz afirma que los operadores integrales singulares que son continuos para la norma L ² también son continuos en la norma L ^p para 1 < p < ∞ y que las normas de los operadores varían continuamente con p .

Las demostraciones de convergencia puntual para las transformadas de Hilbert y Riesz se basan en el teorema de diferenciación de Lebesgue , que puede probarse utilizando la función maximal de Hardy-Littlewood . ^{[ 31 ]} Las técnicas para el caso más simple y conocido, a saber, la transformada de Hilbert en el círculo, constituyen un prototipo para todas las demás transformadas. Este caso se explica en detalle aquí.

Sea f una función en L ^p ( T ) para p > 1. El teorema de diferenciación de Lebesgue establece que

$${\displaystyle {A(\varepsilon )={1 \over 2\varepsilon }\int _{x-\varepsilon }^{x+\varepsilon }|f(t)-f(x)|\,dt\to 0}}$$

para casi todo x en T . ^{[ 32 ] [ 33 ] [ 34 ]} Los puntos en los que esto se cumple se llaman puntos de Lebesgue de f . Usando este teorema se sigue que si f es una función integrable en el círculo, la integral de Poisson T _r f tiende puntualmente a f en cada punto de Lebesgue de f . De hecho, para x fijo, A ( ε ) es una función continua en [ 0, π ] . La continuidad en 0 se sigue porque x es un punto de Lebesgue y en otros lugares porque, si h es una función integrable, la integral de |h| en intervalos de longitud decreciente tiende a 0 por la desigualdad de Hölder .

Si hacemos r = 1 − ε , la diferencia se puede estimar mediante dos integrales:

$${\displaystyle 2\pi |T_{r}f(x)-f(x)|=\int _{0}^{2\pi }|(f(x-y)-f(x))P_{r}(y)|\,dy\leq \int _{|y|\leq \varepsilon }+\int _{|y|\geq \varepsilon }.}$$

El núcleo de Poisson tiene dos propiedades importantes para ε pequeño.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sup _{y\in [-\varepsilon ,\varepsilon ]}|P_{1-\varepsilon }(y)|&\leq \varepsilon ^{-1}.\\\sup _{y\notin (-\varepsilon ,\varepsilon )}|P_{1-\varepsilon }(y)|&\to 0.\end{aligned}}}$$

La primera integral está acotada por A ( ε ) por la primera desigualdad, por lo que tiende a cero cuando ε tiende a 0; la segunda integral tiende a 0 por la segunda desigualdad.

El mismo razonamiento puede usarse para demostrar que T _{1 − ε} Hf – H _ε f tiende a cero en cada punto de Lebesgue de f . ^{[ 35 ]} De hecho, el operador T _{1 − ε} Hf tiene núcleo Q _r + i , donde el núcleo de Poisson conjugado Q _r se define por $${\displaystyle {Q_{r}(\theta )={2r\sin \theta \over 1-2r\cos \theta +r^{2}}.}}$$

Por eso $${\displaystyle {2\pi |T_{1-\varepsilon }Hf(x)-H_{\varepsilon }f(x)|\leq \int _{|y|\leq \varepsilon }|f(x-y)-f(x)|\cdot |Q_{r}(y)|\,dy+\int _{|y|\geq \varepsilon }|f(x-y)-f(x)|\cdot |Q_{1}(y)-Q_{r}(y)|\,dy.}}$$

El núcleo de Poisson conjugado tiene dos propiedades importantes para ε pequeño. $${\displaystyle {\begin{aligned}\sup _{y\in [-\varepsilon ,\varepsilon ]}|Q_{1-\varepsilon }(y)|&\leq \varepsilon ^{-1}.\\\sup _{y\notin (-\varepsilon ,\varepsilon )}|Q_{1}(y)-Q_{1-\varepsilon }(y)|&\to 0.\end{aligned}}}$$

El mismo razonamiento anterior demuestra que las dos integrales tienden a 0 cuando ε → 0.

Combinando estas dos fórmulas límite se deduce que H _ε f tiende puntualmente a Hf en los puntos de Lebesgue comunes de f y Hf y, por lo tanto, casi en todas partes. ^{[ 36 ] [ 37 ] [ 38 ]}

Gran parte de la teoría L ^p se ha desarrollado utilizando funciones máximas y transformadas máximas. Este enfoque tiene la ventaja de que también se extiende a espacios L ¹ en un sentido "débil" apropiado y proporciona estimaciones refinadas en espacios L ^p para p > 1. Estas estimaciones más finas forman una parte importante de las técnicas involucradas en la solución de Lennart Carleson en 1966 a la conjetura de Lusin de que la serie de Fourier de funciones L ² converge casi en todas partes. ^{[ 39 ]} En las formas más rudimentarias de este enfoque, la teoría L ² tiene menor precedencia: en cambio, hay más énfasis en la teoría L ¹ , en particular en sus aspectos probabilísticos y de teoría de la medida; los resultados para otros espacios L ^p se deducen mediante una forma de interpolación entre espacios L ¹ y L ^∞ . El enfoque se describe en numerosos libros de texto, incluidos los clásicos Zygmund (1977) y Katznelson (1968) . Aquí se sigue el método de Katznelson para el caso particular de la transformada de Hilbert de funciones en L ¹ ( T ), caso no cubierto por el desarrollo anterior. La demostración de convexidad de F. Riesz , establecida originalmente por Hardy , se demuestra directamente sin recurrir a la interpolación de Riesz-Thorin . ^{[ 40 ] [ 41 ]}

Si f es una función L ¹ en el círculo, su función máxima se define por ^{[ 42 ].}

$${\displaystyle {f^{*}(t)=\sup _{0<h\leq \pi }{1 \over 2h}\int _{t-h}^{t+h}|f(s)|\,ds.}}$$