Mapa de impulso

En matemáticas , específicamente en geometría simpléctica , el mapa de momento (o, por etimología errónea, mapa de momento ^{[ 1 ]} ) es una herramienta asociada a una acción hamiltoniana de un grupo de Lie sobre una variedad simpléctica , utilizada para construir cantidades conservadas para dicha acción. El mapa de momento generaliza las nociones clásicas de momento lineal y angular . Es un ingrediente esencial en diversas construcciones de variedades simplécticas, incluyendo los cocientes simplécticos ( de Marsden-Weinstein ) , que se analizan más adelante, y los cortes y sumas simplécticos .

Dejar${\displaystyle M}$ser una variedad con forma simpléctica${\displaystyle \omega }$. Supongamos que un grupo de Lie${\displaystyle G}$actúa en${\displaystyle M}$a través de simplestomorfismos (es decir, la acción de cada uno)${\displaystyle g}$en${\displaystyle G}$conservas${\displaystyle \omega }$). Dejar${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$sea ​​el álgebra de Lie de${\displaystyle G}$,${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$su dual y

${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \rangle$ :{\mathfrak {g}}^{*}\times {\mathfrak {g}}\to \mathbb {R} }

el emparejamiento entre los dos. Cualquier${\displaystyle \xi }$en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$induce un campo vectorial${\displaystyle \rho (\xi )}$en${\displaystyle M}$describiendo la acción infinitesimal de${\displaystyle \xi }$Para ser precisos, en un punto${\displaystyle x}$en${\displaystyle M}$el vector${\displaystyle \rho (\xi )_{x}}$es

${\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}\exp(t\xi )\cdot x,}$

dónde${\displaystyle \exp$ :{\mathfrak {g}}\to G} es la aplicación exponencial y${\displaystyle \cdot }$denota el${\displaystyle G}$-acción sobre${\displaystyle M}$. ^{[ 2 ]} Deje${\displaystyle \iota _ {\rho (\xi )}\omega \,}$denotemos la contracción de este campo vectorial con${\displaystyle \omega }$. Porque${\displaystyle G}$Actúa mediante simplestomorfismos, se deduce, por la fórmula mágica de Cartan , que${\displaystyle \iota _ {\rho (\xi )}\omega \,}$está cerrado (para todos)${\displaystyle \xi }$en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$).

Supongamos que${\displaystyle \iota _ {\rho (\xi )}\omega \,}$no solo está cerrado sino que también es exacto, de modo que${\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\omega =\mathrm {d} H_{\xi }}$para alguna función${\displaystyle H_{\xi }:M\to \mathbb {R} }$. Si esto es cierto, entonces se puede elegir el${\displaystyle H_{\xi }}$para hacer el mapa${\displaystyle \xi \mapsto H_{\xi}}$lineal. Un mapa de momento para el${\displaystyle G}$-acción sobre${\displaystyle (M,\omega )}$es un mapa${\displaystyle \mu :M\to {\mathfrak {g}}^{*}}$de tal manera que

${\displaystyle \mathrm {d} (\langle \mu ,\xi \rangle )=\iota _ {\rho (\xi )}\omega }$

a pesar de${\displaystyle \xi }$en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Aquí${\displaystyle \langle \mu ,\xi \rangle }$es la función de${\displaystyle M}$a${\displaystyle \mathbb {R} }$definido por${\displaystyle \langle \mu ,\xi \rangle (x)=\langle \mu (x),\xi \rangle }$. El mapa de momento está definido de forma única salvo una constante de integración aditiva (en cada componente conectada).

A${\displaystyle G}$-acción sobre una variedad simpléctica${\displaystyle (M,\omega )}$Se denomina hamiltoniano si es simpléctico y admite un mapa de momento.

A menudo también se requiere un mapa de impulso.${\displaystyle G}$-equivariante , donde${\displaystyle G}$actúa en${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$a través de la acción coadjunta , y a veces este requisito se incluye en la definición de una acción de grupo hamiltoniano. Si el grupo es compacto o semisimple, entonces la constante de integración siempre se puede elegir para que el mapa de momento sea coadjunto equivariante. Sin embargo, en general la acción coadjunta debe modificarse para que el mapa sea equivariante (este es el caso, por ejemplo, para el grupo euclidiano ). La modificación es mediante un 1- cociclo en el grupo con valores en${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$, tal como lo describió por primera vez Souriau (1970).

En el caso de una acción hamiltoniana del círculo${\displaystyle G=U(1)}$, el álgebra de Lie dual${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$se identifica naturalmente con${\displaystyle \mathbb {R} }$y el mapa de momento es simplemente la función hamiltoniana que genera la acción circular.

Otro caso clásico se produce cuando${\displaystyle M}$es el haz cotangente de${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$y${\displaystyle G}$es el grupo euclidiano generado por rotaciones y traslaciones. Es decir,${\displaystyle G}$es un grupo de seis dimensiones, el producto semidirecto de${\displaystyle \operatorname {SO} (3)}$y${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. Los seis componentes del mapa de momento son entonces los tres momentos angulares y los tres momentos lineales.

Dejar${\displaystyle N}$ser un colector liso y dejar${\displaystyle T^{*}N}$sea ​​su haz cotangente, con mapa de proyección${\displaystyle \pi :T^{*}N\rightarrow N}$. Dejar${\displaystyle \tau }$denota la 1-forma tautológica en${\displaystyle T^{*}N}$. Suponer${\displaystyle G}$actúa en${\displaystyle N}$. La acción inducida de${\displaystyle G}$en la variedad simpléctica${\displaystyle (T^{*}N,\mathrm {d} \tau )}$, dado por${\displaystyle g\cdot \eta$ :=(T_{\pi (\eta )}g^{-1})^{*}\eta } para${\displaystyle g\in G,\eta \in T^{*}N}$es hamiltoniano con mapa de momento${\displaystyle -\iota _ {\rho (\xi )}\tau }$a pesar de${\displaystyle \xi \in {\mathfrak {g}}}$. Aquí${\displaystyle \iota _ {\rho (\xi )}\tau }$denota la contracción del campo vectorial${\displaystyle \rho (\xi )}$, la acción infinitesimal de${\displaystyle \xi }$, con la forma 1${\displaystyle \tau }$.

Los datos que se mencionan a continuación pueden utilizarse para generar más ejemplos de mapas de momento.

El teorema de Noether admite una formulación particularmente elegante en términos de mapas de momento. Un breve resumen de los objetos relevantes en esta sección: sea una variedad simpléctica.${\displaystyle (M,\omega )}$sea ​​el espacio de fases de un sistema hamiltoniano con hamiltoniano${\displaystyle H:M\rightarrow \mathbb {R} }$Cada punto${\displaystyle z}$en${\displaystyle M}$representa un estado del sistema, y ​​su evolución temporal está regida por${\displaystyle {\dot {z}}=X_{H}}$dónde${\displaystyle X_{H}}$es el campo vectorial hamiltoniano correspondiente al hamiltoniano${\displaystyle H}$; eso es,${\displaystyle \iota _{X_{H}}\omega =dH}$Evolución temporal de las funciones${\displaystyle F:M\rightarrow \mathbb {R} }$Se puede demostrar fácilmente que viene dada por el corchete de Poisson.${\displaystyle \{F,H\}=\omega (X_{F},X_{H})}$.

Ahora bien, el teorema de Noether establece que si el hamiltoniano es invariante bajo la acción del grupo (simplectomorfo)${\displaystyle \Phi (g,z):G\times M\rightarrow M}$con generador infinitesimal${\displaystyle \rho (\xi )}$como se definió anteriormente, el mapa de momento correspondiente${\displaystyle J(\xi )}$será una constante de movimiento. Demostrar esto es sencillo: basta con derivar la condición de invariancia.${\displaystyle H(z)=H(\Phi (g,z))}$con respecto a${\displaystyle g}$Llegar $${\displaystyle {\begin{aligned}0&=dH\cdot \rho (\xi )&\\\rightarrow \quad 0&=\iota _{\rho (\xi )}\iota _{X_{H}}\omega \\\rightarrow \quad 0&=\{H,J(\xi ))\}\\\rightarrow \quad 0&={\dot {J}}(\xi )\end{aligned}}}$$

Supongamos que la acción de un grupo de Lie${\displaystyle G}$en la variedad simpléctica${\displaystyle (M,\omega )}$es hamiltoniano, como se definió anteriormente, con mapa de momento equivariante${\displaystyle \mu :M\to {\mathfrak {g}}^{*}}$De la condición hamiltoniana se deduce que${\displaystyle \mu ^{-1}(0)}$es invariante bajo${\displaystyle G}$.

Supongamos ahora que${\displaystyle G}$actúa libre y correctamente en${\displaystyle \mu ^{-1}(0)}$De ello se deduce que${\displaystyle 0}$es un valor regular de${\displaystyle \mu }$, entonces${\displaystyle \mu ^{-1}(0)}$y su cociente${\displaystyle \mu ^{-1}(0)/G}$son ambas variedades diferenciables. El cociente hereda una forma simpléctica de${\displaystyle M}$; es decir, existe una forma simpléctica única en el cociente cuyo retroceso a${\displaystyle \mu ^{-1}(0)}$es igual a la restricción de${\displaystyle \omega }$a${\displaystyle \mu ^{-1}(0)}$. Por lo tanto, el cociente es una variedad simpléctica, llamada cociente de Marsden-Weinstein , según ( Marsden y Weinstein 1974 ) , cociente simpléctico o reducción simpléctica de${\displaystyle M}$por${\displaystyle G}$y se denota${\displaystyle M/\!\!/G}$Su dimensión es igual a la dimensión de${\displaystyle M}$menos el doble de la dimensión de${\displaystyle G}$.

En términos más generales, si G no actúa libremente (pero aún así correctamente), entonces ( Sjamaar y Lerman 1991 ) demostraron que${\displaystyle M/\!\!/G=\mu ^{-1}(0)/G}$es un espacio simpléctico estratificado, es decir, un espacio estratificado con estructuras simplécticas compatibles en los estratos.

El espacio${\displaystyle \Omega ^{1}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})}$de conexiones en el haz trivial${\displaystyle \Sigma \times G}$en una superficie lleva una forma simpléctica de dimensión infinita

${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle$ :=\int _{\Sigma }{\text{tr}}(\alpha \wedge \beta ).}

El grupo de indicadores${\displaystyle {\mathcal {G}}={\text{Map}}(\Sigma ,G)}$actúa sobre conexiones por conjugación${\displaystyle g\cdot A:=g^{-1}(\mathrm {d} g)+g^{-1}Ag}$. Identificar${\displaystyle {\text{Lie}}({\mathcal {G}})=\Omega ^{0}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})=\Omega ^{2}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})^{*}}$a través del emparejamiento de integración. Luego el mapa

${\displaystyle \mu$ :\Omega ^{1}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})\rightarrow \Omega ^{2}(\Sigma ,{\mathfrak {g}}),\qquad A\;\mapsto \;F:=\mathrm {d} A+{\frac {1}{2}}[A\wedge A]}

que envía una conexión a su curvatura es un mapa de momentos para la acción del grupo de calibre sobre las conexiones. En particular, el espacio de módulos de conexiones planas módulo equivalencia de calibre${\displaystyle \mu ^{-1}(0)/{\mathcal {G}}=\Omega ^{1}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})/\!\!/{\mathcal {G}}}$se obtiene mediante reducción simpléctica.

• Cociente GIT
• La cuantización conmuta con la reducción.
• grupo de Poisson-Lie
• colector tórico
• Mecánica geométrica
• Mapa de Kirwan
• Teorema de convexidad de Kostant
• Cuantización BRST

• J.-M. Souriau, Structure des systèmes dynamiques , Maîtrises de mathématiques, Dunod, París, 1970. ISSN 0750-2435 . 
• SK Donaldson y PB Kronheimer , La geometría de las variedades de cuatro dimensiones , Oxford Science Publications, 1990. ISBN 0-19-850269-9.
• Dusa McDuff y Dietmar Salamon, Introducción a la topología simpléctica , Oxford Science Publications, 1998. ISBN 0-19-850451-9.
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