Puerta lógica cuántica

La ecuación de Schrödinger describe cómo evolucionan con el tiempo los sistemas cuánticos que no se observan , y es${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\Psi \rangle ={\hat {H}}|\Psi \rangle .}$Cuando el sistema se encuentra en un entorno estable, por lo que tiene un hamiltoniano constante , la solución a esta ecuación es${\displaystyle U(t)=e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }.}$^{[ 1 ] : 24–25}Si el tiempo${\displaystyle t}$siempre es lo mismo, puede omitirse por simplicidad, y la forma en que evolucionan los estados cuánticos puede describirse como${\displaystyle U|\psi _{1}\rangle =|\psi _{2}\rangle ,}$igual que en la sección anterior.

Es decir, una puerta cuántica es la forma en que un sistema cuántico no observado evoluciona durante un tiempo específico, o equivalentemente, una puerta es el operador de evolución temporal unitario.${\displaystyle U}$actuar sobre un estado cuántico durante un período de tiempo específico.

La puerta identidad es la matriz identidad , generalmente escrita como I , y se define para un solo cúbit como

${\displaystyle I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},}$

donde I es independiente de la base y no modifica el estado cuántico. La puerta identidad es más útil al describir matemáticamente el resultado de diversas operaciones de puerta o al analizar circuitos de múltiples cúbits.

Compuertas cuánticas (de arriba a abajo): Compuerta identidad, compuerta NOT, Pauli Y, Pauli Z

Las puertas de Pauli${\displaystyle (X,Y,Z)}$son las tres matrices de Pauli${\displaystyle (\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}$y actúan sobre un único cúbit. Los ejes X , Y y Z de Pauli equivalen, respectivamente, a una rotación alrededor de los ejes x , y y z de la esfera de Bloch por${\displaystyle \pi }$radianes. ^{[ b ]}

La puerta lógica Pauli- X es el equivalente cuántico de la puerta lógica NOT para computadoras clásicas con respecto a la base estándar.${\displaystyle |0\rangle }$,${\displaystyle |1\rangle }$, que distingue el eje z en la esfera de Bloch . A veces se le llama inversión de bits, ya que mapea${\displaystyle |0\rangle }$a${\displaystyle |1\rangle }$y${\displaystyle |1\rangle }$a${\displaystyle |0\rangle }$De manera similar, los mapas de Pauli- Y${\displaystyle |0\rangle }$a${\displaystyle i|1\rangle }$y${\displaystyle |1\rangle }$a${\displaystyle -i|0\rangle }$Pauli Z abandona el estado base${\displaystyle |0\rangle }$sin cambios y mapas${\displaystyle |1\rangle }$a${\displaystyle -|1\rangle }$Debido a esta naturaleza, a la Z de Pauli a veces se la denomina inversión de fase.

Estas matrices se suelen representar como

${\displaystyle X=\sigma _{x}=\operatorname {NOT} ={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle Y=\sigma _{y}={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle Z=\sigma _{z}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}.}$

Las matrices de Pauli son involutivas , lo que significa que el cuadrado de una matriz de Pauli es la matriz identidad .

${\displaystyle I^{2}=X^{2}=Y^{2}=Z^{2}=-iXYZ=I}$

Las matrices de Pauli también son anticonmutativas , por ejemplo${\displaystyle ZX=iY=-XZ.}$

La exponencial matricial de una matriz de Pauli${\displaystyle \sigma _{j}}$es un operador de rotación , a menudo escrito como${\displaystyle e^{-i\sigma _{j}\theta /2}.}$

Las compuertas controladas actúan sobre 2 o más cúbits, donde uno o más cúbits actúan como control para alguna operación. ^{[ 2 ]} Por ejemplo, la compuerta NOT controlada (o CNOT o CX) actúa sobre 2 cúbits y realiza la operación NOT en el segundo cúbit solo cuando el primer cúbit está${\displaystyle |1\rangle }$y por lo demás lo deja sin cambios. Con respecto a la base${\displaystyle |00\rangle }$,${\displaystyle |01\rangle }$,${\displaystyle |10\rangle }$,${\displaystyle |11\rangle }$, se representa mediante la matriz unitaria hermitiana :

${\displaystyle {\mbox{CNOT}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}.}$

La puerta CNOT (o Pauli- X controlada ) puede describirse como la puerta que mapea los estados base.${\displaystyle |a,b\rangle \mapsto |a,a\oplus b\rangle }$, dónde${\displaystyle \oplus }$es XOR .

El CNOT se puede expresar en la base de Pauli como:

${\displaystyle {\mbox{CNOT}}=e^{i{\frac {\pi }{4}}(I-Z_{1})(I-X_{2})}=e^{-i{\frac {\pi }{4}}(I-Z_{1})(I-X_{2})}.}$

Al ser un operador unitario hermitiano, CNOT tiene la propiedad de que${\displaystyle e^{i\theta U}=(\cos \theta )I+(i\sin \theta )U}$y${\displaystyle U=e^{i{\frac {\pi }{2}}(IU)}=e^{-i{\frac {\pi }{2}}(IU)}}$y es involutivo .

De forma más general, si U es una puerta que opera sobre un único cúbit con representación matricial

${\displaystyle U={\begin{bmatrix}u_{00}&u_{01}\\u_{10}&u_{11}\end{bmatrix}},}$

Entonces, la puerta U controlada es una puerta que opera sobre dos cúbits de tal manera que el primer cúbit sirve como control. Mapea los estados base de la siguiente manera.

Diagramas de circuitos de compuertas de Pauli controladas (de izquierda a derecha): CNOT (o X controlada), Y controlada y Z controlada.

${\displaystyle |00\rangle \mapsto |00\rangle }$

${\displaystyle |01\rangle \mapsto |01\rangle }$

${\displaystyle |10\rangle \mapsto |1\rangle \otimes U|0\rangle =|1\rangle \otimes (u_{00}|0\rangle +u_{10}|1\rangle )}$

${\displaystyle |11\rangle \mapsto |1\rangle \otimes U|1\rangle =|1\rangle \otimes (u_{01}|0\rangle +u_{11}|1\rangle )}$

La matriz que representa la U controlada es

${\displaystyle {\mbox{C}}U={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&u_{00}&u_{01}\\0&0&u_{10}&u_{11}\end{bmatrix}}.}$

Cuando U es uno de los operadores de Pauli, X , Y , Z , a veces se utilizan los términos respectivos "controlado- X ", "controlado- Y " o "controlado- Z ". ^{[ 4 ] : 177–185} A veces esto se abrevia a simplemente C X , C Y y C Z .

En general, cualquier puerta unitaria de un solo cúbit se puede expresar como${\displaystyle U=e^{iH}}$, donde H es una matriz hermitiana , y entonces la U controlada es${\displaystyle {\mbox{C}}U=e^{i{\frac {1}{2}}(I-Z_{1})H_{2}}.}$

El control puede extenderse a compuertas con un número arbitrario de cúbits ^{[ 2 ]} y funciones en lenguajes de programación. ^{[ 10 ]} Las funciones pueden estar condicionadas a estados de superposición. ^{[ 11 ] [ 12 ]}

Control clásico

Las puertas también pueden controlarse mediante lógica clásica. Una computadora cuántica es controlada por una computadora clásica y se comporta como un coprocesador que recibe instrucciones de la computadora clásica sobre qué puertas ejecutar en qué cúbits. ^{[ 13 ] : 42–43 [ 14 ]} El control clásico es simplemente la inclusión u omisión de puertas en la secuencia de instrucciones para la computadora cuántica. ^{[ 4 ] : 26–28 [ 1 ] : 87–88} Realizar mediciones en medio de un circuito cuántico, en lugar de al final del mismo, es difícil y técnicamente desafiante debido a problemas de sincronización y decoherencia . Debido a esto, no todas las computadoras cuánticas admiten estas sentencias if clásicas, donde los datos cuánticos se convierten en bits, lo que luego controla el flujo del programa. ^{[ 15 ] [ 16 ]}

El cambio de fase es una familia de compuertas de un solo qubit que mapean los estados base.${\displaystyle |0\rangle \mapsto |0\rangle }$y${\displaystyle |1\rangle \mapsto e^{i\varphi }|1\rangle }$. La probabilidad de medir un${\displaystyle |0\rangle }$o${\displaystyle |1\rangle }$no cambia después de aplicar esta puerta, sin embargo, modifica la fase del estado cuántico. Esto es equivalente a trazar un círculo horizontal (una línea de latitud constante), o una rotación alrededor del eje z en la esfera de Bloch por${\displaystyle \varphi }$radianes. La puerta de desplazamiento de fase está representada por la matriz:

${\displaystyle P(\varphi )={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i\varphi }\end{bmatrix}}}$

dónde${\displaystyle \varphi }$es el desplazamiento de fase con el período 2π . Algunos ejemplos comunes son la puerta T donde${\textstyle \varphi ={\frac {\pi }{4}}}$(históricamente conocido como el${\displaystyle \pi /8}$puerta), la puerta de fase (también conocida como puerta S, escrita como S , aunque S a veces se usa para puertas SWAP) donde${\textstyle \varphi ={\frac {\pi }{2}}}$y la puerta de Pauli- Z donde${\displaystyle \varphi =\pi .}$

Las compuertas de cambio de fase se relacionan entre sí de la siguiente manera:

${\displaystyle Z={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i\pi }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}=P\left(\pi \right)}$

${\displaystyle S={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i{\frac {\pi }{2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&i\end{bmatrix}}=P\left({\frac {\pi }{2}}\right)={\sqrt {Z}}}$

${\displaystyle T={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i{\frac {\pi }{4}}}\end{bmatrix}}=P\left({\frac {\pi }{4}}\right)={\sqrt {S}}={\sqrt[{4}]{Z}}}$

Tenga en cuenta que la puerta de fase${\displaystyle P(\varphi )}$no es hermitiano (excepto por todo)${\displaystyle \varphi =n\pi ,n\in \mathbb {Z} }$Estas puertas son diferentes de sus conjugadas hermíticas:${\displaystyle P^{\dagger }(\varphi )=P(-\varphi )}$. Las dos compuertas adjuntas (o transpuestas conjugadas )${\displaystyle S^{\dagger }}$y${\displaystyle T^{\dagger }}$a veces se incluyen en los conjuntos de instrucciones. ^{[ 17 ] [ 18 ]}

La puerta Hadamard o Walsh-Hadamard, que recibe su nombre de Jacques Hadamard ( en francés: [ adamaʁ ] ) y Joseph L. Walsh , actúa sobre un único cúbit. Mapea los estados base.${\textstyle |0\rangle \mapsto {\frac {|0\rangle +|1\rangle }{\sqrt {2}}}}$y${\textstyle |1\rangle \mapsto {\frac {|0\rangle -|1\rangle }{\sqrt {2}}}}$(crea un estado de superposición igual si se le da un estado base computacional). Los dos estados${\displaystyle (|0\rangle +|1\rangle )/{\sqrt {2}}}$y${\displaystyle (|0\rangle -|1\rangle )/{\sqrt {2}}}$a veces están escritos${\displaystyle |+\rangle }$y${\displaystyle |-\rangle }$respectivamente. La puerta Hadamard realiza una rotación de${\displaystyle \pi }$alrededor del eje${\displaystyle ({\hat {x}}+{\hat {z}})/{\sqrt {2}}}$en la esfera de Bloch y, por lo tanto, es involutiva . Está representada por la matriz de Hadamard :

${\displaystyle H={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}.}$

Si el Hermitiano (así que${\displaystyle H^{\dagger }=H^{-1}=H}$) La puerta Hadamard se utiliza para realizar un cambio de base , invierte${\displaystyle {\hat {x}}}$y${\displaystyle {\hat {z}}}$. Por ejemplo,${\displaystyle HZH=X}$y${\displaystyle H{\sqrt {X}}\;H={\sqrt {Z}}=S.}$

La puerta de intercambio intercambia dos cúbits. Con respecto a la base${\displaystyle |00\rangle }$,${\displaystyle |01\rangle }$,${\displaystyle |10\rangle }$,${\displaystyle |11\rangle }$, está representado por la matriz

${\displaystyle {\mbox{SWAP}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$

La puerta de intercambio se puede descomponer en forma de sumatoria:

${\displaystyle {\mbox{SWAP}}={\frac {I\otimes I+X\otimes X+Y\otimes Y+Z\otimes Z}{2}}}$

La puerta Toffoli, que recibe su nombre de Tommaso Toffoli y también se conoce como la puerta CCNOT o la puerta Deutsch.${\displaystyle D(\pi /2)}$, es una puerta de 3 bits que es universal para la computación clásica pero no para la computación cuántica. La puerta cuántica de Toffoli es la misma puerta, definida para 3 cúbits. Si nos limitamos a aceptar solo cúbits de entrada que sean${\displaystyle |0\rangle }$y${\displaystyle |1\rangle }$, entonces si los dos primeros bits están en el estado${\displaystyle |1\rangle }$Aplica una operación de Pauli- X (o NOT) al tercer bit; de lo contrario, no hace nada. Es un ejemplo de una puerta CC-U (unitaria controlada-controlada). Dado que es el análogo cuántico de una puerta clásica, está completamente especificada por su tabla de verdad. La puerta Toffoli es universal cuando se combina con la puerta Hadamard de un solo cúbit. ^{[ 19 ]}

La puerta Toffoli está relacionada con la AND clásica (${\displaystyle \land }$) y XOR (${\displaystyle \oplus }$) operaciones a medida que realiza el mapeo${\displaystyle |a,b,c\rangle \mapsto |a,b,c\oplus (a\land b)\rangle }$sobre los estados en la base computacional.

La puerta de Toffoli se puede expresar utilizando matrices de Pauli como

${\displaystyle {\mbox{Toff}}=e^{i{\frac {\pi }{8}}(I-Z_{1})(I-Z_{2})(I-X_{3})}=e^{-i{\frac {\pi }{8}}(I-Z_{1})(I-Z_{2})(I-X_{3})}.}$

También se puede formular un conjunto de puertas cuánticas universales de una sola puerta utilizando la puerta de Deutsch parametrizada de tres cúbits.${\displaystyle D(\theta )}$, ^{[ 23 ]} nombrada en honor al físico David Deutsch . Es un caso general de CC-U , o puerta unitaria controlada-controlada , y se define como

${\displaystyle |a,b,c\rangle \mapsto {\begin{cases}i\cos(\theta )|a,b,c\rangle +\sin(\theta )|a,b,1-c\rangle &{\text{for}}\ a=b=1,\\|a,b,c\rangle &{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

Lamentablemente, una puerta Deutsch funcional ha permanecido fuera de nuestro alcance debido a la falta de un protocolo. Existen algunas propuestas para implementar una puerta Deutsch con interacción dipolo-dipolo en átomos neutros. ^{[ 24 ]}

La puerta lógica universal para la computación clásica reversible, la puerta Toffoli, es reducible a la puerta Deutsch.${\displaystyle D(\pi /2)}$, demostrando así que todas las operaciones lógicas clásicas reversibles pueden realizarse en una computadora cuántica universal.

También existen compuertas de dos cúbits simples suficientes para la universalidad. En 1996, Adriano Barenco demostró que la compuerta Deutsch puede descomponerse utilizando solo una compuerta de dos cúbits ( compuerta de Barenco ), pero es difícil de realizar experimentalmente. ^{[ 1 ] : 93} Esta característica es exclusiva de los circuitos cuánticos, ya que no existe una compuerta clásica de dos bits que sea a la vez reversible y universal. ^{[ 1 ] : 93} Se podrían implementar compuertas universales de dos cúbits para mejorar los circuitos reversibles clásicos en microprocesadores rápidos de bajo consumo. ^{[ 1 ] : 93}

Supongamos que tenemos dos compuertas A y B que actúan sobre${\displaystyle n}$cúbits. Cuando B se coloca después de A en un circuito en serie, el efecto de las dos compuertas se puede describir como una sola compuerta C.

${\displaystyle C=B\cdot A}$

dónde${\displaystyle \cdot }$es la multiplicación de matrices . La compuerta resultante C tendrá las mismas dimensiones que A y B. El orden en que aparecerían las compuertas en un diagrama de circuito se invierte al multiplicarlas. ^{[ 4 ] : 17–18,22–23,62–64 [ 5 ] : 147–169}

Por ejemplo, colocar la puerta X de Pauli después de la puerta Y de Pauli , ambas actuando sobre un solo cúbit, puede describirse como una única puerta combinada C :

${\displaystyle C=X\cdot Y={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}i&0\\0&-i\end{bmatrix}}=iZ}$

El símbolo del producto (${\displaystyle \cdot }$) a menudo se omite.

El producto tensorial (o producto de Kronecker ) de dos compuertas cuánticas es la compuerta que es igual a las dos compuertas en paralelo. ^{[ 4 ] : 71–75 [ 5 ] : 148}

Si combinamos la puerta Pauli- Y con la puerta Pauli- X en paralelo, como se muestra en la imagen, entonces esto se puede escribir como:

${\displaystyle C=Y\otimes X={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}&-i{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\\i{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}&0{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0&0&-i\\0&0&-i&0\\0&i&0&0\\i&0&0&0\end{bmatrix}}}$

Tanto la puerta Pauli- X como la puerta Pauli- Y actúan sobre un solo cúbit. La puerta resultante${\displaystyle C}$actuar sobre dos cúbits.

A veces se omite el símbolo del producto tensorial y, en su lugar, se utilizan índices para los operadores. ^{[ 27 ]}

Hadamard transforma

La puerta${\displaystyle H_{2}=H\otimes H}$es la puerta de Hadamard (${\displaystyle H}$) aplicado en paralelo en 2 cúbits. Se puede escribir como:

${\displaystyle H_{2}=H\otimes H={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\otimes {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{bmatrix}}}$

Esta "puerta Hadamard paralela de dos cúbits" se aplicará, por ejemplo, al vector cero de dos cúbits (${\displaystyle |00\rangle }$), crear un estado cuántico que tenga la misma probabilidad de ser observado en cualquiera de sus cuatro resultados posibles;${\displaystyle |00\rangle }$,${\displaystyle |01\rangle }$,${\displaystyle |10\rangle }$, y${\displaystyle |11\rangle }$Podemos escribir esta operación como :

${\displaystyle H_{2}|00\rangle ={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1\\1\\1\\1\end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}|00\rangle +{\frac {1}{2}}|01\rangle +{\frac {1}{2}}|10\rangle +{\frac {1}{2}}|11\rangle ={\frac {|00\rangle +|01\rangle +|10\rangle +|11\rangle }{2}}}$

Aquí , la amplitud de cada estado medible es 1/2 . La probabilidad de observar cualquier estado es el cuadrado del valor absoluto de la amplitud de los estados medibles, lo que en el ejemplo anterior significa que hay una probabilidad de uno entre cuatro de que observemos cualquiera de los cuatro casos individuales. Consulte la sección de medición para obtener más detalles.

${\displaystyle H_{2}}$realiza la transformada de Hadamard en dos cúbits. De manera similar, la puerta${\displaystyle \underbrace {H\otimes H\otimes \dots \otimes H} _{n{\text{ times}}}=\bigotimes _{i=0}^{n-1}H=H^{\otimes n}=H_{n}}$realiza una transformación de Hadamard en un registro de${\displaystyle n}$cúbits.

Cuando se aplica a un registro de${\displaystyle n}$todos los cúbits inicializados a${\displaystyle |0\rangle }$, la transformada de Hadamard coloca el registro cuántico en una superposición con igual probabilidad de ser medido en cualquiera de sus${\displaystyle 2^{n}}$estados posibles:

${\displaystyle \bigotimes _{i=0}^{n-1}(H|0\rangle )={\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}{\begin{bmatrix}1\\1\\\vdots \\1\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}{\Big (}|0\rangle +|1\rangle +\dots +|2^{n}-1\rangle {\Big )}={\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}\sum _{i=0}^{2^{n}-1}|i\rangle }$

Este estado es una superposición uniforme y se genera como primer paso en algunos algoritmos de búsqueda, por ejemplo, en la amplificación de amplitud y la estimación de fase .

La medición de este estado da como resultado un número aleatorio entre${\displaystyle |0\rangle }$y${\displaystyle |2^{n}-1\rangle }$. ^{[ e ]} El grado de aleatoriedad del número depende de la fidelidad de las compuertas lógicas. Si no se mide, es un estado cuántico con amplitud de probabilidad igual.${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}}$para cada uno de sus posibles estados.

La transformación de Hadamard actúa sobre un registro${\displaystyle |\psi \rangle }$con${\displaystyle n}$cúbits tales que${\textstyle |\psi \rangle =\bigotimes _{i=0}^{n-1}|\psi _{i}\rangle }$como sigue:

${\displaystyle \bigotimes _{i=0}^{n-1}H|\psi \rangle =\bigotimes _{i=0}^{n-1}{\frac {|0\rangle +(-1)^{\psi _{i}}|1\rangle }{\sqrt {2}}}={\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}\bigotimes _{i=0}^{n-1}{\Big (}|0\rangle +(-1)^{\psi _{i}}|1\rangle {\Big )}=H|\psi _{0}\rangle \otimes H|\psi _{1}\rangle \otimes \cdots \otimes H|\psi _{n-1}\rangle }$

Aplicación en estados entrelazados

Si dos o más cúbits se consideran como un único estado cuántico, este estado combinado es igual al producto tensorial de los cúbits que lo componen. Cualquier estado que pueda escribirse como un producto tensorial de los subsistemas que lo componen se denomina estado separable . Por otro lado, un estado entrelazado es cualquier estado que no puede factorizarse tensorialmente; es decir, un estado entrelazado no puede escribirse como un producto tensorial de los estados de sus cúbits constituyentes. Se debe tener especial cuidado al aplicar compuertas a los cúbits que componen los estados entrelazados.

Si tenemos un conjunto de N cúbits entrelazados y deseamos aplicar una puerta cuántica a M < N cúbits en el conjunto, tendremos que extender la puerta para que tome N cúbits. Esta aplicación se puede realizar combinando la puerta con una matriz identidad de tal manera que su producto tensorial se convierta en una puerta que actúe sobre N cúbits. La matriz identidad (${\displaystyle I}$) es una representación de la compuerta que mapea cada estado a sí misma (es decir, no hace absolutamente nada). En un diagrama de circuito, la compuerta o matriz identidad a menudo aparecerá como un simple cable desnudo.

Por ejemplo, la puerta de Hadamard (${\displaystyle H}$) actúa sobre un solo cúbit, pero si le alimentamos con el primero de los dos cúbits que constituyen el estado de Bell entrelazado${\displaystyle {\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}}$No podemos escribir esa operación fácilmente. Necesitamos extender la puerta de Hadamard.${\displaystyle H}$con la puerta de identidad${\displaystyle I}$para que podamos actuar sobre estados cuánticos que abarcan dos cúbits:

${\displaystyle K=H\otimes I={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&0&1&0\\0&1&0&1\\1&0&-1&0\\0&1&0&-1\end{bmatrix}}}$

La puerta${\displaystyle K}$Ahora se puede aplicar a cualquier estado de dos cúbits, entrelazado o no. La puerta${\displaystyle K}$dejará el segundo cúbit intacto y aplicará la transformación de Hadamard al primer cúbit. Si se aplica al estado de Bell en nuestro ejemplo, podemos escribirlo como:

${\displaystyle K{\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&0&1&0\\0&1&0&1\\1&0&-1&0\\0&1&0&-1\end{bmatrix}}{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\1\end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1\\1\\1\\-1\end{bmatrix}}={\frac {|00\rangle +|01\rangle +|10\rangle -|11\rangle }{2}}}$

Dado que todas las compuertas lógicas cuánticas son reversibles , cualquier composición de múltiples compuertas también lo es. Todos los productos y productos tensoriales (es decir, combinaciones en serie y en paralelo ) de matrices unitarias son también matrices unitarias. Esto significa que es posible construir la inversa de todos los algoritmos y funciones, siempre que contengan únicamente compuertas.

La inicialización, la medición, la entrada/salida y la decoherencia espontánea son efectos secundarios en las computadoras cuánticas. Sin embargo, las compuertas son puramente funcionales y biyectivas .

Si${\displaystyle U}$es una matriz unitaria , entonces${\displaystyle U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=I}$y${\displaystyle U^{\dagger }=U^{-1}}$. La daga (${\displaystyle \dagger }$) denota la transpuesta conjugada . También se le llama adjunta hermitiana .

Si una función${\displaystyle F}$es un producto de${\displaystyle m}$puertas,${\displaystyle F=A_{1}\cdot A_{2}\cdot \dots \cdot A_{m}}$, la inversa unitaria de la función${\displaystyle F^{\dagger }}$se puede construir:

Porque${\displaystyle (UV)^{\dagger }=V^{\dagger }U^{\dagger }}$tenemos, después de repetida aplicación sobre sí mismo

${\displaystyle F^{\dagger }=\left(\prod _{i=1}^{m}A_{i}\right)^{\dagger }=\prod _{i=m}^{1}A_{i}^{\dagger }=A_{m}^{\dagger }\cdot \dots \cdot A_{2}^{\dagger }\cdot A_{1}^{\dagger }}$

De manera similar si la función${\displaystyle G}$consta de dos puertas${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$en paralelo, entonces${\displaystyle G=A\otimes B}$y${\displaystyle G^{\dagger }=(A\otimes B)^{\dagger }=A^{\dagger }\otimes B^{\dagger }}$.

Las compuertas que son sus propias inversas unitarias se denominan operadores hermíticos o autoadjuntos . Algunas compuertas elementales, como las de Hadamard ( H ) y Pauli ( I , X , Y , Z ), son operadores hermíticos, mientras que otras, como las de cambio de fase ( S , T , P , CPhase ), generalmente no lo son.

Por ejemplo, un algoritmo de suma puede usarse para resta si se ejecuta en sentido inverso, como su inversa unitaria. La transformada cuántica inversa de Fourier es la inversa unitaria. Las inversas unitarias también pueden usarse para la descomputación . Los lenguajes de programación para computadoras cuánticas, como Q# de Microsoft , ^{[ 10 ]} QCL de Bernhard Ömer , ^{[ 13 ] : 61} y Qiskit de IBM , ^{[ 29 ]} contienen la inversión de funciones como conceptos de programación.

Si dos estados cuánticos (es decir, cúbits o registros ) están entrelazados (lo que significa que su estado combinado no puede expresarse como un producto tensorial ), la medición de un registro afecta o revela el estado del otro, colapsando parcial o totalmente también su estado. Este efecto puede utilizarse para realizar cálculos y se emplea en numerosos algoritmos.

La combinación Hadamard-CNOT actúa sobre el estado cero de la siguiente manera:

${\displaystyle \operatorname {CNOT} (H\otimes I)|00\rangle =\left({\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\right)\right){\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\1\end{bmatrix}}={\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}}$

Este estado resultante es el estado de Bell.${\displaystyle {\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\1\end{bmatrix}}}$No se puede describir como un producto tensorial de dos cúbits. No hay solución para

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}w\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}xw\\xz\\yw\\yz\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\1\end{bmatrix}},}$

porque, por ejemplo, w necesita ser distinto de cero y cero en el caso de xw e yw .

El estado cuántico abarca los dos cúbits. Esto se llama entrelazamiento . Medir uno de los dos cúbits que componen este estado de Bell dará como resultado que el otro cúbit lógicamente debe tener el mismo valor, ambos deben ser iguales: o se encontrará en el estado${\displaystyle |00\rangle }$o en el estado${\displaystyle |11\rangle }$. Si medimos uno de los cúbits como por ejemplo${\displaystyle |1\rangle }$, entonces el otro cúbit también debe ser${\displaystyle |1\rangle }$porque su estado combinado se convirtió${\displaystyle |11\rangle }$La medición de uno de los cúbits colapsa todo el estado cuántico que abarca los dos cúbits.

El estado GHZ es un estado cuántico entrelazado similar que abarca tres o más cúbits.

Este tipo de asignación de valor ocurre instantáneamente a cualquier distancia y esto ha sido verificado experimentalmente por QUESS en 2018 para distancias de hasta 1200 kilómetros. ^{[ 36 ] [ 37 ] [ 38 ]} Que el fenómeno parezca ocurrir instantáneamente en contraposición al tiempo que tomaría recorrer la distancia que separa los cúbits a la velocidad de la luz se llama la paradoja EPR , y es una cuestión abierta en física cómo resolver esto. Originalmente se resolvió renunciando a la suposición de realismo local , pero también han surgido otras interpretaciones . Para más información véanse los experimentos de prueba de Bell . El teorema de no comunicación demuestra que este fenómeno no puede usarse para la comunicación más rápida que la luz de información clásica .

Toma un registro A con n cúbits, todos inicializados a${\displaystyle |0\rangle }$y hacerlo pasar a través de una puerta Hadamard paralela.${\textstyle H^{\otimes n}}$El Registro A entrará entonces en el estado .${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}\sum _{k=0}^{2^{n}-1}|k\rangle }$que tienen igual probabilidad de cuando se miden para estar en cualquiera de sus${\displaystyle 2^{n}}$estados posibles;${\displaystyle |0\rangle }$a${\displaystyle |2^{n}-1\rangle }$. Toma un segundo registro B, también con n cúbits inicializados a${\displaystyle |0\rangle }$y realiza una operación CNOT por pares de sus cúbits con los cúbits en el registro A, de tal manera que para cada p los cúbits${\displaystyle A_{p}}$y${\displaystyle B_{p}}$forma el estado${\displaystyle |A_{p}B_{p}\rangle ={\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}}$.

Si ahora medimos los cúbits en el registro A, entonces se encontrará que el registro B contiene el mismo valor que A. Sin embargo, si en cambio aplicamos una puerta lógica cuántica F en A y luego medimos, entonces${\displaystyle |A\rangle =F|B\rangle \iff F^{\dagger }|A\rangle =|B\rangle }$, dónde${\displaystyle F^{\dagger }}$es la inversa unitaria de F.

Debido a cómo actúan las inversas unitarias de las puertas ,${\displaystyle F^{\dagger }|A\rangle =F^{-1}(|A\rangle )=|B\rangle }$Por ejemplo, digamos :${\displaystyle F(x)=x+3{\pmod {2^{n}}}}$, entonces${\displaystyle |B\rangle =|A-3{\pmod {2^{n}}}\rangle }$.

La igualdad se mantendrá independientemente del orden en que se realice la medición (en los registros A o B), siempre que F se haya ejecutado por completo. La medición puede incluso intercalarse aleatoriamente y de forma concurrente, cúbit a cúbit, ya que la asignación de mediciones de un cúbit limitará el espacio de valores posibles de los demás cúbits entrelazados.

Aunque se cumplen las igualdades, las probabilidades de medir los posibles resultados pueden cambiar como resultado de aplicar F , tal como puede ser la intención en un algoritmo de búsqueda cuántica.

Este efecto de compartición de valor mediante entrelazamiento se utiliza en el algoritmo de Shor , la estimación de fase y el conteo cuántico . El uso de la transformada de Fourier para amplificar las amplitudes de probabilidad de los estados de solución para algún problema es un método genérico conocido como " pesca de Fourier ". ^{[ 39 ]}