Análisis matemático

Mathematical analysis formally developed in the 17th century during the Scientific Revolution,^[1] but many of its ideas can be traced back to earlier mathematicians. Early results in analysis were implicitly present in the early days of ancient Greek mathematics. For instance, an infinite geometric sum is implicit in Zeno'sparadox of the dichotomy.^[2] (Strictly speaking, the point of the paradox is to deny that the infinite sum exists.) Later, Greek mathematicians such as Eudoxus and Archimedes made more explicit, but informal, use of the concepts of limits and convergence when they used the method of exhaustion to compute the area and volume of regions and solids.^[3] The explicit use of infinitesimals appears in Archimedes' The Method of Mechanical Theorems, a work rediscovered in the 20th century.^[4] In Asia, the Chinese mathematicianLiu Hui used the method of exhaustion in the 3rd century CE to find the area of a circle.^[5] From Jain literature, it appears that Hindus were in possession of the formulae for the sum of the arithmetic and geometric series as early as the 4th century BCE.^[6]Ācārya Bhadrabāhu uses the sum of a geometric series in his Kalpasūtra in 433 BCE.^[7]

Durante el período medieval, matemáticos de diversas tradiciones desarrollaron métodos que anticiparon temas posteriores en análisis, incluyendo la cuadratura, las series infinitas, el razonamiento infinitesimal, la aproximación y el estudio matemático del movimiento. En el mundo islámico, Ibn al-Haytham trabajó en sumas de potencias y problemas de área, e Ibrahim ibn Sinan generalizó los métodos arquimedianos en la cuadratura de la parábola. ^{[ 8 ] [ 9 ]} En la Europa medieval, los Calculadores de Oxford estudiaron el movimiento uniformemente acelerado, y Nicole Oresme dio una demostración gráfica del teorema de la velocidad media , representando el desplazamiento por el área bajo una gráfica de velocidad-tiempo. Oresme también utilizó series infinitas y demostró la divergencia de la serie armónica . ^{[ 10 ]} En la India, Bhāskara II utilizó el razonamiento infinitesimal y enunció resultados relacionados con lo que ahora se llama el teorema de Rolle , y la escuela de astronomía y matemáticas de Kerala , especialmente Madhava , desarrolló series infinitas para funciones trigonométricas. ^{[ 11 ]} Estos desarrollos no eran análisis matemático en el sentido moderno, pero fueron precursores importantes del cálculo y el análisis.

Las cuestiones relativas a la naturaleza del continuo fueron importantes para los filósofos europeos medievales. En particular, si el continuo podía dividirse infinitamente, si estaba compuesto de puntos. Las obras de Aristóteles, que solo se difundieron más ampliamente en Europa en el siglo XIII, sostenían que el continuo no estaba formado por puntos: si lo estuviera, los puntos tendrían que estar uno al lado del otro, lo cual sería incompatible con la inseparabilidad del continuo. En el siglo XIV, Thomas Bradwardine describió el continuo como una colección infinita de infinitesimales en el Tractatus de continuo , pero no de puntos. Guillermo de Occam sostenía, por el contrario, que el continuo está formado por puntos reales. Aristóteles también había escrito sobre la naturaleza del infinito, clasificando dos tipos diferentes de infinito: el infinito potencial y el infinito real . Para los filósofos europeos medievales, la naturaleza del infinito planteaba problemas a las ideas de divisibilidad infinita e infinitesimales, pues si una subdivisión de un continuo era infinitesimal, su proporción con respecto al continuo completo tendría que ser infinita, lo que daría lugar a diversas paradojas. Richard Swineshead, en Liber calculationum, escribió que tales proporciones simplemente debían dejarse sin definir, y que los argumentos sobre el infinito no proceden como argumentos sobre cantidades finitas. Estas son algunas de las primeras semillas en la tradición europea en la que surgirían las ideas de Leibniz sobre el continuo unos tres siglos después, con Leibniz reconociendo explícitamente a Swineshead. ^{[ 12 ]}

A principios del siglo XVII, los métodos que anticipaban el cálculo se volvieron cada vez más sistemáticos. Johannes Kepler empleó argumentos infinitesimales y de sumatoria en problemas de área y volumen, Galileo Galilei relacionó las matemáticas con el estudio del movimiento, Bonaventura Cavalieri desarrolló el método de los indivisibles y Evangelista Torricelli extendió dichos métodos a la geometría y la mecánica. Si bien estos trabajos aún no constituían el análisis matemático en el sentido moderno, contribuyeron a desplazar el campo de estudio de las construcciones geométricas clásicas hacia métodos generales para el tratamiento de cantidades continuas, tangentes, áreas, volúmenes y movimiento. El posterior desarrollo del cálculo diferencial e integral por Newton y Leibniz se convirtió en el punto de partida de gran parte del análisis posterior. ^{[ 13 ]}

Los números reales constituyen el marco estándar para gran parte del análisis clásico. Su completitud, a menudo expresada mediante la propiedad del límite superior mínimo , subyace a resultados básicos sobre límites , continuidad , diferenciación e integración .

La aproximación juega un papel fundamental en muchas áreas de las matemáticas. Un ejemplo es el límite de una sucesión de números reales. Una sucesión de números reales es una familia de números reales.${\displaystyle a_{1},a_{2}\ldots }$de números reales, cada uno indexado por un número natural. Se dice que una sucesión converge a un límite.${\displaystyle L}$si casi todos los miembros de la secuencia están arbitrariamente cerca de${\displaystyle L}$. Más precisamente, esto significa que para cualquier tolerancia de error${\displaystyle \epsilon }$, todos los miembros de la secuencia están dentro${\displaystyle \epsilon }$de${\displaystyle L}$excepto posiblemente para un número finito de miembros de la secuencia. Formalmente, para cualquier error${\displaystyle \epsilon >0}$hay un número entero${\displaystyle N}$de tal manera que $${\displaystyle |a_{n}-L|<\epsilon }$$ cuando sea${\displaystyle n>N}$.

Este ejemplo muestra el uso de la aproximación: los elementos${\displaystyle a_{n}}$aproximar el número${\displaystyle L}$y la tolerancia de error es${\displaystyle \epsilon }$Sin embargo, la convergencia por sí sola no proporciona información sobre la calidad de la aproximación, y muchos resultados en el análisis se refieren a la calidad de la aproximación.

Otro ejemplo proviene del cálculo diferencial. Una función real${\displaystyle f}$es diferenciable en un punto${\displaystyle a}$si existe una función lineal${\displaystyle L(x)=f(a)+f'(a)(xa)}$que se aproxima bien a la función cerca del punto${\displaystyle x=a}$. Pero "bueno" aquí solo significa que el error de aproximación $${\displaystyle |f(x)-L(x)|=o(xa)}$$ dónde${\displaystyle o(xa)}$es una función que tiende a cero más rápido que${\displaystyle xa}$como${\displaystyle x\to a}$Las mejores aproximaciones proporcionan estimaciones más uniformes y cuantitativas sobre el tamaño del término de error. El teorema de Taylor , por ejemplo, establece que para una función dos veces continuamente diferenciable en un intervalo cerrado que contiene${\displaystyle a}$$${\displaystyle |f(x)-L(x)|\leq M(xa)^{2}}$$ dónde${\displaystyle M}$puede estimarse explícitamente utilizando la segunda derivada. Esto permite determinar el error en la aproximación lineal con mucha más precisión que la diferenciabilidad en el punto.

La desigualdad${\displaystyle |f(x)-L(x)|\leq M(xa)^{2}}$Es un ejemplo de lo que se denomina estimación en análisis. Las estimaciones son desigualdades que se utilizan para cuantificar el error en una aproximación, así como, de forma más general, para expresar que una determinada operación está controlada (limitada) por otra.

La continuidad también desempeña un papel fundamental en el análisis. En el análisis elemental, la idea de una función continua se introduce mediante una definición épsilon-delta . En términos generales, una función es continua en un punto si cambios suficientemente pequeños en la entrada producen cambios pequeños en la salida. Esto descarta los "saltos" en la gráfica de la función u otros tipos de comportamiento oscilatorio anómalo.

La continuidad es importante en el análisis porque permite que el control local de una función implique conclusiones globales cuando se combina con hipótesis adicionales como la conexidad o la compacidad. Por ejemplo, las funciones continuas de valor real en intervalos poseen la propiedad de valor intermedio , y las funciones continuas de valor real en conjuntos compactos alcanzan valores máximos y mínimos . Las funciones continuas en espacios métricos compactos también son uniformemente continuas , lo que significa que la función oscila en una escala comparable en todo el dominio. Estos resultados son herramientas básicas en cálculo, optimización, ecuaciones diferenciales y teoría de la aproximación.

Las funciones continuas se generalizan fácilmente a espacios métricos y otros espacios topológicos . Los espacios de funciones continuas se encuentran entre los más estudiados en el análisis funcional , donde proporcionan herramientas estructurales útiles para el estudio de un espacio. En ecuaciones diferenciales, la continuidad también es una condición de regularidad umbral: en análisis más avanzados, los teoremas de regularidad suelen demostrar que los objetos definidos inicialmente de forma débil, casi en todas partes , o distribucional, tienen representantes continuos bajo hipótesis adicionales, y por lo tanto pueden tratarse como funciones honestas en lugar de objetos más generales.

Un espacio métrico es un conjunto en el que se define una noción de distancia (llamada métrica ) entre los elementos del conjunto.

Gran parte del análisis se realiza en algún espacio métrico; los más utilizados son la recta real , el plano complejo , el espacio euclidiano , otros espacios vectoriales y los números enteros .

Gran parte del análisis funcional se ocupa de espacios de funciones , a los que se les puede dar la estructura de un espacio métrico, como los espacios de Banach y los espacios de Hilbert . En muchos de estos ejemplos, la métrica proviene de una norma . Por ejemplo, el espacio de funciones continuas de valor real.${\displaystyle C([0,1])}$en el intervalo unitario es un espacio de Banach bajo la norma del supremo . Los espacios de importancia primordial en la teoría de la medida y el análisis armónico son los espacios L ^p , que son espacios métricos cuyas métricas también provienen de una norma, son completos ; es decir, son espacios de Banach.

Los espacios métricos son sumamente convenientes en análisis, ya que muchos de los resultados de aproximación fuerte válidos en el espacio euclidiano se extienden a los espacios métricos con mínimas modificaciones. Por ejemplo, la compacidad en espacios métricos es equivalente a la compacidad secuencial, por lo que los argumentos de límite en espacios métricos resultan relativamente sencillos en comparación con espacios más generales en análisis. Los espacios métricos compactos y completos son especialmente importantes en análisis, donde muchos argumentos requieren la existencia de límites.

Los números complejos constituyen otra herramienta importante para muchas ecuaciones analíticas. Una función de valor complejo de una variable compleja es holomorfa si su derivada existe como límite complejo en cada punto de su dominio. Las funciones holomorfas son mucho más rígidas que las funciones diferenciables de una variable real: son funciones analíticas , representadas localmente por series de potencias convergentes.

Una herramienta importante en variables complejas es la integración de contorno , en la que las funciones se integran a lo largo de curvas en el plano complejo. El teorema integral de Cauchy , la fórmula integral de Cauchy y el teorema de los residuos relacionan los valores de una función holomorfa o meromorfa con su comportamiento en curvas y cerca de singularidades. Estos resultados permiten desplazar los contornos al integrar una función holomorfa, siempre que la deformación del contorno no atraviese una singularidad. Esto resulta útil para evaluar muchas integrales reales y para el estudio de funciones a través de sus singularidades.

En la teoría de operadores y la teoría espectral , la resolvente de un operador codifica información sobre su espectro y, a menudo, permite definir funciones de operadores mediante integración compleja. Por lo tanto, las variables complejas aparecen en relación con ecuaciones diferenciales e integrales, problemas de valores propios y la teoría de operadores lineales.

La teoría de la medida proporciona una forma sistemática de asignar tamaños a subconjuntos de un espacio, generalizando así la longitud, el área y el volumen en el espacio euclidiano. En abstracto, la teoría de la medida comienza especificando una clase de conjuntos medibles , es decir, conjuntos que poseen una medida. Estos conjuntos medibles forman un álgebra sigma , lo que significa que se pueden realizar uniones e intersecciones numerables, así como complementos de conjuntos. Las medidas se definen de manera que sean compatibles con las operaciones de conjuntos sobre los conjuntos medibles.

En teoría de la medida, la convergencia puntual de funciones puede sustituirse por la noción de convergencia casi en todas partes , es decir, convergencia en todos los puntos excepto en aquellos cuya medida es cero. La convergencia casi en todas partes resulta mucho más conveniente en teoría de la medida: a menudo, los distintos tipos de convergencia media no pueden controlar un conjunto preciso en el que falla la convergencia puntual, pero sí pueden asegurar que dicho conjunto tenga medida cero. Las funciones suelen identificarse si coinciden casi en todas partes, es decir, fuera de un conjunto de medida cero. Por lo tanto, en la práctica, los conjuntos de medida cero suelen ignorarse.

La integral de Lebesgue extiende la integral de Riemann y se adapta mejor a los procesos límite del análisis. La idea de la integral de Lebesgue, para una función no negativa${\displaystyle f}$Es posible reordenar sus valores para formar una función decreciente, utilizando la medida de sus conjuntos de supernivel para definir dicho reordenamiento. La integración de funciones decrecientes presenta mejores propiedades límite bajo integración, y este buen comportamiento puede transferirse a la integral de Lebesgue. Existen teoremas como la convergencia monótona , el lema de Fatou y el teorema de convergencia dominada que simplifican numerosos argumentos límite.

La teoría de la medida también proporciona los fundamentos matemáticos de la teoría de la probabilidad . Un espacio de probabilidad es un espacio de medida cuya medida total es uno, y los valores esperados son integrales con respecto a esta medida de probabilidad.

Muchos espacios de funciones en análisis se definen mediante medidas. Los espacios L ^p consisten en funciones cuyas potencias son integrables, y se identifican cuando coinciden casi en todas partes. Estos espacios son importantes en todo el análisis, como en el análisis armónico y las ecuaciones diferenciales parciales .

Otro tema recurrente en el análisis es la descomposición de funciones en partes más simples, determinadas por la simetría, la escala o la oscilación. El ejemplo prototípico es el de las series de Fourier , que descomponen una función periódica en sinusoides básicas . Las series de Fourier adoptan la forma de una serie trigonométrica.$${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{en\theta }}$$ dónde${\displaystyle c_{n}}$son números complejos y${\displaystyle \theta }$es la variable independiente.

La serie de Fourier es un ejemplo de expansión de autofunciones , con las exponenciales.${\displaystyle e^{in\theta }}$siendo las autofunciones del grupo de rotación que actúa sobre el círculo. Tiene la propiedad de ser una expansión ortogonal: cualesquiera dos de las autofunciones son ortogonales en el espacio de Hilbert de funciones de cuadrado integrable en el círculo. Las expansiones de autofunciones aparecen en muchas áreas del análisis matemático, y particularmente en sus aplicaciones a las ciencias donde la simetría suele ser importante. Un ejemplo de otro tipo de expansión de autofunciones es la descomposición de una función en la esfera en armónicos esféricos . Nuevamente, esta es una expansión ortogonal, y la ortogonalidad de la expansión conduce a un aislamiento manejable de cada espacio.

Las expansiones pueden utilizarse para estudiar la convergencia y la aproximación, la suavidad y la oscilación, el decaimiento y las soluciones de ecuaciones diferenciales. Los espacios de Sobolev , por ejemplo, relacionan la suavidad de las funciones con el decaimiento de sus coeficientes de Fourier. Estas representaciones pueden mostrar información estructural que puede resultar difícil de apreciar a partir de la forma original de una función.

El análisis de Fourier es el estudio de dichas descomposiciones, centrándose principalmente en la transformada de Fourier y algunas de sus generalizaciones.

Muchos problemas de análisis se refieren a cómo cambian las cantidades con el tiempo o bajo la aplicación repetida de una regla. Esto conduce a ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales , donde se estudian funciones cuyas derivadas satisfacen relaciones preestablecidas. Para aplicaciones repetidas de una regla, se estudian iteraciones de una función o transformación, dando lugar a sistemas dinámicos discretos .

Analytic questions in dynamics include existence and uniqueness of solutions, stability, approximation of trajectories, long-time behavior, and dependence on initial conditions. For example, a differential equation may determine a flow on a space, while iteration of a map produces an orbit. Analytic tools are used to determine whether such orbits converge, remain bounded, become periodic, or exhibit more complicated behavior.

Dynamics is an important application of analytic methods, and leads to ideas and techniques within analysis itself. In ergodic theory, the key objects are transformations that preserve a measure, and one asks how time averages along orbits relate to space averages over the whole system. The basic theory concerns whether time averages of functions become equal to their spatial averages under the orbit of a system, and how rapidly that approximation takes place. In functional analysis, evolution problems are often studied using one-parameter families of operators, such as operator semigroups, which generalize the exponential function from numbers or matrices to infinite-dimensional spaces.

Many areas of analysis study operators, like differential operators, integral operators, or linear transformations on a function space or other topological vector space. Operators can encode information such as the evolution of a system, a differential or integral equation, or a quantum state or observable. The spectral theory of operators allows operators to be broken into pieces and represented, generalizing aspects of the eigenvalue decomposition from linear algebra to infinite dimensions. As in linear algebra, it is often possible to understand an operator more deeply through its spectral decomposition.

Calculus is a branch of analysis that deals primarily with calculation and applications.^[17][18] The two branches of calculus are: integral calculus, which deals with the study of averages, accumulation, and area; and differential calculus, which studies rates of change, linear approximation, and the derivative. Examples of applications of calculus include how to work with approximations such as Taylor approximations and Taylor series, integration in elementary terms, numerical approximations to integration, and basic optimization.

Vector analysis, also called vector calculus, is part of calculus that deals with vector-valued functions.^[19]

Real analysis (traditionally, the "theory of functions of a real variable") is a branch of mathematical analysis dealing with the real numbers and real-valued functions of a real variable.^[20][21] In particular, it deals with the properties of real functions and sequences, including convergence and limits of sequences of real numbers, providing rigorous foundations for calculus, and continuity, smoothness and related properties of real-valued functions.

Complex analysis (traditionally known as the "theory of functions of a complex variable") is the branch of mathematical analysis that investigates functions of complex numbers.^[22][23][24] It is useful in many branches of mathematics, including algebraic geometry, number theory, applied mathematics; as well as in physics, including hydrodynamics, thermodynamics, mechanical engineering, electrical engineering, and particularly, quantum field theory.

Complex analysis is particularly concerned with the analytic functions of complex variables (or, more generally, meromorphic functions). Because the separate real and imaginary parts of any analytic function must satisfy Laplace's equation, complex analysis is widely applicable to two-dimensional problems in physics.

El análisis funcional es una rama del análisis matemático, cuyo núcleo está formado por el estudio de espacios vectoriales dotados de algún tipo de estructura relacionada con límites (por ejemplo, producto interno , norma , topología , etc.) y los operadores lineales que actúan sobre estos espacios y respetan estas estructuras en un sentido adecuado. ^{[ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ]} Las raíces históricas del análisis funcional se encuentran en el estudio de espacios de funciones y la formulación de propiedades de transformaciones de funciones como la transformada de Fourier como transformaciones que definen operadores continuos , unitarios , etc., entre espacios de funciones. Este punto de vista resultó ser particularmente útil para el estudio de ecuaciones diferenciales e integrales .

El análisis de Fourier es una rama del análisis matemático que se ocupa de la representación de funciones y señales como la superposición de ondas básicas . ^{[ 29 ] [ 30 ]} Esto incluye el estudio de las nociones de series de Fourier y transformadas de Fourier , y de sus generalizaciones. El análisis de Fourier también incluye el estudio de operadores diferenciales lineales con coeficientes constantes y sus generalizaciones a operadores pseudodiferenciales .

El análisis microlocal es un subcampo del análisis de Fourier que se ocupa de cómo localizar las singularidades de las funciones y cómo se propagan bajo operadores diferenciales y pseudodiferenciales.

El análisis armónico es una rama de las matemáticas que tiene su origen en el estudio de las funciones armónicas , y especialmente en sus valores de frontera. La teoría de funciones armónicas conduce naturalmente al estudio de espacios funcionales como los espacios de Hardy , y en particular a los criterios de pertenencia a dichos espacios y a las estimaciones de operadores. Incluye muchos de los métodos del análisis de Fourier, pero también otros métodos de descomposición, como las descomposiciones de Calderón-Zygmund, que dividen las funciones en partes que pueden ser tratadas con métodos de Fourier y partes que pueden ser tratadas con métodos locales. ^{[ 31 ]}

El análisis armónico abstracto es una tradición relacionada que generaliza los métodos de Fourier a grupos distintos de aquellos a los que se aplican los métodos clásicos de Fourier.

Una ecuación diferencial es una ecuación matemática para una función desconocida de una o varias variables que relaciona los valores de la función misma y sus derivadas de varios órdenes . ^{[ 32 ] [ 33 ] [ 34 ] [ 35 ]} Las ecuaciones diferenciales desempeñan un papel destacado en la ingeniería , la física , la economía , la biología y otras disciplinas.

Las ecuaciones diferenciales surgen en muchos ámbitos de la ciencia y la tecnología, especialmente cuando se conoce o se postula una relación determinista que involucra cantidades que varían continuamente (modeladas mediante funciones) y sus tasas de cambio en el espacio o el tiempo (expresadas como derivadas). Esto se ilustra en la mecánica clásica , donde el movimiento de un cuerpo se describe mediante su posición y velocidad a medida que varía el tiempo. Las leyes de Newton permiten expresar dinámicamente estas variables (dada la posición, la velocidad, la aceleración y las diversas fuerzas que actúan sobre el cuerpo) como una ecuación diferencial para la posición desconocida del cuerpo en función del tiempo. En algunos casos, esta ecuación diferencial (denominada ecuación de movimiento ) puede resolverse explícitamente.

Una medida en un conjunto es una forma sistemática de asignar un número a cada subconjunto adecuado de ese conjunto, interpretado intuitivamente como su tamaño. ^{[ 36 ] [ 37 ]} En este sentido, una medida es una generalización de los conceptos de longitud, área y volumen. Un ejemplo particularmente importante es la medida de Lebesgue en un espacio euclidiano , que asigna la longitud , el área y el volumen convencionales de la geometría euclidiana a subconjuntos adecuados del${\displaystyle n}$espacio euclidiano de -dimensiones${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$Por ejemplo, la medida de Lebesgue del intervalo${\displaystyle \left[0,1\right]}$en los números reales es su longitud en el sentido cotidiano de la palabra, específicamente, 1.

Técnicamente, una medida es una función que asigna un número real no negativo o +∞ a (ciertos) subconjuntos de un conjunto.${\displaystyle X}$Debe asignar 0 al conjunto vacío y ser ( contablemente ) aditivo: la medida de un subconjunto 'grande' que puede descomponerse en un número finito (o contable) de subconjuntos disjuntos 'más pequeños', es la suma de las medidas de los subconjuntos "más pequeños". En general, si se quiere asociar un tamaño consistente a cada subconjunto de un conjunto dado, al tiempo que se satisfacen los demás axiomas de una medida, solo se encuentran ejemplos triviales como la medida de conteo . Este problema se resolvió definiendo la medida solo en una subcolección de todos los subconjuntos; los llamados subconjuntos medibles , que se requieren para formar un${\displaystyle \sigma }$-álgebra . Esto significa que el conjunto vacío, las uniones numerables , las intersecciones numerables y los complementos de subconjuntos medibles son medibles. Los conjuntos no medibles en un espacio euclidiano, en los que la medida de Lebesgue no puede definirse de forma consistente, son necesariamente complicados en el sentido de estar muy mezclados con su complemento. De hecho, su existencia es una consecuencia no trivial del axioma de elección .

El análisis numérico es el estudio de algoritmos que utilizan la aproximación numérica (a diferencia de las manipulaciones simbólicas generales ) para los problemas del análisis matemático (a diferencia de las matemáticas discretas ). ^{[ 38 ]}

El análisis numérico moderno no busca respuestas exactas, ya que en la práctica a menudo resulta imposible obtenerlas. En cambio, gran parte del análisis numérico se centra en obtener soluciones aproximadas manteniendo límites razonables para los errores.

El análisis numérico encuentra aplicaciones naturales en todos los campos de la ingeniería y las ciencias físicas, pero en el  siglo XXI, las ciencias biológicas e incluso las artes han adoptado elementos de la computación científica. Las ecuaciones diferenciales ordinarias aparecen en la mecánica celeste (planetas, estrellas y galaxias); el álgebra lineal numérica es importante para el análisis de datos ; las ecuaciones diferenciales estocásticas y las cadenas de Markov son esenciales para simular células vivas en medicina y biología.

El análisis geométrico es la rama del análisis que se ocupa del estudio de las variedades , a menudo variedades riemannianas . Se estudian frecuentemente cuestiones globales de geometría riemanniana. ^{[ 39 ]} Un ejemplo es la geometría espectral del operador de Laplace-Beltrami , que generaliza el problema de percibir la forma de un tambor , por ejemplo. Otras cuestiones globales en análisis geométrico incluyen ecuaciones diferenciales parciales en variedades riemannianas, como la ecuación de Yamabe y el flujo de Ricci . Este último condujo a la demostración de la conjetura de Poincaré .

El análisis convexo es la rama del análisis que se ocupa de las funciones convexas , los conjuntos convexos y sus aplicaciones a la optimización y la programación lineal . Las funciones convexas generalmente cuentan con métodos más potentes para garantizar la existencia y unicidad de mínimos, especialmente cuando se combinan con una semicontinuidad menor . Existen numerosas dualidades en la optimización convexa, a menudo expresadas en términos del conjugado convexo , que permiten emparejar un problema de optimización con un problema dual , lo que proporciona un criterio útil para comprobar la optimalidad de una posible solución o determinar el margen de error en una solución numérica.

El cálculo de variaciones ^{[ 40 ]} estudia la búsqueda de soluciones óptimas para problemas de minimización en espacios de dimensión infinita. Un ejemplo básico es encontrar una geodésica en una superficie : se conocen los extremos y se debe hallar, dentro del espacio de dimensión infinita de todos los caminos posibles, una trayectoria que minimice la longitud del arco. Muchos problemas de ecuaciones diferenciales parciales admiten una caracterización variacional más natural, lo que puede conducir a la noción de soluciones débiles , que suelen ser más adecuadas para métodos analíticos y cálculos numéricos. Los métodos directos del cálculo de variaciones formulan los problemas variacionales como problemas de optimización convexa.

El transporte óptimo es una subrama del cálculo de variaciones que se ocupa de la formulación y solución del problema del transporte de mercancías de un lugar a otro sujeto a restricciones de coste. Esta subrama comparte muchas ideas con el análisis convexo, incluyendo teoremas de dualidad como la dualidad de Kantorovich , que es una forma de la dualidad de Legendre . Las ideas del transporte óptimo tienen aplicaciones amplias e inesperadas, como la métrica de Wasserstein y sus aplicaciones al aprendizaje automático .

La teoría de la probabilidad está estrechamente relacionada con el análisis matemático a través de la teoría de la medida . ^{[ 41 ]} En la formulación axiomática moderna, un espacio de probabilidad es un espacio de medida de medida total uno, las variables aleatorias son funciones medibles y los valores esperados son integrales con respecto a una medida de probabilidad . Los métodos analíticos son fundamentales en el estudio de la convergencia de variables aleatorias, martingalas , procesos estocásticos , movimiento browniano , ecuaciones diferenciales estocásticas y teoría ergódica .

La teoría de la probabilidad es un área de las matemáticas con entidad propia, pero muchos de sus fundamentos y métodos modernos pertenecen al análisis. El análisis estocástico estudia cuestiones analíticas que involucran procesos aleatorios, incluyendo la integración estocástica , las ecuaciones diferenciales estocásticas y sus conexiones con las ecuaciones diferenciales parciales y el análisis funcional.

La gran mayoría de la mecánica clásica , la relatividad y la mecánica cuántica se basan en el análisis aplicado, y en particular en las ecuaciones diferenciales . Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales importantes son la segunda ley de Newton , la ecuación de Schrödinger y las ecuaciones de campo de Einstein .

El análisis funcional es también un factor importante en la mecánica cuántica .

Al procesar señales, como audio , ondas de radio , ondas de luz, ondas sísmicas e incluso imágenes, el análisis de Fourier permite aislar componentes individuales de una forma de onda compuesta, concentrándolos para facilitar su detección o eliminación. Una amplia gama de técnicas de procesamiento de señales consiste en aplicar la transformada de Fourier a una señal, manipular los datos transformados de forma sencilla y revertir la transformación. ^{[ 42 ]}

Las técnicas del análisis se utilizan en muchas áreas de las matemáticas, entre ellas:

• Teoría analítica de números
• Combinatoria analítica
• Probabilidad continua
• Entropía diferencial en la teoría de la información
• Juegos diferenciales
• La geometría diferencial es la aplicación del cálculo a espacios matemáticos específicos conocidos como variedades , que poseen una estructura interna compleja pero se comportan de manera sencilla a nivel local.
• Variedades diferenciables
• Topología diferencial
• Ecuaciones diferenciales parciales