Superficie mínima

En matemáticas , una superficie mínima es aquella que minimiza localmente su área. Esto equivale a tener una curvatura media nula (véanse las definiciones a continuación).

El término «superficie mínima» se utiliza porque estas superficies surgieron originalmente como superficies que minimizaban el área total sujetas a alguna restricción. Se pueden crear modelos físicos de superficies mínimas que minimizan el área sumergiendo una estructura de alambre en una solución jabonosa, formando una película de jabón , que es una superficie mínima cuyo límite es la estructura de alambre. Sin embargo, el término se utiliza para superficies más generales que pueden autointersecarse o no tienen restricciones. Para una restricción dada, también pueden existir varias superficies mínimas con áreas diferentes (por ejemplo, véase superficie mínima de revolución ): las definiciones estándar solo se refieren a un óptimo local , no a un óptimo global .

Las superficies mínimas se pueden definir de varias maneras equivalentes en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$El hecho de que sean equivalentes sirve para demostrar cómo la teoría de superficies mínimas se encuentra en la encrucijada de varias disciplinas matemáticas, especialmente la geometría diferencial , el cálculo de variaciones , la teoría del potencial , el análisis complejo y la física matemática . ^{[ 1 ]}

Definición de área mínima local : Una superficie${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}}$es mínimo si y solo si cada punto p ∈ M tiene un vecindario , delimitado por una curva cerrada simple, que tiene el área más pequeña entre todas las superficies que tienen el mismo límite.

Esta propiedad es local: dentro de una superficie mínima pueden existir regiones que, junto con otras superficies de menor área, comparten el mismo límite. Esta propiedad establece una relación con las películas de jabón; una película de jabón deformada para tener un marco de alambre como límite minimizará su área.

Definición variacional : Una superficie${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}}$es mínimo si y solo si es un punto crítico del área funcional para todas las variaciones soportadas de forma compacta .

Esta definición convierte las superficies mínimas en un análogo bidimensional de las geodésicas , que se definen de forma análoga como puntos críticos del funcional de longitud.

Definición de curvatura media : Una superficie${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}}$es mínima si y solo si su curvatura media es igual a cero en todos los puntos.

Una consecuencia directa de esta definición es que cada punto de la superficie es un punto de silla con curvaturas principales iguales y opuestas . Además, esto convierte a las superficies mínimas en soluciones estáticas del flujo de curvatura media . Según la ecuación de Young-Laplace , la curvatura media de una película de jabón es proporcional a la diferencia de presión entre sus lados. Si la película de jabón no encierra una región, su curvatura media será cero. Por el contrario, una burbuja de jabón esférica encierra una región con una presión diferente a la de la región exterior, por lo que su curvatura media no es cero.

Definición de ecuación diferencial : Una superficie${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}}$formada por la imagen de una región${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{2}}$bajo función${\displaystyle \mathbf {f} :X\to M}$,${\displaystyle (x,y)\mapsto (x,y,u(x,y))}$, dónde${\displaystyle u:X\to \mathbb {R} }$es una función de valor real, es mínima si y solo si${\displaystyle u}$Satisface

${\displaystyle (1+u_{x}^{2})u_{yy}-2u_{x}u_{y}u_{xy}+(1+u_{y}^{2})u_{xx}=0}$

La ecuación diferencial parcial en esta definición fue hallada originalmente en 1762 por Lagrange , ^{[ 2 ]} y Jean Baptiste Meusnier descubrió en 1776 que implicaba una curvatura media nula. ^{[ 3 ]} Esta ecuación da una definición asimétrica en el sentido de que la posición en el${\displaystyle z}$El eje -se determina como una función${\displaystyle u}$de${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$No todas las superficies se representan convenientemente de esta manera. Una definición alternativa basada en la representación más general.${\displaystyle \mathbf {x}$ :\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3},(u,v)\mapsto (x,y,z)} es

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial u}}{\frac {{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial v}}{\boldsymbol {\times }}({\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial u}}{\boldsymbol {\times }}{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial v}})}{\sqrt {({\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial u}}{\boldsymbol {\times }}{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial v}}){\boldsymbol {\cdot }}({\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial u}}{\boldsymbol {\times }}{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial v}})}}}={\frac {\partial }{\partial v}}{\frac {{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial u}}{\boldsymbol {\times }}({\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial u}}{\boldsymbol {\times }}{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial v}})}{\sqrt {({\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial u}}{\boldsymbol {\times }}{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial v}}){\boldsymbol {\cdot }}({\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial u}}{\boldsymbol {\times }}{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial v}})}}}}$.

Definición de energía : Una inmersión conforme${\displaystyle X:M\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$es mínimo si y solo si es un punto crítico de la energía de Dirichlet para todas las variaciones soportadas de forma compacta, o equivalentemente si cualquier punto${\displaystyle p\in M}$tiene un vecindario con la menor energía en relación con su límite.

Esta definición vincula las superficies mínimas con las funciones armónicas y la teoría del potencial .

Definición armónica : Si${\displaystyle X=(x_{1},x_{2},x_{3}):M\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$es una inmersión isométrica de una superficie de Riemann en el espacio tridimensional, entonces${\displaystyle X}$Se dice que es mínimo siempre${\displaystyle x_{i}}$es una función armónica en${\displaystyle M}$para cada${\displaystyle i}$.

Una implicación directa de esta definición y del principio máximo para funciones armónicas es que no existen superficies mínimas completas compactas en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

Definición de mapa de Gauss : Una superficie${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}}$es mínimo si y solo si su mapa de Gauss proyectado estereográficamente${\displaystyle g:M\rightarrow \mathbb {C} \cup {\infty }}$es meromorfa con respecto a la estructura de superficie de Riemann subyacente , y${\displaystyle M}$no es un trozo de esfera.

Esta definición utiliza el principio de que la curvatura media es la mitad de la traza del operador de forma , que está vinculado a las derivadas del mapa de Gauss. Si el mapa de Gauss proyectado obedece las ecuaciones de Cauchy-Riemann , entonces la traza se anula o cada punto de M es umbilical , en cuyo caso es un fragmento de una esfera.

Las definiciones de área mínima local y variacional permiten extender las superficies mínimas a otras variedades riemannianas que${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. ^{[ 4 ]}

La teoría de superficies mínimas tiene su origen en Lagrange, quien en 1762 consideró el problema variacional de encontrar la superficie.${\displaystyle z=z(x,y)}$de área mínima extendida a través de un contorno cerrado dado. Derivó la ecuación de Euler-Lagrange para la solución.

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left({\frac {z_{x}}{\sqrt {1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}}}\right)+{\frac {d}{dy}}\left({\frac {z_{y}}{\sqrt {1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}}}\right)=0}$

No logró encontrar ninguna solución más allá del plano. En 1776, Jean Baptiste Marie Meusnier descubrió que el helicoide y el catenoide satisfacen la ecuación y que la expresión diferencial corresponde al doble de la curvatura media de la superficie, concluyendo que las superficies con curvatura media cero minimizan el área.

Al expandir la ecuación de Lagrange a

${\displaystyle \left(1+z_{x}^{2}\right)z_{yy}-2z_{x}z_{y}z_{xy}+\left(1+z_{y}^{2}\right)z_{xx}=0}$

En 1795, Gaspard Monge y Legendre derivaron fórmulas de representación para las superficies de solución. Si bien Heinrich Scherk las utilizó con éxito en 1830 para derivar sus superficies , generalmente se las consideraba prácticamente inutilizables. Catalán demostró en 1842/43 que el helicoide es la única superficie mínima reglada .

El progreso había sido bastante lento hasta mediados de siglo, cuando se resolvió el problema de Björling mediante métodos complejos. Comenzó entonces la "primera edad de oro" de las superficies mínimas. Schwarz halló la solución del problema de Plateau para un cuadrilátero regular en 1865 y para un cuadrilátero general en 1867 (lo que permitió la construcción de sus familias de superficies periódicas ) utilizando métodos complejos. Weierstrass y Enneper desarrollaron fórmulas de representación más útiles , vinculando firmemente las superficies mínimas con el análisis complejo y las funciones armónicas . Otras contribuciones importantes provinieron de Beltrami, Bonnet, Darboux, Lie, Riemann, Serret y Weingarten.

Entre 1925 y 1950, la teoría de superficies mínimas resurgió, centrándose principalmente en superficies mínimas no paramétricas. La solución completa del problema de Plateau, lograda por Jesse Douglas y Tibor Radó, constituyó un hito fundamental. El problema de Bernstein y el trabajo de Robert Osserman sobre superficies mínimas completas de curvatura total finita también fueron importantes.

Otro resurgimiento comenzó en la década de 1980. Una causa fue el descubrimiento en 1982 por Celso Costa de una superficie que refutó la conjetura de que el plano, el catenoide y el helicoide son las únicas superficies mínimas completas incrustadas en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$de tipo topológico finito. Esto no solo estimuló nuevos trabajos sobre el uso de los antiguos métodos paramétricos, sino que también demostró la importancia de los gráficos por computadora para visualizar las superficies estudiadas y los métodos numéricos para resolver el "problema del período" (cuando se utiliza el método de superficie conjugada para determinar parches de superficie que se pueden ensamblar en una superficie simétrica más grande, ciertos parámetros deben coincidir numéricamente para producir una superficie incrustada). Otra causa fue la verificación por parte de H. Karcher de que las superficies mínimas triplemente periódicas descritas originalmente de forma empírica por Alan Schoen en 1970 realmente existen. Esto ha dado lugar a una rica variedad de familias de superficies y métodos para derivar nuevas superficies a partir de las antiguas, por ejemplo, añadiéndoles asas o distorsionándolas.

Actualmente, la teoría de superficies mínimas se ha diversificado hacia subvariedades mínimas en otras geometrías ambientales, volviéndose relevante para la física matemática (por ejemplo, la conjetura de masa positiva , la conjetura de Penrose ) y la geometría de tres variedades (por ejemplo, la conjetura de Smith , la conjetura de Poincaré , la conjetura de geometrización de Thurston ).

Algunos ejemplos clásicos de superficies mínimas son:

• el avión , que es un caso trivial
• catenoides : superficies mínimas formadas al girar una catenaria una vez alrededor de su directriz.
• helicoides : una superficie barrida por una línea que gira con velocidad uniforme alrededor de un eje perpendicular a la línea y que simultáneamente se mueve a lo largo del eje con velocidad uniforme.

Entre las superficies de la época dorada del siglo XIX se incluyen:

• Superficies mínimas de Schwarz : superficies triplemente periódicas que se rellenan${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$
• Superficie mínima de Riemann : una superficie periódica descrita póstumamente.
• la superficie de Enneper
• La superficie de Henneberg : la primera superficie mínima no orientable.
• La superficie mínima de Bour
• La superficie de Neovius : una superficie triplemente periódica.

Las superficies modernas incluyen:

• El giroide : Una de las superficies de Schoen de 1970, una superficie triplemente periódica de particular interés para la estructura de cristales líquidos .
• La familia de torres Saddle : generalizaciones de la segunda superficie de Scherk
• Superficie mínima de Costa : Refutación de una famosa conjetura. Descrita en 1982 por Celso Costa y posteriormente visualizada por Jim Hoffman . Jim Hoffman, David Hoffman y William Meeks III extendieron la definición para crear una familia de superficies con diferentes simetrías rotacionales.
• la familia de superficies Chen-Gackstatter , que añade asas a la superficie Enneper.

Las superficies mínimas pueden definirse en otras variedades que${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, tales como el espacio hiperbólico , los espacios de dimensiones superiores o las variedades riemannianas .

La definición de superficies mínimas puede generalizarse/extenderse para abarcar superficies de curvatura media constante : superficies con una curvatura media constante, que no tiene por qué ser igual a cero.

En geometría diferencial discreta se estudian superficies mínimas discretas: complejos simpliciales de triángulos que minimizan su área bajo pequeñas perturbaciones de las posiciones de sus vértices. ^{[ 5 ]} Estas discretizaciones se utilizan a menudo para aproximar numéricamente superficies mínimas, incluso si no se conocen expresiones analíticas.

El movimiento browniano sobre una superficie mínima conduce a demostraciones probabilísticas de varios teoremas sobre superficies mínimas. ^{[ 6 ]}

Las líneas de curvatura de una superficie isotérmica forman una red isotérmica. ^{[ 7 ]}

Las superficies mínimas se han convertido en un área de intenso estudio científico, especialmente en las áreas de ingeniería molecular y ciencia de los materiales , debido a sus aplicaciones previstas en el autoensamblaje de materiales complejos. ^{[ 8 ]} Se propone que el retículo endoplasmático , una estructura importante en biología celular, está bajo presión evolutiva para ajustarse a una superficie mínima no trivial. ^{[ 9 ]}

En los campos de la relatividad general y la geometría lorentziana , ciertas extensiones y modificaciones de la noción de superficie mínima, conocidas como horizontes aparentes , son significativas. ^{[ 10 ]} A diferencia del horizonte de sucesos , representan un enfoque basado en la curvatura para comprender los límites de los agujeros negros .

Las estructuras con superficies mínimas pueden utilizarse como tiendas de campaña.

Las superficies minimalistas forman parte del conjunto de herramientas de diseño generativo que utilizan los diseñadores modernos. En arquitectura, ha habido un gran interés en las estructuras tensadas , que están estrechamente relacionadas con las superficies minimalistas. Ejemplos notables se pueden ver en la obra de Frei Otto , Shigeru Ban y Zaha Hadid . El diseño del Estadio Olímpico de Múnich, obra de Frei Otto, se inspiró en las superficies de jabón. ^{[ 11 ]} Otro ejemplo notable, también de Frei Otto, es el Pabellón Alemán en la Expo 67 de Montreal, Canadá. ^{[ 12 ]}

En el mundo del arte, las superficies minimalistas han sido ampliamente exploradas en la escultura de Robert Engman (1927–2018), Robert Longhurst (1949– ) y Charles O. Perry (1929–2011), entre otros.

Libros de texto

• R. Courant . Principio de Dirichlet, mapeo conforme y superficies mínimas. Apéndice de M. Schiffer . Interscience Publishers, Inc., Nueva York, NY, 1950. xiii+330 págs.
• H. Blaine Lawson, Jr. Lecciones sobre subvariedades mínimas. Vol. I. Segunda edición. Mathematics Lecture Series, 9. Publish or Perish, Inc., Wilmington, Del., 1980. iv+178 pp. ISBN 0-914098-18-7
• Robert Osserman . Un estudio de superficies mínimas. Segunda edición. Dover Publications, Inc., Nueva York, 1986. vi+207 pp. ISBN 0-486-64998-9, MR 0852409 
• Johannes C. C. Nitsche. Lecciones sobre superficies mínimas. Vol. 1. Introducción, fundamentos, geometría y problemas básicos de contorno. Traducido del alemán por Jerry M. Feinberg. Con prólogo en alemán. Cambridge University Press, Cambridge, 1989. xxvi+563 pp. ISBN 0-521-24427-7
• Nishikawa, Seiki (2002). Problemas variacionales en geometría . Traducciones de monografías matemáticas; Serie Iwanami de matemáticas modernas. Vol.  205. Traducido por Abe, Kinetsu. Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN 0-8218-1356-0ISSN 0065-9282 , traducido de : {{cite book}}: CS1 mantenimiento: postscript ( enlace )

• 西川青季 (1998).幾何学的変分問題. 岩波講座現代数学の基礎 (en japonés). vol.  28. Tokio:岩波書店. ISBN 4-00-010642-2.

• Ulrich Dierkes, Stefan Hildebrandt y Friedrich Sauvigny. Superficies mínimas. Segunda edición revisada y ampliada. Con la ayuda y contribución de A. Küster y R. Jakob. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 339. Springer, Heidelberg, 2010. xvi+688 págs. ISBN 978-3-642-11697-1, doi : 10.1007/978-3-642-11698-8 , SEÑOR 2566897 
• Tobias Holck Colding y William P. Minicozzi , II. Un curso en superficies mínimas. Estudios de Posgrado en Matemáticas, 121. Sociedad Matemática Estadounidense, Providence, RI, 2011. xii+313 págs. ISBN 978-0-8218-5323-8

Recursos en línea

• Karcher, Hermann; Polthier, Konrad (1995). "Tocando películas de jabón: una introducción a las superficies mínimas" . Recuperado el 27 de diciembre de 2006 .(Introducción gráfica a las superficies mínimas y las películas de jabón.)
• Jacek Klinowski. "Galería de superficies minimalistas periódicas" . Consultado el 2 de febrero de 2009 .(Una colección de superficies minimalistas con ejemplos clásicos y modernos)
• Martin Steffens y Christian Teitzel. "Grape Minimal Surface Library" . Consultado el 27 de octubre de 2008 .(Una colección de superficies mínimas)
• Varios (2000). "EG-Models" . Recuperado el 28 de septiembre de 2004 .(Revista en línea con varios modelos publicados de superficies mínimas)

• "Superficie mínima" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press, 2001 [1994]
• Página principal de 3D-XplorMath-J : programa Java y applets para visualización matemática interactiva.
• Galería de superficies mínimas giratorias
• Galería basada en WebGL de superficies mínimas rotables/con zoom