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Articulo de referencia

Cubo

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Un cubo es un objeto sólido tridimensional en geometría . Tiene ocho vértices y doce aristas rectas de la misma longitud, de modo que estas aristas forman seis caras cuadradas del mismo tamaño. Es un ejemplo de poliedro . Es un caso especial de cuboide , paralelepípedo y romboedro en el que las seis caras cuadriláteras son cuadradas. Es un hipercubo tridimensional , una familia de politopos que también incluye el cuadrado bidimensional y el teseracto tetradimensional .

El cubo está presente en numerosas culturas populares, como juguetes y juegos, artes, ilusiones ópticas y arquitectura. Se encuentra en estructuras cristalinas, ciencia y dispositivos tecnológicos. También aparece en textos antiguos, como el Timeo de Platón , que describe un conjunto de sólidos conocidos como sólidos platónicos , asociando el cubo con el elemento clásico de la tierra . Un cubo de longitud unitaria es la unidad canónica de volumen en el espacio tridimensional, con respecto a la cual se miden otros objetos sólidos.

El cubo se puede representar de muchas maneras. Una de ellas es dibujando un grafo con vértices conectados por una arista en un plano. Dicho grafo se denomina grafo cúbico , un caso especial del grafo hipercubo .

El cubo es la base de la construcción de muchos poliedros y otras figuras geométricas. Por ejemplo, al truncar los vértices de un cubo se obtiene un cubo truncado . Al unir uno o más cubos cara a cara se forma un policubo , una versión tridimensional de los poliominós . Dos o más cubos pueden tener el mismo centro, formando compuestos poliédricos . Los cubos pueden formar un panal uniéndose cara a cara, rellenando un espacio sin dejar huecos .

Propiedades

Cubo modelado en 3D, donde se puede hacer clic y arrastrar para rotar.
Modelo 3D de un cubo

Un cubo es un poliedro con ocho vértices y doce aristas de igual longitud, que forman seis cuadrados como caras. Un cubo es un caso especial de un paralelepípedo rectangular , que tiene seis caras rectangulares , cada una de las cuales tiene un par de aristas opuestas, de igual longitud y paralelas. [ 1 ] Ambos poliedros tienen el mismo ángulo diedro , el ángulo entre dos caras adyacentes en una arista común, un ángulo recto o 90°, que se obtiene del ángulo interior (un ángulo formado entre dos lados adyacentes en un punto común de un polígono interior) de un cuadrado. [ 2 ] [ 3 ] De forma más general, el cubo y el paralelepípedo rectangular son casos especiales de un paralelepípedo , un poliedro con seis cuadriláteros (polígonos de cuatro lados). [ 4 ] Como para todos los poliedros convexos, el cubo tiene una característica de Euler de 2, según la fórmulaV−mi+F=2{\displaystyle V-E+F=2}; las tres letras denotan respectivamente el número de vértices, aristas y caras. [ 5 ]

Las tres caras cuadradas que rodean un vértice son ortogonales entre sí, lo que significa que los planos son perpendiculares, formando un ángulo recto entre dos cuadrados adyacentes. Por lo tanto, el cubo se clasifica como un poliedro ortogonal . [ 6 ] El cubo es un caso especial de otros cuboides. Estos incluyen un paralelepípedo , un poliedro con seis caras de paralelogramos , porque sus pares de caras opuestas son congruentes; [ 7 ] un romboedro , como un caso especial de un paralelepípedo con seis caras de rombos , porque el ángulo interior de todas las caras es recto; [ 8 ] y un trapezoedro trigonal , un poliedro con caras cuadriláteras congruentes, ya que sus caras cuadradas son casos especiales de rombos. [ 9 ]

El cubo es un poliedro no compuesto o elemental . Es decir, ningún plano interseca su superficie solo a lo largo de sus aristas, dividiéndola así en dos o más poliedros convexos de caras regulares. [ 10 ]

Medición

Una diagonal espacial AC' y una diagonal frontal AC
Una diagonal de la cara se denota comoAdo{\displaystyle AC}y una diagonal espacial esAdo′{\displaystyle AC'}

Dado un cubo con longitud de aristaa{\displaystyle a}La diagonal de la cara del cubo es la diagonal de un cuadrado.a2{\displaystyle a{\sqrt {2}}}y la diagonal espacial del cubo es una línea que conecta dos vértices que no están en la misma cara, formulada comoa3{\displaystyle a{\sqrt {3}}}Ambas fórmulas se pueden determinar utilizando el teorema de Pitágoras . El área de la superficie de un cuboA{\displaystyle A}es seis veces el área de un cuadrado: [ 11 ]A=6a2.{\displaystyle A=6a^{2}.} El volumen de un paralelepípedo rectangular se calcula multiplicando su longitud, anchura y altura. Dado que todas las aristas de un cubo tienen la misma longitud, la fórmula para el volumen de un cubo es la tercera potencia de la longitud de su lado. [ 11 ] Esto lleva al uso del término cubo como verbo , para referirse a elevar cualquier número a la tercera potencia: [ 4 ]V=a3.{\displaystyle V=a^{3}.}

El cubo tiene tres tipos de geodésicas cerradas , o trayectorias en la superficie del cubo que son localmente rectas. En otras palabras, evitan los vértices, siguen segmentos de línea a través de las caras que cruzan y forman ángulos complementarios en las dos caras incidentes de cada arista que cruzan. Una configuración se encuentra en un plano paralelo a una cara del cubo y forma un cuadrado congruente con esa cara, con un lado de longitud cuatro veces mayor que la arista del cubo. Otro tipo se encuentra en un plano perpendicular a la diagonal mayor, formando un hexágono regular; su longitud es32{\displaystyle 3{\sqrt {2}}}veces la de una arista. El tercer tipo es un hexágono no planar. [ 12 ]

Una esfera interior de un cubori{\displaystyle r_{i}}es una esfera tangente a las caras de un cubo en sus centroides . Su esfera mediarmetro{\displaystyle r_{m}}es una esfera tangente a las aristas de un cubo. Su esfera circunscritardo{\displaystyle r_{c}}es una esfera tangente a los vértices de un cubo. Con longitud de aristaa{\displaystyle a}, son respectivamente: [ 13 ]ri=12a=0,5a,rmetro=22a≈0,707a,rdo=32a≈0,866a.{\displaystyle r_{i}={\frac {1}{2}}a=0.5a,\qquad r_{m}={\frac {\sqrt {2}}{2}}a\approx 0.707a,\qquad r_{c}={\frac {\sqrt {3}}{2}}a\approx 0.866a.}

Cubo unitario

Cubo con un agujero por el que puede pasar otro cubo igual.
El cubo del príncipe Rupert

Un cubo unitario es un cubo con 1 unidad de longitud a lo largo de cada arista. Por lo tanto, cada cara es un cuadrado unitario y la figura completa tiene un volumen de 1 unidad cúbica. [ 14 ] [ 15 ] El príncipe Ruperto del Rin , conocido por la caída del príncipe Ruperto , apostó a si un cubo podría pasar a través de un agujero hecho en otro cubo del mismo tamaño . La historia relatada en 1693 por el matemático inglés John Wallis respondió que es posible, aunque hubo algunos errores en la presentación de Wallis. Aproximadamente un siglo después, el matemático holandés Pieter Nieuwland proporcionó una mejor solución: las aristas de un cubo que pasa a través del agujero del cubo unitario podrían tener una longitud de aproximadamente 1,06 unidades. [ 16 ] [ 17 ] Una forma de obtener este resultado es utilizando el teorema de Pitágoras o la fórmula de la distancia euclidiana en el espacio tridimensional. [ 18 ]

Un antiguo problema de duplicar el cubo requiere la construcción de un cubo con un volumen dos veces mayor que el original utilizando solo un compás y una regla . Esto fue concluido por el matemático francés Pierre Wantzel en 1837, demostrando que es imposible implementarlo ya que un cubo con el doble del volumen del original —la raíz cúbica de 2,23{\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}— no es construible . [ 19 ] Sin embargo, este problema fue resuelto doblando un papel de origami por Messer (1986) . [ 20 ]

Simetría

Octaedro mostrado con sus vértices tangentes a las caras de un cubo, su dual
El poliedro dual de un cubo es el octaedro regular, y viceversa. Las marcas blancas × en esta ilustración señalan los vértices de un octaedro regular tangente a las caras de un cubo. Ambos poseen simetría octaédrica .

El cubo tiene simetría octaédrica.Oh{\displaystyle \mathrm {O} _ {\mathrm {h} }}de orden 48. En otras palabras, el cubo tiene 48 isometrías (incluida la identidad ), cada una de las cuales transforma el cubo en sí mismo. Estas transformaciones incluyen nueve simetrías de reflexión (donde dos mitades cortadas por un plano son idénticas): tres cortan el cubo en los puntos medios de sus aristas y seis lo cortan diagonalmente. El cubo también tiene trece ejes de simetría rotacional (por los cuales la rotación alrededor del eje resulta en una apariencia idéntica): tres ejes pasan por los centroides de caras opuestas, seis por los puntos medios de aristas opuestas y cuatro por vértices opuestos; estos ejes son respectivamente simetría rotacional cuádruple (0°, 90°, 180° y 270°), simetría rotacional doble (0° y 180°) y simetría rotacional triple (0°, 120° y 240°). [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]

El poliedro dual se puede obtener a partir de los vértices tangentes a un plano de cada uno de los poliedros mediante un proceso conocido como reciprocación polar . [ 25 ] Una propiedad de los poliedros duales es que el poliedro y su dual comparten su grupo puntual de simetría tridimensional . En este caso, el poliedro dual de un cubo es el octaedro regular , y ambos poliedros tienen la misma simetría octaédrica. [ 26 ]

El cubo es transitivo en caras , lo que significa que sus dos caras cuadradas son iguales y pueden ser mapeadas mediante rotación y reflexión. [ 27 ] Es transitivo en vértices , lo que significa que todos sus vértices son equivalentes y pueden ser mapeados isométricamente bajo su simetría. [ 28 ] También es transitivo en aristas , lo que significa que el mismo tipo de caras rodea cada uno de sus vértices en el mismo orden o en orden inverso, y cada par de caras adyacentes tiene el mismo ángulo diedro. Por lo tanto, el cubo es un poliedro regular . [ 29 ] Cada vértice está rodeado por tres cuadrados, por lo que el cubo es4.4.4{\displaystyle 4.4.4}por configuración de vértices o{4,3}{\displaystyle \{4,3\}}por el símbolo de Schläfli . [ 30 ]

Apariciones

Un dado con seis caras cuadradas
Un juguete alternativo con forma de cubo de Rubik
Una escultura con forma de cubo.
Árboles con topiaria de forma cúbica
En el sentido de las agujas del reloj, desde la parte superior izquierda: un dado de seis caras , un Skewb terminado , la escultura del Álamo y árboles podados en forma cúbica.

Los cubos han aparecido en muchos roles en la cultura popular. Es la forma más común de dados . [ 27 ] Juguetes de rompecabezas como las piezas de un cubo Soma , [ 31 ] el cubo de Rubik y Skewb están construidos con cubos. [ 32 ] Minecraft es un ejemplo de un videojuego de mundo abierto de bloques cúbicos. [ 33 ] La escultura al aire libre Álamo (1967) es un cubo que gira alrededor de su eje vertical. [ 34 ] Ilusiones ópticas como el cubo imposible y el cubo de Necker han sido exploradas por artistas como MC Escher . [ 35 ] El cubo se aplicó en el tratado de Alberti sobre arquitectura renacentista , De re aedificatoria (1450). [ 36 ] Las casas cúbicas en los Países Bajos son un conjunto de casas cúbicas cuyas diagonales de espacio hexagonal se convierten en el piso principal. [ 37 ] Los árboles pueden podarse para tener una forma cúbica como esculturas vivientes. [ 38 ]

En la naturaleza y la ciencia

Estructura cristalina de forma cúbica
Estructura cristalina cúbica simple
Sal de mesa con cristales de forma cúbica
cristales cúbicos de sal de mesa
Cubana en modelo de bola y palo
Modelo de esferas y varillas del cubano

Los cubos también se encuentran en diversos campos de las ciencias naturales y la tecnología. Se aplica a la celda unitaria de un cristal conocido como sistema cristalino cúbico . [ 39 ] La sal de mesa es un ejemplo de un mineral con una forma comúnmente cúbica. [ 40 ] Otros ejemplos son la pirita (aunque hay muchas variaciones) [ 41 ] y el uranio cúbico en el programa nuclear. [ 42 ] El radiolario Lithocubus geometricus , descubierto por Ernst Haeckel , tiene una forma cúbica. [ 43 ] El cubano es un hidrocarburo sintético que consta de ocho átomos de carbono dispuestos en los vértices de un cubo, con un átomo de hidrógeno unido a cada átomo de carbono. [ 44 ]

Un intento histórico de unificar tres ideas físicas de relatividad , gravitación y mecánica cuántica utilizó el marco de un cubo conocido como cubo cGh . [ 45 ]

Una serie de dos CubeSats noruegos
El CubeSat noruego
El rotoflector de un cubo, un reflector de esquina, redirige dos rayos de vuelta a su fuente.
Reflector de esquina que redirige dos rayos de vuelta a su fuente.

Los cubos tecnológicos incluyen el dispositivo espacial CubeSat , [ 46 ] el dispositivo de demostración de radiación térmica Leslie cube , [ 47 ] y la máquina servidora web Cobalt Qube . [ 48 ] Las cuadrículas cúbicas son habituales en sistemas de coordenadas cartesianas tridimensionales . [ 49 ] En gráficos por computadora , un algoritmo divide el volumen de entrada en un conjunto discreto de cubos conocido como unidad en isosuperficie , [ 50 ] y las caras de un cubo se pueden usar para mapear una forma . [ 51 ] En varias áreas de la ingeniería , incluyendo señales de tráfico y radar , la esquina de un cubo es útil como retrorreflector , llamado reflector de esquina , que redirige cualquier rayo u onda de vuelta a su fuente. [ 52 ]

En la antigüedad

Boceto de árboles en la cara de un cubo, realizado por Johannes Kepler.
Boceto de un cubo de Johannes Kepler
El sistema solar, modelado con cinco sólidos platónicos por Johannes Kepler.
El modelo de sólido platónico de Kepler del Sistema Solar

Los sólidos platónicos son cinco poliedros conocidos desde la antigüedad. El conjunto recibe su nombre de Platón , quien atribuyó estos sólidos a la naturaleza en su diálogo Timeo . Uno de ellos, el cubo, representaba el elemento clásico de la tierra debido a que constituye los bloques de construcción de su base. [ 53 ] Los Elementos de Euclides definieron los sólidos platónicos, incluido el cubo, y mostraron cómo hallar la razón entre el diámetro de la esfera circunscrita y la longitud de su arista. [ 54 ]

Siguiendo el uso que Platón hizo de los poliedros regulares como símbolos de la naturaleza, Johannes Kepler, en su Harmonices Mundi, dibujó cada uno de los sólidos platónicos; decoró el lado del cubo con un árbol. [ 55 ] En su Mysterium Cosmographicum , Kepler propuso la estructura del Sistema Solar y las relaciones entre sus planetas con el conjunto de sólidos platónicos, inscritos y circunscritos por esferas . Cada sólido encerrado en una esfera, dentro de otro, produciría seis capas, correspondientes a los seis planetas conocidos: Mercurio , Venus , Tierra , Marte , Júpiter y Saturno . De adentro hacia afuera, estos sólidos se dispusieron desde el octaedro , seguido del icosaedro , el dodecaedro , el tetraedro y, finalmente, el cubo. [ 56 ]

Construcciones

Cube tiene once redes diferentes.
Las once redes de un cubo

El cubo tiene once desarrollos planos diferentes , cada uno de los cuales consiste en una disposición de cuadrados unidos por sus aristas. Si cada límite entre cuadrados se pliega en ángulo recto, los cuadrados se convierten en las caras de un cubo. [ 57 ] [ 58 ]

En geometría analítica , un cubo se puede construir utilizando el sistema de coordenadas cartesianas . Para un cubo centrado en el origen, con aristas paralelas a los ejes y con una longitud de arista de 2, las coordenadas cartesianas de los vértices son:(±1,±1,±1){\displaystyle (\pm 1,\pm 1,\pm 1)}. [ 59 ] Su interior consta de todos los puntos(incógnita0,incógnita1,incógnita2){\displaystyle (x_{0},x_{1},x_{2})}con−1<incógnitai<1{\displaystyle -1<x_{i}<1}a pesar dei{\displaystyle i}. Superficie de un cubo con centro(incógnita0,y0,z0){\ Displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}y longitud del borde de2a{\displaystyle 2a}es el lugar geométrico de todos los puntos(incógnita,y,z){\displaystyle (x,y,z)}de tal manera que máximo{|incógnita−incógnita0|,|y−y0|,|z−z0|}=a.{\displaystyle \max\{|x-x_{0}|,|y-y_{0}|,|z-z_{0}|\}=a.}

El cubo es un politopo de Hanner , ya que se puede construir mediante el producto cartesiano de tres segmentos de línea. Su poliedro dual, el octaedro regular, se construye mediante la suma directa de tres segmentos de línea. [ 60 ]

Representaciones

Como un gráfico

Cubo proyectado en un plano como un gráfico
La gráfica de un cubo

El cubo se puede dibujar como un grafo , una estructura en la teoría de grafos que consiste en un conjunto de vértices conectados por una arista . Esto se logra según el teorema de Steinitz , que establece que un grafo puede representarse como el grafo de vértices y aristas de un poliedro, siempre que posea las siguientes dos propiedades: planaridad (las aristas de un grafo están conectadas a cada vértice sin cruzar otras aristas) y 3-conexidad (siempre que un grafo con más de tres vértices, al eliminar dos de ellos, las aristas permanecen conectadas). [ 61 ] [ 62 ] El esqueleto de un cubo, representado como el grafo, se llama grafo cúbico , un grafo platónico . Tiene el mismo número de vértices y aristas que el cubo, doce vértices y ocho aristas. [ 63 ] El grafo cúbico también se clasifica como un grafo prismático , que se asemeja al esqueleto de un cuboide. [ 64 ]

El grafo cúbico es un caso especial de grafo hipercubo onorte{\displaystyle n}- cubo — denotado comoQnorte{\displaystyle Q_{n}}— porque se puede construir utilizando el producto cartesiano de grafos : dos grafos que conectan el par de vértices con una arista para formar un nuevo grafo. [ 65 ] En el caso del grafo cúbico, es el producto deQ2◻Q1{\displaystyle Q_{2}\mathbin {\Box } Q_{1}}, dónde◻{\displaystyle \mathbin {\Box } }denota el producto cartesiano de grafos. En otras palabras, el grafo cúbico se construye conectando cada vértice de dos cuadrados con una arista. Notacionalmente, el grafo cúbico esQ3{\displaystyle Q_{3}}. [ 66 ] Como cualquier grafo hipercubo, tiene un ciclo que visita cada vértice exactamente una vez , [ 67 ] y también es un ejemplo de un grafo de distancia unitaria . [ 68 ]

El grafo cúbico es bipartito , lo que significa que cada conjunto independiente de cuatro vértices puede ser disjunto y las aristas conectadas en esos conjuntos. [ 69 ] Sin embargo, cada vértice en un conjunto no puede conectar todos los vértices en el segundo, por lo que este grafo bipartito no es completo . [ 70 ] Es un ejemplo tanto de un grafo corona como de un grafo de Kneser bipartito . [ 71 ] [ 69 ]

En proyección ortogonal

Un objeto iluminado por rayos de luz paralelos proyecta una sombra sobre un plano perpendicular a dichos rayos, denominada proyección ortogonal . Un poliedro se considera equiproyectivo si, para cierta posición de la luz, su proyección ortogonal es un polígono regular. El cubo es equiproyectivo porque, si la luz es paralela a una de las cuatro líneas que unen un vértice con el vértice opuesto, su proyección es un hexágono regular . [ 72 ]

Como matriz de configuración

El cubo se puede representar como una matriz de configuración , una matriz en la que las filas y columnas corresponden a los elementos de un poliedro como vértices, aristas y caras. La diagonal de una matriz indica la cantidad de cada elemento que aparece en un poliedro, mientras que la parte no diagonal indica la cantidad de elementos de la columna que aparecen en o en el elemento de la fila. Los ocho vértices, doce aristas y seis caras del cubo se representan mediante cada elemento de la diagonal de la matriz (8, 12 y 6). La primera columna de la fila central indica que hay dos vértices en cada arista, denotada como 2; la columna central de la primera fila indica que tres aristas confluyen en cada vértice, denotada como 3. La matriz de configuración de un cubo es: [ 73 ][8332122446]{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}8&3&3\\2&12&2\\4&4&6\end{matrix}}\end{bmatrix}}}

Construcción de poliedros

Versión facetada de un cubo
Unido desde un cubo y pirámides a sus caras cuadradas
Un cubo biselado
Algunos de los poliedros construidos a partir de un cubo: el octaedro estrellado , el tetrakis hexaedro y el cubo achaflanado.

Muchos poliedros pueden construirse a partir de un cubo. Algunos ejemplos son:

Policubos

Un pentacubio
Cruz de Dalí, animada como una de las redes del teseracto.
Dos ejemplos de policubos son un policubo con cinco cubos unidos cara a cara y la cruz de Dalí . Esta última es una de las 261 redes de un teseracto .

Un policubo es una figura sólida formada al unir uno o más cubos iguales cara a cara. Los policubos son los análogos tridimensionales de los poliominós bidimensionales . [ 86 ]

Cuando se apilan cuatro cubos verticalmente y se unen otros cuatro al segundo cubo de la pila, el policubo resultante es la cruz de Dalí , llamada así por el artista surrealista español Salvador Dalí , cuya pintura Corpus Hypercubus (1954) contiene un teseracto que se despliega en una cruz de seis brazos; una construcción similar es fundamental en el cuento de Robert A. Heinlein " Y construyó una casa torcida " (1940). [ 87 ] [ 88 ] La cruz de Dalí se puede plegar en una cuarta dimensión para encerrar un teseracto . [ 89 ] Un cubo es una instancia tridimensional de un hipercubo (también conocido como 3-cubo); el hipercubo bidimensional (2-cubo) es un cuadrado , y el hipercubo tetradimensional (4-cubo) es un teseracto. [ 90 ]

Relleno de espacio

El panal cúbico es un ejemplo de panal en el espacio tridimensional euclidiano.

Un cubo es un poliedro que llena el espacio , lo que significa que se tesela con su copia en el espacio tridimensional. Dicha teselación no deja huecos, en lo que se denomina un panal . [ 91 ] El cubo es un plesioedro , un tipo especial de poliedro que llena el espacio y que puede definirse como la celda de Voronoi de un conjunto de Delone simétrico . [ 92 ] Los plesioedros incluyen el paralelepípedo , que puede trasladarse sin rotación para llenar un espacio en el que cada cara de cualquiera de sus copias está unida a una cara similar de otra copia. Hay cinco tipos de paralelepípedos, uno de los cuales es el paralelepípedo. [ 93 ] Todo paralelepípedo tridimensional es un zonohedro , un poliedro con simetría central cuyas caras son polígonos con simetría central . [ 94 ]

Un ejemplo de un panal de abejas de tipo cúbico, llamado celda , es un panal cúbico que consta de cuatro cubos alrededor de sus aristas en el espacio tridimensional euclidiano. [ 95 ] [ 96 ] Otros ejemplos en el espacio tridimensional no euclidiano son el panal de abejas con tres cubos alrededor de sus aristas en una esfera tridimensional y el panal de abejas con cinco cubos alrededor de sus aristas en el espacio hiperbólico . [ 96 ]

Cualquier paralelepípedo, incluido un cubo, puede lograr una estructura de panal si su invariante de Dehn es cero. [ 97 ] El origen del invariante de Dehn se remonta al tercer problema de Hilbert , que planteaba si dos poliedros de igual volumen siempre podían diseccionarse en piezas poliédricas y volver a ensamblarse entre sí. Si la respuesta era afirmativa, el volumen de cualquier poliedro podía definirse axiomáticamente como el volumen de un cubo equivalente en el que pudiera reensamblarse. Max Dehn resolvió este problema inventando su invariante , demostrando que no todos los poliedros pueden reensamblarse en un cubo. [ 98 ] Este invariante demostró que dos poliedros de igual volumen debían tener el mismo invariante de Dehn, excepto los dos tetraedros cuyos invariantes de Dehn eran diferentes. [ 99 ]

Miscelánea

Un compuesto de seis cubos con libertad de rotación
Un compuesto de tres cubos
Un compuesto de cinco cubos
Enumeración según Skilling (1976) : compuesto de seis cubos con libertad de rotación.Udo7{\displaystyle \mathrm {UC} _ {7}}tres cubosUdo8{\displaystyle \mathrm {UC} _ {8}}y cinco cubosUdo9{\displaystyle \mathrm {UC} _ {9}}

Los compuestos poliédricos , en los que los cubos comparten el mismo centro, son compuestos poliédricos uniformes , lo que significa que son compuestos poliédricos cuyos constituyentes son poliedros uniformes idénticos —aunque posiblemente enantiomorfos— , en una disposición que también es uniforme. Respectivamente, la lista de compuestos enumerados por Skilling (1976) en los compuestos uniformes del séptimo al noveno para el compuesto de seis cubos con libertad de rotación, tres cubos y cinco cubos . [ 100 ] Se encontraron dos compuestos, que consisten en dos y tres cubos, en el grabado en madera Estrellas de Escher y en el libro Vielecke und Vielflache de Max Brückner . [ 101 ]

Cubo en geometría esférica
Cubo esférico
Un toroide modelado como un cubo tridimensional
Una vista en un toro tridimensional

El cubo esférico representa el poliedro esférico , que puede modelarse con arcos de círculos máximos , creando límites como las aristas de un cuadrado esférico . [ 102 ] Por lo tanto, el cubo esférico consta de seis cuadrados esféricos con ángulos interiores de 120° en cada vértice. Tiene equilibrio vectorial , lo que significa que la distancia desde el centroide a cada vértice es la misma que la distancia desde este a cada arista. [ 103 ] [ 104 ] Su dual es el octaedro esférico . [ 102 ]

El objeto topológico toro tridimensional es un espacio topológico definido como homeomorfo al producto cartesiano de tres círculos. Puede representarse como un modelo tridimensional de la forma de un cubo. [ 105 ]

esponja de Menger
Cubo de Jerusalén
Copo de nieve de Mosley
Los fractales con forma de cubo son la esponja de Menger , el cubo de Jerusalén y el copo de nieve de Mosely .

Varias formas fractales tienen una envoltura convexa cúbica , incluyendo la esponja de Menger (análoga a la alfombra de Sierpiński bidimensional ), [ 106 ] el cubo de Jerusalén y el copo de nieve de Mosely . [ 107 ] [ 108 ]

Un cubo se puede subdividir en seis pirámides cuadradas . Estas pirámides tienen una altura igual a la mitad de la longitud de la arista del cubo, y sus vértices se encuentran en el centro. [ 109 ]

Véase también

Referencias

  1. ↑ Dupuis, Nathan Fellowes (1893). Elementos de geometría sólida sintética . Macmillan. pág.  68.
  2. ↑ Johnson, Norman W. ( 1966). "Polyedros convexos con caras regulares" . Canadian Journal of Mathematics . 18 : 169–200 . Bibcode : 1966CJMat..18..169J . doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 . MR 0185507. S2CID 122006114. Zbl 0132.14603 .   Véase la tabla II, línea 3.
  3. ↑ Bird, John (2020). Ciencia y matemáticas para la ingeniería (6.ª ed.). Routledge. págs. 143–144 . ISBN   9780429261701.
  4. 1 2 Mills, Steve; Kolf, Hillary (1999). Diccionario de matemáticas . Heinemann. pág. 16. ISBN  9780435024741.
  5. ↑ Richeson , DS (2008). Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology . Princeton University Press. pp. 1 – 2. ISBN 9780691126777.
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  7. ↑ Calter, Paul; Calter, Michael (2011). Matemáticas técnicas . John Wiley & Sons . pág. 197. ISBN  9780470534922.
  8. ↑ Hoffmann (2020) , pág. 83 . 
  9. ↑ Chilton, BL; Coxeter, HSM (1963). "Zonoedros polares". The American Mathematical Monthly . 70 ( 9): 946– 951. doi : 10.1080/00029890.1963.11992147 . JSTOR 2313051. MR 0157282 .  
  10. 1 2 Timofeenko, AV (2010). "Unión de poliedros no compuestos" (PDF) . Revista Matemática de San Petersburgo . 21 (3): 483– 512. doi : 10.1090/S1061-0022-10-01105-2 .
  11. 1 2 Khattar, Dinesh (2008). Guía de aritmética objetiva (2.ª ed.). Pearson Education . pág. 377. ISBN   9788131716823.
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  13. ↑ Coxeter (1973) Tabla I(i), págs. 292–293. Véanse las columnas etiquetadas0R/ℓ{\displaystyle {}_{0}\!\mathrm {R} /\ell },1R/ℓ{\displaystyle {}_{1}\!\mathrm {R} /\ell }, y2R/ℓ{\displaystyle {}_{2}\!\mathrm {R} /\ell }, la notación de Coxeter para el radio circunscrito, el radio medio y el radio inscrito, respectivamente, señalando también que Coxeter utiliza2ℓ{\displaystyle 2\ell }como la longitud del borde (véase la pág. 2).
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  • Weisstein, Eric W. "Cubo" . MathWorld .
  • Cubo: Modelo interactivo de poliedro *
  • Volumen de un cubo , con animación interactiva.
  • Cube (sitio web de Robert Webb)
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