Pierre-Simon Laplace

Sir Isaac Newton publicó su Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica en 1687, donde derivó las leyes de Kepler , que describen el movimiento de los planetas, a partir de sus leyes del movimiento y su ley de gravitación universal . Sin embargo, aunque Newton desarrolló en privado los métodos del cálculo, toda su obra publicada empleaba un razonamiento geométrico engorroso, inadecuado para explicar los efectos de orden superior más sutiles de las interacciones entre los planetas. El propio Newton había dudado de la posibilidad de una solución matemática para el conjunto, llegando incluso a concluir que la intervención divina periódica era necesaria para garantizar la estabilidad del Sistema Solar. Rechazar la hipótesis de la intervención divina sería una actividad fundamental en la vida científica de Laplace. ^{[ 24 ]} Actualmente se considera que los métodos de Laplace, si bien fueron vitales para el desarrollo de la teoría, no son suficientemente precisos para demostrar la estabilidad del Sistema Solar ; hoy en día se entiende que el Sistema Solar es generalmente caótico a escalas finas, aunque actualmente es bastante estable a escala gruesa. ^{[ 25 ] : 83, 93}

Un problema particular de la astronomía observacional fue la aparente inestabilidad por la cual la órbita de Júpiter parecía contraerse mientras que la de Saturno se expandía. Leonhard Euler abordó el problema en 1748 y Joseph Louis Lagrange en 1763, pero sin éxito. ^{[ 26 ]} En 1776, Laplace publicó una memoria en la que exploró por primera vez las posibles influencias de un supuesto éter luminífero o de una ley de gravitación que no actuaba instantáneamente. Finalmente, volvió a una inversión intelectual en la gravedad newtoniana. ^{[ 27 ]} Euler y Lagrange habían hecho una aproximación práctica al ignorar términos pequeños en las ecuaciones de movimiento. Laplace observó que, aunque los términos en sí mismos eran pequeños, cuando se integraban a lo largo del tiempo podían volverse importantes. Laplace extendió su análisis a los términos de orden superior, hasta el cúbico inclusive . Utilizando este análisis más exacto, Laplace concluyó que cualquier par de planetas y el Sol debían estar en equilibrio mutuo y, por lo tanto, inició su trabajo sobre la estabilidad del Sistema Solar. ^{[ 28 ]} Gerald James Whitrow describió el logro como "el avance más importante en la astronomía física desde Newton". ^{[ 24 ]}

Laplace poseía un amplio conocimiento de todas las ciencias y dominaba todas las discusiones en la Academia . ^{[ 29 ]} Laplace parece haber considerado el análisis simplemente como un medio para abordar problemas físicos, aunque la habilidad con la que inventó el análisis necesario es casi fenomenal. Mientras sus resultados fueran verdaderos, no se molestaba en explicar los pasos que lo llevaban a ellos; nunca estudió la elegancia ni la simetría en sus procesos, y le bastaba con poder resolver, de cualquier manera, la cuestión particular que estaba discutiendo. ^{[ 13 ]}

Mientras que Newton explicó las mareas describiendo las fuerzas que las generan y Bernoulli describió la reacción estática de las aguas terrestres al potencial mareal, la teoría dinámica de las mareas , desarrollada por Laplace en 1775, ^{[ 30 ]} describe la reacción real del océano a las fuerzas mareales . ^{[ 31 ]} La teoría de las mareas oceánicas de Laplace tuvo en cuenta la fricción , la resonancia y los períodos naturales de las cuencas oceánicas. Predijo los grandes sistemas anfidrómicos en las cuencas oceánicas del mundo y explica las mareas oceánicas que se observan en la realidad. ^{[ 32 ] [ 33 ]}

La teoría del equilibrio, basada en el gradiente gravitacional del Sol y la Luna pero ignorando la rotación de la Tierra, los efectos de los continentes y otros efectos importantes, no pudo explicar las mareas oceánicas reales. ^{[ 34 ] [ 35 ] [ 36 ] [ 32 ] [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ] [ 41 ]}

Dado que las mediciones han confirmado la teoría, muchas cosas ahora tienen posibles explicaciones, como la forma en que las mareas interactúan con las dorsales oceánicas profundas y las cadenas de montes submarinos dan lugar a remolinos profundos que transportan nutrientes desde las profundidades hasta la superficie. ^{[ 42 ]} La teoría de la marea de equilibrio calcula la altura de la ola de marea en menos de medio metro, mientras que la teoría dinámica explica por qué las mareas alcanzan hasta 15 metros. ^{[ 43 ]} Las observaciones satelitales confirman la precisión de la teoría dinámica, y las mareas en todo el mundo ahora se miden con una precisión de pocos centímetros. ^{[ 44 ] [ 45 ]} Las mediciones del satélite CHAMP coinciden estrechamente con los modelos basados ​​en los datos TOPEX . ^{[ 46 ] [ 47 ]} Los modelos precisos de mareas en todo el mundo son esenciales para la investigación, ya que las variaciones debidas a las mareas deben eliminarse de las mediciones al calcular la gravedad y los cambios en los niveles del mar. ^{[ 48 ]}

En 1776, Laplace formuló un conjunto único de ecuaciones diferenciales parciales lineales para el flujo de marea, descrito como un flujo laminar bidimensional barotrópico . Se introducen los efectos de Coriolis , así como la fuerza lateral debida a la gravedad. Laplace obtuvo estas ecuaciones simplificando las ecuaciones de la dinámica de fluidos . Sin embargo, también pueden derivarse de integrales de energía mediante la ecuación de Lagrange .

Para una lámina fluida de espesor medio D , la elevación de marea vertical ζ , así como las componentes de velocidad horizontal u y v (en las direcciones de latitud φ y longitud λ , respectivamente) satisfacen las ecuaciones de marea de Laplace : ^{[ 49 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \zeta }{\partial t}}&+{\frac {1}{a\cos(\varphi )}}\left[{\frac {\partial }{\partial \lambda }}(uD)+{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\left(vD\cos(\varphi )\right)\right]=0,\\[2ex]{\frac {\partial u}{\partial t}}&-v\left(2\Omega \sin(\varphi )\right)+{\frac {1}{a\cos(\varphi )}}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\left(g\zeta +U\right)=0\qquad {\text{y}}\\[2ex]{\frac {\partial v}{\partial t}}&+u\left(2\Omega \sin(\varphi )\right)+{\frac {1}{a}}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\left(g\zeta +U\right)=0,\end{aligned}}}$

donde Ω es la frecuencia angular de la rotación del planeta, g es la aceleración gravitacional del planeta en la superficie media del océano, a es el radio planetario y U es el potencial de fuerza de marea gravitacional externa .

William Thomson (Lord Kelvin) reescribió los términos de momento de Laplace utilizando el rotacional para hallar una ecuación para la vorticidad . Bajo ciertas condiciones, esta ecuación puede reescribirse como una conservación de la vorticidad.

En 1783, en un artículo enviado a la Academia , Adrien-Marie Legendre introdujo lo que ahora se conoce como funciones de Legendre asociadas . ^{[ 13 ]} Si dos puntos en un plano tienen coordenadas polares ( r , θ) y ( r ' , θ'), donde r ' ≥ r , entonces, mediante manipulación elemental, el recíproco de la distancia entre los puntos, d , se puede escribir como:

${\displaystyle {\frac {1}{d}}={\frac {1}{r'}}\left[1-2\cos(\theta '-\theta ){\frac {r}{r'}}+\left({\frac {r}{r'}}\right)^{2}\right]^{-{\tfrac {1}{2}}}.}$

Esta expresión se puede expandir en potencias de r / r ' utilizando el teorema binomio generalizado de Newton para obtener:

${\displaystyle {\frac {1}{d}}={\frac {1}{r'}}\sum _{k=0}^{\infty }P_{k}^{0}(\cos(\theta '-\theta ))\left({\frac {r}{r'}}\right)^{k}.}$

La secuencia de funciones P ⁰ _k (cos φ) es el conjunto de las llamadas "funciones de Legendre asociadas" y su utilidad surge del hecho de que toda función de los puntos en un círculo puede expandirse como una serie de ellas. ^{[ 13 ]}

Laplace, sin apenas reconocer el mérito de Legendre, extendió el resultado a tres dimensiones , una extensión no trivial , para obtener un conjunto más general de funciones: los armónicos esféricos o coeficientes de Laplace . Este último término ya no se usa comúnmente. ^{[ 13 ] : p. 340 y ss.}

Este artículo también destaca por el desarrollo de la idea del potencial escalar . ^{[ 13 ]} La fuerza gravitatoria que actúa sobre un cuerpo es, en lenguaje moderno, un vector , que tiene magnitud y dirección. Una función potencial es una función escalar que define cómo se comportarán los vectores. Una función escalar es computacional y conceptualmente más fácil de manejar que una función vectorial.

Alexis Clairaut sugirió la idea por primera vez en 1743 mientras trabajaba en un problema similar, aunque utilizaba un razonamiento geométrico de tipo newtoniano. Laplace describió el trabajo de Clairaut como perteneciente a la categoría de las producciones matemáticas más bellas. ^{[ 50 ]} Sin embargo, Rouse Ball alega que la idea «fue apropiada de Joseph Louis Lagrange , quien la había utilizado en sus memorias de 1773, 1777 y 1780». ^{[ 13 ]} El término «potencial» en sí se debe a Daniel Bernoulli , quien lo introdujo en su memoria Hydrodynamica de 1738. Sin embargo, según Rouse Ball, el término «función potencial» no se utilizó realmente (para referirse a una función V de las coordenadas del espacio en el sentido de Laplace) hasta la publicación de An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism de George Green en 1828. ^{[ 51 ] [ 52 ]}

Laplace aplicó el lenguaje del cálculo a la función potencial y demostró que siempre satisface la ecuación diferencial : ^{[ 13 ]}

${\displaystyle \nabla ^{2}V={\partial ^{2}V \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}V \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}V \over \partial z^{2}}=0.}$

Un resultado análogo para el potencial de velocidad de un fluido había sido obtenido algunos años antes por Leonhard Euler . ^{[ 53 ] [ 54 ]}

El trabajo posterior de Laplace sobre la atracción gravitatoria se basó en este resultado. La cantidad ∇²V ^se ha denominado concentración de V y su valor en cualquier punto indica el "exceso" del valor de V en ese punto con respecto a su valor medio en la vecindad del mismo. ^{[ 55 ]} La ecuación de Laplace , un caso especial de la ecuación de Poisson , aparece de forma ubicua en la física matemática. El concepto de potencial se da en la dinámica de fluidos , el electromagnetismo y otras áreas. Rouse Ball especuló que podría considerarse como "el signo externo" de una de las formas a priori en la teoría de la percepción de Kant . ^{[ 13 ]}

Los armónicos esféricos resultan fundamentales para la resolución práctica de la ecuación de Laplace. Esta ecuación, expresada en coordenadas esféricas , como las que se utilizan para representar el cielo, puede simplificarse mediante la separación de variables en una parte radial, que depende únicamente de la distancia al centro, y una parte angular o esférica. La solución de la parte esférica de la ecuación puede expresarse como una serie de armónicos esféricos de Laplace, lo que simplifica los cálculos prácticos.

Laplace presentó una memoria sobre las desigualdades planetarias en tres secciones, en 1784, 1785 y 1786. Esta se centró principalmente en la identificación y explicación de las perturbaciones ahora conocidas como la "gran desigualdad Júpiter-Saturno". Laplace resolvió un problema de larga data en el estudio y la predicción de los movimientos de estos planetas. Demostró, mediante consideraciones generales, primero, que la interacción mutua de dos planetas nunca podría causar grandes cambios en las excentricidades e inclinaciones de sus órbitas; pero luego, aún más importante, que surgían peculiaridades en el sistema Júpiter-Saturno debido a la casi conmensurabilidad de los movimientos medios de Júpiter y Saturno. ^{[ 6 ] [ 56 ]}

En este contexto, la conmensurabilidad significa que la razón entre los movimientos medios de los dos planetas es casi igual a la razón entre un par de números enteros pequeños. Dos períodos de la órbita de Saturno alrededor del Sol son casi iguales a cinco de la de Júpiter. La diferencia correspondiente entre múltiplos de los movimientos medios, (2 n _J − 5 n _S ) , corresponde a un período de casi 900  años, y aparece como un pequeño divisor en la integración de una fuerza perturbadora muy pequeña con este mismo período. Como resultado, las perturbaciones integradas con este período son desproporcionadamente grandes, aproximadamente 0,8° grados de arco en longitud orbital para Saturno y aproximadamente 0,3° para Júpiter.

En sus dos memorias de 1788 y 1789 se presentaron desarrollos adicionales de estos teoremas sobre el movimiento planetario, pero con la ayuda de los descubrimientos de Laplace, las tablas de los movimientos de Júpiter y Saturno pudieron finalmente ser mucho más precisas. Fue sobre la base de la teoría de Laplace que Delambre calculó sus tablas astronómicas. ^{[ 13 ]}

Laplace se propuso entonces escribir una obra que ofreciera una solución completa al gran problema mecánico que planteaba el Sistema Solar y lograra que la teoría coincidiera tan estrechamente con la observación que las ecuaciones empíricas ya no tuvieran cabida en las tablas astronómicas. ^{[ 6 ]} El resultado se plasma en la Exposición del Sistema del Mundo y la Mecánica Celeste . ^{[ 13 ]}

La primera se publicó en 1796 y ofrece una explicación general de los fenómenos, pero omite todos los detalles. Contiene un resumen de la historia de la astronomía. Este resumen le valió a su autor el honor de ser admitido en la Academia Francesa y es considerado comúnmente una de las obras maestras de la literatura francesa, aunque no es del todo fiable para los períodos posteriores que trata. ^{[ 13 ]}

Laplace desarrolló la hipótesis nebular de la formación del Sistema Solar, propuesta inicialmente por Emanuel Swedenborg y ampliada por Immanuel Kant . Esta hipótesis sigue siendo el modelo más aceptado en el estudio del origen de los sistemas planetarios. Según la descripción de Laplace, el Sistema Solar evolucionó a partir de una masa globular de gas incandescente que giraba alrededor de un eje que pasaba por su centro de masa . Al enfriarse, esta masa se contrajo y se desprendieron sucesivos anillos de su borde exterior. Estos anillos, a su vez, se enfriaron y finalmente se condensaron en los planetas, mientras que el Sol representaba el núcleo central restante. Según esta visión, Laplace predijo que los planetas más distantes serían más antiguos que los más cercanos al Sol. ^{[ 13 ] [ 57 ]}

Como ya se mencionó, la idea de la hipótesis nebular fue esbozada por Immanuel Kant en 1755, ^{[ 57 ]} quien también sugirió las "agregaciones meteóricas" y la fricción de las mareas como causas que influyeron en la formación del Sistema Solar. Probablemente Laplace estaba al tanto de esto, pero, como muchos escritores de su época, generalmente no citaba el trabajo de otros. ^{[ 8 ]}

El análisis de Laplace sobre el Sistema Solar se presenta en su obra Mécanique céleste, publicada en cinco volúmenes. Los dos primeros, publicados en 1799, contienen métodos para calcular los movimientos de los planetas, determinar sus figuras y resolver problemas de mareas. ^{[ 6 ]} El tercer y cuarto volumen, publicados en 1802 y 1805, contienen aplicaciones de estos métodos y varias tablas astronómicas. El quinto volumen, publicado en 1825, es principalmente histórico, pero incluye como apéndices los resultados de las últimas investigaciones de Laplace. Mécanique céleste contiene numerosas investigaciones propias de Laplace, pero muchos resultados se apropian de otros autores con escaso o nulo reconocimiento. Las conclusiones del volumen, descritas por los historiadores como el resultado organizado de un siglo de trabajo de otros autores además del de Laplace, son presentadas por este como si fueran exclusivamente suyas. ^{[ 13 ]}

Jean-Baptiste Biot , quien ayudó a Laplace a revisarlo para la imprenta, dice que el propio Laplace a menudo no podía recuperar los detalles en la cadena de razonamiento y, si estaba satisfecho de que las conclusiones eran correctas, se contentaba con insertar la frase, " Il est aisé à voir que... " ("Es fácil ver que..."). La Mécanique céleste no es solo la traducción de los Principia Mathematica de Newton al lenguaje del cálculo diferencial , sino que completa partes de las que Newton no había podido completar los detalles. La obra fue continuada de forma más refinada en el Traité de mécanique céleste de Félix Tisserand (1889-1896), pero el tratado de Laplace sigue siendo una autoridad estándar. ^{[ 13 ]} En los años 1784-1787, Laplace produjo algunas memorias de excepcional poder. Entre estos trabajos, el más significativo fue uno publicado en 1784 y reimpreso en el tercer volumen de la Mécanique céleste . En esta obra, determinó completamente la atracción de un esferoide sobre una partícula externa. Este trabajo es conocido por introducir en el análisis el concepto de potencial, un útil concepto matemático de amplia aplicabilidad a las ciencias físicas.

Utilizando la teoría corpuscular, Laplace también estuvo cerca de proponer el concepto de agujero negro . Sugirió que la gravedad podía influir en la luz y que podría haber estrellas masivas cuya gravedad fuera tan grande que ni siquiera la luz podría escapar de su superficie (véase velocidad de escape ). ^{[ 61 ] [ 1 ] [ 62 ] [ 63 ]} Sin embargo, esta idea estaba tan adelantada a su tiempo que no tuvo ninguna repercusión en la historia del desarrollo científico. ^{[ 64 ]}

En su Ensayo filosófico sobre las probabilidades (1814), Laplace expuso un sistema matemático de razonamiento inductivo basado en la probabilidad , que hoy reconoceríamos como bayesiano . Comienza el texto con una serie de principios de probabilidad, siendo los siete primeros:

1. La probabilidad es la relación entre los "eventos favorecidos" y el total de eventos posibles.
2. El primer principio presupone que todos los eventos tienen la misma probabilidad. Cuando esto no se cumple, primero debemos determinar la probabilidad de cada evento. Entonces, la probabilidad es la suma de las probabilidades de todos los eventos favorables posibles.
3. Para eventos independientes, la probabilidad de que ocurran todos es igual a la probabilidad de que ocurra cada uno por separado.
4. Cuando dos eventos A y B dependen el uno del otro, la probabilidad de un evento compuesto es la probabilidad de A multiplicada por la probabilidad de que, dado A , ocurra B.
5. La probabilidad de que ocurra A , dado que ha ocurrido B, es la probabilidad de que ocurran A y B dividida por la probabilidad de que ocurra B. 
6. Se dan tres corolarios para el sexto principio, que equivalen a la regla bayesiana. Donde el evento A _i ∈ { A ₁ , A ₂ , ... A _n } agota la lista de posibles causas para el evento B , Pr( B ) = Pr( A ₁ , A ₂ , ..., A _n ) . Entonces${\displaystyle \Pr(A_{i}\mid B)=\Pr(A_{i}){\frac {\Pr(B\mid A_{i})}{\sum _{j}\Pr(A_{j})\Pr(B\mid A_{j})}}.}$
7. La probabilidad de un evento futuro C es la suma de los productos de la probabilidad de cada causa B _i extraída del evento observado A , por la probabilidad de que, existiendo esta causa, ocurra el evento futuro. Simbólicamente,${\displaystyle \Pr(C|A)=\sum _{i}\Pr(C|B_{i})\Pr(B_{i}|A).}$

Una fórmula bien conocida derivada de su sistema es la regla de sucesión , que se presenta como el séptimo principio. Supongamos que un ensayo tiene solo dos resultados posibles: "éxito" y "fracaso". Bajo el supuesto de que se sabe poco o nada a priori sobre la verosimilitud relativa de los resultados, Laplace derivó una fórmula para la probabilidad de que el siguiente ensayo sea un éxito.

${\displaystyle \Pr({\text{el siguiente resultado es éxito}})={\frac {s+1}{n+2}}}$

donde s es el número de éxitos observados previamente y n es el número total de ensayos observados. Se sigue utilizando como estimador de la probabilidad de un evento si conocemos el espacio de eventos, pero solo disponemos de un número reducido de muestras.

La regla de sucesión ha sido objeto de muchas críticas, en parte debido al ejemplo que Laplace eligió para ilustrarla. Calculó que la probabilidad de que el sol salga mañana, dado que nunca ha fallado en el pasado, era

${\displaystyle \Pr({\text{el sol saldrá mañana}})={\frac {d+1}{d+2}}}$

donde d es el número de veces que el sol ha salido en el pasado. Este resultado ha sido ridiculizado como absurdo, y algunos autores han concluido que todas las aplicaciones de la Regla de Sucesión son absurdas por extensión. Sin embargo, Laplace era plenamente consciente de lo absurdo del resultado; inmediatamente después del ejemplo, escribió: «Pero este número [es decir, la probabilidad de que el sol salga mañana] es mucho mayor para aquel que, viendo en la totalidad de los fenómenos el principio que regula los días y las estaciones, se da cuenta de que nada en el momento presente puede detener su curso». ^{[ 69 ]}

El método para estimar la razón entre el número de casos favorables y el número total de casos posibles ya había sido indicado por Laplace en un artículo escrito en 1779. Consiste en tratar los valores sucesivos de cualquier función como los coeficientes de la expansión de otra función, con respecto a una variable diferente. ^{[ 6 ]} Esta última se denomina, por lo tanto, función generadora de probabilidad de la primera. ^{[ 6 ]} Laplace muestra entonces cómo, mediante interpolación , se pueden determinar estos coeficientes a partir de la función generadora. A continuación, aborda el problema inverso y, a partir de los coeficientes, halla la función generadora; esto se logra mediante la solución de una ecuación de diferencias finitas . ^{[ 13 ]}

El cuarto capítulo de este tratado incluye una exposición del método de mínimos cuadrados , un testimonio notable del dominio de Laplace sobre los procesos de análisis. En 1805, Legendre había publicado el método de mínimos cuadrados, sin intentar vincularlo con la teoría de la probabilidad. En 1809, Gauss había derivado la distribución normal a partir del principio de que la media aritmética de las observaciones proporciona el valor más probable para la magnitud medida; luego, invirtiendo este argumento, demostró que, si los errores de observación se distribuyen normalmente, las estimaciones de mínimos cuadrados proporcionan los valores más probables para los coeficientes en situaciones de regresión. Estas dos obras parecen haber impulsado a Laplace a completar el trabajo que había contemplado ya en 1783 para un tratado sobre probabilidad. ^{[ 67 ]}

En dos artículos importantes de 1810 y 1811, Laplace desarrolló por primera vez la función característica como una herramienta para la teoría de muestras grandes y demostró el primer teorema general del límite central . Luego, en un suplemento a su artículo de 1810 escrito después de haber visto el trabajo de Gauss, mostró que el teorema del límite central proporcionaba una justificación bayesiana para los mínimos cuadrados: si se combinaban observaciones, cada una de las cuales era a su vez la media de un gran número de observaciones independientes, entonces las estimaciones de mínimos cuadrados no solo maximizarían la función de verosimilitud, considerada como una distribución posterior, sino que también minimizarían el error posterior esperado, todo esto sin ninguna suposición sobre la distribución del error o una apelación circular al principio de la media aritmética. ^{[ 67 ]} En 1811, Laplace adoptó un enfoque diferente no bayesiano. Considerando un problema de regresión lineal, restringió su atención a estimadores lineales insesgados de los coeficientes lineales. Tras demostrar que los miembros de esta clase se distribuían aproximadamente de forma normal si el número de observaciones era grande, argumentó que los mínimos cuadrados proporcionaban los "mejores" estimadores lineales. En este caso, son "mejores" en el sentido de que minimizaban la varianza asintótica y, por lo tanto, minimizaban el valor absoluto esperado del error y maximizaban la probabilidad de que la estimación se encontrara en cualquier intervalo simétrico alrededor del coeficiente desconocido, independientemente de la distribución del error. Su derivación incluía la distribución límite conjunta de los estimadores de mínimos cuadrados de dos parámetros. ^{[ 67 ]}

Entre los demás descubrimientos de Laplace en matemáticas puras y aplicadas se encuentran:

• Discusión, contemporáneamente con Alexandre-Théophile Vandermonde , de la teoría general de los determinantes , (1772); ^{[ 13 ]}
• Prueba de que toda ecuación de grado impar debe tener al menos un factor cuadrático real ; ^{[ 13 ]}
• Método de Laplace para aproximar integrales
• Solución de la ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden; ^{[ 13 ]}
• Fue el primero en considerar los problemas difíciles que implican las ecuaciones de diferencias mixtas y en demostrar que la solución de una ecuación en diferencias finitas de primer grado y de segundo orden siempre se puede obtener en forma de fracción continua ; ^{[ 6 ] [ 13 ]}
• En su teoría de las probabilidades:
  • Teorema de De Moivre-Laplace que aproxima la distribución binomial con una distribución normal.
  • Evaluación de varias integrales definidas comunes ; ^{[ 13 ]}
  • Demostración general del teorema de reversión de Lagrange . ^{[ 13 ]}

Laplace se basó en el trabajo cualitativo del polímata inglés Thomas Young para desarrollar la teoría de la acción capilar y la ecuación de Young-Laplace .

Laplace, en 1816, fue el primero en señalar que la velocidad del sonido en el aire depende de la relación de capacidad calorífica . La teoría original de Newton arrojó un valor demasiado bajo, ya que no tiene en cuenta la compresión adiabática del aire, que produce un aumento local de la temperatura y la presión . Las investigaciones de Laplace en física práctica se limitaron a las realizadas conjuntamente con Lavoisier entre 1782 y 1784 sobre el calor específico de diversos cuerpos. ^{[ 13 ]}

En sus primeros años, Laplace tuvo cuidado de no involucrarse nunca en política, ni en la vida fuera de la Academia de Ciencias . Se retiró prudentemente de París durante la parte más violenta de la Revolución. ^{[ 76 ]}

En noviembre de 1799, inmediatamente después de tomar el poder en el golpe de Estado del 18 de Brumario , Napoleón nombró a Laplace Ministro del Interior . ^{[ 6 ]} Sin embargo, el nombramiento duró solo seis semanas, después de las cuales Lucien Bonaparte , hermano de Napoleón, fue nombrado Ministro. ^{[ 6 ]} Evidentemente, una vez que Napoleón se afianzó en el poder, no había necesidad de un científico prestigioso pero inexperto en el gobierno. ^{[ 77 ]} Más tarde, Napoleón (en sus Memorias de Santa Elena ) escribió sobre el despido de Laplace de la siguiente manera: ^{[ 13 ]}

Geométrico de primer nivel, Laplace no tardó en demostrar ser un administrador mediocre; desde sus primeras acciones en el cargo, reconocimos nuestro error. Laplace no analizaba ningún asunto desde la perspectiva correcta: buscaba sutilezas por doquier, solo concebía problemas y, finalmente, introdujo el espíritu de lo "infinitesimal" en la administración.

Grattan-Guinness, sin embargo, califica estas observaciones de "tendenciosas", ya que no parece haber duda de que Laplace "fue nombrado únicamente como una figura decorativa temporal, un sustituto mientras Napoleón consolidaba su poder". ^{[ 77 ]}

Aunque Laplace fue destituido de su cargo, era deseable conservar su lealtad. Por consiguiente, fue elevado al senado, y al tercer volumen de la Mécanique céleste antepuso una nota en la que afirmaba que, de todas las verdades que contenía, la más preciada para el autor era la declaración que hacía de su devoción hacia el pacificador de Europa. ^{[ 6 ]} En los ejemplares vendidos después de la Restauración Borbónica, esta nota fue eliminada. (Pearson señala que el censor no lo habría permitido de todos modos). En 1814 era evidente que el imperio se desmoronaba; Laplace se apresuró a ofrecer sus servicios a los Borbones , y en 1817, durante la Restauración, fue recompensado con el título de marqués .

Según Rouse Ball, el desprecio que sus colegas más honestos sentían por su conducta en este asunto puede leerse en las páginas del Paul Louis Courier . Sus conocimientos fueron útiles en las numerosas comisiones científicas en las que participó y, según Rouse Ball, probablemente explican cómo se pasó por alto su falta de sinceridad política. ^{[ 13 ]}

En su biografía de 2005, Roger Hahn refuta esta imagen de Laplace como oportunista y traidor, señalando que, al igual que muchos en Francia, había seguido con serias dudas el fracaso de la campaña rusa de Napoleón. Los Laplace, cuya única hija, Sophie, había fallecido en el parto en septiembre de 1813, temían por la seguridad de su hijo Émile, que se encontraba en el frente oriental junto al emperador. Napoleón había llegado al poder prometiendo estabilidad, pero era evidente que se había extralimitado, poniendo en peligro a la nación. Fue entonces cuando la lealtad de Laplace comenzó a flaquear. Si bien aún mantenía un fácil acceso a Napoleón, sus relaciones personales con el emperador se enfriaron considerablemente. Como padre afligido, le dolió profundamente la insensibilidad de Napoleón en un intercambio relatado por Jean-Antoine Chaptal : «A su regreso de la derrota en Leipzig , [Napoleón] se dirigió al señor Laplace: “¡Oh! Veo que ha adelgazado. Señor, he perdido a mi hija. ¡Oh! Eso no es motivo para perder peso. Usted es matemático; ponga este suceso en una ecuación y verá que el resultado es cero”». ^{[ 78 ]}

En la segunda edición (1814) del Ensayo filosófico , Laplace añadió algunos comentarios reveladores sobre política y gobierno . Dado que, según él, «la práctica de los principios eternos de la razón, la justicia y la humanidad produce y preserva las sociedades, es muy ventajoso adherirse a estos principios y muy desaconsejable desviarse de ellos». ^{[ 79 ] [ 80 ]} Al observar «la profunda miseria en la que se han sumido los pueblos» cuando los líderes ambiciosos desobedecen estos principios, Laplace formula una crítica velada a la conducta de Napoleón: «Cada vez que una gran potencia, embriagada por el amor a la conquista, aspira a la dominación universal, el sentimiento de libertad entre las naciones injustamente amenazadas engendra una coalición a la que siempre sucumbe». Laplace argumenta que «en medio de las múltiples causas que dirigen y limitan a los diversos estados, operan límites naturales», dentro de los cuales es «importante para la estabilidad y la prosperidad de los imperios mantenerse». Los Estados que transgreden estos límites no pueden evitar ser "revertidos" a ellos, "así como sucede cuando las aguas de los mares cuyo lecho ha sido elevado por violentas tempestades vuelven a su nivel por la acción de la gravedad". ^{[ 81 ] [ 82 ]}

Respecto a las convulsiones políticas de las que fue testigo, Laplace formuló un conjunto de principios derivados de la física para favorecer el cambio evolutivo sobre el revolucionario:

Apliquemos a las ciencias políticas y morales el método basado en la observación y el cálculo, que tan bien nos ha servido en las ciencias naturales. No ofrezcamos una resistencia infructuosa y a menudo perjudicial a los beneficios inevitables derivados del progreso de la Ilustración; sino que cambiemos nuestras instituciones y costumbres, que durante mucho tiempo hemos adoptado con extrema cautela. Conocemos por experiencia los inconvenientes que pueden causar, pero desconocemos la magnitud de los males que el cambio puede producir. Ante esta ignorancia, la teoría de la probabilidad nos insta a evitar todo cambio, especialmente los cambios repentinos, que tanto en el mundo moral como en el físico nunca ocurren sin una considerable pérdida de fuerza vital. ^{[ 83 ]}

En estas líneas, Laplace expresó las ideas a las que había llegado tras vivir la Revolución y el Imperio. Creía que la estabilidad de la naturaleza, revelada por los descubrimientos científicos, proporcionaba el modelo que mejor contribuía a preservar la especie humana. «Tales ideas», comenta Hahn, «también estaban en consonancia con su carácter firme». ^{[ 82 ]}

En el Ensayo filosófico , Laplace también ilustra el potencial de las probabilidades en los estudios políticos al aplicar la ley de los grandes números para justificar las clasificaciones enteras de los candidatos utilizadas en el método de votación de Borda , con el que se eligieron los nuevos miembros de la Academia de Ciencias. El argumento verbal de Laplace es tan riguroso que puede convertirse fácilmente en una demostración formal. ^{[ 84 ] [ 85 ]}

Una interacción frecuentemente citada, pero potencialmente apócrifa, entre Laplace y Napoleón supuestamente trata sobre la existencia de Dios. Si bien la conversación en cuestión sí tuvo lugar, se desconocen las palabras exactas que usó Laplace y su significado. Rouse Ball ofrece una versión típica: ^{[ 13 ]}

Laplace fue a ver a Napoleón con gran pompa para presentarle un ejemplar de su obra, y el siguiente relato de la entrevista está bien documentado y es tan característico de todos los implicados que lo cito íntegramente. Alguien le había dicho a Napoleón que el libro no mencionaba el nombre de Dios; Napoleón, a quien le gustaba hacer preguntas incómodas, lo recibió con el comentario: «Señor Laplace, me dicen que ha escrito este extenso libro sobre el sistema del universo y que ni siquiera ha mencionado a su Creador». Laplace, quien, aunque el más flexible de los políticos, era tan rígido como un mártir en cada punto de su filosofía, se irguió y respondió sin rodeos: « Je n'avais pas besoin de cette hypothèse-là. » («No necesitaba esa hipótesis.»). Napoleón, muy divertido, le contó esta respuesta a Lagrange , quien exclamó: « ¡Ah! ¡Qué buena hipótesis! ¡Explica muchísimas cosas!». ("Ah, es una excelente hipótesis; explica muchas cosas.")

Un informe anterior, aunque sin mencionar el nombre de Laplace, se encuentra en Los últimos momentos de Napoleón (1825) de Antommarchi: ^{[ 87 ]}

Je m'entretenais avec L ..... je le félicitais d'un ouvrage qu'il venait de publier et lui demandais comment le nom de Dieu, qui se reproduisait sans cesse sous la plume de Lagrange, ne s'était pas presente una sola fois sous la sienne. C'est, me répondit-il, que je n'ai pas eu besoin de esta hipótesis. ("Mientras hablaba con L..... Lo felicité por una obra que acababa de publicar y le pregunté cómo el nombre de Dios, que aparece incesantemente en las obras de Lagrange, no aparece ni una sola vez en las suyas. Él respondió que no necesitaba esa hipótesis.")

En 1884, sin embargo, el astrónomo Hervé Faye ^{[ 88 ] [ 89 ]} afirmó que este relato del intercambio de Laplace con Napoleón presentaba una versión «extrañamente transformada» ( étrangement transformée ) o distorsionada de lo que realmente había sucedido. No era a Dios a quien Laplace había tratado como una hipótesis, sino simplemente a su intervención en un punto determinado:

De hecho, Laplace nunca dijo eso. Creo que esto es lo que realmente sucedió. Newton, creyendo que las perturbaciones seculares que había esbozado en su teoría acabarían, a la larga, destruyendo el Sistema Solar, afirma en algún lugar que Dios se veía obligado a intervenir de vez en cuando para remediar el mal y, de alguna manera, mantener el sistema funcionando correctamente. Sin embargo, esto era una mera suposición, sugerida a Newton por una visión incompleta de las condiciones de estabilidad de nuestro pequeño mundo. La ciencia aún no estaba lo suficientemente avanzada en aquel entonces como para comprender plenamente estas condiciones. Pero Laplace, quien las había descubierto mediante un análisis profundo, habría respondido al Primer Cónsul que Newton había invocado erróneamente la intervención de Dios para ajustar de vez en cuando la máquina del mundo ( la machine du monde ) y que él, Laplace, no necesitaba tal suposición. Por lo tanto, no era a Dios a quien Laplace consideraba una hipótesis, sino a su intervención en un punto determinado.

El colega más joven de Laplace, el astrónomo François Arago , quien pronunció su elogio ante la Academia Francesa en 1827, ^{[ 90 ]} le contó a Faye sobre un intento de Laplace de mantener fuera de circulación la versión distorsionada de su interacción con Napoleón. Faye escribe: ^{[ 88 ] [ 89 ]}

Según me consta por el señor Arago, Laplace, advertido poco antes de su muerte de que esa anécdota iba a publicarse en una biografía, le pidió a Arago que exigiera al editor que la eliminara. Era necesario explicarla o suprimirla, y la segunda opción era la más sencilla. Pero, lamentablemente, no se eliminó ni se explicó.

El historiador suizo-estadounidense de las matemáticas Florian Cajori parece haber ignorado la investigación de Faye, pero en 1893 llegó a una conclusión similar. ^{[ 91 ]} Stephen Hawking dijo en 1999: ^{[ 70 ]} «No creo que Laplace afirmara que Dios no existe. Simplemente, no interviene para quebrantar las leyes de la ciencia».

El único relato de un testigo presencial de la interacción de Laplace con Napoleón proviene de la entrada del 8 de agosto de 1802 en el diario del astrónomo británico Sir William Herschel : ^{[ 92 ]}

El primer cónsul formuló entonces algunas preguntas sobre astronomía y la estructura de los cielos, a las que respondí de forma que pareció satisfacerle enormemente. También se dirigió al señor Laplace sobre el mismo tema y mantuvo con él una considerable discusión en la que discrepó de aquel eminente matemático. La discrepancia surgió a raíz de una exclamación del primer cónsul, quien preguntó con tono de asombro o admiración (cuando hablábamos de la extensión de los cielos siderales): «¿Y quién es el autor de todo esto?». El señor De la Place quiso demostrar que una cadena de causas naturales explicaría la formación y conservación de este maravilloso sistema. El primer cónsul se opuso a esta idea. Mucho se puede decir sobre el tema; al unir los argumentos de ambos, llegaremos a la conclusión de «La naturaleza y el Dios de la naturaleza».

Dado que esto no menciona la afirmación de Laplace: «No necesitaba esa hipótesis», Daniel Johnson ^{[ 93 ]} argumenta que «Laplace nunca usó las palabras que se le atribuyen». Sin embargo, el testimonio de Arago parece implicar que sí las usó, solo que no en referencia a la existencia de Dios.

Criado en la fe católica, Laplace parece haberse inclinado hacia el deísmo en su vida adulta (presumiblemente su postura meditada, ya que es la única que se encuentra en sus escritos). Sin embargo, algunos de sus contemporáneos lo consideraban ateo , mientras que varios estudiosos recientes lo han descrito como agnóstico .

Faye pensaba que Laplace «no profesaba el ateísmo» ^{[ 88 ],} pero Napoleón, en Santa Elena , le dijo al general Gaspard Gourgaud : «A menudo le preguntaba a Laplace qué pensaba de Dios. Reconocía ser ateo» ^{[ 94 ].} Roger Hahn, en su biografía de Laplace, menciona una cena en la que «el geólogo Jean-Étienne Guettard quedó atónito ante la audaz denuncia de Laplace sobre la existencia de Dios». A Guettard le pareció que el ateísmo de Laplace «estaba respaldado por un materialismo radical » ^{[ 95 ]} . Pero el químico Jean-Baptiste Dumas , quien conoció bien a Laplace en la década de 1820, escribió que Laplace «proporcionaba a los materialistas sus argumentos falaces, sin compartir sus convicciones» ^{[ 96 ] [ 97 ] .}

Hahn afirma: «En ningún lugar de sus escritos, ni públicos ni privados, Laplace niega la existencia de Dios». ^{[ 98 ]} En sus cartas privadas aparecen expresiones que parecen incompatibles con el ateísmo. ^{[ 6 ]} El 17 de junio de 1809, por ejemplo, escribió a su hijo: « Je prie Dieu qu'il veille sur tes jours. Aie-Le toujours présent à ta pensée, ainsi que ton père et ta mère [Ruego a Dios que vele por tus días. Que esté siempre presente en tu mente, como tu padre y tu madre]». ^{[ 89 ] [ 99 ]} Ian S. Glass, citando el relato de Herschel sobre el célebre intercambio con Napoleón, escribe que Laplace era «evidentemente un deísta como Herschel». ^{[ 100 ]}

En Exposition du système du monde , Laplace cita la afirmación de Newton de que «la maravillosa disposición del Sol, los planetas y los cometas solo puede ser obra de un Ser todopoderoso e inteligente». ^{[ 101 ]} Esto, dice Laplace, es una «idea en la que él [Newton] se habría reafirmado aún más si hubiera sabido lo que hemos demostrado, a saber, que las condiciones de la disposición de los planetas y sus satélites son precisamente las que aseguran su estabilidad». ^{[ 102 ]} Al demostrar que la «extraordinaria» disposición de los planetas podía explicarse completamente mediante las leyes del movimiento, Laplace eliminó la necesidad de que la «inteligencia suprema» interviniera, como Newton la había «obligado» a hacerlo. ^{[ 103 ]} Laplace cita con aprobación la crítica de Leibniz a la invocación de Newton de la intervención divina para restaurar el orden en el Sistema Solar: «Esto es tener ideas muy estrechas sobre la sabiduría y el poder de Dios». ^{[ 104 ]} Evidentemente, compartía el asombro de Leibniz ante la creencia de Newton de que "Dios ha hecho su máquina tan mal que, a menos que la modifique por algún medio extraordinario, el reloj pronto dejará de funcionar". ^{[ 105 ]}

En un conjunto de manuscritos, conservados en relativo secreto en un sobre negro en la biblioteca de la Academia de Ciencias y publicados por primera vez por Hahn, Laplace elaboró ​​una crítica deísta del cristianismo. Es, escribe, el «primer y más infalible de los principios... rechazar los hechos milagrosos como falsos». ^{[ 106 ]} En cuanto a la doctrina de la transustanciación , «ofende al mismo tiempo a la razón, la experiencia, el testimonio de todos nuestros sentidos, las leyes eternas de la naturaleza y las ideas sublimes que debemos formarnos del Ser Supremo». Es un absurdo absoluto suponer que «el soberano legislador del universo suspendería las leyes que ha establecido y que parece haber mantenido invariablemente». ^{[ 107 ]}

Laplace también ridiculizó el uso de la probabilidad en teología. Incluso siguiendo el razonamiento de Pascal presentado en la apuesta de Pascal , no vale la pena apostar, pues la esperanza de ganancia —igual al producto del valor de los testimonios (infinitamente pequeño) y el valor de la felicidad que prometen (que es significativo pero finito)— debe ser necesariamente infinitamente pequeña. ^{[ 108 ]}

En su vejez, Laplace siguió sintiendo curiosidad por la cuestión de Dios ^{[ 109 ]} y discutía frecuentemente sobre el cristianismo con el astrónomo suizo Jean-Frédéric-Théodore Maurice. ^{[ 110 ]} Le dijo a Maurice que «el cristianismo es algo realmente hermoso» y alabó su influencia civilizadora. Maurice pensaba que la base de las creencias de Laplace se estaba modificando poco a poco, pero que él se mantenía firme en su convicción de que la invariabilidad de las leyes de la naturaleza no permitía sucesos sobrenaturales. ^{[ 109 ]} Tras la muerte de Laplace, Poisson le dijo a Maurice: «Sabes que no comparto tus opiniones [religiosas], pero mi conciencia me obliga a contarte algo que seguramente te complacerá». Cuando Poisson felicitó a Laplace por sus «brillantes descubrimientos», el moribundo lo miró pensativo y respondió: «¡Ah! Perseguimos fantasmas [ quimeras ]». ^{[ 111 ]} Estas fueron sus últimas palabras, interpretadas por Mauricio como una constatación de la " vanidad " última de las ambiciones terrenales. ^{[ 112 ]} Laplace recibió los últimos sacramentos del cura de las Misiones Extranjeras (en cuya parroquia iba a ser enterrado) ^{[ 97 ]} y del cura de Arcueil. ^{[ 112 ]}

Según su biógrafo, Roger Hahn, no es creíble que Laplace tuviera un final católico propiamente dicho, y siguió siendo escéptico hasta el final de su vida. ^{[ 113 ]} En sus últimos años, Laplace fue descrito como agnóstico. ^{[ 114 ] [ 115 ] [ 116 ]}

En 1470, el erudito humanista Bartolomeo Platina escribió ^{[ 117 ]} que el Papa Calixto III había pedido oraciones para la liberación de los turcos durante una aparición del cometa Halley en 1456. El relato de Platina no concuerda con los registros de la Iglesia, que no mencionan el cometa. Se alega que Laplace embelleció la historia al afirmar que el Papa había « excomulgado » al cometa Halley. ^{[ 118 ]} Lo que Laplace realmente dijo, en Exposition du système du monde (1796), fue que el Papa había ordenado que el cometa fuera « exorcizado » ( conjuré ). Fue Arago, en Des Comètes en général (1832), quien habló por primera vez de una excomunión. ^{[ 119 ] [ 120 ] [ 121 ]}

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  Bowditch, N. (trad.) (1829–1839) Mécanique céleste , 4 vols, Boston
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