Teorema del punto fijo

En matemáticas , un teorema de punto fijo es un resultado que afirma que una función F tendrá al menos un punto fijo (un punto x para el cual F ( x ) = x ), bajo ciertas condiciones sobre F que pueden enunciarse en términos generales. ^{[ 1 ]}

El teorema del punto fijo de Banach (1922) proporciona un criterio general que garantiza que, si se cumple, el procedimiento de iteración de una función produce un punto fijo. ^{[ 2 ]}

Por el contrario, el teorema del punto fijo de Brouwer (1911) es un resultado no constructivo : dice que cualquier función continua de la bola unitaria cerrada en el espacio euclidiano n- dimensional a sí misma debe tener un punto fijo, ^{[ 3 ]} pero no describe cómo encontrar el punto fijo (véase también el lema de Sperner ).

Por ejemplo, la función coseno  es continua en [−1, 1] y la transforma en [−1,  1], por lo que debe tener un punto fijo. Esto se aprecia claramente al examinar la gráfica de la función coseno; el punto fijo se encuentra donde la curva coseno y = cos( x ) interseca la recta y = x . Numéricamente, el punto fijo (conocido como número de Dottie ) es aproximadamente x = 0,73908513321516 (por lo tanto , x = cos( x ) para este valor de x ).

El teorema del punto fijo de Lefschetz ^{[ 4 ]} (y el teorema del punto fijo de Nielsen ) ^{[ 5 ]} de la topología algebraica es notable porque da, en cierto sentido, una forma de contar puntos fijos.

Existen varias generalizaciones del teorema del punto fijo de Banach y otras más; estas se aplican en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales . Véase teoremas de punto fijo en espacios de dimensión infinita .

El teorema del collage en la compresión fractal demuestra que, para muchas imágenes, existe una descripción relativamente pequeña de una función que, al aplicarse iterativamente a cualquier imagen inicial, converge rápidamente a la imagen deseada. ^{[ 6 ]}

El teorema de Knaster-Tarski establece que cualquier función que preserve el orden en un retículo completo tiene un punto fijo, y de hecho un punto fijo más pequeño . ^{[ 7 ]} Véase también el teorema de Bourbaki-Witt .

El teorema tiene aplicaciones en la interpretación abstracta , una forma de análisis estático de programas .

Un tema común en el cálculo lambda es encontrar puntos fijos de expresiones lambda dadas. Toda expresión lambda tiene un punto fijo, y un combinador de punto fijo es una "función" que toma como entrada una expresión lambda y produce como salida un punto fijo de esa expresión. ^{[ 8 ]} Un combinador de punto fijo importante es el combinador Y, utilizado para dar definiciones recursivas .

En la semántica denotacional de los lenguajes de programación, se utiliza un caso particular del teorema de Knaster - Tarski para establecer la semántica de las definiciones recursivas. Si bien el teorema del punto fijo se aplica a la misma función (desde un punto de vista lógico), el desarrollo de la teoría es bastante diferente.

La misma definición de función recursiva puede darse, en la teoría de la computabilidad , aplicando el teorema de recursión de Kleene . ^{[ 9 ]} Estos resultados no son teoremas equivalentes; el teorema de Knaster - Tarski es un resultado mucho más fuerte que el que se usa en la semántica denotacional. ^{[ 10 ]} Sin embargo, a la luz de la tesis de Church-Turing, su significado intuitivo es el mismo: una función recursiva puede describirse como el punto fijo mínimo de un cierto funcional, que mapea funciones a funciones.

La técnica anterior de iterar una función para encontrar un punto fijo también se puede utilizar en la teoría de conjuntos ; el lema del punto fijo para funciones normales establece que cualquier función continua estrictamente creciente de ordinales a ordinales tiene uno (y de hecho muchos) puntos fijos.

Cada operador de cierre en un conjunto parcialmente ordenado tiene muchos puntos fijos; estos son los "elementos cerrados" con respecto al operador de cierre, y son la razón principal por la que se definió el operador de cierre en primer lugar.

Toda involución en un conjunto finito con un número impar de elementos tiene un punto fijo; más generalmente, para toda involución en un conjunto finito de elementos, el número de elementos y el número de puntos fijos tienen la misma paridad . Don Zagier utilizó estas observaciones para dar una demostración en una sola frase del teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados , describiendo dos involuciones en el mismo conjunto de ternas de enteros, una de las cuales puede demostrarse fácilmente que tiene un solo punto fijo y la otra que tiene un punto fijo para cada representación de un primo dado (congruente con 1 mod 4) como suma de dos cuadrados. Dado que la primera involución tiene un número impar de puntos fijos, también lo tiene la segunda, y por lo tanto siempre existe una representación de la forma deseada. ^{[ 11 ]}

• Fórmula de traza

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• Método de punto fijo