teoría de Hodge

En matemáticas , la teoría de Hodge , que recibe su nombre de WVD Hodge , es un método para estudiar los grupos de cohomología de una variedad diferenciable M mediante ecuaciones diferenciales parciales . La observación clave es que, dada una métrica riemanniana en M , cada clase de cohomología tiene un representante canónico , una forma diferencial que se anula bajo el operador laplaciano de la métrica. Dichas formas se denominan armónicas .

La teoría fue desarrollada por Hodge en la década de 1930 para estudiar la geometría algebraica y se basó en el trabajo de Georges de Rham sobre la cohomología de De Rham . Tiene importantes aplicaciones en dos ámbitos: las variedades riemannianas y las variedades de Kähler . La principal motivación de Hodge, el estudio de las variedades proyectivas complejas , se engloba en este último caso. La teoría de Hodge se ha convertido en una herramienta importante en la geometría algebraica, particularmente por su conexión con el estudio de los ciclos algebraicos .

Si bien la teoría de Hodge depende intrínsecamente de los números reales y complejos , puede aplicarse a cuestiones de teoría de números . En situaciones aritméticas, las herramientas de la teoría de Hodge p -ádica han proporcionado demostraciones alternativas o resultados análogos a la teoría de Hodge clásica.

Historia

El campo de la topología algebraica aún estaba en sus inicios en la década de 1920. Todavía no se había desarrollado la noción de cohomología , y la interacción entre las formas diferenciales y la topología era poco comprendida. En 1928, Élie Cartan publicó una idea, " Sur les nombres de Betti des espaces de groupes clos ", en la que sugería —aunque no demostraba— que las formas diferenciales y la topología debían estar vinculadas. Al leerla, Georges de Rham, entonces estudiante, se sintió inspirado. En su tesis de 1931, demostró un resultado que ahora se conoce como el teorema de De Rham . Según el teorema de Stokes , la integración de formas diferenciales a lo largo de cadenas singulares induce, para cualquier variedad compacta y diferenciable M , un emparejamiento bilineal como se muestra a continuación:

H_{k}(M;\mathbf {R} )\times H_{\text{dR}}^{k}(M;\mathbf {R} )\to \mathbf {R} .

Como se indicó originalmente, ^{[ 1 ]} el teorema de De Rham afirma que este es un emparejamiento perfecto y que, por lo tanto, cada uno de los términos del lado izquierdo son duales de espacio vectorial entre sí. En lenguaje contemporáneo, el teorema de De Rham se formula con mayor frecuencia como la afirmación de que la cohomología singular con coeficientes reales es isomorfa a la cohomología de De Rham:

H_{\text{sing}}^{k}(M;\mathbf {R} )\cong H_{\text{dR}}^{k}(M;\mathbf {R} ).

La afirmación original de De Rham es, por tanto, consecuencia del hecho de que, sobre los números reales, la cohomología singular es la dual de la homología singular.

Por separado, un artículo de Solomon Lefschetz de 1927 utilizó métodos topológicos para volver a demostrar teoremas de Riemann . ^{[ 2 ]} En lenguaje moderno, si ω ₁ y ω ₂ son diferenciales holomorfos en una curva algebraica C , entonces su producto exterior es necesariamente cero porque C tiene solo una dimensión compleja; en consecuencia, el producto de copa de sus clases de cohomología es cero, y cuando se explicitó, esto le dio a Lefschetz una nueva demostración de las relaciones de Riemann . Además, si ω es un diferencial holomorfo no nulo, entonces ${\sqrt {-1}}\,\omega \wedge {\bar {\omega }}$ es una forma de volumen positivo, a partir de la cual Lefschetz pudo redeguir las desigualdades de Riemann. En 1929, WVD Hodge conoció el artículo de Lefschetz. Inmediatamente observó que principios similares se aplicaban a superficies algebraicas. Más precisamente, si ω es una forma holomorfa no nula en una superficie algebraica, entonces ${\sqrt {-1}}\,\omega \wedge {\bar {\omega }}$ es positivo, por lo tanto, el producto de la taza de $\omega$ y ${\bar {\omega }}$ debe ser distinto de cero. De ello se deduce que ω mismo debe representar una clase de cohomología distinta de cero, por lo que sus periodos no pueden ser todos cero. Esto resolvió una cuestión de Severi. ^{[ 3 ]}

Hodge creía que estas técnicas también deberían aplicarse a variedades de dimensiones superiores. Su colega Peter Fraser le recomendó la tesis de de Rham. Al leerla, Hodge se percató de que las partes real e imaginaria de una 1-forma holomorfa en una superficie de Riemann eran, en cierto sentido, duales entre sí. Sospechaba que debía existir una dualidad similar en dimensiones superiores; esta dualidad se conoce ahora como el operador estrella de Hodge . Además, conjeturó que cada clase de cohomología debería tener un representante distinguido con la propiedad de que tanto él como su dual se anulan bajo el operador de derivada exterior; estas se denominan ahora formas armónicas. Hodge dedicó la mayor parte de la década de 1930 a este problema. Su primer intento publicado de demostración apareció en 1933, pero lo consideró "extremadamente rudimentario". Hermann Weyl , uno de los matemáticos más brillantes de la época, no pudo determinar si la demostración de Hodge era correcta o no. En 1936, Hodge publicó una nueva demostración. Si bien Hodge consideró que la nueva demostración era muy superior, Bohnenblust descubrió un grave fallo. De forma independiente, Hermann Weyl y Kunihiko Kodaira modificaron la demostración de Hodge para corregir el error. Esto estableció el isomorfismo que Hodge buscaba entre las formas armónicas y las clases de cohomología.

En retrospectiva, resulta evidente que las dificultades técnicas del teorema de existencia no requerían ideas nuevas significativas, sino simplemente una cuidadosa extensión de los métodos clásicos. La verdadera novedad, que constituyó la principal contribución de Hodge, residió en la concepción de las integrales armónicas y su relevancia para la geometría algebraica. Este triunfo del concepto sobre la técnica recuerda un episodio similar en la obra del gran predecesor de Hodge, Bernhard Riemann.
— MF Atiyah , William Vallance Douglas Hodge, 17 de junio de 1903 – 7 de julio de 1975, Memorias biográficas de los miembros de la Royal Society , vol. 22, 1976, págs. 169–192.

Teoría de Hodge para variedades reales

Cohomología de De Rham

La teoría de Hodge hace referencia al complejo de De Rham . Sea M una variedad diferenciable . Para un entero no negativo k , sea Ω ^k ( M ) el espacio vectorial real de formas diferenciales diferenciables de grado k en M. El complejo de De Rham es la secuencia de operadores diferenciales.

0\to \Omega ^{0}(M)\xrightarrow {d_{0}} \Omega ^{1}(M)\xrightarrow {d_{1}} \cdots \xrightarrow {d_{n-1}} \Omega ^{n}(M)\xrightarrow {d_{n}} 0,

donde d _k denota la derivada exterior en Ω ^k ( M ). Este es un complejo de cocadenas en el sentido de que d _{k +1} ∘ d _k = 0 (también escrito d ² = 0 ). El teorema de De Rham dice que la cohomología singular de M con coeficientes reales se calcula mediante el complejo de De Rham:

H^{k}(M,\mathbf {R} )\cong {\frac {\ker d_{k}}{\operatorname {im} d_{k-1}}}.

Operadores en la teoría de Hodge

Elija una métrica riemanniana g en M y recuerde que:

\Omega ^{k}(M)=\Gamma \left(\bigwedge \nolimits ^{k}T^{*}(M)\right).

La métrica produce un producto interno en cada fibra. $\bigwedge \nolimits ^{k}(T_{p}^{*}(M))$ extendiendo (véase la matriz de Gram ) el producto interno inducido por g de cada fibra cotangente. $T_{p}^{*}(M)$ a su $k^{th}$ producto exterior : $\bigwedge \nolimits ^{k}(T_{p}^{*}(M))$ . El $\Omega ^{k}(M)$ El producto interno se define entonces como la integral del producto interno puntual de un par dado de k -formas sobre M con respecto a la forma de volumen. $\sigma$ asociado con g . Explícitamente, dado algún $\omega ,\tau \in \Omega ^{k}(M)$ tenemos

{\displaystyle (\omega ,\tau )\mapsto \langle \omega ,\tau \rangle

Naturalmente, el producto interno anterior induce una norma, cuando dicha norma es finita en alguna k -forma fija:

\langle \omega ,\omega \rangle =\|\omega \|^{2}<\infty ,

entonces el integrando es una función de valor real, de cuadrado integrable en M , evaluada en un punto dado a través de sus normas puntuales,

\|\omega (p)\|_{p}:M\to \mathbf {R} \in L^{2}(M).

Consideremos el operador adjunto de d con respecto a estos productos internos:

{\displaystyle \delta

Entonces, el laplaciano en las formas se define por

\Delta =d\delta +\delta d.

Este es un operador diferencial lineal de segundo orden, que generaliza el laplaciano para funciones en R ⁿ . Por definición, una forma en M es armónica si su laplaciano es cero:

{\mathcal {H}}_{\Delta }^{k}(M)=\{\alpha \in \Omega ^{k}(M)\mid \Delta \alpha =0\}.

El laplaciano apareció por primera vez en la física matemática . En particular, las ecuaciones de Maxwell dicen que el campo electromagnético en el vacío, es decir, sin cargas, está representado por una 2-forma F tal que ΔF = 0 en el espaciotiempo, visto como el espacio de Minkowski de dimensión 4.

Toda forma armónica α en una variedad riemanniana cerrada es cerrada , lo que significa que dα = 0. Como resultado, existe una aplicación canónica. ${\displaystyle \varphi$ . El teorema de Hodge establece que $\varphi$ es un isomorfismo de espacios vectoriales. ^{[ 4 ]} En otras palabras, cada clase de cohomología real en M tiene un representante armónico único. Concretamente, el representante armónico es la única forma cerrada de norma L ² mínima que representa una clase de cohomología dada. El teorema de Hodge se demostró utilizando la teoría de ecuaciones diferenciales parciales elípticas , y los argumentos iniciales de Hodge fueron completados por Kodaira y otros en la década de 1940.

Por ejemplo, el teorema de Hodge implica que los grupos de cohomología con coeficientes reales de una variedad cerrada son de dimensión finita . (Cabe mencionar que existen otras maneras de demostrarlo). En efecto, los operadores Δ son elípticos, y el núcleo de un operador elíptico en una variedad cerrada es siempre un espacio vectorial de dimensión finita. Otra consecuencia del teorema de Hodge es que una métrica riemanniana en una variedad cerrada M determina un producto interno de valores reales en la cohomología integral de M módulo torsión . De ello se deduce, por ejemplo, que la imagen del grupo de isometrías de M en el grupo lineal general GL( H ^* ( M , Z )) es finita (porque el grupo de isometrías de una red es finito).

Una variante del teorema de Hodge es la descomposición de Hodge . Esta establece que existe una descomposición única de cualquier forma diferencial ω en una variedad riemanniana cerrada como suma de tres partes en la forma

\omega =d\alpha +\delta \beta +\gamma ,

en la que γ es armónico: Δ γ = 0 . ^{[ 5 ]} En términos de la métrica L ² en formas diferenciales, esto da una descomposición de suma directa ortogonal:

\Omega ^{k}(M)\cong \operatorname {im} d_{k-1}\oplus \operatorname {im} \delta _{k+1}\oplus {\mathcal {H}}_{\Delta }^{k}(M).

La descomposición de Hodge es una generalización de la descomposición de Helmholtz para el complejo de De Rham.

Teoría de Hodge de los complejos elípticos

Atiyah y Bott definieron los complejos elípticos como una generalización del complejo de De Rham. El teorema de Hodge se extiende a este contexto, como sigue. Sea $E_{0},E_{1},\ldots ,E_{N}$ sean haces vectoriales , equipados con métricas, sobre una variedad lisa cerrada M con una forma de volumen dV . Supongamos que

L_{i}:\Gamma (E_{i})\to \Gamma (E_{i+1})

son operadores diferenciales lineales que actúan sobre secciones C ^{∞ de estos haces vectoriales, y que la secuencia inducida}

0\to \Gamma (E_{0})\to \Gamma (E_{1})\to \cdots \to \Gamma (E_{N})\to 0

es un complejo elíptico. Introduzca las sumas directas:

{\begin{aligned}{\mathcal {E}}^{\bullet }&=\bigoplus \nolimits _{i}\Gamma (E_{i})\\L&=\bigoplus \nolimits _{i}L_{i}:{\mathcal {E}}^{\bullet }\to {\mathcal {E}}^{\bullet }\end{aligned}}

y sea L ^∗ el adjunto de L. Definimos el operador elíptico Δ = LL ^∗ + L ^∗L. Como en el caso de De Rham, esto produce el espacio vectorial de secciones armónicas.

{\mathcal {H}}=\{e\in {\mathcal {E}}^{\bullet }\mid \Delta e=0\}.

Dejar $H:{\mathcal {E}}^{\bullet }\to {\mathcal {H}}$ Sea la proyección ortogonal y sea G el operador de Green para Δ. El teorema de Hodge afirma entonces lo siguiente: ^{[ 6 ]}

H y G están bien definidos.
Id = H + Δ G = H + G Δ
LG = GL , L ^∗G = GL ^∗
La cohomología del complejo es canónicamente isomorfa al espacio de secciones armónicas, $H(E_{j})\cong {\mathcal {H}}(E_{j})$ , en el sentido de que cada clase de cohomología tiene un representante armónico único.

En esta situación también existe una descomposición de Hodge, que generaliza la afirmación anterior para el complejo de De Rham.

Teoría de Hodge para variedades proyectivas complejas

Sea X una variedad proyectiva compleja lisa , lo que significa que X es una subvariedad compleja cerrada de algún espacio proyectivo complejo CP ^N . Por el teorema de Chow , las variedades proyectivas complejas son automáticamente algebraicas: se definen por la anulación de ecuaciones polinómicas homogéneas en CP ^N . La métrica riemanniana estándar en CP ^N induce una métrica riemanniana en X que tiene una fuerte compatibilidad con la estructura compleja, lo que convierte a X en una variedad de Kähler .

Para una variedad compleja X y un número natural r , toda C ^∞ r -forma en X (con coeficientes complejos) puede escribirse de forma única como una suma de formas de tipo ( p , q ) con p + q = r , lo que significa formas que pueden escribirse localmente como una suma finita de términos, donde cada término toma la forma

f\,dz_{1}\wedge \cdots \wedge dz_{p}\wedge d{\overline {w_{1}}}\wedge \cdots \wedge d{\overline {w_{q}}}

con f una función C ^{∞ y las}funciones holomorfas z _s y w _s . En una variedad de Kähler, las componentes ( p , q ) de una forma armónica son nuevamente armónicas. Por lo tanto, para cualquier variedad de Kähler compacta X , el teorema de Hodge da una descomposición de la cohomología de X con coeficientes complejos como una suma directa de espacios vectoriales complejos: ^[⁷^]

H^{r}(X,\mathbf {C} )=\bigoplus _{p+q=r}H^{p,q}(X).

Esta descomposición es, de hecho, independiente de la elección de la métrica de Kähler (pero no existe una descomposición análoga para una variedad compleja compacta general). Por otro lado, la descomposición de Hodge depende genuinamente de la estructura de X como variedad compleja, mientras que el grupo H ^r ( X , C ) depende solo del espacio topológico subyacente de X.

Tomar productos de cuña de estos representantes armónicos corresponde al producto de copa en cohomología, por lo que el producto de copa con coeficientes complejos es compatible con la descomposición de Hodge:

\smile \colon H^{p,q}(X)\times H^{p',q'}(X)\rightarrow H^{p+p',q+q'}(X).

La pieza H ^{p , q} ( X ) de la descomposición de Hodge puede identificarse con un grupo de cohomología de haces coherente , que depende solo de X como una variedad compleja (no de la elección de la métrica de Kähler): ^{[ 8 ]}

H^{p,q}(X)\cong H^{q}(X,\Omega ^{p}),

donde Ω ^p denota el haz de p -formas holomorfas en X. Por ejemplo, H ^{p , 0} ( X ) es el espacio de p -formas holomorfas en X. (Si X es proyectivo, el teorema GAGA de Serre implica que una p- forma holomorfa en todo X es, de hecho, algebraica).

Por otro lado, la integral a lo largo de un ciclo Z puede escribirse como el producto cap de la clase de homología de Z y la clase de cohomología representada por $\alpha$ . Por dualidad de Poincaré , la clase de homología de Z es dual a una clase de cohomología que llamaremos [ Z ], y el producto de tapa se puede calcular tomando el producto de copa de [ Z ] y α y tapando con la clase fundamental de X .

Debido a que [ Z ] es una clase de cohomología, tiene una descomposición de Hodge. Mediante el cálculo que hicimos anteriormente, si combinamos esta clase con cualquier clase de tipo $(p,q)\neq (k,k)$ , entonces obtenemos cero. Porque $H^{2n}(X,\mathbb {C} )=H^{n,n}(X)$ , concluimos que [ Z ] debe estar en $H^{n-k,n-k}(X)$ .

El número de Hodge h ^{p , q} ( X ) significa la dimensión del espacio vectorial complejo H ^{p . q} ( X ). Estos son invariantes importantes de una variedad proyectiva compleja suave; no cambian cuando la estructura compleja de X varía continuamente, y sin embargo, en general no son invariantes topológicos. Entre las propiedades de los números de Hodge se encuentran la simetría de Hodge h ^{p , q} = h ^{q , p} (porque H ^{p , q} ( X ) es el conjugado complejo de H ^{q , p} ( X )) y h ^{p , q} = h ^{n − p , n − q} (por dualidad de Serre ).

Los números de Hodge de una variedad proyectiva compleja lisa (o variedad de Kähler compacta) se pueden enumerar en el diamante de Hodge (mostrado en el caso de dimensión compleja 2):

Por ejemplo, toda curva proyectiva suave de género g tiene un diamante de Hodge.

Por otro ejemplo, cada superficie K3 tiene diamante de Hodge.

Los números de Betti de X son la suma de los números de Hodge en una fila dada. Una aplicación básica de la teoría de Hodge es que los números de Betti impares b _{2 a +1} de una variedad proyectiva compleja lisa (o variedad de Kähler compacta) son pares, por simetría de Hodge. Esto no es cierto para las variedades complejas compactas en general, como lo muestra el ejemplo de la superficie de Hopf , que es difeomorfa a S ¹ × S ³ y por lo tanto tiene b ₁ = 1 .

El "paquete de Kähler" es un conjunto poderoso de restricciones sobre la cohomología de variedades proyectivas complejas suaves (o variedades de Kähler compactas), basado en la teoría de Hodge. Los resultados incluyen el teorema del hiperplano de Lefschetz , el teorema de Lefschetz duro y las relaciones bilineales de Hodge-Riemann . ^{[ 9 ]} Muchos de estos resultados se derivan de herramientas técnicas fundamentales que pueden demostrarse para variedades de Kähler compactas utilizando la teoría de Hodge, incluidas las identidades de Kähler y la $\partial {\bar {\partial }}$ -lema .

La teoría de Hodge y sus extensiones, como la teoría de Hodge no abeliana, también imponen fuertes restricciones sobre los posibles grupos fundamentales de variedades de Kähler compactas.

Ciclos algebraicos y la conjetura de Hodge

Dejar $X$ ser una variedad proyectiva compleja suave. Una subvariedad compleja $Y$ en $X$ de codimensión $p$ define un elemento del grupo de cohomología $H^{2p}(X,\mathbb {Z} )$ Además, la clase resultante tiene una propiedad especial: su imagen en la cohomología compleja. $H^{2p}(X,\mathbb {C} )$ se encuentra en la parte central de la descomposición de Hodge, $H^{p,p}(X)$ . La conjetura de Hodge predice lo contrario: cada elemento de $H^{2p}(X,\mathbb {Z} )$ cuya imagen en la cohomología compleja se encuentra en el subespacio $H^{p,p}(X)$ debe tener un múltiplo entero positivo que sea un $\mathbb {Z}$ -combinación lineal de clases de subvariedades complejas de $X$ . (Tal combinación lineal se denomina ciclo algebraico en $X$ .)

Un punto crucial es que la descomposición de Hodge es una descomposición de cohomología con coeficientes complejos que generalmente no proviene de una descomposición de cohomología con coeficientes enteros (o racionales). Como resultado, la intersección

(H^{2p}(X,\mathbb {Z} )/{\text{torsion}})\cap H^{p,p}(X)\subseteq H^{2p}(X,\mathbb {C} )

puede ser mucho más pequeño que todo el grupo $H^{2p}(X,\mathbb {Z} )/{\text{torsion}}$ , incluso si el número de Hodge $h^{p,p}$ es grande. En resumen, la conjetura de Hodge predice que las posibles "formas" de subvariedades complejas de $X$ (como se describe mediante la cohomología) están determinados por la estructura de Hodge de $X$ (la combinación de la cohomología integral con la descomposición de Hodge de la cohomología compleja).

El teorema de Lefschetz (1,1) afirma que la conjetura de Hodge es verdadera para $p=1$ (incluso de forma integral, es decir, sin necesidad de un múltiplo entero positivo en la expresión).

La estructura de Hodge de una variedad $X$ describe las integrales de formas diferenciales algebraicas en $X$ sobre clases de homología en $X$ En este sentido, la teoría de Hodge se relaciona con un problema fundamental del cálculo : en general, no existe una fórmula para la integral de una función algebraica . En particular, las integrales definidas de funciones algebraicas, conocidas como periodos , pueden ser números trascendentales . La dificultad de la conjetura de Hodge refleja la falta de comprensión de dichas integrales en general.

Ejemplo: Para una superficie K3 proyectiva compleja y suave $X$ , el grupo $H^{2}(X,\mathbb {Z} )$ es isomorfo a $\mathbb {Z} ^{22}$ , y $H^{1,1}(X)$ es isomorfo a $\mathbb {C} ^{20}$ Su intersección puede tener un rango entre 1 y 20; este rango se llama número de Picard . $X$ El espacio de módulos de todas las superficies proyectivas K3 tiene un conjunto infinito numerable de componentes, cada una de dimensión compleja 19. El subespacio de superficies K3 con número de Picard $a$ tiene dimensión $20-a$ . ^{[ 10 ]} (Por lo tanto, para la mayoría de las superficies K3 proyectivas, la intersección de $H^{2}(X,\mathbb {Z} )$ con $H^{1,1}(X)$ es isomorfo a $\mathbb {Z}$ (pero para superficies K3 "especiales", la intersección puede ser mayor).

Este ejemplo sugiere varios roles diferentes que desempeña la teoría de Hodge en la geometría algebraica compleja. Primero, la teoría de Hodge impone restricciones sobre qué espacios topológicos pueden tener la estructura de una variedad proyectiva compleja lisa. Segundo, la teoría de Hodge proporciona información sobre el espacio de módulos de variedades proyectivas complejas lisas con un tipo topológico dado. El mejor caso se da cuando se cumple el teorema de Torelli , lo que significa que la variedad está determinada, salvo isomorfismo, por su estructura de Hodge. Finalmente, la teoría de Hodge proporciona información sobre el grupo de Chow de ciclos algebraicos en una variedad dada. La conjetura de Hodge trata sobre la imagen del mapeo de ciclos de los grupos de Chow a la cohomología ordinaria, pero la teoría de Hodge también proporciona información sobre el núcleo del mapeo de ciclos, por ejemplo, utilizando los jacobianos intermedios que se construyen a partir de la estructura de Hodge.

Generalizaciones

La teoría de Hodge mixta , desarrollada por Pierre Deligne , extiende la teoría de Hodge a todas las variedades algebraicas complejas, no necesariamente lisas o compactas. En concreto, la cohomología de cualquier variedad algebraica compleja tiene un tipo de descomposición más general: una estructura de Hodge mixta .

La homología de intersección proporciona una generalización diferente de la teoría de Hodge a variedades singulares . En concreto, Morihiko Saito demostró que la homología de intersección de cualquier variedad proyectiva compleja (no necesariamente lisa) posee una estructura de Hodge pura, al igual que en el caso liso. De hecho, todo el paquete de Kähler se extiende a la homología de intersección.

Un aspecto fundamental de la geometría compleja es que existen familias continuas de variedades complejas no isomorfas (que son todas difeomorfas como variedades reales). La noción de Phillip Griffiths de una variación de la estructura de Hodge describe cómo la estructura de Hodge de una variedad proyectiva compleja lisa $X$ varía cuando $X$ varía. En términos geométricos, esto equivale a estudiar el mapeo de periodos asociado a una familia de variedades. La teoría de Saito sobre los módulos de Hodge es una generalización. En términos generales, un módulo de Hodge mixto en una variedad $X$ es un haz de estructuras Hodge mixtas sobre $X$ , como ocurriría si se tratara de una familia de variedades que no tienen por qué ser lisas o compactas.

Véase también

Teoría del potencial
Dualidad de Serre
descomposición de Helmholtz
Teorema del ciclo invariante local
teoría de Arakelov
teoría de Hodge-Arakelov
Lema ddbar , una consecuencia clave de la teoría de Hodge para variedades de Kähler compactas.

Notas

↑ Chatterji, Srishti; Ojanguren, Manuel (2010), Un vistazo a la era de De Rham (PDF) , documento de trabajo, EPFL , archivado del original (PDF) el 4 de diciembre de 2023 , consultado el 15 de octubre de 2018.
↑ Lefschetz, Solomon (1927). "Correspondencias entre curvas algebraicas". Ann. of Math. (2) . 28 (1): 342– 354. doi : 10.2307/1968379 . JSTOR 1968379 .
↑ Michael Atiyah , William Vallance Douglas Hodge, 17 de junio de 1903 – 7 de julio de 1975 , Biogr. Mem. Fellows R. Soc., 1976, vol. 22, pp. 169–192.
↑ Warner (1983), Teorema 6.11.
↑ Warner (1983), Teorema 6.8.
↑ Wells (2008), Teorema IV.5.2.
↑ Huybrechts (2005), Corolario 3.2.12.
↑ Huybrechts (2005), Corolario 2.6.21.
↑ Huybrechts (2005), secciones 3.3 y 5.2; Griffiths y Harris (1994), secciones 0.7 y 1.2; Voisin (2007), vol. 1, cap. 6, y vol. 2, cap. 1.
↑ Griffiths y Harris (1994), pág. 594.

Referencias

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Hodge, WVD (1941), "The Theory and Applications of Harmonic Integrals", Nature , vol. 148, Cambridge University Press , p. 97, Bibcode : 1941Natur.148...97D , doi : 10.1038/148097a0 , ISBN 978-0-521-35881-1, MR 0003947 {{citation}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
Huybrechts, Daniel (2005), Geometría compleja: una introducción , Springer , ISBN 3-540-21290-6, MR 2093043
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Warner, Frank (1983) [1971], Fundamentos de variedades diferenciables y grupos de Lie , Springer , ISBN 0-387-90894-3, MR 0722297
Wells Jr., Raymond O. (2008) [1973], Análisis diferencial en variedades complejas , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 65 (3.ª ed.), Springer , doi : 10.1007/978-0-387-73892-5 , hdl : 10338.dmlcz/141778 , ISBN 978-0-387-73891-8, MR 2359489
Código Python para calcular los números de Hodge de hipersuperficies en GitHub

[glimpse-1] Chatterji, Srishti; Ojanguren, Manuel (2010), Un vistazo a la era de De Rham (PDF) , documento de trabajo, EPFL , archivado del original (PDF) el 4 de diciembre de 2023 , consultado el 15 de octubre de 2018.

[2] Lefschetz, Solomon (1927). "Correspondencias entre curvas algebraicas". Ann. of Math. (2) . 28 (1): 342– 354. doi : 10.2307/1968379 . JSTOR 1968379 .

[3] Michael Atiyah , William Vallance Douglas Hodge, 17 de junio de 1903 – 7 de julio de 1975 , Biogr. Mem. Fellows R. Soc., 1976, vol. 22, pp. 169–192.

[4] Warner (1983), Teorema 6.11.

[5] Warner (1983), Teorema 6.8.

[6] Wells (2008), Teorema IV.5.2.

[7] Huybrechts (2005), Corolario 3.2.12.

[8] Huybrechts (2005), Corolario 2.6.21.

[9] Huybrechts (2005), secciones 3.3 y 5.2; Griffiths y Harris (1994), secciones 0.7 y 1.2; Voisin (2007), vol. 1, cap. 6, y vol. 2, cap. 1.

[10] Griffiths y Harris (1994), pág. 594.

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