teoría del campo de clases

En matemáticas , la teoría de cuerpos de clases ( CFT ) es la rama fundamental de la teoría algebraica de números cuyo objetivo es describir todas las extensiones de Galois abelianas de cuerpos locales y globales utilizando objetos asociados al cuerpo base. ^{[ 1 ]}

A Hilbert se le atribuye ser uno de los pioneros de la noción de cuerpo de clases. Sin embargo, esta noción ya era familiar para Kronecker y, de hecho, fue Weber quien acuñó el término antes de que se publicaran los trabajos fundamentales de Hilbert. ^{[ 2 ]} Las ideas relevantes se desarrollaron durante varias décadas, dando lugar a una serie de conjeturas de Hilbert que posteriormente fueron demostradas por Takagi y Artin (con la ayuda del teorema de Chebotarev ).

Uno de los resultados principales es: dado un cuerpo numérico F , y escribiendo K para la extensión abeliana no ramificada máxima de F , el grupo de Galois de K sobre F es canónicamente isomorfo al grupo de clases ideales de F. Esta afirmación se generalizó a la llamada ley de reciprocidad de Artin ; en el lenguaje idélico, escribiendo C _F para el grupo de clases idélico de F , y tomando L como cualquier extensión abeliana finita de F , esta ley da un isomorfismo canónico.

${\displaystyle \theta _{L/F}:C_{F}/{N_{L/F}(C_{L})}\to \operatorname {Gal} (L/F),}$

dónde${\displaystyle N_{L/F}}$denota la aplicación de norma idélica de L a F. Este isomorfismo se denomina aplicación de reciprocidad .

El teorema de existencia establece que el mapa de reciprocidad puede usarse para dar una biyección entre el conjunto de extensiones abelianas de F y el conjunto de subgrupos cerrados de índice finito de${\displaystyle C_{F}.}$

Un método estándar para desarrollar la teoría global de campos de clases desde la década de 1930 consistía en construir una teoría local de campos de clases , que describe extensiones abelianas de campos locales, y luego utilizarla para construir la teoría global de campos de clases. Esto fue realizado inicialmente por Artin y Tate utilizando la teoría de la cohomología de grupos , y en particular desarrollando la noción de formaciones de clases. Posteriormente, Neukirch halló una demostración de los enunciados principales de la teoría global de campos de clases sin utilizar ideas cohomológicas. Su método era explícito y algorítmico.

Dentro de la teoría de campos de clases se puede distinguir ^{[ 3 ]} teoría de campos de clases especial y teoría de campos de clases general.

La teoría explícita de cuerpos de clases proporciona una construcción explícita de extensiones abelianas máximas de un cuerpo numérico en diversas situaciones. Esta parte de la teoría consiste en el teorema de Kronecker-Weber , que puede utilizarse para construir las extensiones abelianas de${\displaystyle \mathbb {Q} }$y la teoría de la multiplicación compleja para construir extensiones abelianas de los campos CM .

Existen tres generalizaciones principales de la teoría de campos de clases: la teoría de campos de clases superiores, el programa de Langlands (o "correspondencias de Langlands") y la geometría anabeliana .

En el lenguaje matemático moderno, la teoría de cuerpos de clases (TCC) se puede formular de la siguiente manera. Consideremos la extensión abeliana máxima A de un cuerpo local o global K. Tiene grado infinito sobre K ; el grupo de Galois G de A sobre K es un grupo profinito infinito , por lo tanto, un grupo topológico compacto , y es abeliano. Los objetivos centrales de la teoría de cuerpos de clases son: describir G en términos de ciertos objetos topológicos apropiados asociados a K , y describir extensiones abelianas finitas de K en términos de subgrupos abiertos de índice finito en el objeto topológico asociado a K. En particular, se busca establecer una correspondencia biunívoca entre las extensiones abelianas finitas de K y sus grupos de normas en este objeto topológico para K. Este objeto topológico es el grupo multiplicativo en el caso de cuerpos locales con cuerpo residual finito y el grupo de clases idéle en el caso de cuerpos globales. La extensión abeliana finita correspondiente a un subgrupo abierto de índice finito se denomina cuerpo de clases para ese subgrupo, lo que da nombre a la teoría.

El resultado fundamental de la teoría general de cuerpos de clases establece que el grupo G es naturalmente isomorfo a la completación profinita de C _K , el grupo multiplicativo de un cuerpo local o el grupo de clases idele del cuerpo global, con respecto a la topología natural en C _K relacionada con la estructura específica del cuerpo K . Equivalentemente, para cualquier extensión de Galois finita L de K , existe un isomorfismo (el mapa de reciprocidad de Artin )

${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)^{\operatorname {ab} }\to C_{K}/N_{L/K}(C_{L})}$

de la abelianización del grupo de Galois de la extensión con el cociente del grupo de clases idele de K por la imagen de la norma del grupo de clases idele de L.

Para algunos campos pequeños, como el campo de los números racionales${\displaystyle \mathbb {Q} }$o sus extensiones imaginarias cuadráticas hay una teoría más detallada, muy explícita pero demasiado específica que proporciona más información. Por ejemplo, el grupo de Galois absoluto abelianizado G de${\displaystyle \mathbb {Q} }$es (naturalmente isomorfo a) un producto infinito del grupo de unidades de los enteros p-ádicos tomado sobre todos los números primos p , y la extensión abeliana máxima correspondiente de los racionales es el cuerpo generado por todas las raíces de la unidad . Esto se conoce como el teorema de Kronecker-Weber , originalmente conjeturado por Leopold Kronecker . En este caso, el isomorfismo de reciprocidad de la teoría de cuerpos de clases (o mapa de reciprocidad de Artin) también admite una descripción explícita debido al teorema de Kronecker-Weber. Sin embargo, las construcciones principales de tales teorías más detalladas para cuerpos de números algebraicos pequeños no son extendibles al caso general de cuerpos de números algebraicos, y se utilizan diferentes principios conceptuales en la teoría general de cuerpos de clases.

El método estándar para construir el homomorfismo de reciprocidad consiste en construir primero el isomorfismo de reciprocidad local desde el grupo multiplicativo de la completación de un cuerpo global al grupo de Galois de su máxima extensión abeliana (esto se realiza dentro de la teoría de cuerpos de clases locales) y luego demostrar que el producto de todos estos mapas de reciprocidad locales, cuando se definen en el grupo idele del cuerpo global, es trivial en la imagen del grupo multiplicativo del cuerpo global. Esta última propiedad se denomina ley de reciprocidad global y es una generalización de gran alcance de la ley de reciprocidad cuadrática de Gauss .

Uno de los métodos para construir el homomorfismo de reciprocidad utiliza la formación de clases, que deriva la teoría de cuerpos de clases a partir de los axiomas de dicha teoría. Esta derivación es puramente topológica y teórica de grupos, mientras que para establecer los axiomas es necesario utilizar la estructura de anillo del cuerpo base. ^{[ 4 ]}

Existen métodos que utilizan grupos de cohomología, en particular el grupo de Brauer , y existen métodos que no utilizan grupos de cohomología y que son muy explícitos y fructíferos para las aplicaciones.

Los orígenes de la teoría de cuerpos de clases se encuentran en la ley de reciprocidad cuadrática demostrada por Gauss. La generalización se produjo como un proyecto histórico a largo plazo, que involucró formas cuadráticas y su " teoría de géneros ", el trabajo de Ernst Kummer y Leopold Kronecker/ Kurt Hensel sobre ideales y completaciones, y la teoría de las extensiones ciclotómicas y de Kummer .

Las dos primeras teorías de cuerpos de clases fueron teorías de cuerpos de clases ciclotómicas y de multiplicación compleja muy explícitas. Utilizaban estructuras adicionales: en el caso del cuerpo de los números racionales, usaban raíces de la unidad; en el caso de extensiones cuadráticas imaginarias del cuerpo de los números racionales, usaban curvas elípticas con multiplicación compleja y sus puntos de orden finito. Mucho más tarde, la teoría de Shimura proporcionó otra teoría de cuerpos de clases muy explícita para una clase de cuerpos de números algebraicos. En característica positiva${\displaystyle p}$, Kawada y Satake utilizaron la dualidad de Witt para obtener una descripción muy sencilla de la${\displaystyle p}$-parte del homomorfismo de reciprocidad.

Sin embargo, estas teorías tan explícitas no podían extenderse a cuerpos numéricos más generales. La teoría general de cuerpos de clases utilizaba conceptos y construcciones diferentes que funcionan sobre cualquier cuerpo global.

Los famosos problemas de David Hilbert estimularon un mayor desarrollo, que condujo a las leyes de reciprocidad y a las demostraciones de Teiji Takagi , Philipp Furtwängler , Emil Artin , Helmut Hasse y muchos otros. El crucial teorema de existencia de Takagi se conoció en 1920 y todos los resultados principales hacia 1930. Una de las últimas conjeturas clásicas por demostrar fue la propiedad de principalización . Las primeras demostraciones de la teoría de cuerpos de clases utilizaron métodos analíticos sustanciales. En la década de 1930 y posteriormente se observó un uso creciente de extensiones infinitas y la teoría de Wolfgang Krull sobre sus grupos de Galois. Esto, combinado con la dualidad de Pontryagin, proporcionó una formulación más clara, aunque más abstracta, del resultado central: la ley de reciprocidad de Artin . Un paso importante fue la introducción de los ídeles por Claude Chevalley en la década de 1930 para reemplazar las clases ideales, lo que esencialmente aclaró y simplificó la descripción de las extensiones abelianas de cuerpos globales. La mayoría de los resultados principales quedaron demostrados en 1940.

Posteriormente, los resultados se reformularon en términos de cohomología de grupos , lo que se convirtió en un método estándar para aprender teoría de cuerpos de clases durante varias generaciones de teóricos de números. Una desventaja del método cohomológico es su relativa falta de explicitud. Gracias a las contribuciones locales de Bernard Dwork , John Tate y Michiel Hazewinkel , así como a una reinterpretación local y global de Jürgen Neukirch, y también en relación con el trabajo sobre fórmulas de reciprocidad explícitas realizado por numerosos matemáticos, en la década de 1990 se estableció una presentación muy explícita y libre de cohomología de la teoría de cuerpos de clases. (Véase, por ejemplo, * Class Field Theory* de Neukirch).

La teoría de cuerpos de clases se utiliza para demostrar la dualidad de Artin-Verdier . ^{[ 5 ]} La teoría de cuerpos de clases muy explícita se utiliza en muchas subáreas de la teoría algebraica de números, como la teoría de Iwasawa y la teoría de módulos de Galois.

La mayoría de los avances principales hacia la correspondencia de Langlands para cuerpos numéricos, la conjetura BSD para cuerpos numéricos y la teoría de Iwasawa para cuerpos numéricos utilizan métodos de teoría de cuerpos de clases muy explícitos pero limitados, o sus generalizaciones. Por lo tanto, la cuestión abierta es cómo utilizar generalizaciones de la teoría general de cuerpos de clases en estas tres direcciones.

Existen tres generalizaciones principales, cada una de ellas de gran interés. Estas son: el programa de Langlands , la geometría anabeliana y la teoría de campos de clases superiores.

A menudo, la correspondencia de Langlands se considera una teoría de cuerpos de clases no abeliana . Si se llegara a establecer por completo, contendría una teoría de extensiones de Galois no abelianas de cuerpos globales. Sin embargo, la correspondencia de Langlands no incluye tanta información aritmética sobre extensiones de Galois finitas como la teoría de cuerpos de clases en el caso abeliano. Tampoco incluye un análogo del teorema de existencia de la teoría de cuerpos de clases: el concepto de cuerpos de clases está ausente en la correspondencia de Langlands. Existen otras teorías no abelianas, tanto locales como globales, que ofrecen alternativas al punto de vista de la correspondencia de Langlands.

Otra generalización de la teoría de cuerpos de clases es la geometría anabeliana , que estudia algoritmos para restaurar el objeto original (por ejemplo, un cuerpo numérico o una curva hiperbólica sobre él) a partir del conocimiento de su grupo de Galois absoluto completo o grupo fundamental algebraico . ^{[ 6 ] [ 7 ]}

Otra generalización natural es la teoría de campos de clases superiores, dividida en teoría de campos de clases locales superiores y teoría de campos de clases globales superiores . Describe extensiones abelianas de campos locales superiores y campos globales superiores. Estos últimos se presentan como campos de funciones de esquemas de tipo finito sobre enteros y sus localizaciones y completaciones apropiadas. Utiliza la K-teoría algebraica , y los K-grupos de Milnor apropiados generalizan la${\displaystyle K_{1}}$Se utiliza en la teoría de campos de clases unidimensionales.

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