Ciencia de redes

La definición de red determinista se compara con la de red probabilística. En las redes deterministas no ponderadas, las aristas existen o no; generalmente, se utiliza 0 para representar la inexistencia de una arista y 1 para representar su existencia. En las redes deterministas ponderadas, el valor de la arista representa su peso, por ejemplo, su nivel de fuerza.

En las redes probabilísticas, los valores asociados a cada arista representan la probabilidad de existencia de dicha arista. Por ejemplo, si una arista tiene un valor de 0,9, decimos que la probabilidad de existencia de esta arista es de 0,9. ^{[ 10 ]}

El tamaño de una red puede referirse al número de nodos.${\displaystyle N}$o, con menos frecuencia, el número de aristas${\displaystyle E}$que (para grafos conectados sin aristas múltiples) puede variar desde${\displaystyle N-1}$(un árbol) a${\displaystyle E_{\max }}$(un grafo completo). En el caso de un grafo simple (una red en la que existe como máximo una arista (no dirigida) entre cada par de vértices, y en la que ningún vértice se conecta consigo mismo), tenemos${\displaystyle E_{\max }={\tbinom {N}{2}}=N(N-1)/2}$; para grafos dirigidos (sin nodos autoconectados),${\displaystyle E_{\max }=N(N-1)}$; para grafos dirigidos con autoconexiones permitidas,${\displaystyle E_{\max }=N^{2}}$. En el caso de un grafo en el que pueden existir múltiples aristas entre un par de vértices,${\displaystyle E_{\max }=\infty }$.

La densidad${\displaystyle D}$La de una red se define como una relación normalizada entre 0 y 1 del número de aristas.${\displaystyle E}$al número de posibles aristas en una red con${\displaystyle N}$nodos. La densidad de la red es una medida del porcentaje de aristas "opcionales" que existen en la red y se puede calcular como ${\displaystyle D={\frac {E-E_{\mathrm {min} }}{E_{\mathrm {max} }-E_{\mathrm {min} }}}}$ dónde${\displaystyle E_{\mathrm {min} }}$y${\displaystyle E_{\mathrm {max} }}$son el número mínimo y máximo de aristas en una red conectada con${\displaystyle N}$nodos, respectivamente. En el caso de grafos simples,${\displaystyle E_{\mathrm {max} }}$viene dado por el coeficiente binomial${\displaystyle {\tbinom {N}{2}}}$y${\displaystyle E_{\mathrm {min} }=N-1}$, dando densidad ${\displaystyle D={\frac {E-(N-1)}{E_{\mathrm {max} }-(N-1)}}={\frac {2(E-N+1)}{N(N-3)+2}}}$Otra posible ecuación es${\displaystyle D={\frac {T-2N+2}{N(N-3)+2}},}$mientras que los lazos${\displaystyle T}$son unidireccionales (Wasserman y Faust 1994). ^{[ 11 ]} Esto proporciona una mejor visión general de la densidad de la red, porque las relaciones unidireccionales se pueden medir.

La densidad${\displaystyle D}$de una red, donde no hay intersección entre aristas, se define como una razón del número de aristas${\displaystyle E}$al número de posibles aristas en una red con${\displaystyle N}$nodos, dados por un grafo sin aristas que se intersequen${\displaystyle (E_{\max }=3N-6)}$, donación${\displaystyle D={\frac {E-N+1}{2N-5}}.}$

El título${\displaystyle k}$de un nodo es el número de aristas conectadas a él. Estrechamente relacionado con la densidad de una red está el grado promedio,${\displaystyle \langle k\rangle ={\tfrac {2E}{N}}}$(o, en el caso de grafos dirigidos,${\displaystyle \langle k\rangle ={\tfrac {E}{N}}}$, el factor anterior de 2 que surge de cada arista en un grafo no dirigido que contribuye al grado de dos vértices distintos). En el modelo de grafo aleatorio ER (${\displaystyle G(N,p)}$) podemos calcular el valor esperado de ${\displaystyle \langle k\rangle }$(igual al valor esperado de${\displaystyle k}$de un vértice arbitrario): un vértice aleatorio tiene${\displaystyle N-1}$otros vértices en la red disponibles y con probabilidad${\displaystyle p}$, se conecta con cada uno. Por lo tanto,${\displaystyle \mathbb {E} [\langle k\rangle ]=\mathbb {E} [k]=p(N-1)}$.

La distribución de grados${\displaystyle P(k)}$es una propiedad fundamental tanto de las redes reales, como Internet y las redes sociales , como de los modelos teóricos. La distribución de grados P ( k ) de una red se define como la fracción de nodos en la red con grado k . El modelo de red más simple, por ejemplo, el grafo aleatorio (modelo de Erdős-Rényi) , en el que cada uno de los n nodos está conectado (o no) independientemente con probabilidad p (o 1 − p ), tiene una distribución binomial de grados k (o de Poisson en el límite de n grande ). Sin embargo, la mayoría de las redes reales, desde la WWW hasta las redes de interacción de proteínas , tienen una distribución de grados muy asimétrica a la derecha , lo que significa que una gran mayoría de nodos tienen un grado bajo, pero un pequeño número, conocidos como "hubs", tienen un grado alto. Para tales redes libres de escala, la distribución de grados sigue aproximadamente una ley de potencias :${\displaystyle P(k)\sim k^{-\gamma }}$donde γ es el exponente de grado y es una constante. Estas redes libres de escala tienen propiedades estructurales y dinámicas inesperadas, que se originan en el segundo momento divergente de la distribución de grados. ^{[ 6 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]}

La longitud promedio del camino más corto se calcula encontrando el camino más corto entre todos los pares de nodos y tomando el promedio sobre todos los caminos de su longitud (la longitud es el número de aristas intermedias contenidas en el camino, es decir, la distancia${\displaystyle d_{u,v}}$entre los dos vértices${\displaystyle u,v}$dentro del gráfico). Esto nos muestra, en promedio, el número de pasos que se necesitan para ir de un miembro de la red a otro. El comportamiento de la longitud promedio esperada del camino más corto (es decir, el promedio del conjunto de la longitud promedio del camino más corto) en función del número de vértices.${\displaystyle N}$de un modelo de red aleatoria define si ese modelo exhibe el efecto de mundo pequeño; si escala como${\displaystyle O(\ln N)}$, el modelo genera redes de mundo pequeño. Para un crecimiento más rápido que logarítmico, el modelo no produce mundos pequeños. El caso especial de${\displaystyle O(\ln \ln N)}$Se conoce como efecto de mundo ultrapequeño.

Como otra forma de medir grafos de red, podemos definir el diámetro de una red como la mayor de todas las rutas más cortas calculadas en la red. Es la distancia más corta entre los dos nodos más distantes de la red. En otras palabras, una vez calculada la longitud de la ruta más corta desde cada nodo a todos los demás nodos, el diámetro es la mayor de todas las longitudes de ruta calculadas. El diámetro representa el tamaño lineal de una red. Si los nodos ABCD están conectados, yendo de A a D, el diámetro sería de 3 (3 saltos, 3 enlaces).

El coeficiente de agrupamiento es una medida de la propiedad de que "todos mis amigos se conocen entre sí". A veces se describe como "los amigos de mis amigos son mis amigos". Más precisamente, el coeficiente de agrupamiento de un nodo es la proporción de enlaces existentes que conectan a los vecinos de un nodo entre sí con el número máximo posible de dichos enlaces. El coeficiente de agrupamiento para toda la red es el promedio de los coeficientes de agrupamiento de todos los nodos. Un coeficiente de agrupamiento alto para una red es otro indicador de un mundo pequeño . ^{[ 6 ]}

El coeficiente de agrupamiento de la${\displaystyle i}$El nodo es

${\displaystyle C_{i}={2e_{i} \over k_{i}{(k_{i}-1)}}\,,}$

dónde${\displaystyle k_{i}}$es el número de vecinos del${\displaystyle i}$nodo y${\displaystyle e_{i}}$es el número de conexiones entre estos vecinos. El número máximo posible de conexiones entre vecinos es, entonces,

${\displaystyle {\binom {k}{2}}={{k(k-1)} \over 2}\,.}$

Desde un punto de vista probabilístico, el coeficiente de agrupamiento local esperado es la probabilidad de que exista un vínculo entre dos vecinos arbitrarios del mismo nodo.

La forma en que una red está conectada influye mucho en cómo se analiza e interpreta. Las redes se clasifican en cuatro categorías diferentes:

• Clique / Grafo completo : una red completamente conectada, donde todos los nodos están conectados entre sí. Estas redes son simétricas, ya que todos los nodos tienen enlaces entrantes y salientes desde todos los demás.
• Componente gigante : Un único componente conectado que contiene la mayoría de los nodos de la red.
• Componente débilmente conectado : una colección de nodos en la que existe un camino desde cualquier nodo a cualquier otro, sin tener en cuenta la direccionalidad de las aristas.
• Componente fuertemente conectado : una colección de nodos en la que existe una ruta dirigida desde cualquier nodo a cualquier otro.

Los índices de centralidad generan clasificaciones que buscan identificar los nodos más importantes en un modelo de red. Los distintos índices de centralidad codifican diferentes contextos para el término "importancia". La centralidad de intermediación , por ejemplo, considera que un nodo es muy importante si actúa como puente entre muchos otros nodos. La centralidad de autovalor , en cambio, considera que un nodo es muy importante si muchos otros nodos muy importantes se conectan a él. Se han propuesto cientos de medidas de este tipo en la literatura.

Los índices de centralidad solo son precisos para identificar los nodos más importantes. Las medidas rara vez, o nunca, son significativas para el resto de los nodos de la red. ^{[ 16 ] [ 17 ]} Además, sus indicaciones solo son precisas dentro de su contexto asumido para la importancia, y tienden a "equivocarse" para otros contextos. ^{[ 18 ]} Por ejemplo, imaginemos dos comunidades separadas cuyo único vínculo es una arista entre el miembro más joven de cada comunidad. Dado que cualquier transferencia de una comunidad a la otra debe pasar por este vínculo, los dos miembros jóvenes tendrán una alta centralidad de intermediación. Pero, dado que son jóvenes, (presumiblemente) tienen pocas conexiones con los nodos "importantes" en su comunidad, lo que significa que su centralidad de valor propio sería bastante baja.

Las limitaciones de las medidas de centralidad han llevado al desarrollo de medidas más generales. Dos ejemplos son la accesibilidad , que utiliza la diversidad de recorridos aleatorios para medir la accesibilidad del resto de la red desde un nodo inicial dado, ^{[ 19 ]} y la fuerza esperada , derivada del valor esperado de la fuerza de infección generada por un nodo. ^{[ 16 ]} Ambas medidas pueden calcularse de manera significativa a partir de la estructura de la red.

Los nodos de una red pueden dividirse en grupos que representan comunidades. Según el contexto, las comunidades pueden ser distintas o superpuestas. Por lo general, los nodos de dichas comunidades estarán fuertemente conectados entre sí, pero débilmente conectados con nodos fuera de la comunidad. Ante la ausencia de información fidedigna que describa la estructura de la comunidad de una red específica, se han desarrollado varios algoritmos para inferir posibles estructuras de comunidad mediante métodos de agrupamiento supervisados ​​o no supervisados.

El modelo de Erdős-Rényi , que recibe su nombre de Paul Erdős y Alfréd Rényi , se utiliza para generar grafos aleatorios en los que las aristas se establecen entre nodos con igual probabilidad. Puede emplearse en el método probabilístico para demostrar la existencia de grafos que satisfacen diversas propiedades, o para proporcionar una definición rigurosa de lo que significa que una propiedad se cumpla para casi todos los grafos.

Generar un modelo Erdős-Rényi${\displaystyle G(n,p)}$Se deben especificar dos parámetros: el número total de nodos n y la probabilidad p de que un par aleatorio de nodos tenga una arista.

Debido a que el modelo se genera sin sesgo hacia nodos particulares, la distribución de grados es binomial: para un vértice elegido al azar${\displaystyle v}$,

${\displaystyle P(\deg(v)=k)={n-1 \choose k}p^{k}(1-p)^{n-1-k}.}$

En este modelo el coeficiente de agrupamiento es 0 casi seguro . El comportamiento de${\displaystyle G(n,p)}$ se puede dividir en tres regiones.

Subcrítico${\displaystyle np<1}$: Todos los componentes son simples y muy pequeños, el componente más grande tiene tamaño${\displaystyle |C_{1}|=O(\log n)}$;

Crítico${\displaystyle np=1}$:${\displaystyle |C_{1}|=O(n^{\frac {2}{3}})}$;

Supercrítico${\displaystyle np>1}$:${\displaystyle |C_{1}|\approx yn}$dónde${\displaystyle y=y(np)}$es la solución positiva de la ecuación${\displaystyle e^{-pny}=1-y}$.

El componente conectado más grande tiene una alta complejidad. Todos los demás componentes son simples y pequeños.${\displaystyle |C_{2}|=O(\log n)}$.

El modelo de configuración toma como entrada una secuencia de grados ^{[ 20 ] [ 21 ]} o una distribución de grados ^{[ 22 ] [ 23 ]} (que posteriormente se utiliza para generar una secuencia de grados) y produce grafos conectados aleatoriamente en todos los aspectos excepto en la secuencia de grados. Esto significa que, para una elección dada de la secuencia de grados, el grafo se elige uniformemente al azar del conjunto de todos los grafos que cumplen con esta secuencia de grados. El grado${\displaystyle k}$de un vértice elegido al azar es una variable aleatoria independiente e idénticamente distribuida con valores enteros. Cuando ${\textstyle \mathbb {E} [k^{2}]-2\mathbb {E} [k]>0}$El grafo de configuración contiene el componente conectado gigante , que tiene un tamaño infinito. ^{[ 21 ]} El resto de los componentes tienen tamaños finitos, que pueden cuantificarse con la noción de distribución de tamaño. La probabilidad${\displaystyle w(n)}$que un nodo muestreado aleatoriamente está conectado a un componente de tamaño${\displaystyle n}$viene dado por potencias de convolución de la distribución de grados: ^{[ 24 ]}$${\displaystyle w(n)={\begin{cases}{\frac {\mathbb {E} [k]}{n-1}}u_{1}^{*n}(n-2),&n>1,\\u(0)&n=1,\end{cases}}}$$dónde${\displaystyle u(k)}$denota la distribución de grados y${\displaystyle u_{1}(k)={\frac {(k+1)u(k+1)}{\mathbb {E} [k]}}}$El componente gigante puede ser destruido eliminando aleatoriamente la fracción crítica.${\displaystyle p_{c}}$de todos los bordes. Este proceso se llama percolación en redes aleatorias . Cuando el segundo momento de la distribución de grados es finito,${\textstyle \mathbb {E} [k^{2}]<\infty }$, esta fracción de borde crítica viene dada por ^{[ 25 ]}${\displaystyle p_{c}=1-{\frac {\mathbb {E} [k]}{\mathbb {E} [k^{2}]-\mathbb {E} [k]}}}$y la distancia promedio entre vértices${\displaystyle l}$en el componente gigante escala logarítmicamente con el tamaño total de la red,${\displaystyle l=O(\log N)}$. ^{[ 23 ]}

En el modelo de configuración dirigida, el grado de un nodo viene dado por dos números: el grado de entrada y el grado de entrada.${\displaystyle k_{\text{in}}}$y grado de salida${\displaystyle k_{\text{out}}}$y, en consecuencia, la distribución de grados es bivariada. El número esperado de aristas entrantes y salientes coincide, de modo que${\textstyle \mathbb {E} [k_{\text{in}}]=\mathbb {E} [k_{\text{out}}]}$. El modelo de configuración dirigida contiene el componente gigante si y solo si ^{[ 26 ]}$${\displaystyle 2\mathbb {E} [k_{\text{in}}]\mathbb {E} [k_{\text{in}}k_{\text{out}}]-\mathbb {E} [k_{\text{in}}]\mathbb {E} [k_{\text{out}}^{2}]-\mathbb {E} [k_{\text{in}}]\mathbb {E} [k_{\text{in}}^{2}]+\mathbb {E} [k_{\text{in}}^{2}]\mathbb {E} [k_{\text{out}}^{2}]-\mathbb {E} [k_{\text{in}}k_{\text{out}}]^{2}>0.}$$Tenga en cuenta que${\textstyle \mathbb {E} [k_{\text{in}}]}$y${\textstyle \mathbb {E} [k_{\text{out}}]}$son iguales y, por lo tanto, intercambiables en la última desigualdad. La probabilidad de que un vértice elegido al azar pertenezca a un componente de tamaño${\displaystyle n}$está dado por: ^{[ 27 ]}$${\displaystyle h_{\text{in}}(n)={\frac {\mathbb {E} [k_{in}]}{n-1}}{\tilde {u}}_{\text{in}}^{*n}(n-2),\;n>1,\;{\tilde {u}}_{\text{in}}={\frac {k_{\text{in}}+1}{\mathbb {E} [k_{\text{in}}]}}\sum \limits _{k_{\text{out}}\geq 0}u(k_{\text{in}}+1,k_{\text{out}}),}$$para componentes internos y

${\displaystyle h_{\text{out}}(n)={\frac {\mathbb {E} [k_{\text{out}}]}{n-1}}{\tilde {u}}_{\text{out}}^{*n}(n-2),\;n>1,\;{\tilde {u}}_{\text{out}}={\frac {k_{\text{out}}+1}{\mathbb {E} [k_{\text{out}}]}}\sum \limits _{k_{\text{in}}\geq 0}u(k_{\text{in}},k_{\text{out}}+1),}$

para componentes externos.

El modelo de Watts y Strogatz es un modelo de generación aleatoria de grafos que produce grafos con propiedades de mundo pequeño .

Se utiliza una estructura reticular inicial para generar un modelo de Watts-Strogatz. Cada nodo de la red está inicialmente vinculado a su${\displaystyle \langle k\rangle }$vecinos más cercanos. Otro parámetro se especifica como la probabilidad de recableado. Cada arista tiene una probabilidad${\displaystyle p}$que se volverá a conectar al grafo como una arista aleatoria. El número esperado de enlaces conectados en el modelo es${\displaystyle pE=pN\langle k\rangle /2}$.

Dado que el modelo de Watts-Strogatz comienza como una estructura reticular no aleatoria, presenta un coeficiente de agrupamiento muy alto, junto con una longitud de camino promedio elevada. Cada reconexión tiende a crear un atajo entre clústeres altamente conectados. A medida que aumenta la probabilidad de reconexión, el coeficiente de agrupamiento disminuye más lentamente que la longitud de camino promedio. En efecto, esto permite que la longitud de camino promedio de la red disminuya significativamente con solo ligeras disminuciones en el coeficiente de agrupamiento. Valores más altos de p fuerzan una mayor cantidad de aristas reconectadas, lo que, en la práctica, convierte al modelo de Watts-Strogatz en una red aleatoria.

El modelo de Barabási-Albert es un modelo de red aleatoria que se utiliza para demostrar una conexión preferencial o un efecto de "los ricos se hacen más ricos". En este modelo, es más probable que una arista se conecte a nodos con grados más altos. La red comienza con una red inicial de _m₀ nodos . m₀ ≥ 2 y el grado de cada nodo en la red inicial debe ser al menos 1; de lo contrario _, permanecerá siempre desconectado del resto de la red.   

En el modelo BA, los nuevos nodos se agregan a la red uno por uno. Cada nuevo nodo está conectado a${\displaystyle m}$nodos existentes con una probabilidad que es proporcional al número de enlaces que los nodos existentes ya tienen. Formalmente, la probabilidad p _i de que el nuevo nodo esté conectado al nodo i es ^{[ 28 ]}

${\displaystyle p_{i}={\frac {k_{i}}{\sum _{j}k_{j}}},}$

donde k _i es el grado del nodo i . Los nodos con muchos enlaces ("hubs") tienden a acumular rápidamente aún más enlaces, mientras que es improbable que los nodos con pocos enlaces sean elegidos como destino para un nuevo enlace. Los nuevos nodos tienen una "preferencia" por conectarse a los nodos que ya tienen muchos enlaces.

La distribución de grados resultante del modelo BA es libre de escala, en particular, para grados grandes es una ley de potencias de la forma:

${\displaystyle P(k)\sim k^{-3}\,}$

Los hubs presentan una alta centralidad de intermediación, lo que permite la existencia de rutas cortas entre nodos. Como resultado, el modelo BA tiende a tener longitudes de ruta promedio muy cortas. El coeficiente de agrupamiento de este modelo también tiende a cero.

El modelo de Barabási-Albert ^{[ 29 ]} se desarrolló para redes no dirigidas, con el objetivo de explicar la universalidad de la propiedad de escala libre, y se aplicó a una amplia gama de redes y aplicaciones diferentes. La versión dirigida de este modelo es el modelo de Price ^{[ 30 ] [ 31 ]} , que se desarrolló específicamente para redes de citas.

^{Caldarelli et al. [ 34 ]} introdujeron otro modelo donde el ingrediente clave es la naturaleza del vértice. Aquí se crea un vínculo entre dos vértices.${\displaystyle i,j}$con una probabilidad dada por una función de enlace${\displaystyle f(\eta _{i},\eta _{j})}$de las aptitudes de los vértices involucrados. El grado de un vértice i viene dado por ^{[ 35 ]}

${\displaystyle k(\eta _{i})=N\int _{0}^{\infty }f(\eta _{i},\eta _{j})\rho (\eta _{j})\,d\eta _{j}}$

Si${\displaystyle k(\eta _{i})}$es una función invertible y creciente de${\displaystyle \eta _{i}}$, entonces la distribución de probabilidad${\displaystyle P(k)}$es dado por

${\displaystyle P(k)=\rho (\eta (k))\cdot \eta '(k)}$

Como resultado, si las aptitudes${\displaystyle \eta }$Si se distribuyen según una ley de potencias, entonces el grado del nodo también lo hace.

Menos intuitivamente con una distribución de probabilidad de decaimiento rápido como ${\displaystyle \rho (\eta )=e^{-\eta }}$junto con una función de enlace del tipo

${\displaystyle f(\eta _{i},\eta _{j})=\Theta (\eta _{i}+\eta _{j}-Z)}$

con${\displaystyle Z}$una constante y${\displaystyle \Theta }$Mediante la función de Heavyside, también obtenemos redes libres de escala.

Este modelo se ha aplicado con éxito para describir el comercio entre naciones utilizando el PIB como indicador de aptitud para los distintos nodos.${\displaystyle i,j}$y una función de enlace del tipo ^{[ 36 ] [ 37 ]}

${\displaystyle {\frac {\delta \eta _{i}\eta _{j}}{1+\delta \eta _{i}\eta _{j}}}.}$

Los modelos de grafos aleatorios de la familia exponencial (ERGM) son una familia de modelos estadísticos para analizar datos de redes sociales y de otro tipo. ^{[ 6 ] [ 38 ]} La familia exponencial es una familia amplia de modelos que abarca muchos tipos de datos, no solo redes. Un ERGM es un modelo de esta familia que describe redes.

Adoptamos la notación para representar un grafo aleatorio.${\displaystyle Y\in {\mathcal {Y}}}$a través de un conjunto de${\displaystyle n}$nodos y una colección de variables de enlace${\displaystyle \{Y_{ij}:i=1,\dots ,n;j=1,\dots ,n\}}$, indexado por pares de nodos${\displaystyle ij}$, dónde${\displaystyle Y_{ij}=1}$si los nodos${\displaystyle (i,j)}$están conectados por una arista y${\displaystyle Y_{ij}=0}$de lo contrario.

La suposición básica de los ERGM es que la estructura en un gráfico observado${\displaystyle y}$puede explicarse mediante un vector dado de estadísticas suficientes${\displaystyle s(y)}$que son función de la red observada y, en algunos casos, de los atributos nodales. La probabilidad de un grafo${\displaystyle y\in {\mathcal {Y}}}$En un ERGM se define por:

${\displaystyle P(Y=y|\theta )={\frac {\exp(\theta ^{T}s(y))}{c(\theta )}}}$

dónde${\displaystyle \theta }$es un vector de parámetros del modelo asociados con${\displaystyle s(y)}$y${\displaystyle c(\theta )=\sum _{y'\in {\mathcal {Y}}}\exp(\theta ^{T}s(y'))}$es una constante de normalización.

El análisis de redes sociales examina la estructura de las relaciones entre entidades sociales. ^{[ 6 ] [ 39 ]} Estas entidades suelen ser personas, pero también pueden ser grupos , organizaciones , estados nación , sitios web , publicaciones académicas .

Desde la década de 1970, el estudio empírico de redes ha desempeñado un papel central en las ciencias sociales, y muchas de las herramientas matemáticas y estadísticas utilizadas para estudiar redes se desarrollaron primero en sociología . ^{[ 6 ] [ 40 ]} Entre muchas otras aplicaciones, el análisis de redes sociales se ha utilizado para comprender la difusión de innovaciones , noticias y rumores . De manera similar, se ha utilizado para examinar la propagación de enfermedades y comportamientos relacionados con la salud . También se ha aplicado al estudio de los mercados , donde se ha utilizado para examinar el papel de la confianza en las relaciones de intercambio y de los mecanismos sociales en la fijación de precios. De igual manera, se ha utilizado para estudiar el reclutamiento en movimientos políticos y organizaciones sociales. También se ha utilizado para conceptualizar desacuerdos científicos, así como el prestigio académico. Más recientemente, el análisis de redes (y su pariente cercano, el análisis de tráfico ) ha adquirido un uso significativo en la inteligencia militar, para descubrir redes insurgentes de naturaleza tanto jerárquica como sin líder . ^{[ 41 ] [ 42 ]} En criminología , se utiliza para identificar actores influyentes en bandas criminales, movimientos de delincuentes, delitos cometidos en colaboración, predecir actividades delictivas y formular políticas. ^{[ 43 ]}

El análisis de redes dinámicas examina la estructura cambiante de las relaciones entre diferentes clases de entidades en sistemas sociotécnicos complejos, y refleja la estabilidad social y cambios como la aparición de nuevos grupos, temas y líderes. ^{[ 44 ] [ 45 ] [ 46 ]} El análisis de redes dinámicas se centra en metarredes compuestas por múltiples tipos de nodos (entidades) y múltiples tipos de enlaces . Estas entidades pueden ser muy variadas. Algunos ejemplos incluyen personas, organizaciones, temas, recursos, tareas, eventos, ubicaciones y creencias.

Las técnicas de redes dinámicas son particularmente útiles para evaluar tendencias y cambios en las redes a lo largo del tiempo, identificar líderes emergentes y examinar la coevolución de personas e ideas.

Con la reciente explosión de datos biológicos de alto rendimiento disponibles públicamente, el análisis de redes moleculares ha cobrado gran interés. El tipo de análisis en este ámbito está estrechamente relacionado con el análisis de redes sociales, pero a menudo se centra en patrones locales dentro de la red. Por ejemplo, los motivos de red son subgrafos pequeños que se encuentran sobrerrepresentados en la red. Los motivos de actividad son patrones sobrerrepresentados similares en los atributos de los nodos y las aristas de la red, que se encuentran sobrerrepresentados dada la estructura de la red. El análisis de redes biológicas ha dado lugar al desarrollo de la medicina de redes , que estudia el efecto de las enfermedades en el interactoma . ^{[ 47 ]}

El análisis de redes semánticas es un subcampo del análisis de redes que se centra en las relaciones entre palabras y conceptos en una red. Las palabras se representan como nodos y su proximidad o coocurrencia en el texto se representan como aristas. Por lo tanto, las redes semánticas son representaciones gráficas del conocimiento y se utilizan comúnmente en neurolingüística y en aplicaciones de procesamiento del lenguaje natural . El análisis de redes semánticas también se utiliza como método para analizar textos extensos e identificar los temas principales (por ejemplo, de publicaciones en redes sociales ), para revelar sesgos (por ejemplo, en la cobertura de noticias) o incluso para mapear un campo de investigación completo. ^{[ 48 ]}

El análisis de enlaces es un subconjunto del análisis de redes que explora las asociaciones entre objetos. Un ejemplo podría ser el examen de las direcciones de sospechosos y víctimas, los números de teléfono a los que han llamado, las transacciones financieras en las que han participado durante un período determinado y las relaciones familiares entre estos sujetos como parte de la investigación policial. El análisis de enlaces proporciona las relaciones y asociaciones cruciales entre objetos de diferentes tipos que no son evidentes a partir de información aislada. El análisis de enlaces asistido por computadora o totalmente automático se utiliza cada vez más en bancos y compañías de seguros para la detección de fraudes , en operadores de telecomunicaciones para el análisis de redes de telecomunicaciones, en el sector médico para la epidemiología y la farmacología , en investigaciones policiales , en motores de búsqueda para la clasificación de relevancia (y, a la inversa, en los spammers para el spamdexing y en empresas para la optimización de motores de búsqueda ), y en cualquier otro lugar donde se deban analizar las relaciones entre muchos objetos.

El modelo SIR es uno de los algoritmos más conocidos para predecir la propagación de pandemias mundiales dentro de una población infecciosa.

Varios algoritmos de posicionamiento web utilizan métricas de centralidad basadas en enlaces, entre los que se incluyen (en orden de aparición) Hyper Search de Marchiori , PageRank de Google , el algoritmo HITS de Kleinberg , CheiRank y TrustRank . El análisis de enlaces también se lleva a cabo en ciencias de la información y ciencias de la comunicación para comprender y extraer información de la estructura de conjuntos de páginas web. Por ejemplo, el análisis podría centrarse en la interconexión entre sitios web o blogs de políticos.

La información sobre la importancia relativa de los nodos y las aristas en un grafo se puede obtener mediante medidas de centralidad , ampliamente utilizadas en disciplinas como la sociología . Las medidas de centralidad son esenciales cuando un análisis de red debe responder preguntas como: "¿Qué nodos de la red deben ser el objetivo para asegurar que un mensaje o información se difunda a todos o a la mayoría de los nodos de la red?" o, a la inversa, "¿Qué nodos deben ser el objetivo para frenar la propagación de una enfermedad?". Las medidas de centralidad formalmente establecidas son la centralidad de grado , la centralidad de cercanía , la centralidad de intermediación , la centralidad de vector propio y la centralidad de Katz . El objetivo del análisis de red generalmente determina el tipo de medida(s) de centralidad que se utilizará(n). ^{[ 39 ]}

• La centralidad de grado de un nodo en una red es el número de enlaces (vértices) incidentes en el nodo.
• La centralidad de cercanía determina cuán "cercano" está un nodo a otros nodos en una red midiendo la suma de las distancias más cortas (caminos geodésicos) entre ese nodo y todos los demás nodos de la red.
• La centralidad de intermediación determina la importancia relativa de un nodo midiendo la cantidad de tráfico que fluye a través de él hacia otros nodos de la red. Esto se logra midiendo la fracción de rutas que conectan todos los pares de nodos y que contienen el nodo de interés. La centralidad de intermediación de grupo mide la cantidad de tráfico que fluye a través de un grupo de nodos.
• La centralidad de vector propio es una versión más sofisticada de la centralidad de grado, donde la centralidad de un nodo no solo depende del número de enlaces incidentes en el nodo, sino también de la calidad de dichos enlaces. Este factor de calidad está determinado por los vectores propios de la matriz de adyacencia de la red.
• La centralidad de Katz de un nodo se mide sumando las rutas geodésicas entre ese nodo y todos los nodos (accesibles) de la red. Estas rutas tienen un peso determinado: las que conectan el nodo con sus vecinos inmediatos tienen mayor peso que las que lo conectan con nodos más alejados.

En 1927, WO Kermack y AG McKendrick crearon un modelo en el que consideraron una población fija con solo tres compartimentos, susceptibles:${\displaystyle S(t)}$, infectado,${\displaystyle I(t)}$y se recuperó,${\displaystyle R(t)}$Los compartimentos utilizados para este modelo constan de tres clases:

• ${\displaystyle S(t)}$Se utiliza para representar el número de individuos que aún no están infectados con la enfermedad en el momento t, o aquellos susceptibles a la enfermedad.
• ${\displaystyle I(t)}$indica el número de individuos que han sido infectados con la enfermedad y son capaces de transmitirla a aquellos en la categoría susceptible.
• ${\displaystyle R(t)}$Este compartimento se utiliza para aquellas personas que se han infectado y se han recuperado de la enfermedad. Quienes pertenecen a esta categoría no pueden volver a infectarse ni transmitir la infección a otras personas.

El flujo de este modelo puede considerarse de la siguiente manera:

${\displaystyle {\mathcal {S}}\rightarrow {\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {R}}}$

Utilizando una población fija,${\displaystyle N=S(t)+I(t)+R(t)}$Kermack y McKendrick derivaron las siguientes ecuaciones:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=-\beta SI\\[8pt]{\frac {dI}{dt}}&=\beta SI-\gamma I\\[8pt]{\frac {dR}{dt}}&=\gamma I\end{aligned}}}$

En la formulación de estas ecuaciones se hicieron varias suposiciones: Primero, se debe considerar que un individuo de la población tiene la misma probabilidad que cualquier otro individuo de contraer la enfermedad con una tasa de${\displaystyle \beta }$, que se considera la tasa de contacto o infección de la enfermedad. Por lo tanto, un individuo infectado hace contacto y es capaz de transmitir la enfermedad con${\displaystyle \beta N}$otros por unidad de tiempo y la fracción de contactos de un infectado con un susceptible es${\displaystyle S/N}$El número de nuevas infecciones por unidad de tiempo por infectado es entonces${\displaystyle \beta N(S/N)}$, dando la tasa de nuevas infecciones (o de aquellos que abandonan la categoría de susceptibles) como${\displaystyle \beta N(S/N)I=\beta SI}$(Brauer y Castillo-Chavez, 2001). Para la segunda y tercera ecuaciones, considere que la población que abandona la clase susceptible es igual al número que ingresa a la clase infectada. Sin embargo, los infectados abandonan esta clase por unidad de tiempo para ingresar a la clase recuperada/eliminada a una tasa${\displaystyle \gamma }$por unidad de tiempo (donde${\displaystyle \gamma }$representa la tasa media de recuperación, o${\displaystyle 1/\gamma }$ el período infeccioso medio). Estos procesos que ocurren simultáneamente se conocen como la Ley de Acción Masiva , una idea ampliamente aceptada que establece que la tasa de contacto entre dos grupos en una población es proporcional al tamaño de cada uno de los grupos involucrados (Daley y Gani, 2005). Finalmente, se supone que la tasa de infección y recuperación es mucho más rápida que la escala temporal de nacimientos y muertes y, por lo tanto, estos factores se ignoran en este modelo.

Puede encontrar más información sobre este modelo en la página del modelo de epidemia .

Una ecuación maestra puede expresar el comportamiento de una red en crecimiento no dirigida donde, en cada paso de tiempo, se agrega un nuevo nodo a la red, vinculado a un nodo antiguo (elegido aleatoriamente y sin preferencia). La red inicial está formada por dos nodos y dos enlaces entre ellos en el tiempo${\displaystyle t=2}$, esta configuración es necesaria solo para simplificar cálculos posteriores, por lo que en el momento${\displaystyle t=n}$la red tiene${\displaystyle n}$nodos y${\displaystyle n}$campo de golf.

La ecuación maestra para esta red es:

${\displaystyle p(k,s,t+1)={\frac {1}{t}}p(k-1,s,t)+\left(1-{\frac {1}{t}}\right)p(k,s,t),}$

dónde${\displaystyle p(k,s,t)}$es la probabilidad de tener el nodo${\displaystyle s}$con título${\displaystyle k}$en ese momento${\displaystyle t+1}$, y${\displaystyle s}$es el paso de tiempo en el que este nodo se agregó a la red. Tenga en cuenta que solo hay dos maneras para un nodo antiguo.${\displaystyle s}$tener${\displaystyle k}$enlaces en ese momento${\displaystyle t+1}$:

• El nodo${\displaystyle s}$tener título${\displaystyle k-1}$en ese momento${\displaystyle t}$y estará vinculado por el nuevo nodo con probabilidad${\displaystyle 1/t}$
• Ya tiene título${\displaystyle k}$en ese momento${\displaystyle t}$y no estará vinculado por el nuevo nodo.

Después de simplificar este modelo, la distribución de grados es${\displaystyle P(k)=2^{-k}.}$^{[ 50 ]}

Basándose en esta red en crecimiento, se desarrolla un modelo epidémico siguiendo una regla simple: cada vez que se agrega un nuevo nodo y después de elegir el nodo antiguo para conectarlo, se toma una decisión: si este nuevo nodo se infectará o no. La ecuación maestra para este modelo epidémico es:

${\displaystyle p_{r}(k,s,t)=r_{t}{\frac {1}{t}}p_{r}(k-1,s,t)+\left(1-{\frac {1}{t}}\right)p_{r}(k,s,t),}$

dónde${\displaystyle r_{t}}$representa la decisión de infectar (${\displaystyle r_{t}=1}$) O no (${\displaystyle r_{t}=0}$Al resolver esta ecuación maestra, se obtiene la siguiente solución:${\displaystyle {\tilde {P}}_{r}(k)=\left({\frac {r}{2}}\right)^{k}.}$^{[ 51 ]}