Cuadrado

Un cuadrado cuyos cuatro lados tienen longitud${\displaystyle \ell }$tiene perímetro ^{[ 12 ]}${\displaystyle P=4\ell }$y longitud diagonal${\displaystyle d={\sqrt {2}}\ell }$. ^{[ 13 ]} La raíz cuadrada de 2 , que aparece en esta fórmula, es irracional , lo que significa que no se puede escribir exactamente como una fracción . Es aproximadamente igual a 1,414, ^{[ 14 ]} y su valor aproximado ya era conocido en las matemáticas babilónicas . ^{[ 15 ]} El área de un cuadrado es ^{[ 13 ]}$${\displaystyle A=\ell ^{2}={\tfrac {1}{2}}d^{2}.}$$ Esta fórmula para el área de un cuadrado como la segunda potencia de la longitud de su lado dio origen al término «elevar al cuadrado» para referirse a elevar cualquier número al cuadrado. ^{[ 16 ]} Invirtiendo esta relación, la longitud del lado de un cuadrado de área dada es la raíz cuadrada del área. Elevar al cuadrado un número entero , o calcular el área de un cuadrado con lados enteros, da como resultado un número cuadrado ; estos son números figurativos que representan la cantidad de puntos que se pueden organizar en una cuadrícula cuadrada. ^{[ 17 ]}

Dado que cuatro al cuadrado es igual a dieciséis, un cuadrado de cuatro por cuatro tiene un área igual a su perímetro. Es decir, es una figura equitativa . El único otro rectángulo entero equitativo es un rectángulo de tres por seis. ^{[ 18 ]}

Debido a que es un polígono regular , un cuadrado es el cuadrilátero de menor perímetro que encierra un área dada. De manera similar, un cuadrado es el cuadrilátero que contiene el área mayor dentro de un perímetro dado. ^{[ 19 ]} En efecto, si A y P son el área y el perímetro encerrados por un cuadrilátero, entonces se cumple la siguiente desigualdad isoperimétrica : $${\displaystyle 16A\leq P^{2}}$$ con igualdad si y solo si el cuadrilátero es un cuadrado. ^{[ 20 ] [ 21 ]}

El cuadrado es el más simétrico de los cuadriláteros. ^{[ 22 ]} Ocho transformaciones rígidas del plano transforman el cuadrado en sí mismo: ^{[ 23 ]}

La posición inicial del cuadrado (la transformación identidad )

Rotación de 90° en sentido antihorario.

Rotación de 180°

Rotación de 270°

Reflexión diagonal noroeste-sureste

Reflexión horizontal

Reflexión diagonal NE-SO

Reflexión vertical

Para un cuadrado paralelo a los ejes centrado en el origen , cada simetría actúa mediante una combinación de negación e intercambio de las coordenadas cartesianas de los puntos. ^{[ 24 ]} Las simetrías permutan los ocho triángulos isósceles entre las medias aristas y el centro del cuadrado (que permanece en su lugar); cualquiera de estos triángulos puede tomarse como la región fundamental de las transformaciones. ^{[ 25 ]} Cada par de vértices, cada par de aristas y cada par de medias aristas se mapean entre sí mediante al menos una simetría (exactamente una para las medias aristas). ^{[ 22 ]} Todos los polígonos regulares también tienen estas propiedades, ^{[ 26 ]} que se expresan diciendo que las simetrías de un cuadrado y, más generalmente, de un polígono regular actúan transitivamente sobre vértices y aristas, y simplemente transitivamente sobre medias aristas. ^{[ 27 ]}

La combinación de dos de estas transformaciones, aplicándolas una tras otra, continúa transformando el cuadrado en sí mismo, generando así otra simetría. La rotación repetida produce otra rotación con el ángulo de rotación resultante. Dos reflexiones con el mismo eje devuelven la transformación identidad, mientras que dos reflexiones con ejes diferentes rotan el cuadrado. Una rotación seguida de una reflexión, o viceversa, produce una reflexión diferente. Esta operación de composición otorga a las ocho simetrías de un cuadrado la estructura matemática de un grupo , denominado grupo del cuadrado o grupo diedral de orden ocho . ^{[ 23 ]} Otros cuadriláteros, como el rectángulo y el rombo, poseen únicamente un subgrupo de estas simetrías. ^{[ 28 ] [ 29 ]}

La forma de un cuadrado, pero no su tamaño, se conserva mediante semejanzas del plano. ^{[ 30 ]} Otros tipos de transformaciones del plano pueden convertir cuadrados en otros tipos de cuadriláteros. Una transformación afín puede convertir un cuadrado en cualquier paralelogramo, o viceversa; ^{[ 31 ]} una transformación proyectiva puede convertir un cuadrado en cualquier cuadrilátero convexo , o viceversa. ^{[ 32 ]} Esto implica que, visto en perspectiva , un cuadrado puede parecer cualquier cuadrilátero convexo, o viceversa. ^{[ 33 ]} Una transformación de Möbius puede convertir los vértices de un cuadrado (pero no sus aristas) en los vértices de un cuadrilátero armónico . ^{[ 34 ]}

Los grupos de papel tapiz son grupos de simetría de patrones repetitivos bidimensionales. Para muchos de estos grupos, la unidad básica de repetición (la celda unitaria de su red periódica ) puede ser un cuadrado, y para tres de estos grupos, p4, p4m y p4g, debe ser un cuadrado. ^{[ 35 ]}

p4, Techo de una tumba egipcia

p4m, Nínive y Persia

p4g, China

Grupos de papeles pintados con motivos de azulejos de La gramática del ornamento

El círculo inscrito en un cuadrado es el círculo más grande que puede caber dentro de ese cuadrado. Su centro es el punto central del cuadrado, y su radio (el radio de la circunferencia inscrita en el cuadrado) es${\displaystyle r=\ell /2}$Debido a que este círculo toca los cuatro lados del cuadrado (en sus puntos medios), el cuadrado es un cuadrilátero tangente . El círculo circunscrito de un cuadrado pasa por sus cuatro vértices, lo que convierte al cuadrado en un cuadrilátero cíclico . Su radio, el radio de la circunferencia circunscrita , es${\displaystyle R=\ell /{\sqrt {2}}}$. ^{[ 36 ]} Si el círculo inscrito de un cuadrado${\displaystyle ABCD}$tiene puntos de tangencia${\displaystyle E}$en${\displaystyle AB}$,${\displaystyle F}$en${\displaystyle BC}$,${\displaystyle G}$en${\displaystyle CD}$, y${\displaystyle H}$en${\displaystyle DA}$, entonces para cualquier punto${\displaystyle P}$en el círculo inscrito, ^{[ 37 ]}$${\displaystyle 2(PH^{2}-PE^{2})=PD^{2}-PB^{2}.}$$Si${\displaystyle d_{i}}$es la distancia desde un punto arbitrario en el plano hasta el${\displaystyle i}$vértice de un cuadrado y${\displaystyle R}$es el radio de la circunferencia circunscrita del cuadrado, entonces ^{[ 38 ]}$${\displaystyle {\frac {d_{1}^{4}+d_{2}^{4}+d_{3}^{4}+d_{4}^{4}}{4}}+3R^{4}=\left({\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}}{4}}+R^{2}\right)^{2}.}$$ Si${\displaystyle L}$ y${\displaystyle d_{i}}$son las distancias desde un punto arbitrario en el plano hasta el centroide del cuadrado y sus cuatro vértices respectivamente, entonces$${\displaystyle d_{1}^{2}+d_{3}^{2}=d_{2}^{2}+d_{4}^{2}=2(R^{2}+L^{2})}$$y$${\displaystyle d_{1}^{2}d_{3}^{2}+d_{2}^{2}d_{4}^{2}=2(R^{4}+L^{4}),}$$dónde${\displaystyle R}$es el radio de la circunferencia circunscrita al cuadrado. ^{[ 39 ]}

Un cuadrado unitario es un cuadrado de lado uno. A menudo se representa en coordenadas cartesianas como el cuadrado que encierra los puntos${\displaystyle (x,y)}$que tienen${\displaystyle 0\leq x\leq 1}$y${\displaystyle 0\leq y\leq 1}$Sus vértices son los cuatro puntos que tienen 0 o 1 en cada una de sus coordenadas. ^{[ 89 ]}

Un cuadrado paralelo a los ejes con su centro en el punto${\displaystyle (x_{c},y_{c})}$y lados de longitud${\displaystyle 2r}$(dónde${\displaystyle r}$es el radio interno, la mitad de la longitud del lado) tiene vértices en los cuatro puntos${\displaystyle (x_{c}\pm r,y_{c}\pm r)}$Su interior consta de los puntos${\displaystyle (x,y)}$con${\displaystyle \max(|x-x_{c}|,|y-y_{c}|)<r}$y su frontera está formada por los puntos con${\displaystyle \max(|x-x_{c}|,|y-y_{c}|)=r}$. ^{[ 90 ]}

Un cuadrado diagonal con su centro en el vértice${\displaystyle (x_{c},y_{c})}$y diagonal de longitud${\displaystyle 2R}$(dónde${\displaystyle R}$es el radio de la circunferencia circunscrita, la mitad de la diagonal) tiene vértices en los cuatro puntos${\displaystyle (x_{c}\pm R,y_{c})}$y${\displaystyle (x_{c},y_{c}\pm R)}$Su interior consta de los puntos${\displaystyle (x,y)}$con${\displaystyle |x-x_{c}|+|y-y_{c}|<R}$y su frontera está formada por los puntos con${\displaystyle |x-x_{c}|+|y-y_{c}|=R}$. ^{[ 90 ]} Por ejemplo, la ilustración muestra un cuadrado diagonal centrado en el origen.${\displaystyle (0,0)}$con radio de circunferencia 2, dado por la ecuación${\displaystyle |x|+|y|=2}$.

En el plano de los números complejos , la multiplicación por la unidad imaginaria${\displaystyle i}$rota el otro término del producto 90° alrededor del origen (el número cero). Por lo tanto, si cualquier número complejo distinto de cero${\displaystyle p}$se multiplica repetidamente por${\displaystyle i}$dando los cuatro números${\displaystyle p}$,${\displaystyle ip}$,${\displaystyle -p}$, y${\displaystyle -ip}$, estos números formarán los vértices de un cuadrado centrado en el origen. ^{[ 91 ]} Si se interpreta la parte real y la parte imaginaria de estos cuatro números complejos como coordenadas cartesianas, con${\displaystyle p=x+iy}$, entonces estos cuatro números tienen las coordenadas${\displaystyle (x,y)}$,${\displaystyle (-y,x)}$,${\displaystyle (-x,-y)}$, y${\displaystyle (-y,-x)}$. ^{[ 92 ]} Este cuadrado se puede trasladar para tener cualquier otro número complejo${\displaystyle c}$es el centro, utilizando el hecho de que la traducción del origen a${\displaystyle c}$se representa en la aritmética de números complejos como una suma con${\displaystyle c}$. ^{[ 93 ]} Los enteros gaussianos , números complejos con partes real e imaginaria enteras, forman una red cuadrada en el plano complejo. ^{[ 93 ]}

La construcción de un cuadrado con un lado dado, utilizando un compás y una regla , se describe en los Elementos I.46 de Euclides . ^{[ 94 ]} La existencia de esta construcción implica que los cuadrados son polígonos construibles . Un cuadrado regular${\displaystyle n}$-gon es construible exactamente cuando los factores primos impares de${\displaystyle n}$son primos de Fermat distintos , ^{[ 95 ]} y en el caso de un cuadrado${\displaystyle n=4}$no tiene factores primos impares, por lo que esta condición es trivialmente verdadera . ^{[ 96 ]}

Los elementos IV.6–7 también proporcionan construcciones para un cuadrado inscrito en un círculo y circunscrito a un círculo, respectivamente. ^{[ 97 ]}

• 
  Cuadrado con una circunferencia circunscrita dada
• 
  Cuadrado con una longitud de lado dada, utilizando el teorema de Tales.
• 
  Cuadrado con una diagonal dada

Un cuadrado está inscrito en una curva cuando sus cuatro vértices se ^encuentran sobre ella. El problema sin resolver del cuadrado inscrito plantea si toda curva cerrada simple tiene un cuadrado inscrito. Esto es cierto para toda curva suave [ ^{121 ]} y para cualquier curva convexa cerrada . El único otro polígono regular que siempre puede inscribirse en toda curva convexa cerrada es el triángulo equilátero , ya que existe una curva convexa sobre la cual ningún otro polígono regular puede inscribirse ^{[ 122 ] .}

Para un cuadrado inscrito en un triángulo , al menos uno de sus lados se encuentra sobre un lado del triángulo. Todo triángulo acutángulo tiene tres cuadrados inscritos, uno por cada uno de sus tres lados. Un triángulo rectángulo tiene dos cuadrados inscritos, uno tangente a su ángulo recto y el otro sobre su hipotenusa. Un triángulo obtusángulo tiene solo un cuadrado inscrito, sobre su lado más largo. Un cuadrado inscrito en un triángulo puede cubrir como máximo la mitad del área del triángulo. ^{[ 123 ]}

Desde la antigüedad, muchas unidades de superficie se han definido a partir de cuadrados, generalmente con una unidad de longitud estándar como su lado, por ejemplo, un metro cuadrado o una pulgada cuadrada . ^{[ 124 ]}

En la geometría deductiva de la antigua Grecia , el área de una figura plana se medía y comparaba construyendo un cuadrado con la misma área mediante un número finito de pasos con compás y regla , un proceso llamado cuadratura . Los Elementos de Euclides muestran cómo hacerlo para rectángulos, paralelogramos, triángulos y, de forma más general, para polígonos simples , dividiéndolos en triángulos. ^{[ 125 ]} Algunas figuras con lados curvos también podían cuadrarse, como la lúnula de Hipócrates ^{[ 126 ]} y la parábola . ^{[ 127 ]}

Este uso del cuadrado como figura definitoria para la medición de áreas también aparece en la formulación griega del teorema de Pitágoras : los cuadrados construidos sobre los dos lados de un triángulo rectángulo tienen un área total igual a la de un cuadrado construido sobre la hipotenusa . ^{[ 128 ]} Enunciado de esta forma, el teorema sería igualmente válido para otras figuras en los lados del triángulo, como triángulos equiláteros o semicírculos, ^{[ 129 ]} pero los griegos usaban cuadrados. En matemáticas modernas, esta formulación del teorema que utiliza áreas de cuadrados ha sido reemplazada por una formulación algebraica que implica elevar al cuadrado números : las longitudes de los lados y la hipotenusa del triángulo rectángulo obedecen la ecuación${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$. ^{[ 130 ]}

Debido a este enfoque en la cuadratura como medida de área, los griegos y matemáticos posteriores intentaron sin éxito cuadrar el círculo , construyendo un cuadrado con la misma área que un círculo dado, nuevamente usando un número finito de pasos con un compás y una regla. En 1882, se demostró que la tarea era imposible como consecuencia del teorema de Lindemann-Weierstrass . Este teorema prueba que pi ( π ) es un número trascendental en lugar de un número irracional algebraico ; es decir, no es la raíz de ningún polinomio con coeficientes racionales . Una construcción para cuadrar el círculo podría traducirse en una fórmula polinómica para π , que no existe. ^{[ 131 ]} En filosofía, el concepto de un " círculo cuadrado " se ha utilizado como ejemplo de un oxímoron desde Aristóteles , lo que ha provocado intentos de encontrar contextos como la geometría del taxi ( abajo ) en los que esta frase tenga sentido. ^{[ 132 ]}

Azulejos cuadrados

teselado pitagórico

El teselado cuadrado , conocido por los suelos y los tableros de juego, es uno de los tres teselados regulares del plano. Los otros dos utilizan el triángulo equilátero y el hexágono regular . ^{[ 133 ]} Los vértices de un teselado cuadrado forman una red cuadrada . ^{[ 134 ]} Los cuadrados de más de un tamaño también pueden teselar el plano, ^{[ 135 ] [ 136 ]} por ejemplo en el teselado pitagórico , llamado así por su conexión con las demostraciones del teorema de Pitágoras . ^{[ 137 ]}

Los problemas de empaquetamiento de cuadrados buscan el cuadrado o círculo más pequeño en el que cabe un número dado de cuadrados unitarios . Un tablero de ajedrez empaqueta de forma óptima un número cuadrado de cuadrados unitarios en un cuadrado más grande, pero más allá de algunos casos especiales como este, las soluciones óptimas a estos problemas siguen sin resolverse; ^{[ 138 ] [ 139 ] [ 140 ]} lo mismo ocurre con el empaquetamiento de círculos en un cuadrado . ^{[ 141 ]} Empaquetar cuadrados en otras formas puede tener una alta complejidad computacional : probar si un número dado de cuadrados unitarios cabe en un polígono rectilíneo ortogonalmente convexo con coordenadas de vértice semienteras es NP-completo . ^{[ 142 ]}

Cuadrar un cuadrado implica subdividir un cuadrado dado en cuadrados más pequeños, todos con longitudes de lado enteras. Una subdivisión con cuadrados más pequeños distintos se llama cuadrado perfecto. ^{[ 143 ]} Otra variante de cuadrar un cuadrado, llamada "la colcha de la Sra. Perkins", permite repeticiones, pero utiliza la menor cantidad posible de cuadrados más pequeños para que el máximo común divisor de las longitudes de los lados sea 1. ^{[ 144 ]} Todo el plano se puede cubrir con cuadrados, con exactamente un cuadrado de cada longitud de lado entera. ^{[ 145 ]}

Proyección estereográfica en tres dimensiones de un toro de Clifford giratorio

Apeiroedro sesgado regular con seis cuadrados por vértice

Simulación numérica de una almohada cuadrada inflada

En dimensiones superiores, otras superficies distintas del plano pueden ser recubiertas con cuadrados iguales que se unen borde con borde. Una de estas superficies es el toro de Clifford , el producto cartesiano de cuatro dimensiones de dos círculos congruentes; tiene la misma geometría intrínseca que un solo cuadrado con cada par de bordes opuestos pegados. ^{[ 146 ]} Otra superficie recubierta con cuadrados, un apeiroedro sesgado regular en tres dimensiones, tiene seis cuadrados que se unen en cada vértice. ^{[ 147 ]} El problema de la bolsa de papel busca el volumen máximo que puede ser encerrado por una superficie recubierta con dos cuadrados pegados borde con borde; su respuesta exacta es desconocida. ^{[ 148 ]} Pegar dos cuadrados en un patrón diferente, con el vértice de cada cuadrado unido al punto medio de un borde del otro cuadrado (o alternativamente subdividir estos dos cuadrados en ocho cuadrados pegados borde con borde) produce una forma de alfiletero llamada biscornu . ^{[ 149 ]} Las superficies recubiertas con un número finito de cuadrados de la red entera tridimensional se denominan poliominoides . ^{[ 150 ]}

Un rompecabezas matemático común consiste en contar los cuadrados de todos los tamaños en una cuadrícula cuadrada de${\displaystyle n\times n}$cuadrados. Por ejemplo, una cuadrícula cuadrada de nueve cuadrados tiene 14 cuadrados: los nueve cuadrados que forman la cuadrícula, cuatro más${\displaystyle 2\times 2}$cuadrados y uno${\displaystyle 3\times 3}$cuadrado. La respuesta al acertijo es${\displaystyle n(n+1)(2n+1)/6}$, un número piramidal cuadrado . ^{[ 151 ]} Para${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$Estos números son: ^{[ 152 ]}

Una variante del mismo rompecabezas pide el número de cuadrados formados por una cuadrícula de${\displaystyle n\times n}$puntos, permitiendo cuadrados que no son paralelos a los ejes. Por ejemplo, una cuadrícula de nueve puntos tiene cinco cuadrados paralelos a los ejes como se describió anteriormente, pero también contiene un cuadrado diagonal más para un total de seis. ^{[ 153 ]} En este caso, la respuesta viene dada por los números piramidales de 4 dimensiones${\displaystyle n^{2}(n^{2}-1)/12}$. Para${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$Estos números son: ^{[ 154 ]}

Otro problema de conteo que involucra cuadrados pide el número de formas diferentes de rectángulos que se pueden usar al dividir un cuadrado en rectángulos semejantes . Un cuadrado se puede dividir en dos rectángulos semejantes de una sola manera, bisecándolo, pero al dividir un cuadrado en tres rectángulos semejantes hay tres posibles razones de aspecto de los rectángulos, ^{[ 155 ]} 3:1, 3:2 y el cuadrado de la razón plástica , aproximadamente 1.755:1. ^{[ 156 ]} El número de proporciones que son posibles al dividir en${\displaystyle n}$Los rectángulos son conocidos por valores pequeños de${\displaystyle n}$, pero no como una fórmula general. Para${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$Estos números son: ^{[ 157 ]}

Un cuadrado mágico es una matriz cuadrada de números, donde la suma de los números positivos en cada fila, cada columna y ambas diagonales principales es la misma. ^{[ 158 ]} Para${\displaystyle n\times n}$matriz, la suma se puede formular como${\displaystyle n(n^{2}+1)/2}$; los números para${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$son: ^{[ 159 ]}

Cuadrados concéntricos en la esfera ( proyección ortográfica )

Cuadrados concéntricos en el plano hiperbólico ( modelo de disco conforme )

Un octante es un triángulo esférico regular con ángulos rectos.

Los hexágonos regulares con ángulos rectos pueden recubrir el plano hiperbólico con cuatro hexágonos que se unen en cada vértice.

En la geometría euclidiana, el espacio es plano y cada cuadrilátero convexo tiene ángulos internos que suman 360°, por lo que un cuadrado (un cuadrilátero regular) tiene cuatro lados iguales y cuatro ángulos rectos (cada uno de 90°). Por el contrario, en la geometría esférica y la hiperbólica , el espacio es curvo y los ángulos internos de un cuadrilátero convexo nunca suman 360°, por lo que no existen cuadriláteros con cuatro ángulos rectos. Ambas geometrías presentan cuadriláteros regulares, caracterizados por cuatro lados iguales y cuatro ángulos iguales, a menudo denominados cuadrados, ^{[ 160 ]} aunque algunos autores prefieren evitar este nombre porque carecen de ángulos rectos. Estas geometrías también presentan polígonos regulares con ángulos rectos, pero con un número de lados distinto de cuatro. ^{[ 161 ]}

En geometría esférica, el espacio tiene curvatura positiva uniforme, y cada cuadrilátero convexo (un polígono con cuatro lados de arco de círculo máximo ) tiene ángulos cuya suma excede 360° en una cantidad llamada exceso angular , proporcional a su área de superficie. Los cuadrados esféricos pequeños son aproximadamente euclidianos, y los ángulos de los cuadrados más grandes aumentan con el área. ^{[ 160 ]} Un caso especial es la cara de un cubo esférico con cuatro ángulos de 120°, que cubre un sexto de la superficie de la esfera. ^{[ 162 ]} Otro es un hemisferio , la cara de un diedro cuadrado esférico , con cuatro ángulos rectos ; la proyección quincuncial de Peirce para mapas del mundo mapea conformemente dos de esas caras a cuadrados euclidianos. ^{[ 163 ]} Un octante de una esfera es un triángulo esférico regular , con tres lados iguales y tres ángulos rectos; ocho de ellos teselan la esfera, con cuatro que se encuentran en cada vértice, para formar un octaedro esférico . ^{[ 164 ]} Una lúnea esférica es un digon regular , con dos lados semicirculares y dos ángulos iguales en vértices antipodales ; una lúnea de ángulo recto cubre un cuarto de la esfera, una cara de un hosoedro de cuatro lúnulas . ^{[ 165 ]}

En geometría hiperbólica , el espacio tiene curvatura negativa uniforme, y cada cuadrilátero convexo tiene ángulos cuya suma es menor que 360° por una cantidad llamada defecto angular , proporcional a su área de superficie. Los cuadrados hiperbólicos pequeños son aproximadamente euclidianos, y los cuadrados más grandes disminuyen con el aumento del área. Los casos especiales incluyen los cuadrados con ángulos de 360°/ n para cada valor de n mayor que 4 , cada uno de los cuales puede teselar el plano hiperbólico . ^{[ 161 ]} En el límite infinito, un cuadrado ideal tiene cuatro lados de longitud infinita y cuatro vértices en puntos ideales fuera del plano hiperbólico, con ángulos internos de 0° ; ^{[ 166 ]} un cuadrado ideal, como cada cuadrilátero ideal, tiene un área finita proporcional a su defecto angular de 360° . ^{[ 167 ]} También es posible hacer un polígono hiperbólico regular con ángulos rectos en cada vértice y cualquier número de lados mayor que cuatro; Estos polígonos pueden recubrir uniformemente el plano hiperbólico , siendo dual al recubrimiento con n cuadrados alrededor de cada vértice.

El plano euclidiano se puede definir en términos del plano de coordenadas reales mediante la adopción de la función de distancia euclidiana , según la cual la distancia entre dos puntos cualesquiera es...${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$y${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$es${\displaystyle \textstyle {\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}}$Otras geometrías métricas se forman cuando se adopta una función de distancia diferente , y en algunas de estas geometrías, las formas que serían cuadrados euclidianos se convierten en los " círculos " (conjunto de puntos a igual distancia de un punto central). Los cuadrados inclinados a 45° con respecto a los ejes de coordenadas son los círculos en la geometría de taxicab , basada en la${\displaystyle L_{1}}$distancia${\displaystyle |x_{1}-x_{2}|+|y_{1}-y_{2}|}$Los puntos con distancia en taxi${\displaystyle d}$Desde cualquier punto dado, forme un cuadrado diagonal, centrado en el punto dado, con longitud diagonal${\displaystyle 2d}$. Del mismo modo, los cuadrados paralelos a los ejes son los círculos para el${\displaystyle L_{\infty }}$o distancia de Chebyshev ,${\displaystyle \max(|x_{1}-x_{2}|,|y_{1}-y_{2}|)}$. En esta métrica, los puntos con distancia${\displaystyle d}$desde algún punto formen un cuadrado paralelo a los ejes, centrado en el punto dado, con lado de longitud${\displaystyle 2d}$. ^{[ 168 ] [ 169 ] [ 170 ]} De manera similar, un cuadrado y un círculo pueden convertirse en una forma intermedia conocida como squircle . ^{[ 171 ]}