Finanzas matemáticas

Las finanzas matemáticas , también conocidas como finanzas cuantitativas y matemáticas financieras , son un campo de las matemáticas aplicadas que se ocupa del modelado matemático en el ámbito financiero .

In general, there exist two separate branches of finance that require advanced quantitative techniques: derivatives pricing on the one hand, and risk and portfolio management on the other.^[1] Mathematical finance overlaps heavily with the fields of computational finance and financial engineering. The latter focuses on applications and modeling, often with the help of stochastic asset models, while the former focuses, in addition to analysis, on building tools of implementation for the models. Also related is quantitative investing, which relies on statistical and numerical models (and lately machine learning) as opposed to traditional fundamental analysis when managing portfolios.

French mathematician Louis Bachelier's doctoral thesis, defended in 1900, is considered the first scholarly work on mathematical finance. But mathematical finance emerged as a discipline in the 1970s, following the work of Fischer Black, Myron Scholes and Robert Merton on option pricing theory. Mathematical investing originated from the research of mathematician Edward Thorp who used statistical methods to first invent card counting in blackjack and then applied its principles to modern systematic investing.^[2]

The subject has a close relationship with the discipline of financial economics, which is concerned with much of the underlying theory that is involved in financial mathematics. While trained economists use complex economic models that are built on observed empirical relationships, in contrast, mathematical finance analysis will derive and extend the mathematical or numerical models without necessarily establishing a link to financial theory, taking observed market prices as input. See: Valuation of options; Financial modeling; Asset pricing. The fundamental theorem of arbitrage-free pricing is one of the key theorems in mathematical finance, while the Black–Scholes equation and formula are amongst the key results.^[3]

Today many universities offer degree and research programs in mathematical finance.

Existen dos ramas distintas de las finanzas que requieren técnicas cuantitativas avanzadas: la valoración de derivados y la gestión de riesgos y carteras. Una de las principales diferencias radica en que utilizan probabilidades distintas, como la probabilidad neutral al riesgo (o probabilidad de arbitraje), denotada por "Q", y la probabilidad real (o actuarial), denotada por "P".

El objetivo de la valoración de derivados es determinar el precio justo de un valor en términos de valores más líquidos cuyo precio se rige por la ley de la oferta y la demanda . El significado de "justo" depende, por supuesto, de si se considera la compra o la venta del valor. Ejemplos de valores que se valoran son las opciones simples y exóticas , los bonos convertibles , etc.

Una vez que se ha determinado un precio justo, el operador del lado vendedor puede crear un mercado para el valor. Por lo tanto, la valoración de derivados es un ejercicio complejo de "extrapolación" para definir el valor de mercado actual de un valor, que luego es utilizado por la comunidad del lado vendedor. La valoración cuantitativa de derivados fue iniciada por Louis Bachelier en La teoría de la especulación ("Théorie de la spéculation", publicada en 1900), con la introducción del proceso más básico e influyente, el movimiento browniano , y sus aplicaciones a la valoración de opciones. ^{[ 4 ] [ 5 ]} El movimiento browniano se deriva utilizando la ecuación de Langevin y el paseo aleatorio discreto . ^{[ 6 ]} Bachelier modeló la serie temporal de cambios en el logaritmo de los precios de las acciones como un paseo aleatorio en el que los cambios a corto plazo tenían una varianza finita . Esto hace que los cambios a largo plazo sigan una distribución gaussiana . ^{[ 7 ]}

La teoría permaneció latente hasta que Fischer Black y Myron Scholes , junto con las contribuciones fundamentales de Robert C. Merton , aplicaron el segundo proceso más influyente, el movimiento browniano geométrico , a la valoración de opciones . Por ello, M. Scholes y R. Merton recibieron el Premio Nobel de Economía de 1997. Black no pudo optar al premio porque falleció en 1995. ^{[ 8 ]}

El siguiente paso importante fue el teorema fundamental de fijación de precios de activos de Harrison y Pliska (1981), según el cual el precio actual P ₀ de un valor, debidamente normalizado, está libre de arbitraje y, por lo tanto, es verdaderamente justo solo si existe un proceso estocástico P _t con valor esperado constante que describe su evolución futura: ^{[ 9 ]}

Un proceso que satisface ( 1 ) se llama " martingala ". Una martingala no recompensa el riesgo. Por lo tanto, la probabilidad del proceso de precio de seguridad normalizado se llama "neutral al riesgo" y se suele denotar con la letra " " en fuente de pizarra . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

La relación ( 1 ) debe cumplirse para todos los tiempos t: por lo tanto, los procesos utilizados para la valoración de derivados se establecen naturalmente en tiempo continuo.

En el mundo de los analistas cuantitativos ( conocidos como " quants "), estos profesionales se centran en la valoración de productos derivados. Su función requiere un conocimiento profundo de los modelos matemáticos utilizados para instrumentos financieros específicos.

Los valores se valoran individualmente, por lo que los problemas en el mundo Q son de naturaleza de baja dimensionalidad. La calibración es uno de los principales desafíos del mundo Q: una vez que un proceso paramétrico de tiempo continuo se ha calibrado con un conjunto de valores negociados mediante una relación como ( 1 ), se utiliza una relación similar para definir el precio de nuevos derivados.

Las principales herramientas cuantitativas necesarias para manejar procesos Q de tiempo continuo son el cálculo estocástico de Itô , la simulación y las ecuaciones diferenciales parciales (EDP). ^{[ 10 ]}

La gestión de riesgos y carteras tiene como objetivo modelar la distribución de probabilidad estadística de los precios de mercado de todos los valores en un horizonte de inversión futuro determinado. Esta distribución de probabilidad "real" de los precios de mercado se suele representar con la letra " " en fuente de pizarra, a diferencia de la probabilidad "neutral al riesgo" " " utilizada en la valoración de derivados. Basándose en la distribución P, los inversores institucionales toman decisiones sobre qué valores comprar para mejorar el perfil de pérdidas y ganancias previsto de sus posiciones, consideradas como una cartera. Cada vez más, algunos elementos de este proceso se automatizan; véase el apartado " Inversión cuantitativa" en el apartado "Esquema de finanzas" para consultar una lista de artículos relevantes. ${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Por su labor pionera, Markowitz y Sharpe , junto con Merton Miller , compartieron el Premio Nobel de Economía de 1990 , otorgado por primera vez en la historia por un trabajo en finanzas.

El trabajo de selección de cartera de Markowitz y Sharpe introdujo las matemáticas en la gestión de inversiones . Con el tiempo, las matemáticas se han vuelto más sofisticadas. Gracias a Robert Merton y Paul Samuelson , los modelos de un período fueron reemplazados por modelos de movimiento browniano de tiempo continuo, y la función de utilidad cuadrática implícita en la optimización media-varianza fue reemplazada por funciones de utilidad cóncavas y crecientes más generales. ^{[ 11 ]} Además, en los últimos años el enfoque se ha desplazado hacia el riesgo de estimación, es decir, los peligros de asumir incorrectamente que el análisis avanzado de series temporales por sí solo puede proporcionar estimaciones completamente precisas de los parámetros del mercado. ^{[ 12 ]} Véase Gestión de riesgos financieros § Gestión de inversiones .

Se ha dedicado mucho esfuerzo al estudio de los mercados financieros y a cómo varían los precios con el tiempo. Charles Dow , uno de los fundadores de Dow Jones & Company y The Wall Street Journal , enunció una serie de ideas sobre el tema que ahora se conocen como la Teoría de Dow . Esta es la base del llamado método de análisis técnico , que busca predecir cambios futuros. Uno de los principios del análisis técnico es que las tendencias del mercado ofrecen una indicación del futuro, al menos a corto plazo. Las afirmaciones de los analistas técnicos son cuestionadas por muchos académicos. Si bien numerosos estudios empíricos han examinado la eficacia del análisis técnico, aún no existe un consenso definitivo sobre su utilidad para pronosticar los mercados financieros. ^{[ 13 ]}

Con el paso de los años, se han desarrollado modelos matemáticos y estrategias de valoración de derivados cada vez más sofisticados, pero su credibilidad se vio perjudicada por la crisis financiera de 2008 .

La práctica contemporánea de las finanzas matemáticas ha sido objeto de críticas por parte de figuras destacadas del sector, como Paul Wilmott y Nassim Nicholas Taleb , en su libro El cisne negro . ^{[ 14 ]} Taleb afirma que los precios de los activos financieros no pueden caracterizarse mediante los modelos simples que se utilizan actualmente, lo que hace que gran parte de la práctica actual sea, en el mejor de los casos, irrelevante y, en el peor, peligrosamente engañosa. Wilmott y Emanuel Derman publicaron el Manifiesto de los Modeladores Financieros en enero de 2009 ^{[ 15 ]} , que aborda algunas de las preocupaciones más serias. Organizaciones como el Instituto para el Nuevo Pensamiento Económico están intentando desarrollar nuevas teorías y métodos. ^{[ 16 ]}

En general, se dice cada vez más que modelar los cambios mediante distribuciones con varianza finita es inapropiado. ^{[ 17 ]} En la década de 1960, Benoit Mandelbrot descubrió que los cambios en los precios no siguen una distribución gaussiana , sino que se modelan mejor mediante distribuciones alfa-estables de Lévy . ^{[ 18 ]} La magnitud del cambio, o volatilidad, depende de la duración del intervalo de tiempo elevada a una potencia ligeramente superior a 1/2. Los grandes cambios al alza o a la baja son más probables que los que se calcularían utilizando una distribución gaussiana con una desviación estándar estimada . Pero el problema es que no resuelve el problema, ya que dificulta mucho la parametrización y hace que el control del riesgo sea menos fiable. ^{[ 14 ]}

Quizás más fundamental: si bien los modelos de finanzas matemáticas pueden generar ganancias a corto plazo, este tipo de modelado a menudo entra en conflicto con un principio central de la macroeconomía moderna, la crítica de Lucas (o expectativas racionales ), que establece que las relaciones observadas pueden no ser de naturaleza estructural y, por lo tanto, no se pueden explotar para políticas públicas o para obtener ganancias a menos que hayamos identificado relaciones mediante análisis causal y econometría . ^{[ 19 ]} Por consiguiente, los modelos de finanzas matemáticas no incorporan elementos complejos de la psicología humana que son fundamentales para modelar movimientos macroeconómicos modernos, como el pánico autocumplido que motiva las corridas bancarias .

• Nicole El Karoui , "El futuro de las matemáticas financieras" , ParisTech Review , 6 de septiembre de 2013
• Harold Markowitz , "Selección de cartera", The Journal of Finance , 7, 1952, págs. 77-91
• William F. Sharpe , Inversiones , Prentice-Hall, 1985
• Pierre Henry Labordere (2017). “Cobertura sin modelos: una perspectiva de transporte óptimo de martingalas”. Chapman & Hall/ CRC.