Juan von Neumann

Von Neumann nació en Budapest , Reino de Hungría (entonces parte de Austria-Hungría), ^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]} el 28 de diciembre de 1903, en el seno de una familia judía acomodada y no practicante . Su nombre de nacimiento era Neumann János Lajos . En húngaro, el apellido va primero, y sus nombres de pila son equivalentes a John Louis en inglés. ^{[ 15 ]}

Era el mayor de tres hermanos; sus dos hermanos menores eran Mihály (Michael) y Miklós (Nicholas). ^{[ 16 ]} Su padre, Neumann Miksa (Max von Neumann), era banquero y doctor en derecho . Se había mudado a Budapest desde Pécs a finales de la década de 1880. ^{[ 17 ]} El padre y el abuelo de Miksa nacieron en Ond (ahora parte de Szerencs ), condado de Zemplén , norte de Hungría. La madre de John era Kann Margit (Margaret Kann); ^{[ 18 ]} sus padres eran Kann Jákab y Meisels Katalin de la familia Meisels . ^{[ 19 ]} Tres generaciones de la familia Kann vivieron en espaciosos apartamentos encima de las oficinas de Kann-Heller en Budapest; la familia de von Neumann ocupaba un apartamento de 18 habitaciones en el último piso. ^{[ 20 ]}

El 20 de febrero de 1913, el emperador Francisco José elevó al padre de Juan a la nobleza húngara por sus servicios al Imperio austrohúngaro. ^{[ 21 ]} La familia Neumann adquirió así el apelativo hereditario Margittai , que significa "de Margarita" (hoy Marghita , Rumania). La familia no tenía ninguna conexión con la ciudad; el apelativo fue elegido en referencia a Margarita, al igual que su escudo de armas, que representa a tres margaritas . Neumann János se convirtió en margittai Neumann János (Juan Neumann de Margarita), que más tarde cambió al alemán Johann von Neumann. ^{[ 22 ]}

Von Neumann fue un niño prodigio . ^{[ 23 ]} Él, sus hermanos y sus primos fueron instruidos por institutrices. El padre de Von Neumann creía que el conocimiento de idiomas distintos de su húngaro natal era esencial, por lo que los niños recibieron clases particulares de inglés , francés , alemán e italiano . ^{[ 24 ]} Según una leyenda, a los ocho años, von Neumann ya conocía el cálculo diferencial e integral , y a los doce había leído La Théorie des Fonctions de Borel . ^{[ 25 ]} También le interesaba la historia, y leyó la serie de historia universal de 46 volúmenes de Wilhelm Oncken, Allgemeine Geschichte in Einzeldarstellungen ( Historia general en monografías ). ^{[ 26 ]} Una de las habitaciones del apartamento se convirtió en biblioteca y sala de lectura. ^{[ 27 ]}

Von Neumann ingresó en el Luterano Fasori Evangélikus Gimnázium en 1914. ^{[ 28 ]} Eugene Wigner era un año mayor que von Neumann en la escuela y pronto se convirtió en su amigo. ^{[ 29 ]}

Aunque el padre de von Neumann insistió en que asistiera a la escuela en el nivel apropiado para su edad, accedió a contratar tutores privados para que le dieran instrucción avanzada. A los 15 años, comenzó a estudiar cálculo avanzado con el analista Gábor Szegő . ^{[ 29 ]} En su primer encuentro, Szegő quedó tan asombrado por el talento matemático y la rapidez de von Neumann que, según recordó su esposa, regresó a casa con lágrimas en los ojos. ^{[ 30 ]} A los 19 años, von Neumann había publicado dos importantes artículos matemáticos, el segundo de los cuales proporcionó la definición moderna de números ordinales , que reemplazó la definición de Georg Cantor . ^{[ 31 ]} Al concluir su educación en el gimnasio, solicitó y ganó el Premio Eötvös, un premio nacional de matemáticas. ^{[ 32 ]}

Según su amigo Theodore von Kármán , el padre de von Neumann quería que John siguiera sus pasos en la industria y le pidió a von Kármán que persuadiera a su hijo para que no estudiara matemáticas. ^{[ 33 ]} Von Neumann y su padre decidieron que la mejor opción profesional era la ingeniería química . Como von Neumann no tenía muchos conocimientos sobre este tema, se organizó que cursara un programa de dos años, sin titulación, en química en la Universidad de Berlín , tras el cual se presentó al examen de ingreso a la ETH Zúrich , ^{[ 34 ]} que aprobó en septiembre de 1923. ^{[ 35 ]} Simultáneamente, von Neumann ingresó en la Universidad Pázmány Péter , entonces conocida como la Universidad de Budapest, como candidato a doctorado en matemáticas . ^{[ 36 ]} Para su tesis, elaboró ​​una axiomatización de la teoría de conjuntos de Cantor . ^{[ 37 ] [ 38 ]} En 1926, se graduó como ingeniero químico de la ETH Zúrich y, simultáneamente, aprobó sus exámenes finales con honores (summa cum laude) para obtener su doctorado en matemáticas (con especializaciones en física experimental y química) en la Universidad de Budapest. ^{[ 39 ] [ 40 ]}

Luego fue a la Universidad de Göttingen con una beca de la Fundación Rockefeller para estudiar matemáticas con David Hilbert . ^{[ 41 ]} Hermann Weyl recuerda cómo en el invierno de 1926–1927 von Neumann, Emmy Noether y él caminaban por "las frías, húmedas y mojadas por la lluvia calles de Göttingen " después de clase discutiendo sistemas de números hipercomplejos y sus representaciones . ^{[ 42 ]}

En 1955, se encontró una masa cerca de la clavícula de von Neumann, que resultó ser un cáncer originado en el esqueleto , el páncreas o la próstata . (Si bien hay un acuerdo general de que el tumor había hecho metástasis , las fuentes difieren en la ubicación del cáncer primario). ^{[ nota 3 ] [ 76 ]} La malignidad pudo haber sido causada por la exposición a la radiación en el Laboratorio Nacional de Los Alamos . ^{[ 77 ]} Cuando se acercaba la muerte, pidió un sacerdote, aunque el sacerdote recordó más tarde que von Neumann encontró poco consuelo al recibir los últimos ritos : seguía aterrorizado por la muerte e incapaz de aceptarla. ^{[ 78 ] [ 79 ] [ 80 ] [ 81 ]} Sobre sus puntos de vista religiosos, von Neumann dijo, según se informa: "Mientras exista la posibilidad de condenación eterna para los no creyentes, es más lógico ser creyente al final", refiriéndose a la apuesta de Pascal . Le confió a su madre: «Probablemente tenga que haber un Dios. Muchas cosas son más fáciles de explicar si existe que si no existe». ^{[ 82 ] [ 83 ]} 

Von Neumann vivió y murió católico romano ^{[ 48 ]} el 8 de febrero de 1957, a los 53 años, en el Hospital Médico del Ejército Walter Reed y fue enterrado en el Cementerio de Princeton . ^{[ 84 ] [ 85 ]}

A principios del siglo XX, los esfuerzos por fundamentar las matemáticas en la teoría de conjuntos ingenua sufrieron un revés debido a la paradoja de Russell (sobre el conjunto de todos los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos). ^{[ 86 ]} El problema de una axiomatización adecuada de la teoría de conjuntos fue resuelto implícitamente unos veinte años después por Ernst Zermelo y Abraham Fraenkel . La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel proporcionó una serie de principios que permitieron la construcción de los conjuntos utilizados en la práctica cotidiana de las matemáticas, pero no excluyó explícitamente la posibilidad de la existencia de un conjunto que se pertenezca a sí mismo. En su tesis doctoral de 1925, von Neumann demostró dos técnicas para excluir tales conjuntos: el axioma de fundación y la noción de clase . ^{[ 87 ]}

El axioma de la fundación proponía que todo conjunto puede construirse de abajo hacia arriba en una sucesión ordenada de pasos mediante los principios de Zermelo-Fraenkel. Si un conjunto pertenece a otro, entonces el primero debe necesariamente preceder al segundo en la sucesión. Esto excluye la posibilidad de que un conjunto se pertenezca a sí mismo. Para demostrar que la adición de este nuevo axioma a los demás no producía contradicciones, von Neumann introdujo el método de los modelos internos , que se convirtió en un instrumento de demostración esencial en la teoría de conjuntos. ^{[ 87 ]}

El segundo enfoque al problema de los conjuntos que se pertenecen a sí mismos tomó como base la noción de clase y define un conjunto como una clase que pertenece a otras clases, mientras que una clase propia se define como una clase que no pertenece a otras clases. En el enfoque de Zermelo-Fraenkel, los axiomas impiden la construcción de un conjunto de todos los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos. En cambio, en el enfoque de von Neumann, la clase de todos los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos puede construirse, pero es una clase propia , no un conjunto. ^{[ 87 ]}

En general, el mayor logro de von Neumann en la teoría de conjuntos fue una "axiomatización de la teoría de conjuntos y (relacionada con ella) una elegante teoría de los números ordinales y cardinales , así como la primera formulación estricta de principios de definición mediante la inducción transfinita ". ^{[ 88 ]}

Con las contribuciones de von Neumann a los conjuntos, el sistema axiomático de la teoría de conjuntos evitó las contradicciones de sistemas anteriores y se convirtió en un fundamento útil para las matemáticas, a pesar de la falta de una prueba de su consistencia . La siguiente pregunta era si proporcionaba respuestas definitivas a todas las cuestiones matemáticas que podían plantearse en él, o si podría mejorarse añadiendo axiomas más fuertes que pudieran utilizarse para demostrar una clase más amplia de teoremas. ^{[ 91 ]}

Hacia 1927, von Neumann participaba en debates en Gotinga sobre si la aritmética elemental se derivaba de los axiomas de Peano . ^{[ 92 ]} Partiendo del trabajo de Ackermann , comenzó a intentar demostrar (utilizando los métodos finistas de la escuela de Hilbert ) la consistencia de la aritmética de primer orden . Logró demostrar la consistencia de un fragmento de la aritmética de los números naturales (mediante el uso de restricciones en la inducción ). ^{[ 93 ]} Continuó buscando una demostración más general de la consistencia de las matemáticas clásicas utilizando métodos de la teoría de la demostración . ^{[ 94 ]}

Una respuesta rotundamente negativa sobre si era definitivo llegó en septiembre de 1930 en la Segunda Conferencia sobre la Epistemología de las Ciencias Exactas , en la que Kurt Gödel anunció su primer teorema de incompletitud : los sistemas axiomáticos usuales son incompletos, en el sentido de que no pueden probar toda verdad expresable en su lenguaje. Además, toda extensión consistente de estos sistemas necesariamente permanece incompleta. ^{[ 95 ]} En la conferencia, von Neumann sugirió a Gödel que intentara transformar sus resultados para proposiciones indecidibles sobre enteros. ^{[ 96 ]}

Menos de un mes después, von Neumann le comunicó a Gödel una interesante consecuencia de su teorema: los sistemas axiomáticos usuales son incapaces de demostrar su propia consistencia. ^{[ 95 ]} Gödel respondió que ya había descubierto esta consecuencia, ahora conocida como su segundo teorema de incompletitud , y que enviaría una preimpresión de su artículo que contenía ambos resultados, que nunca apareció. ^{[ 97 ] [ 98 ] [ 99 ]} Von Neumann reconoció la prioridad de Gödel en su siguiente carta. ^{[ 100 ]} Sin embargo, el método de demostración de von Neumann difería del de Gödel, y también opinaba que el segundo teorema de incompletitud había asestado un golpe mucho más fuerte al programa de Hilbert de lo que Gödel pensaba. ^{[ 101 ] [ 102 ]} Con este descubrimiento, que cambió drásticamente su visión sobre el rigor matemático, von Neumann dejó de investigar los fundamentos de las matemáticas y la metamatemática y, en cambio, dedicó su tiempo a problemas relacionados con las aplicaciones. ^{[ 103 ]}

En una serie de artículos publicados en 1932, von Neumann realizó contribuciones fundamentales a la teoría ergódica , una rama de las matemáticas que estudia los estados de sistemas dinámicos con una medida invariante . ^{[ 104 ]} Sobre los artículos de 1932 sobre teoría ergódica, Paul Halmos escribió que incluso «si von Neumann no hubiera hecho nada más, habrían sido suficientes para garantizarle la inmortalidad matemática». ^{[ 105 ]} Para entonces, von Neumann ya había escrito sus artículos sobre teoría de operadores , y la aplicación de este trabajo fue fundamental para su teorema ergódico medio . ^{[ 106 ]}

El teorema trata sobre grupos unitarios arbitrarios de un parámetro.${\displaystyle {\mathit {t}}\to {\mathit {V_{t}}}}$y afirma que para cada vector${\displaystyle \phi }$en el espacio de Hilbert ,${\textstyle \lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}V_{t}(\phi )\,dt}$existe en el sentido de la métrica definida por la norma de Hilbert y es un vector${\displaystyle \psi }$que es tal que${\displaystyle V_{t}(\psi)=\psi}$a pesar de${\displaystyle t}$Esto se demostró en el primer artículo. En el segundo artículo, von Neumann argumentó que sus resultados eran suficientes para aplicaciones físicas relacionadas con la hipótesis ergódica de Boltzmann . También señaló que la ergodicidad aún no se había alcanzado y la dejó como tema para trabajos futuros. ^{[ 107 ]}

Más adelante ese mismo año publicó otro influyente artículo que dio inicio al estudio sistemático de la ergodicidad. Presentó y demostró un teorema de descomposición que muestra que las acciones ergódicas que preservan la medida en la recta real son los bloques fundamentales a partir de los cuales se pueden construir todas las acciones que preservan la medida. Se presentan y demuestran otros teoremas clave. Los resultados de este artículo y de otro en colaboración con Paul Halmos tienen importantes aplicaciones en otras áreas de las matemáticas. ^{[ 107 ] [ 108 ]}

En teoría de la medida , el "problema de la medida" para un espacio euclidiano n- dimensional R ⁿ puede enunciarse como: "¿existe una función de conjunto positiva, normalizada, invariante y aditiva en la clase de todos los subconjuntos de R ⁿ ?" ^{[ 109 ]} El trabajo de Felix Hausdorff y Stefan Banach había implicado que el problema de la medida tiene una solución positiva si n = 1 o n = 2 y una solución negativa (debido a la paradoja de Banach-Tarski ) en todos los demás casos. El trabajo de Von Neumann argumentó que el "problema es esencialmente de carácter de teoría de grupos": la existencia de una medida podría determinarse observando las propiedades del grupo de transformaciones del espacio dado. La solución positiva para espacios de dimensión como máximo dos, y la solución negativa para dimensiones superiores, proviene del hecho de que el grupo euclidiano es un grupo resoluble para dimensión como máximo dos, y no es resoluble para dimensiones superiores. «Así, según von Neumann, lo que marca la diferencia es el cambio de grupo, no el cambio de espacio». ^{[ 110 ]} Alrededor de 1942 le explicó a Dorothy Maharam cómo demostrar que todo espacio de medida σ-finita completo tiene una elevación multiplicativa; no publicó esta demostración y ella posteriormente presentó una nueva. ^{[ 111 ]}

En varios artículos de von Neumann, los métodos de argumentación que empleó se consideran incluso más significativos que los resultados. Anticipándose a su posterior estudio de la teoría de la dimensión en álgebras de operadores, von Neumann utilizó resultados sobre equivalencia por descomposición finita y reformuló el problema de la medida en términos de funciones. ^{[ 112 ]} Una contribución importante que von Neumann hizo a la teoría de la medida fue el resultado de un artículo escrito para responder a una pregunta de Haar sobre si existía un álgebra de todas las funciones acotadas en la recta numérica real tal que formaran "un sistema completo de representantes de las clases de funciones acotadas medibles casi en todas partes iguales". ^{[ 113 ]} Lo demostró afirmativamente y, en artículos posteriores con Stone , discutió varias generalizaciones y aspectos algebraicos de este problema. ^{[ 114 ]} También demostró mediante nuevos métodos la existencia de desintegraciones para varios tipos generales de medidas. Von Neumann también dio una nueva demostración sobre la unicidad de las medidas de Haar utilizando los valores medios de las funciones, aunque este método solo funcionó para grupos compactos . ^{[ 113 ]} Tuvo que crear técnicas completamente nuevas para aplicar esto a grupos localmente compactos . ^{[ 115 ]} También dio una nueva e ingeniosa demostración del teorema de Radon-Nikodym . ^{[ 116 ]} Sus apuntes de clase sobre teoría de la medida en el Instituto de Estudios Avanzados fueron una fuente importante de conocimiento sobre el tema en Estados Unidos en ese momento, y posteriormente fueron publicados. ^{[ 117 ] [ 118 ] [ 119 ]}

Utilizando su trabajo previo sobre teoría de la medida, von Neumann realizó varias contribuciones a la teoría de grupos topológicos , comenzando con un artículo sobre funciones casi periódicas en grupos, donde extendió la teoría de Bohr sobre funciones casi periódicas a grupos arbitrarios . ^{[ 120 ]} Continuó este trabajo con otro artículo junto con Bochner que mejoró la teoría de la casi periodicidad para incluir funciones que tomaban elementos de espacios lineales como valores en lugar de números. ^{[ 121 ]} En 1938, recibió el Premio Memorial Bôcher por su trabajo en análisis en relación con estos artículos. ^{[ 122 ] [ 123 ]}

En un artículo de 1933, utilizó la medida de Haar, recientemente descubierta , en la solución del quinto problema de Hilbert para el caso de grupos compactos . ^{[ 124 ]} La idea básica detrás de esto fue descubierta varios años antes cuando von Neumann publicó un artículo sobre las propiedades analíticas de los grupos de transformaciones lineales y encontró que los subgrupos cerrados de un grupo lineal general son grupos de Lie . ^{[ 125 ]} Esto fue extendido posteriormente por Cartan a grupos de Lie arbitrarios en forma del teorema del subgrupo cerrado . ^{[ 126 ] [ 113 ]}

Von Neumann fue el primero en definir axiomáticamente un espacio de Hilbert abstracto . Lo definió como un espacio vectorial complejo con un producto escalar hermitiano , cuya norma correspondiente es separable y completa. En esos mismos trabajos, también demostró la forma general de la desigualdad de Cauchy-Schwarz , que hasta entonces solo se conocía en ejemplos específicos. ^{[ 127 ]} Continuó con el desarrollo de la teoría espectral de operadores en el espacio de Hilbert en tres trabajos fundamentales entre 1929 y 1932. ^{[ 128 ]} Este trabajo culminó en sus Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica, que, junto con otros dos libros de Stone y Banach publicados ese mismo año, fueron las primeras monografías sobre la teoría del espacio de Hilbert. ^{[ 129 ]} Trabajos anteriores de otros autores demostraron que no se podía obtener una teoría de topologías débiles mediante el uso de secuencias . Von Neumann fue el primero en esbozar un programa para superar estas dificultades, lo que le permitió definir por primera vez espacios localmente convexos y espacios vectoriales topológicos . Además, varias otras propiedades topológicas que definió en ese momento (fue uno de los primeros matemáticos en aplicar nuevas ideas topológicas de Hausdorff de los espacios euclidianos a los espacios de Hilbert) ^{[ 130 ]} , como la acotación y la acotación total , todavía se utilizan hoy en día. ^{[ 131 ]} Durante veinte años, von Neumann fue considerado el "maestro indiscutible" de esta área. ^{[ 113 ]} Estos desarrollos fueron impulsados ​​principalmente por las necesidades de la mecánica cuántica, donde von Neumann se dio cuenta de la necesidad de extender la teoría espectral de los operadores hermíticos del caso acotado al no acotado . ^{[ 132 ]} Otros logros importantes en estos trabajos incluyen una elucidación completa de la teoría espectral para operadores normales , la primera presentación abstracta de la traza de un operador positivo , ^{[ 133 ] [ 134 ]} una generalización de la presentación de Riesz de los teoremas espectrales de Hilbert en ese momento, y el descubrimiento de los operadores hermíticosen un espacio de Hilbert, a diferencia de los operadores autoadjuntos , lo que le permitió describir todos los operadores hermíticos que extienden un operador hermítico dado. Escribió un artículo donde detallaba cómo el uso de matrices infinitas , común en la teoría espectral de la época, resultaba inadecuado como representación de los operadores hermíticos. Su trabajo en teoría de operadores condujo a su invención más profunda en matemáticas puras: el estudio de las álgebras de von Neumann y, en general, de las álgebras de operadores . ^{[ 135 ]}

Su trabajo posterior sobre anillos de operadores lo llevó a retomar su trabajo sobre teoría espectral y a proporcionar una nueva forma de abordar el contenido geométrico mediante el uso de integrales directas de espacios de Hilbert. ^{[ 132 ]} Al igual que en su trabajo sobre teoría de la medida, demostró varios teoremas que no tuvo tiempo de publicar. Les comentó a Nachman Aronszajn y KT Smith que a principios de la década de 1930 demostró la existencia de subespacios invariantes propios para operadores completamente continuos en un espacio de Hilbert mientras trabajaba en el problema de los subespacios invariantes . ^{[ 136 ]}

Junto con IJ Schoenberg, escribió varios artículos que investigaban métricas hilbertianas invariantes a la traslación en la recta numérica real, lo que dio como resultado su clasificación completa. Su motivación radica en diversas cuestiones relacionadas con la incrustación de espacios métricos en espacios de Hilbert. ^{[ 137 ] [ 138 ]}

Junto con Pascual Jordan, escribió un breve artículo que proporciona la primera derivación de una norma dada a partir de un producto interno mediante la identidad del paralelogramo . ^{[ 139 ]} Su desigualdad de traza es un resultado clave de la teoría de matrices utilizado en problemas de aproximación de matrices. ^{[ 140 ]} También presentó por primera vez la idea de que el dual de una prenorma es una norma en el primer artículo importante que discute la teoría de normas unitariamente invariantes y funciones de calibre simétricas (ahora conocidas como normas absolutas simétricas). ^{[ 141 ] [ 142 ] [ 143 ]} Este artículo conduce naturalmente al estudio de ideales de operadores simétricos y es el punto de partida para los estudios modernos de espacios de operadores simétricos . ^{[ 144 ]}

Más tarde, con Robert Schatten, inició el estudio de operadores nucleares en espacios de Hilbert, ^{[ 145 ] [ 146 ]} productos tensoriales de espacios de Banach , ^{[ 147 ]} introdujo y estudió operadores de clase traza , ^{[ 148 ]} sus ideales , y su dualidad con operadores compactos , y predualidad con operadores acotados . ^{[ 149 ]} La generalización de este tema al estudio de operadores nucleares en espacios de Banach fue uno de los primeros logros de Alexander Grothendieck . ^{[ 150 ] [ 151 ]} Anteriormente, en 1937, von Neumann publicó varios resultados en esta área, por ejemplo, dando una escala de un parámetro de diferentes normas cruzadas en${\displaystyle {\textit {l}}\,_{2}^{n}\otimes {\textit {l}}\,_{2}^{n}}$y demostrando otros resultados sobre lo que ahora se conoce como ideales de Schatten-von Neumann. ^{[ 152 ]}

Von Neumann fundó el estudio de anillos de operadores, a través de las álgebras de von Neumann (originalmente llamadas W*-álgebras). Si bien sus ideas originales para anillos de operadores ya existían en 1930, no comenzó a estudiarlas en profundidad hasta que conoció a FJ Murray varios años después. ^{[ 153 ] [ 154 ]} Un álgebra de von Neumann es un *-álgebra de operadores acotados en un espacio de Hilbert que es cerrado en la topología de operadores débiles y contiene el operador identidad . ^{[ 155 ]} El teorema del bicommutante de von Neumann muestra que la definición analítica es equivalente a una definición puramente algebraica como igual al bicommutante . ^{[ 156 ]} Después de dilucidar el estudio del caso del álgebra conmutativa , von Neumann se embarcó en 1936, con la colaboración parcial de Murray, en el caso no conmutativo , el estudio general de la clasificación de factores de las álgebras de von Neumann. Los seis artículos principales en los que desarrolló esa teoría entre 1936 y 1940 "se encuentran entre las obras maestras del análisis del siglo XX"; ^{[ 157 ]} recopilan muchos resultados fundamentales e iniciaron varios programas en la teoría del álgebra de operadores en los que los matemáticos trabajaron durante décadas. Un ejemplo es la clasificación de factores . ^{[ 158 ]} Además, en 1938 demostró que toda álgebra de von Neumann en un espacio de Hilbert separable es una integral directa de factores; no encontró tiempo para publicar este resultado hasta 1949. ^{[ 159 ] [ 160 ]} Las álgebras de von Neumann se relacionan estrechamente con una teoría de la integración no conmutativa, algo que von Neumann insinuó en su trabajo pero no escribió explícitamente. ^{[ 161 ] [ 162 ]} Otro resultado importante sobre la descomposición polar se publicó en 1932. ^{[ 163 ]}

Entre 1935 y 1937, von Neumann trabajó en la teoría de retículos , la teoría de conjuntos parcialmente ordenados en la que cada par de elementos tiene un límite inferior máximo y un límite superior mínimo. Como escribió Garrett Birkhoff , «la mente brillante de John von Neumann irrumpió en la teoría de retículos como un meteorito». ^{[ 164 ]} Von Neumann combinó la geometría proyectiva tradicional con el álgebra moderna ( álgebra lineal , teoría de anillos , teoría de retículos). Muchos resultados previamente geométricos pudieron entonces interpretarse en el caso de módulos generales sobre anillos. Su trabajo sentó las bases de algunos de los trabajos modernos en geometría proyectiva. ^{[ 165 ]}

Su mayor contribución fue fundar el campo de la geometría continua . ^{[ 166 ]} Esto siguió a su trabajo pionero sobre anillos de operadores. En matemáticas, la geometría continua es un sustituto de la geometría proyectiva compleja , donde en lugar de que la dimensión de un subespacio esté en un conjunto discreto${\displaystyle 0,1,...,{\mathit {n}}}$puede ser un elemento del intervalo unitario${\displaystyle [0,1]}$Anteriormente, Menger y Birkhoff habían axiomatizado la geometría proyectiva compleja en términos de las propiedades de su retículo de subespacios lineales . Von Neumann, tras su trabajo sobre anillos de operadores, debilitó esos axiomas para describir una clase más amplia de retículos: las geometrías continuas.

Mientras que las dimensiones de los subespacios de las geometrías proyectivas son un conjunto discreto (los enteros no negativos ), las dimensiones de los elementos de una geometría continua pueden variar continuamente a lo largo del intervalo unitario.${\displaystyle [0,1]}$Von Neumann se sintió motivado por su descubrimiento de las álgebras de von Neumann con una función de dimensión que toma un rango continuo de dimensiones, y el primer ejemplo de una geometría continua distinta del espacio proyectivo fueron las proyecciones del factor hiperfinito de tipo II . ^{[ 167 ] [ 168 ]}

En trabajos teóricos de retículos más puros, resolvió el difícil problema de caracterizar la clase de${\displaystyle {\mathit {CG(F)}}}$(geometría proyectiva de dimensión continua sobre un anillo de división arbitrario${\displaystyle {\mathit {F}}\,}$) en el lenguaje abstracto de la teoría de retículos. ^{[ 169 ]} Von Neumann proporcionó una exploración abstracta de la dimensión en retículos topológicos modulares completos y complementados (propiedades que surgen en los retículos de subespacios de espacios de producto interno ):

La dimensión se determina, salvo una transformación lineal positiva, por las dos propiedades siguientes: se conserva mediante transformaciones de perspectiva ("perspectividades") y se ordena por inclusión. La parte más profunda de la demostración trata sobre la equivalencia de la perspectividad con la "proyectividad por descomposición", cuyo corolario es la transitividad de la perspectividad.

Para cualquier número entero${\displaystyle n>3}$cada${\displaystyle {\mathit {n}}}$La geometría proyectiva abstracta de dimensión - es isomorfa a la red de subespacios de un${\displaystyle {\mathit {n}}}$espacio vectorial de dimensión${\displaystyle V_{n}(F)}$sobre un anillo de división correspondiente (único)${\displaystyle F}$Esto se conoce como el teorema de Veblen-Young . Von Neumann extendió este resultado fundamental en geometría proyectiva al caso de dimensión continua. ^{[ 170 ]} Este teorema de coordinatización estimuló un trabajo considerable en geometría proyectiva abstracta y teoría de retículos, gran parte del cual continuó utilizando las técnicas de von Neumann. ^{[ 165 ] [ 171 ]} Birkhoff describió este teorema de la siguiente manera:

Cualquier retículo modular complementado L que tenga una "base" de n ≥ 4 elementos de perspectiva por pares, es isomorfo con el retículo ℛ( R ) de todos los ideales derechos principales de un anillo regular adecuado R . Esta conclusión es la culminación de 140 páginas de álgebra brillante e incisiva que involucran axiomas completamente novedosos. Cualquiera que desee obtener una impresión inolvidable de la agudeza mental de von Neumann, solo necesita intentar seguir esta cadena de razonamiento exacto por sí mismo, dándose cuenta de que a menudo cinco páginas de ella fueron escritas antes del desayuno, sentado en una mesa de escritorio en la sala de estar en bata de baño. ^{[ 172 ]}

Este trabajo requirió la creación de anillos regulares . ^{[ 173 ]} Un anillo regular de von Neumann es un anillo donde para cada${\displaystyle a}$, un elemento${\displaystyle x}$existe tal que${\displaystyle axa=a}$. ^{[ 172 ]} Estos anillos surgieron de su trabajo sobre álgebras de von Neumann, así como sobre álgebras AW* y diversos tipos de álgebras C* , y tienen conexiones con él . ^{[ 174 ]}

Durante la creación y demostración de los teoremas anteriores se demostraron numerosos resultados técnicos menores, en particular en lo que respecta a la distributividad (como la distributividad infinita), que von Neumann fue desarrollando según fue necesario. También desarrolló una teoría de las valoraciones en retículos y participó en el desarrollo de la teoría general de los retículos métricos . ^{[ 175 ]}

Birkhoff señaló en su artículo póstumo sobre von Neumann que la mayoría de estos resultados se desarrollaron en un intenso período de trabajo de dos años, y que si bien su interés por la teoría de retículos continuó después de 1937, se volvió secundario y se manifestó principalmente en cartas a otros matemáticos. Una última contribución en 1940 fue para un seminario conjunto que dirigió con Birkhoff en el Instituto de Estudios Avanzados sobre el tema, donde desarrolló una teoría de anillos ordenados en retículos σ-completos. Nunca redactó el trabajo para su publicación. ^{[ 176 ]}

Von Neumann realizó contribuciones fundamentales a la estadística matemática . En 1941, derivó la distribución exacta de la razón entre la media cuadrática de las diferencias sucesivas y la varianza muestral para variables independientes e idénticamente distribuidas normalmente . ^{[ 177 ]} Esta razón se aplicó a los residuos de los modelos de regresión y se conoce comúnmente como el estadístico de Durbin-Watson ^{[ 178 ]} para contrastar la hipótesis nula de que los errores son serialmente independientes frente a la alternativa de que siguen una autorregresión estacionaria de primer orden . ^{[ 178 ]}

Posteriormente, Denis Sargan y Alok Bhargava extendieron los resultados para probar si los errores en un modelo de regresión siguen un paseo aleatorio gaussiano ( es decir , poseen una raíz unitaria ) frente a la alternativa de que sean una autorregresión estacionaria de primer orden. ^{[ 179 ]}

En sus primeros años, von Neumann publicó varios artículos relacionados con el análisis real conjuntista y la teoría de números. ^{[ 180 ]} En un artículo de 1925, demostró que para cualquier secuencia densa de puntos en${\displaystyle [0,1]}$, there existed a rearrangement of those points that is equidistributed.^{[181][182][183]} In 1926 his sole publication was on Prüfer's theory of ideal algebraic numbers where he found a new way of constructing them, thus extending Prüfer's theory to the field of all algebraic numbers, and clarified their relation to p-adic numbers.^{[184][185][186][187][188]} In 1928 he published two additional papers continuing with these themes. The first dealt with partitioning an interval into countably many congruentsubsets. It solved a problem of Hugo Steinhaus asking whether an interval is ${\displaystyle \aleph _{0}}$-divisible. Von Neumann proved that indeed that all intervals, half-open, open, or closed are ${\displaystyle \aleph _{0}}$-divisible by translations (i.e. that these intervals can be decomposed into ${\displaystyle \aleph _{0}}$ subsets that are congruent by translation).^{[189][190][191][192]} His next paper dealt with giving a constructive proof without the axiom of choice that ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$algebraically independentreals exist. He proved that ${\displaystyle A_{r}=\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{2^{[nr]}}\!{\big /}\,2^{2^{n^{2}}}}$ are algebraically independent for ${\displaystyle r>0}$. En consecuencia, existe un conjunto de reales algebraicamente independientes perfectos del tamaño del continuo . ^{[ 193 ] [ 194 ] [ 195 ] [ 196 ]} Otros resultados menores de su carrera temprana incluyen una demostración de un principio máximo para el gradiente de una función minimizadora en el campo del cálculo de variaciones , ^{[ 197 ] [ 198 ] [ 199 ] [ 200 ]} y una pequeña simplificación del teorema de Hermann Minkowski para formas lineales en teoría geométrica de números . ^{[ 201 ] [ 202 ] [ 203 ]} Más adelante en su carrera junto con Pascual Jordan y Eugene Wigner escribió un artículo fundamental que clasifica todas las álgebras de Jordan formalmente reales de dimensión finita y descubre las álgebras de Albert mientras intenta buscar un mejor formalismo matemático para la teoría cuántica . ^{[ 204 ] [ 205 ]} En 1936 intentó avanzar en el programa de reemplazar los axiomas de su programa anterior de espacio de Hilbert con los de las álgebras de Jordan ^{[ 206 ]} en un artículo que investigaba el caso de dimensión infinita; planeó escribir al menos un artículo más sobre el tema, pero nunca lo hizo. ^{[ 207 ]} Sin embargo, estos axiomas formaron la base para investigaciones posteriores de mecánica cuántica algebraica iniciadas por Irving Segal . ^{[ 208 ] [ 209 ]}

Von Neumann fue el primero en establecer un marco matemático riguroso para la mecánica cuántica , conocido como los axiomas de Dirac-von Neumann , en su influyente obra de 1932, Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica . ^{[ 210 ]} Tras completar la axiomatización de la teoría de conjuntos, comenzó a abordar la axiomatización de la mecánica cuántica. En 1926, se dio cuenta de que un estado de un sistema cuántico podía representarse mediante un punto en un espacio de Hilbert (complejo) que, en general, podía ser de dimensión infinita incluso para una sola partícula. En este formalismo de la mecánica cuántica, las cantidades observables, como la posición o el momento, se representan como operadores lineales que actúan sobre el espacio de Hilbert asociado al sistema cuántico. ^{[ 211 ]}

La física de la mecánica cuántica se redujo así a las matemáticas de los espacios de Hilbert y los operadores lineales que actúan sobre ellos. Por ejemplo, el principio de incertidumbre , según el cual la determinación de la posición de una partícula impide la determinación de su momento y viceversa, se traduce en la no conmutatividad de los dos operadores correspondientes. Esta nueva formulación matemática incluyó como casos particulares las formulaciones de Heisenberg y Schrödinger. ^{[ 211 ]}

El tratamiento abstracto de Von Neumann le permitió abordar la cuestión fundamental del determinismo frente al no determinismo, y en el libro presentó una prueba de que los resultados estadísticos de la mecánica cuántica no podían ser promedios de un conjunto subyacente de "variables ocultas" determinadas, como en la mecánica estadística clásica. En 1935, Grete Hermann publicó un artículo argumentando que la prueba contenía un error conceptual y, por lo tanto, era inválida. ^{[ 212 ]} El trabajo de Hermann fue ignorado en gran medida hasta que John S. Bell hizo esencialmente el mismo argumento en 1966. ^{[ 213 ]} En 2010, Jeffrey Bub argumentó que Bell había malinterpretado la prueba de von Neumann y señaló que la prueba, aunque no válida para todas las teorías de variables ocultas , sí descarta un subconjunto importante y bien definido. Bub también sugiere que von Neumann era consciente de esta limitación y no afirmó que su prueba descartara por completo las teorías de variables ocultas. ^{[ 214 ]} La validez del argumento de Bub, a su vez, es cuestionada. El teorema de Gleason de 1957 proporcionó un argumento contra las variables ocultas en la línea del de von Neumann, pero basado en supuestos considerados mejor motivados y con mayor significado físico. ^{[ 215 ] [ 216 ]}

La demostración de Von Neumann inauguró una línea de investigación que, en última instancia, condujo, a través del teorema de Bell y los experimentos de Alain Aspect en 1982, a la demostración de que la física cuántica requiere una noción de realidad sustancialmente diferente de la de la física clásica, o bien debe incluir la no localidad en aparente violación de la relatividad especial. ^{[ 217 ]}

En un capítulo de Los fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica , von Neumann analizó profundamente el llamado problema de la medición . Concluyó que todo el universo físico podía someterse a la función de onda universal . Dado que se necesitaba algo "ajeno al cálculo" para que la función de onda colapsara, von Neumann concluyó que el colapso era causado por la conciencia del experimentador. Argumentó que las matemáticas de la mecánica cuántica permiten ubicar el colapso de la función de onda en cualquier posición de la cadena causal, desde el dispositivo de medición hasta la "conciencia subjetiva" del observador humano. En otras palabras, si bien la línea entre observador y observado podría trazarse en diferentes lugares, la teoría solo tiene sentido si existe un observador en algún punto. ^{[ 218 ]} Aunque la idea de que la conciencia causara el colapso fue aceptada por Eugene Wigner, ^{[ 219 ]} esta interpretación nunca obtuvo la aceptación de la mayoría de los físicos. ^{[ 220 ]}

Aunque las teorías de la mecánica cuántica siguen evolucionando, el marco básico para el formalismo matemático de los problemas de la mecánica cuántica que subyace a la mayoría de los enfoques se remonta a los formalismos y técnicas matemáticas utilizados inicialmente por von Neumann. Los debates sobre la interpretación de la teoría y sus extensiones se basan ahora principalmente en supuestos compartidos sobre sus fundamentos matemáticos. ^{[ 210 ]}

Considerando el trabajo de von Neumann sobre mecánica cuántica como parte del cumplimiento del sexto problema de Hilbert , el físico matemático Arthur Wightman afirmó en 1974 que su axiomización de la teoría cuántica era quizás la axiomización más importante de una teoría física hasta la fecha. Con su libro de 1932, la mecánica cuántica se convirtió en una teoría madura en el sentido de que poseía una forma matemática precisa, lo que permitía respuestas claras a problemas conceptuales. ^{[ 221 ]} Sin embargo, von Neumann, en sus últimos años, sintió que había fracasado en este aspecto de su trabajo científico, ya que, a pesar de todas las matemáticas que desarrolló, no encontró un marco matemático satisfactorio para la teoría cuántica en su conjunto. ^{[ 222 ] [ 223 ]}

Durante la Segunda Guerra Mundial, von Neumann realizó contribuciones fundamentales en el campo de la dinámica de fluidos , incluyendo la solución clásica de flujo para ondas expansivas, ahora llamada onda expansiva de Taylor-von Neumann-Sedov, en honor a tres científicos que la idearon de forma independiente, ^{[ 238 ]} y el codescubrimiento (de forma independiente por Yakov Borisovich Zel'dovich y Werner Döring ) del modelo de detonación ZND de explosivos. ^{[ 239 ]} Durante la década de 1930, von Neumann se convirtió en una autoridad en las matemáticas de las cargas huecas . ^{[ 240 ]}

Más tarde, junto con Robert D. Richtmyer , von Neumann desarrolló un algoritmo que definía la viscosidad artificial y que mejoró la comprensión de las ondas de choque . Cuando las computadoras resolvían problemas hidrodinámicos o aerodinámicos, colocaban demasiados puntos de la malla computacional en regiones de discontinuidad abrupta (ondas de choque). Las matemáticas de la viscosidad artificial suavizaron la transición del choque sin sacrificar la física básica. ^{[ 241 ]}

Von Neumann pronto aplicó la modelización por ordenador al campo, desarrollando software para su investigación balística. Durante la Segunda Guerra Mundial, se dirigió a R. H. Kent, director del Laboratorio de Investigación Balística del Ejército de los Estados Unidos , con un programa informático para calcular un modelo unidimensional de 100 moléculas para simular una onda de choque. Von Neumann impartió un seminario sobre su programa ante un público que incluía a su amigo Theodore von Kármán . Tras la intervención de von Neumann, von Kármán comentó: «Por supuesto que sabes que Lagrange también utilizó modelos digitales para simular la mecánica de medios continuos ». Von Neumann desconocía la obra de Lagrange, Mécanique analytique . ^{[ 242 ]}

Aunque no tan prolífico en física como en matemáticas, realizó varias otras contribuciones notables. Sus artículos pioneros con Subrahmanyan Chandrasekhar sobre las estadísticas de un campo gravitatorio fluctuante generado por estrellas distribuidas aleatoriamente fueron considerados una obra maestra . ^{[ 243 ]} En este artículo desarrollaron una teoría de relajación de dos cuerpos ^{[ 244 ]} y utilizaron la distribución de Holtsmark para modelar ^{[ 245 ]} la dinámica de los sistemas estelares . ^{[ 246 ]} Escribió varios otros manuscritos inéditos sobre temas de estructura estelar , algunos de los cuales se incluyeron en otros trabajos de Chandrasekhar. ^{[ 247 ] [ 248 ]} En trabajos anteriores dirigidos por Oswald Veblen von Neumann ayudó a desarrollar ideas básicas que involucraban espinores que conducirían a la teoría de twistores de Roger Penrose . ^{[ 249 ] [ 250 ]} Gran parte de esto se hizo en seminarios realizados en el IAS durante la década de 1930. ^{[ 251 ]} A partir de este trabajo, escribió un artículo con AH Taub y Veblen extendiendo la ecuación de Dirac a la relatividad proyectiva , con un enfoque clave en mantener la invariancia con respecto a las transformaciones de coordenadas, espín y gauge , como parte de la investigación temprana sobre posibles teorías de la gravedad cuántica en la década de 1930. ^{[ 252 ]} En el mismo período, hizo varias propuestas a colegas para abordar los problemas en la teoría cuántica de campos recién creada y para cuantizar el espaciotiempo; sin embargo, ni sus colegas ni él consideraron que las ideas fueran fructíferas y no las desarrollaron. ^{[ 253 ] [ 254 ] [ 255 ]} No obstante, mantuvo al menos cierto interés, escribiendo en 1940 un manuscrito sobre la ecuación de Dirac en el espacio de De Sitter . ^{[ 256 ]}

Von Neumann fundó el campo de la teoría de juegos como disciplina matemática. ^{[ 257 ]} Demostró su teorema minimax en 1928. Este teorema establece que en juegos de suma cero con información perfecta (es decir, en los que los jugadores conocen en cada momento todos los movimientos que han tenido lugar hasta el momento), existe un par de estrategias para ambos jugadores que permite a cada uno minimizar sus pérdidas máximas. ^{[ 258 ]} Dichas estrategias se denominan óptimas . Von Neumann demostró que sus minimax son iguales (en valor absoluto) y contrarios (en signo). Mejoró y extendió el teorema minimax para incluir juegos con información imperfecta y juegos con más de dos jugadores, publicando este resultado en su obra de 1944, * Theory of Games and Economic Behavior* , escrita con Oskar Morgenstern . El interés público en este trabajo fue tal que *The New York Times* publicó un artículo en primera plana. ^{[ 259 ]} En este libro, von Neumann declaró que la teoría económica necesitaba utilizar el análisis funcional , especialmente los conjuntos convexos y el teorema del punto fijo topológico , en lugar del cálculo diferencial tradicional, porque el operador máximo no preservaba las funciones diferenciables. ^{[ 257 ]}

Las técnicas funcionales-analíticas de Von Neumann —el uso de pares de dualidad de espacios vectoriales reales para representar precios y cantidades, el uso de hiperplanos de soporte y separación y conjuntos convexos, y la teoría del punto fijo— han sido herramientas fundamentales de la economía matemática desde entonces. ^{[ 260 ]}

Von Neumann elevó el nivel matemático de la economía en varias publicaciones influyentes. Para su modelo de una economía en expansión, demostró la existencia y unicidad de un equilibrio utilizando su generalización del teorema del punto fijo de Brouwer . ^{[ 257 ]} El modelo de Von Neumann de una economía en expansión consideró el lápiz matricial${\displaystyle A-\lambda B}$con matrices no negativas A y B ; von Neumann buscó vectores de probabilidad p y q y un número positivo${\displaystyle \lambda }$Eso resolvería la ecuación de complementariedad.${\displaystyle p^{T}(A-\lambda B)q=0}$junto con dos sistemas de desigualdad que expresan la eficiencia económica. En este modelo, el vector de probabilidad ( transpuesto ) p representa los precios de los bienes, mientras que el vector de probabilidad q representa la "intensidad" a la que se ejecutaría el proceso de producción. La solución única${\displaystyle \lambda }$representa el factor de crecimiento que es 1 más la tasa de crecimiento de la economía; la tasa de crecimiento es igual a la tasa de interés . ^{[ nota 4 ] [ 261 ]}

Los resultados de Von Neumann se han considerado un caso especial de programación lineal , donde su modelo utiliza solo matrices no negativas. El estudio de su modelo de una economía en expansión sigue interesando a los economistas matemáticos. ^{[ 262 ] [ 263 ]} Varios autores han calificado este artículo como el más importante en economía matemática, reconociendo su introducción de teoremas de punto fijo, desigualdades lineales , holgura complementaria y dualidad de punto de silla . ^{[ 264 ]} En las actas de una conferencia sobre el modelo de crecimiento de von Neumann, Paul Samuelson afirmó que muchos matemáticos habían desarrollado métodos útiles para los economistas, pero que von Neumann era único por haber realizado contribuciones significativas a la teoría económica en sí misma. ^{[ 265 ]} La importancia perdurable del trabajo sobre equilibrios generales y la metodología de los teoremas de punto fijo se subraya con la concesión de los premios Nobel en 1972 a Kenneth Arrow , en 1983 a Gérard Debreu y en 1994 a John Nash, quien utilizó teoremas de punto fijo para establecer equilibrios para juegos no cooperativos y para problemas de negociación en su tesis doctoral. Arrow y Debreu también utilizaron programación lineal, al igual que los premios Nobel Tjalling Koopmans , Leonid Kantorovich , Wassily Leontief , Paul Samuelson , Robert Dorfman , Robert Solow y Leonid Hurwicz . ^{[ 266 ]}

El interés de Von Neumann por el tema surgió mientras impartía clases en Berlín en 1928 y 1929. Pasaba los veranos en Budapest, al igual que el economista Nicholas Kaldor ; Kaldor le recomendó que leyera un libro del economista matemático Léon Walras . Von Neumann observó que la Teoría del Equilibrio General de Walras y su ley , que daban lugar a sistemas de ecuaciones lineales simultáneas, podían producir el resultado absurdo de que el beneficio se maximizara produciendo y vendiendo una cantidad negativa de un producto. Sustituyó las ecuaciones por desigualdades, introdujo equilibrios dinámicos, entre otras cosas, y finalmente publicó su artículo. ^{[ 267 ]}

Partiendo de sus resultados sobre juegos matriciales y de su modelo de economía en expansión, von Neumann inventó la teoría de la dualidad en la programación lineal cuando George Dantzig describió su trabajo en pocos minutos, y un impaciente von Neumann le pidió que fuera al grano. Dantzig escuchó entonces estupefacto mientras von Neumann impartía una conferencia de una hora sobre conjuntos convexos, teoría del punto fijo y dualidad, conjeturando la equivalencia entre juegos matriciales y programación lineal. ^{[ 268 ]}

Posteriormente, von Neumann propuso un nuevo método de programación lineal , utilizando el sistema lineal homogéneo de Paul Gordan (1873), que más tarde fue popularizado por el algoritmo de Karmarkar . El método de von Neumann empleaba un algoritmo de pivoteo entre símplices , cuya decisión de pivoteo se determinaba mediante un subproblema de mínimos cuadrados no negativos con una restricción de convexidad ( proyectando el vector cero sobre la envoltura convexa del símplice activo). El algoritmo de von Neumann fue el primer método de punto interior de programación lineal. ^{[ 269 ]}

Von Neumann trabajó como consultor para el Laboratorio de Investigación Balística del Ejército , especialmente en el proyecto ENIAC , ^{[ 271 ]} como miembro de su Comité Asesor Científico. ^{[ 272 ]} Aunque la arquitectura de memoria única y programa almacenado se conoce comúnmente como arquitectura von Neumann , esta se basó en el trabajo de J. Presper Eckert y John Mauchly , inventores de ENIAC y su sucesor, EDVAC . Mientras trabajaba como consultor para el proyecto EDVAC en la Universidad de Pensilvania , von Neumann redactó un primer borrador incompleto de un informe sobre EDVAC . El documento, cuya distribución prematura anuló las reivindicaciones de patente de Eckert y Mauchly, describía una computadora que almacenaba tanto sus datos como su programa en el mismo espacio de direcciones, a diferencia de las primeras computadoras que almacenaban sus programas por separado en cintas de papel o placas de conexiones . Esta arquitectura se convirtió en la base de la mayoría de los diseños de computadoras digitales modernas. ^{[ 273 ]}

A continuación, von Neumann diseñó la máquina IAS en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, Nueva Jersey. Gestionó su financiación, y los componentes se diseñaron y construyeron en el cercano Laboratorio de Investigación de la RCA . Von Neumann recomendó que la IBM 701 , apodada la computadora de defensa , incluyera un tambor magnético. Era una versión más rápida de la máquina IAS y sentó las bases para la exitosa IBM 704. ^{[ 274 ] [ 275 ]}

Von Neumann fue el inventor, en 1945, del algoritmo de ordenación por fusión , en el que la primera y la segunda mitad de una matriz se ordenan recursivamente y luego se fusionan. ^{[ 276 ] [ 277 ]}

Como parte del trabajo de von Neumann sobre la bomba de hidrógeno, él y Stanisław Ulam desarrollaron simulaciones para cálculos hidrodinámicos. También contribuyó al desarrollo del método de Monte Carlo , que utilizaba números aleatorios para aproximar las soluciones a problemas complejos. ^{[ 278 ]}

El algoritmo de Von Neumann para simular una moneda justa con una moneda trucada se utiliza en la etapa de "blanqueamiento por software" de algunos generadores de números aleatorios por hardware . ^{[ 279 ]} Dado que obtener números "verdaderamente" aleatorios era impracticable, Von Neumann desarrolló una forma de pseudoaleatoriedad , utilizando el método del cuadrado medio . Justificó este método rudimentario como más rápido que cualquier otro método a su disposición, escribiendo que "cualquiera que considere métodos aritméticos para producir dígitos aleatorios está, por supuesto, en estado de pecado". ^{[ 279 ]} También señaló que cuando este método fallaba, lo hacía de forma obvia, a diferencia de otros métodos que podían ser sutilmente incorrectos. ^{[ 279 ]}

La computación estocástica fue introducida por von Neumann en 1953 ^{[ 280 ]} y no pudo implementarse hasta los avances en computación de la década de 1960. ^{[ 281 ] [ 282 ]} Alrededor de 1950 también fue uno de los primeros en hablar sobre la complejidad temporal de los cálculos , que eventualmente evolucionó hacia el campo de la teoría de la complejidad computacional . ^{[ 283 ]}

El análisis matemático de Von Neumann sobre la estructura de la autorreplicación precedió al descubrimiento de la estructura del ADN. ^{[ 285 ]} Generalmente, también se atribuye a Ulam y von Neumann la creación del campo de los autómatas celulares , a partir de la década de 1940, como un modelo matemático simplificado de los sistemas biológicos. ^{[ 286 ]}

En conferencias impartidas en 1948 y 1949, von Neumann propuso un autómata cinemático autorreproductor. ^{[ 287 ] [ 288 ]} Para 1952, abordaba el problema de forma más abstracta. Diseñó un elaborado autómata celular bidimensional que copiaba automáticamente su configuración inicial de celdas. ^{[ 289 ]} El constructor universal de von Neumann, basado en el autómata celular de von Neumann, se desarrolló en detalle en su obra póstuma Teoría de los autómatas autorreproductores . ^{[ 290 ]} La vecindad de von Neumann , en la que cada celda de una cuadrícula bidimensional tiene como vecinas a las cuatro celdas adyacentes ortogonalmente de la cuadrícula, se sigue utilizando para otros autómatas celulares. ^{[ 291 ]}

Considerado posiblemente "el investigador más influyente en computación científica de todos los tiempos", ^{[ 292 ]} von Neumann hizo varias contribuciones al campo, tanto técnicas como administrativas. Desarrolló el procedimiento de análisis de estabilidad de Von Neumann , ^{[ 293 ]} todavía comúnmente utilizado para evitar la acumulación de errores en métodos numéricos para ecuaciones diferenciales parciales lineales . ^{[ 294 ]} Su artículo con Herman Goldstine en 1947 fue el primero en describir el análisis de errores hacia atrás , aunque implícitamente. ^{[ 295 ]} También fue uno de los primeros en escribir sobre el método de Jacobi . ^{[ 296 ]} En Los Alamos, escribió varios informes clasificados sobre la resolución numérica de problemas de dinámica de gases . Sin embargo, se sintió frustrado por la falta de progreso con los métodos analíticos para estos problemas no lineales . Como resultado, se volcó hacia los métodos computacionales. ^{[ 297 ]} Bajo su influencia, Los Alamos se convirtió en el líder en ciencia computacional durante las décadas de 1950 y principios de 1960. ^{[ 298 ]}

A partir de este trabajo, von Neumann comprendió que la computación no era solo una herramienta para resolver numéricamente un problema por fuerza bruta , sino que también podía proporcionar información para resolver problemas analíticamente, ^{[ 299 ]} y que existía una enorme variedad de problemas científicos y de ingeniería para los que las computadoras serían útiles, siendo los problemas no lineales los más significativos . ^{[ 300 ]} En junio de 1945, en el Primer Congreso Matemático Canadiense, dio su primera charla sobre ideas generales de cómo resolver problemas, en particular de dinámica de fluidos numéricamente. ^{[ 242 ]} También describió cómo los túneles de viento eran en realidad computadoras analógicas y cómo las computadoras digitales los reemplazarían y traerían una nueva era de la dinámica de fluidos. Garrett Birkhoff la describió como "un discurso de ventas inolvidable". Amplió esta charla con Goldstine en el manuscrito "Sobre los principios de las máquinas de computación a gran escala" y lo utilizó para promover el apoyo a la computación científica. Sus artículos también desarrollaron los conceptos de inversión de matrices , matrices aleatorias y métodos de relajación automatizados para resolver problemas de valores en la frontera elípticos . ^{[ 301 ]}

Como parte de su investigación sobre posibles aplicaciones de las computadoras, von Neumann se interesó en la predicción del tiempo, notando similitudes entre los problemas en este campo y aquellos en los que había trabajado durante el Proyecto Manhattan. ^{[ 302 ]} En 1946, von Neumann fundó el "Proyecto Meteorológico" en el Instituto de Estudios Avanzados, obteniendo financiación para su proyecto del Servicio Meteorológico , la Fuerza Aérea de los EE. UU. y los servicios meteorológicos de la Armada de los EE. UU. ^{[ 303 ]} Junto con Carl-Gustaf Rossby , considerado el meteorólogo teórico más destacado de la época, reunió a un grupo de veinte meteorólogos para trabajar en diversos problemas en este campo. Sin embargo, debido a sus otros trabajos de posguerra, no pudo dedicar suficiente tiempo a la dirección adecuada del proyecto y se logró poco.

Esto cambió cuando un joven Jule Gregory Charney asumió la coliderazgo del proyecto de Rossby. ^{[ 304 ]} Para 1950, von Neumann y Charney escribieron el primer software de modelado climático del mundo y lo utilizaron para realizar los primeros pronósticos meteorológicos numéricos del mundo en la computadora ENIAC que von Neumann había dispuesto que se utilizara; ^{[ 303 ]} von Neumann y su equipo publicaron los resultados como Integración numérica de la ecuación de vorticidad barotrópica . ^{[ 305 ]} Juntos desempeñaron un papel principal en los esfuerzos por integrar los intercambios de energía y humedad entre el mar y la atmósfera en el estudio del clima. ^{[ 306 ]} Aunque primitivos, los pronósticos de ENIAC se difundieron rápidamente por todo el mundo y se iniciaron varios proyectos paralelos en otros lugares. ^{[ 307 ]}

En 1955, von Neumann, Charney y sus colaboradores convencieron a sus financiadores para que abrieran la Unidad Conjunta de Predicción Numérica del Tiempo (JNWPU) en Suitland, Maryland , que comenzó a realizar pronósticos meteorológicos rutinarios en tiempo real. ^{[ 308 ]} A continuación, von Neumann propuso un programa de investigación para la modelización climática:

El enfoque consiste en intentar primero pronósticos a corto plazo, luego pronósticos a largo plazo de aquellas propiedades de la circulación que pueden perpetuarse durante períodos de tiempo arbitrariamente largos, y solo finalmente intentar pronósticos para períodos de tiempo medianos y largos que son demasiado largos para ser tratados con la teoría hidrodinámica simple y demasiado cortos para ser tratados con el principio general de la teoría del equilibrio. ^{[ 309 ]}

Los resultados positivos de Norman A. Phillips en 1955 provocaron una reacción inmediata y von Neumann organizó una conferencia en Princeton sobre "Aplicación de técnicas de integración numérica al problema de la circulación general". Una vez más, organizó estratégicamente el programa como uno predictivo para asegurar el apoyo continuo de la Oficina Meteorológica y el ejército, lo que llevó a la creación de la Sección de Investigación de Circulación General (ahora el Laboratorio de Dinámica de Fluidos Geofísicos ) junto al JNWPU. ^{[ 310 ]} Continuó trabajando tanto en cuestiones técnicas de modelado como en asegurar la financiación continua para estos proyectos. ^{[ 311 ]} A finales del siglo XIX, Svante Arrhenius sugirió que la actividad humana podría causar el calentamiento global al agregar dióxido de carbono a la atmósfera. ^{[ 312 ]} En 1955, von Neumann observó que esto podría haber comenzado ya: «El dióxido de carbono liberado a la atmósfera por la quema de carbón y petróleo de la industria —más de la mitad durante la última generación— podría haber cambiado la composición de la atmósfera lo suficiente como para explicar un calentamiento general del mundo de aproximadamente un grado Fahrenheit». ^{[ 313 ] [ 314 ]} Su investigación sobre los sistemas meteorológicos y la predicción meteorológica lo llevó a proponer la manipulación del medio ambiente mediante la dispersión de colorantes en los casquetes polares para mejorar la absorción de la radiación solar (reduciendo el albedo ). ^{[ 315 ] [ 316 ] [ 315 ] [ 316 ]} Sin embargo, instó a la cautela en cualquier programa de modificación de la atmósfera:

Lo que se podría hacer, por supuesto, no es un indicador de lo que se debería hacer... De hecho, evaluar las consecuencias últimas de un enfriamiento o un calentamiento generalizado sería una tarea compleja. Los cambios afectarían el nivel del mar y, por lo tanto, la habitabilidad de las plataformas costeras continentales; la evaporación de los mares y, por consiguiente, los niveles generales de precipitación y glaciación; y así sucesivamente... Pero no cabe duda de que se podrían realizar los análisis necesarios para predecir los resultados, intervenir a cualquier escala deseada y, en última instancia, lograr resultados bastante sorprendentes. ^{[ 314 ]}

También advirtió que el control del clima y del tiempo podría tener usos militares, y le dijo al Congreso en 1956 que podrían representar un riesgo incluso mayor que los ICBM . ^{[ 317 ]}

El primer uso del concepto de singularidad en el contexto tecnológico se atribuye a von Neumann, ^{[ 318 ]} quien, según Ulam, discutió el "progreso cada vez más acelerado de la tecnología y los cambios en el modo de vida humano, que dan la apariencia de acercarse a una singularidad esencial en la historia de la raza más allá de la cual los asuntos humanos, tal como los conocemos, no podrían continuar". ^{[ 319 ]} Este concepto fue posteriormente desarrollado en el libro de 1970 Future Shock de Alvin Toffler .

A partir de finales de la década de 1930, von Neumann desarrolló una gran experiencia en explosiones, fenómenos difíciles de modelar matemáticamente. Durante este período, fue la principal autoridad en las matemáticas de las cargas huecas , lo que le llevó a realizar numerosas consultorías militares y, en consecuencia, a participar en el Proyecto Manhattan . Esta participación incluyó frecuentes viajes a las instalaciones secretas de investigación del proyecto en el Laboratorio de Los Álamos, en Nuevo México. ^{[ 36 ]}

Von Neumann hizo su principal contribución a la bomba atómica con el concepto y el diseño de las lentes explosivas necesarias para comprimir el núcleo de plutonio del arma Fat Man , que posteriormente fue lanzada sobre Nagasaki . ^{[ 320 ]} Si bien von Neumann no fue el creador del concepto de " implosión ", fue uno de sus defensores más persistentes, alentando su desarrollo continuo en contra de la opinión de muchos de sus colegas, quienes consideraban que tal diseño era inviable. Finalmente, también ideó el uso de cargas huecas más potentes y menos material fisionable para aumentar considerablemente la velocidad de "ensamblaje". ^{[ 321 ]}

Cuando se descubrió que no habría suficiente uranio-235 para fabricar más de una bomba y que el plutonio-239 no podía utilizarse en la bomba del Hombre Delgado , el proyecto de lentes implosivas se amplió considerablemente y se implementó la idea de von Neumann. La implosión era el único método que podía utilizarse con el plutonio-239 disponible en el Sitio de Hanford . ^{[ 322 ]} Estableció el diseño de las lentes explosivas necesarias, pero persistían las preocupaciones sobre los "efectos de borde" y las imperfecciones en los explosivos. ^{[ 323 ]} Sus cálculos demostraron que la implosión funcionaría si no se desviaba más del 5% de la simetría esférica. ^{[ 324 ]} Tras una serie de intentos fallidos con modelos, George Kistiakowsky lo logró y la construcción de la bomba Trinity se completó en julio de 1945. ^{[ 325 ]}

En una visita a Los Álamos en septiembre de 1944, von Neumann demostró que el aumento de presión debido a la reflexión de la onda expansiva de la explosión en objetos sólidos era mayor de lo que se creía si el ángulo de incidencia de la onda expansiva se encontraba entre 90° y un cierto ángulo límite. En consecuencia, se determinó que la efectividad de una bomba atómica se vería potenciada si la detonación se realizaba a varios kilómetros por encima del objetivo, en lugar de a nivel del suelo. ^{[ 326 ] [ 327 ]}

Von Neumann formó parte del comité de selección de objetivos responsable de elegir las ciudades japonesas de Hiroshima y Nagasaki como los primeros objetivos de la bomba atómica . Von Neumann supervisó los cálculos relacionados con el tamaño previsto de las explosiones, el número estimado de víctimas mortales y la altura a la que debían detonarse las bombas para lograr una propagación óptima de la onda expansiva. La capital cultural, Kioto, fue la primera opción de von Neumann, ^{[ 328 ]} una selección respaldada por el general Leslie Groves, líder del Proyecto Manhattan . Sin embargo, este objetivo fue descartado por el secretario de Guerra Henry L. Stimson . ^{[ 329 ]}

El 16 de julio de 1945, von Neumann y numerosos miembros del personal del Proyecto Manhattan presenciaron la primera prueba de detonación de una bomba atómica, cuyo nombre en clave era Trinity . El evento se llevó a cabo como prueba del dispositivo de implosión en el Campo de Bombardeo de Alamogordo , en Nuevo México. Basándose únicamente en su observación, von Neumann estimó que la prueba había producido una explosión equivalente a 5 kilotones de TNT (21 TJ ) , pero Enrico Fermi obtuvo una estimación más precisa de 10 kilotones al arrojar trozos de papel rasgado al paso de la onda expansiva y observar su dispersión. La potencia real de la explosión fue de entre 20 y 22 kilotones. ^{[ 330 ]} Fue en los documentos de von Neumann de 1944 donde apareció por primera vez la expresión «kilotones». ^{[ 331 ]} 

Von Neumann continuó imperturbable en su trabajo y se convirtió, junto con Edward Teller , en uno de los que impulsaron el proyecto de la bomba de hidrógeno . Colaboró ​​con Klaus Fuchs en el desarrollo posterior de la bomba, y en 1946 ambos presentaron una patente secreta que describía un esquema para usar una bomba de fisión para comprimir combustible de fusión e iniciar la fusión nuclear . ^{[ 332 ]} La patente de Fuchs-von Neumann utilizaba la implosión por radiación , pero no de la misma manera que se usa en lo que se convertiría en el diseño final de la bomba de hidrógeno, el diseño Teller-Ulam . Sin embargo, su trabajo se incorporó al disparo "George" de la Operación Greenhouse , que fue instructivo para probar conceptos que se incorporaron al diseño final. ^{[ 333 ]} El trabajo de Fuchs-von Neumann fue entregado a la Unión Soviética por Fuchs como parte de su espionaje nuclear , pero no se utilizó en el desarrollo independiente que los soviéticos realizaron del diseño Teller-Ulam. El historiador Jeremy Bernstein ha señalado que, irónicamente, "John von Neumann y Klaus Fuchs produjeron en 1946 un invento brillante que podría haber cambiado por completo el curso del desarrollo de la bomba de hidrógeno, pero que no se comprendió del todo hasta después de que la bomba se hubiera fabricado con éxito". ^{[ 333 ]}

Por sus servicios durante la guerra, von Neumann recibió el Premio al Servicio Civil Distinguido de la Armada en julio de 1946 y la Medalla al Mérito en octubre de 1946. ^{[ 334 ]}

En 1950, von Neumann se convirtió en consultor del Grupo de Evaluación de Sistemas de Armas , ^{[ 335 ]} cuya función era asesorar al Estado Mayor Conjunto y al Secretario de Defensa de los Estados Unidos sobre el desarrollo y uso de nuevas tecnologías. ^{[ 336 ]} También se convirtió en asesor del Proyecto de Armas Especiales de las Fuerzas Armadas , que era responsable de los aspectos militares de las armas nucleares . ^{[ 335 ]} Durante los dos años siguientes, se convirtió en consultor de todo el gobierno de los Estados Unidos. ^{[ 337 ]} Esto incluía la Agencia Central de Inteligencia (CIA), fue miembro del influyente Comité Asesor General de la Comisión de Energía Atómica , consultor del recién creado Laboratorio Nacional Lawrence Livermore y miembro del Grupo Asesor Científico de la Fuerza Aérea de los Estados Unidos. ^{[ 335 ]} Durante este tiempo se convirtió en un científico de defensa "superestrella" en el Pentágono . Su autoridad era considerada infalible en los niveles más altos del gobierno y las fuerzas armadas de los Estados Unidos. ^{[ 338 ]}

Durante varias reuniones del consejo asesor de la Fuerza Aérea de los EE. UU., von Neumann y Edward Teller predijeron que para 1960 los EE. UU. podrían construir una bomba de hidrógeno lo suficientemente ligera como para caber en la parte superior de un cohete. En 1953, Bernard Schriever , quien estuvo presente en la reunión, visitó personalmente a von Neumann en Princeton para confirmar esta posibilidad. ^{[ 339 ]} Schriever reclutó a Trevor Gardner , quien a su vez visitó a von Neumann varias semanas después para comprender plenamente las posibilidades futuras antes de comenzar su campaña a favor de tal arma en Washington. ^{[ 340 ]} Ahora, presidiendo o formando parte de varias juntas que se ocupaban de misiles estratégicos y armamento nuclear, von Neumann pudo introducir varios argumentos cruciales sobre los posibles avances soviéticos en ambas áreas y en defensas estratégicas contra bombarderos estadounidenses en informes gubernamentales para argumentar a favor de la creación de misiles balísticos intercontinentales (ICBM). ^{[ 341 ]} Gardner llevó en varias ocasiones a von Neumann a reuniones con el Departamento de Defensa de los EE. UU. para discutir sus informes con varios altos funcionarios. ^{[ 342 ]} Varias decisiones de diseño en estos informes, como los mecanismos de guía inercial, sentarían las bases para todos los ICBM posteriores. ^{[ 343 ]} Para 1954, von Neumann también testificaba regularmente ante varios subcomités militares del Congreso para asegurar el apoyo continuo al programa ICBM. ^{[ 344 ]}

Sin embargo, esto no fue suficiente. Para que el programa ICBM funcionara a pleno rendimiento, necesitaban la acción directa del Presidente de los Estados Unidos. ^{[ 345 ]} Convencieron al Presidente Eisenhower en una reunión directa en julio de 1955, lo que resultó en una directiva presidencial el 13 de septiembre de 1955. En ella se afirmaba que "habría gravísimas repercusiones para la seguridad nacional y la cohesión del mundo libre" si la Unión Soviética desarrollaba el ICBM antes que Estados Unidos y, por lo tanto, se designó el proyecto ICBM como "un programa de investigación y desarrollo de máxima prioridad". Se ordenó al Secretario de Defensa que iniciara el proyecto con "máxima urgencia". ^{[ 346 ]} Posteriormente, la evidencia demostraría que los soviéticos ya estaban probando sus propios misiles balísticos de alcance intermedio en ese momento. ^{[ 347 ]} Von Neumann continuó reuniéndose con el Presidente, incluso en su casa de Gettysburg, Pensilvania , y con otros altos funcionarios del gobierno como asesor clave en materia de ICBM hasta su muerte. ^{[ 348 ]}

En 1955, von Neumann se convirtió en comisionado de la Comisión de Energía Atómica (AEC), que en ese momento era el cargo oficial más alto disponible para los científicos en el gobierno. ^{[ 349 ]} (Si bien su nombramiento requería formalmente que rescindiera todos sus otros contratos de consultoría, ^{[ 350 ]} se le hizo una excepción para que continuara trabajando con varios comités militares críticos después de que la Fuerza Aérea y varios senadores clave expresaran sus preocupaciones. ^{[ 348 ]} ) Utilizó este cargo para impulsar la producción de bombas de hidrógeno compactas aptas para ser lanzadas mediante misiles balísticos intercontinentales (ICBM). Se involucró en corregir la grave escasez de tritio y litio 6 necesarios para estas armas, y argumentó en contra de conformarse con los misiles de alcance intermedio que el Ejército quería. Estaba convencido de que las bombas H lanzadas en lo profundo del territorio enemigo por un ICBM serían el arma más eficaz posible, y que la relativa imprecisión del misil no sería un problema con una bomba H. Dijo que los rusos probablemente estarían construyendo un sistema de armas similar, lo cual resultó ser cierto. ^{[ 351 ] [ 352 ]} Mientras Lewis Strauss estuvo ausente en la segunda mitad de 1955, von Neumann asumió como presidente interino de la comisión. ^{[ 353 ]}

En sus últimos años antes de su muerte por cáncer, von Neumann dirigió el comité ultrasecreto del gobierno de Estados Unidos sobre misiles balísticos intercontinentales (ICBM), que a veces se reunía en su casa. Su propósito era decidir sobre la viabilidad de construir un ICBM lo suficientemente grande como para transportar un arma termonuclear. Von Neumann había sostenido durante mucho tiempo que, si bien los obstáculos técnicos eran considerables, podían superarse. El SM-65 Atlas superó su primera prueba completamente funcional en 1959, dos años después de su muerte. ^{[ 354 ]} Los cohetes Titan, más avanzados, se desplegaron en 1962. Ambos habían sido propuestos en los comités de ICBM que presidió von Neumann. ^{[ 348 ]} La viabilidad de los ICBM se debía tanto a las ojivas mejoradas y más pequeñas que no presentaban problemas de guiado ni de resistencia al calor como a los avances en cohetería, y su conocimiento de lo primero hizo que su asesoramiento fuera invaluable. ^{[ 354 ] [ 348 ]}

Von Neumann ingresó al servicio público principalmente porque sentía que, si la libertad y la civilización habían de sobrevivir, tendría que ser porque Estados Unidos triunfaría sobre el totalitarismo del nazismo , el fascismo y el comunismo soviético . ^{[ 58 ]} Durante una audiencia del comité del Senado , describió su ideología política como "violentamente anticomunista y mucho más militarista de lo habitual". ^{[ 355 ] [ 356 ]}

Herman Goldstine comentó sobre la capacidad de von Neumann para intuir errores ocultos y recordar perfectamente material antiguo. ^{[ 357 ] [ 358 ]} Cuando tenía dificultades, no se esforzaba en ellas; en cambio, volvía a casa, lo pensaba con la almohada y regresaba más tarde con una solución. ^{[ 359 ]} Este estilo, «tomar el camino de menor resistencia», a veces significaba que podía desviarse del tema principal. También significaba que si la dificultad era grande desde el principio, simplemente cambiaba a otro problema, sin intentar encontrar puntos débiles desde los que pudiera abrirse paso. ^{[ 360 ]} A veces podía desconocer la literatura matemática estándar, encontrando más fácil derivar nuevamente la información básica que necesitaba en lugar de buscar referencias. ^{[ 361 ]}

Tras el inicio de la Segunda Guerra Mundial , se vio sumamente ocupado con compromisos tanto académicos como militares. Su costumbre de no redactar informes de sus charlas ni publicar resultados empeoró. ^{[ 362 ]} Le resultaba difícil abordar un tema formalmente por escrito a menos que ya estuviera bien definido en su mente; de ​​lo contrario, en sus propias palabras, «desarrollaba los peores rasgos de pedantismo e ineficiencia». ^{[ 363 ]}

El matemático Jean Dieudonné afirmó que von Neumann «pudo haber sido el último representante de un grupo otrora floreciente y numeroso: los grandes matemáticos que dominaban tanto las matemáticas puras como las aplicadas y que, a lo largo de sus carreras, mantuvieron una producción constante en ambas direcciones». ^{[ 157 ]} Según Dieudonné, su genio específico residía en el análisis y la «combinatoria», entendiendo esta última en un sentido muy amplio que describía su capacidad para organizar y axiomizar trabajos complejos que antes parecían tener poca relación con las matemáticas. Su estilo en análisis seguía la escuela alemana, basada en fundamentos de álgebra lineal y topología general . Si bien von Neumann poseía una formación enciclopédica, su alcance en matemáticas puras no era tan amplio como el de Poincaré , Hilbert o incluso Weyl : von Neumann nunca realizó trabajos significativos en teoría de números , topología algebraica , geometría algebraica o geometría diferencial . Sin embargo, en matemáticas aplicadas, su trabajo igualaba al de Gauss , Cauchy o Poincaré . ^{[ 113 ]}

Según Wigner, «Nadie conoce toda la ciencia, ni siquiera von Neumann. Pero en cuanto a las matemáticas, contribuyó a todas sus ramas excepto a la teoría de números y la topología. Eso es, creo, algo único». ^{[ 364 ]} Halmos señaló que, si bien von Neumann conocía muchas matemáticas, sus lagunas más notables se encontraban en la topología algebraica y la teoría de números; recordó un incidente en el que von Neumann no reconoció la definición topológica de un toro . ^{[ 365 ]} Von Neumann admitió ante Herman Goldstine que no tenía ninguna facilidad para la topología y que nunca se sintió cómodo con ella, algo que Goldstine mencionó más tarde al compararlo con Hermann Weyl , a quien consideraba más profundo y con un conocimiento más amplio. ^{[ 359 ]}

En su biografía de von Neumann, Salomon Bochner escribió que gran parte de la obra de von Neumann en matemáticas puras involucraba espacios vectoriales de dimensión finita e infinita , que en aquel entonces abarcaban gran parte del campo de las matemáticas. Sin embargo, señaló que esto aún no cubría una parte importante del panorama matemático, en particular todo lo relacionado con la geometría "en sentido global", temas como la topología , la geometría diferencial y las integrales armónicas , la geometría algebraica y otros campos similares. Von Neumann rara vez trabajó en estos campos y, según Bochner, tenía poca afinidad por ellos. ^{[ 126 ]}

En uno de sus últimos artículos, von Neumann lamentaba que los matemáticos puros ya no pudieran alcanzar un conocimiento profundo ni siquiera de una fracción del campo. ^{[ 366 ]} A principios de la década de 1940, Ulam le había preparado un examen de tipo doctoral para detectar debilidades en su conocimiento; von Neumann no pudo responder satisfactoriamente a una pregunta de geometría diferencial, otra de teoría de números y otra de álgebra. Concluyeron que los exámenes doctorales podrían tener "poco significado permanente". Sin embargo, cuando Weyl rechazó una oferta para escribir una historia de las matemáticas del siglo XX, argumentando que nadie podía hacerlo, Ulam pensó que von Neumann podría haber aspirado a ello. ^{[ 367 ]}

Ulam comentó que la mayoría de los matemáticos podían dominar una técnica que luego utilizaban repetidamente, mientras que von Neumann había dominado tres:

1. Habilidad para la manipulación simbólica de operadores lineales;
2. Una intuición para la estructura lógica de cualquier nueva teoría matemática;
3. Una intuición para la superestructura combinatoria de las nuevas teorías. ^{[ 368 ]}

Aunque comúnmente se le describía como analista, una vez se clasificó a sí mismo como algebrista, ^{[ 369 ]} y su estilo a menudo mostraba una mezcla de técnica algebraica e intuición de teoría de conjuntos. ^{[ 370 ]} Amaba el detalle obsesivo y no tenía problemas con la repetición excesiva o la notación demasiado explícita. Un ejemplo de esto fue un artículo suyo sobre anillos de operadores, donde extendió la notación funcional normal,${\displaystyle \phi (x)}$a${\displaystyle \phi ((x))}$Sin embargo, este proceso terminó repitiéndose varias veces, donde el resultado final fueron ecuaciones como${\displaystyle (\psi ((((a)))))^{2}=\phi ((((a))))}$El artículo de 1936 se conoció entre los estudiantes como «la cebolla de von Neumann» ^{[ 371 ]} porque las ecuaciones «necesitaban ser desentrañadas antes de poder ser comprendidas». En general, aunque sus escritos eran claros y contundentes, no eran ni limpios ni elegantes. ^{[ 372 ]} Si bien era técnicamente sólido, su principal interés radicaba más en la formulación clara y viable de cuestiones y problemas fundamentales de la ciencia que en la mera solución de acertijos matemáticos. ^{[ 371 ]}

Según Ulam, von Neumann sorprendió a los físicos al realizar estimaciones dimensionales y cálculos algebraicos mentalmente con una fluidez que Ulam comparó con el ajedrez a ciegas . Su impresión fue que von Neumann analizaba las situaciones físicas mediante la deducción lógica abstracta en lugar de la visualización concreta. ^{[ 373 ]}

Goldstine comparó sus conferencias con estar sobre cristal, suaves y lúcidas. En comparación, Goldstine pensaba que sus artículos científicos estaban escritos de una manera mucho más dura y con mucha menos perspicacia. ^{[ 62 ]} Halmos describió sus conferencias como "deslumbrantes", con un discurso claro, rápido, preciso y que lo abarcaba todo. Al igual que Goldstine, también describió cómo todo parecía "tan fácil y natural" en las conferencias, pero desconcertante al reflexionar después. ^{[ 361 ]} Era un orador rápido: a Banesh Hoffmann le resultaba muy difícil tomar notas, incluso en taquigrafía , ^{[ 374 ]} y Albert Tucker dijo que la gente a menudo tenía que hacerle preguntas a von Neumann para que hablara más despacio y así poder reflexionar sobre las ideas que presentaba. Von Neumann lo sabía y agradecía que su público le dijera cuando iba demasiado rápido. ^{[ 375 ]} Aunque dedicaba tiempo a preparar las conferencias, rara vez usaba notas, sino que anotaba los puntos clave de lo que iba a tratar y durante cuánto tiempo. ^{[ 361 ]}

Von Neumann también era conocido por su memoria eidética , particularmente de tipo simbólico. Herman Goldstine escribe:

Una de sus habilidades más notables era su memoria prodigiosa. Por lo que pude observar, von Neumann era capaz de recitar textualmente un libro o artículo tras leerlo una sola vez; además, podía hacerlo años después sin dudarlo. También podía traducirlo al inglés con la misma rapidez. En una ocasión puse a prueba su habilidad pidiéndole que me contara cómo empezaba Historia de dos ciudades . Acto seguido, sin pausa alguna, comenzó a recitar el primer capítulo y continuó hasta que le pedí que se detuviera después de unos diez o quince minutos. ^{[ 376 ]}

Según se cuenta, Von Neumann era capaz de memorizar las páginas de las guías telefónicas. Entretenía a sus amigos pidiéndoles que le dijeran números de página al azar; luego recitaba los nombres, direcciones y números que aparecían en ellas. ^{[ 26 ] [ 377 ]} Stanisław Ulam creía que la memoria de von Neumann era auditiva más que visual. ^{[ 378 ]}

La fluidez matemática, la velocidad de cálculo y la capacidad general para resolver problemas de Von Neumann fueron ampliamente reconocidas por sus colegas. Paul Halmos calificó su velocidad de "impresionante". ^{[ 379 ]} Lothar Wolfgang Nordheim lo describió como "la mente más rápida que jamás haya conocido". ^{[ 380 ]} Enrico Fermi le dijo al físico Herbert L. Anderson : "¡Sabes, Herb, Johnny puede hacer cálculos mentales diez veces más rápido que yo! ¡Y yo puedo hacerlos diez veces más rápido que tú, Herb, así que puedes ver lo impresionante que es Johnny!". ^{[ 381 ]} Edward Teller admitió que "nunca pudo seguirle el ritmo", ^{[ 382 ]} e Israel Halperin describió el intento de seguirle el ritmo como "montar en un triciclo persiguiendo un coche de carreras". ^{[ 383 ]}

Tenía una habilidad inusual para resolver problemas novedosos con rapidez. George Pólya , a cuyas clases en la ETH Zúrich asistió von Neumann como estudiante, dijo: «Johnny era el único estudiante al que temía. Si durante una clase planteaba un problema sin resolver, lo más probable era que al final de la clase viniera con la solución completa garabateada en un trozo de papel». ^{[ 384 ]} Cuando George Dantzig le presentó a von Neumann un problema sin resolver de programación lineal «como se lo presentaría a cualquier mortal», sobre el cual no existía literatura publicada, se asombró cuando von Neumann exclamó «¡Ah, eso!», antes de dar una clase de más de una hora, explicando cómo resolver el problema utilizando la hasta entonces no concebida teoría de la dualidad . ^{[ 385 ]}

La historia del encuentro de von Neumann con el famoso enigma de los dos trenes ^{[ 386 ]} ha pasado a formar parte del folclore matemático , aunque su esencia parece ser cierta ^{[ 387 ]} . En la variante original del enigma, dos trenes parten separados por 20 millas y cada uno viaja hacia el otro a 10 millas por hora hasta que chocan; mientras tanto, una mosca viaja continuamente de un lado a otro entre los trenes a 15 millas por hora hasta que es aplastada en la colisión. El que pregunta pregunta qué distancia total recorrió la mosca; el "truco" para una respuesta rápida es darse cuenta de que los trayectos individuales de la mosca no importan, solo que ha estado viajando a 15 millas por hora durante una hora. Como lo cuenta Eugene Wigner , ^{[ 388 ]} Max Born le planteó el enigma a von Neumann. Los demás científicos a quienes les había planteado el problema habían calculado laboriosamente la distancia, así que cuando von Neumann dio inmediatamente la respuesta correcta de 15 millas, Born observó que debía haber adivinado el truco. "¿Qué truco?", respondió von Neumann. "Lo único que hice fue sumar la serie geométrica ". ^{[ 389 ]}

Rota escribió que von Neumann tenía "profundas y recurrentes dudas sobre sí mismo". ^{[ 390 ]} John L. Kelley recordó en 1989 que "Johnny von Neumann ha dicho que será olvidado mientras que Kurt Gödel es recordado con Pitágoras , pero el resto de nosotros veíamos a Johnny con asombro". ^{[ 391 ]} Ulam sugiere que algunas de sus dudas sobre sí mismo con respecto a su propia creatividad pueden haber venido del hecho de que no había descubierto varias ideas importantes que otros sí habían descubierto, aunque era más que capaz de hacerlo, dando como ejemplos los teoremas de incompletitud y el teorema ergódico puntual de Birkhoff . Von Neumann tenía un virtuosismo para seguir razonamientos complejos y tenía intuiciones supremas, sin embargo, tal vez sentía que no tenía el don para demostraciones y teoremas aparentemente irracionales o intuiciones. Ulam describe cómo, durante una de sus estancias en Princeton, mientras von Neumann trabajaba en anillos de operadores, geometrías continuas y lógica cuántica, sintió que von Neumann no estaba convencido de la importancia de su trabajo, y que solo disfrutaba de él cuando encontraba algún truco técnico ingenioso o un nuevo enfoque. ^{[ 392 ]} Sin embargo, según Rota, von Neumann aún poseía una «técnica incomparablemente más sólida» que la de su amigo, a pesar de describir a Ulam como el matemático más creativo. ^{[ 390 ]}

El premio Nobel Hans Bethe dijo: «A veces me he preguntado si un cerebro como el de von Neumann no indica una especie superior a la del hombre». ^{[ 26 ]} Edward Teller observó: «Von Neumann conversaba con mi hijo de 3 años, y ambos hablaban de igual a igual, y a veces me preguntaba si aplicaba el mismo principio cuando hablaba con el resto de nosotros». ^{[ 393 ]} Peter Lax escribió: «Von Neumann era adicto al pensamiento, y en particular al pensamiento matemático». ^{[ 362 ]} Eugene Wigner dijo: «Comprendía los problemas matemáticos no solo en su aspecto inicial, sino en toda su complejidad». ^{[ 394 ]} Claude Shannon lo llamó «la persona más inteligente que he conocido», una opinión común. ^{[ 395 ]} Jacob Bronowski escribió: «Era el hombre más inteligente que he conocido, sin excepción. Y era un genio, en el sentido de que un genio es un hombre que tiene dos grandes ideas». ^{[ 396 ]} En 2006, Tom Siegfried escribió que "Si alguien en el siglo pasado personificó la palabra polímata , fue von Neumann" y que "Sus contribuciones a la física, las matemáticas, la informática y la economía lo sitúan como uno de los gigantes intelectuales de todos los tiempos en cada campo". ^{[ 397 ]}

Wigner destacó la mente extraordinaria que tenía von Neumann y describió a von Neumann como alguien con una mente más rápida que la de cualquier otra persona que conociera, afirmando que: ^{[ 394 ]}

He conocido a muchísimas personas inteligentes a lo largo de mi vida. Conocí a Max Planck , Max von Laue y Werner Heisenberg . Paul Dirac fue mi cuñado; Leo Szilard y Edward Teller han estado entre mis amigos más cercanos; y Albert Einstein también fue un buen amigo. Y he conocido a muchos de los científicos jóvenes más brillantes. Pero ninguno de ellos tenía una mente tan ágil y aguda como la de Jancsi von Neumann. A menudo lo he comentado en presencia de esos hombres, y nadie jamás me ha rebatido.

«Parece justo decir que si la influencia de un científico se interpreta de forma lo suficientemente amplia como para incluir el impacto en campos más allá de la ciencia propiamente dicha, entonces John von Neumann fue probablemente el matemático más influyente que jamás haya existido», escribió Miklós Rédei . ^{[ 398 ]} Lax afirmó que von Neumann habría ganado un Premio Nobel de Economía si hubiera vivido más tiempo, y que «si hubiera Premios Nobel de informática y matemáticas, también habría sido honrado por ellos». ^{[ 399 ]} Gian-Carlo Rota escribió que von Neumann «fue el primero en tener una visión de las posibilidades ilimitadas de la computación, y tuvo la resolución de reunir los considerables recursos intelectuales y de ingeniería que llevaron a la construcción de la primera gran computadora» y, en consecuencia, que «Ningún otro matemático en este siglo ha tenido una influencia tan profunda y duradera en el curso de la civilización». ^{[ 400 ]} Es ampliamente considerado como uno de los matemáticos y científicos más grandes e influyentes del siglo XX. ^{[ 401 ]} Como resultado de su amplia influencia y contribuciones a muchos campos, es ampliamente considerado un polímata . ^{[ 402 ] [ 403 ] [ 404 ]}

El neurofisiólogo Leon Harmon lo describió de manera similar, llamando a von Neumann el único "verdadero genio" que había conocido, a pesar de haber conocido a figuras como Einstein, Teller y J. Robert Oppenheimer , afirmando que: "La mente de von Neumann era omniabarcante. Podía resolver problemas en cualquier ámbito... Y su mente siempre estaba trabajando, siempre inquieta". ^{[ 405 ]} Al asesorar en proyectos no académicos, la combinación de la excepcional capacidad científica y el pragmatismo de von Neumann le otorgó una gran credibilidad entre oficiales militares, ingenieros e industriales que ningún otro científico podía igualar. En el ámbito de los misiles nucleares, era considerado "la figura asesora claramente dominante", según Herbert York . ^{[ 406 ]} El economista Nicholas Kaldor dijo que era "sin duda lo más cercano a un genio que jamás he conocido". ^{[ 264 ]} Asimismo, Paul Samuelson escribió: «Los economistas estamos agradecidos por el genio de von Neumann. No nos corresponde calcular si era un Gauss , un Poincaré o un Hilbert . Era el incomparable Johnny von Neumann. Irrumpió brevemente en nuestro campo y desde entonces nada ha vuelto a ser igual». ^{[ 407 ]}

Entre los eventos y premios que llevan el nombre de von Neumann se incluyen el Premio Anual de Teoría John von Neumann del Instituto de Investigación Operativa y Ciencias de la Gestión , ^{[ 408 ]} la Medalla John von Neumann del IEEE , ^{[ 409 ]} y el Premio John von Neumann de la Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas . ^{[ 410 ]} Tanto el cráter von Neumann en la Luna ^{[ 411 ]} como el asteroide 22824 von Neumann llevan su nombre en su honor. ^{[ 412 ] [ 413 ]}

Von Neumann recibió varios premios, entre ellos la Medalla al Mérito en 1947, la Medalla de la Libertad en 1956, ^{[ 414 ]} y el Premio Enrico Fermi también en 1956. Fue elegido miembro de varias sociedades honoríficas, como la Academia Estadounidense de Artes y Ciencias y la Academia Nacional de Ciencias , y recibió ocho doctorados honoris causa. ^{[ 415 ] [ 416 ] [ 417 ]} El 4 de mayo de 2005, el Servicio Postal de los Estados Unidos emitió la serie de sellos postales conmemorativos «Científicos Estadounidenses» , diseñada por el artista Victor Stabin . Los científicos representados fueron von Neumann, Barbara McClintock , Josiah Willard Gibbs y Richard Feynman . ^{[ 418 ]}

La Universidad John von Neumann se estableció en Kecskemét , Hungría en 2016, como sucesora del Kecskemét College. ^{[ 419 ]}