hipótesis de Riemann

La fórmula explícita de Riemann para el número de primos menores que un número dado establece que, en términos de una suma sobre los ceros de la función zeta de Riemann, la magnitud de las oscilaciones de los primos alrededor de su posición esperada está controlada por las partes reales de los ceros de la función zeta. En particular, el término de error en el teorema de los números primos está estrechamente relacionado con la posición de los ceros. Por ejemplo, si${\displaystyle \beta }$es el límite superior de las partes reales de los ceros, entonces ^{[ 6 ]}${\displaystyle \pi (x)-\operatorname {li} (x)=O\!\left(x^{\beta }\log x\right)}$, dónde${\displaystyle \pi (x)}$es la función de conteo de números primos y${\displaystyle \operatorname {li} (x)}$es la función integral logarítmica . Ya se sabe que${\displaystyle 1/2\leq \beta \leq 1}$. ^{[ 7 ]}

Helge von Koch demostró que la hipótesis de Riemann implica la "mejor cota posible" para el error del teorema de los números primos. ^{[ 8 ]} Una versión precisa del resultado de von Koch, debida a Schoenfeld (1976) , dice que la hipótesis de Riemann implica

${\displaystyle |\pi (x)-\operatorname {li} (x)|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\log(x)}$

a pesar de${\displaystyle x\geq 2657}$Schoenfeld (1976) también demostró que la hipótesis de Riemann implica

${\displaystyle |\psi (x)-x|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\log ^{2}x}$

a pesar de${\displaystyle x\geq 73.2}$, dónde${\displaystyle \psi (x)}$es la segunda función de Chebyshev .

Adrian Dudek ^{[ 9 ]} demostró que la hipótesis de Riemann implica que para${\displaystyle x\geq 2}$, hay un primo${\displaystyle p}$satisfactorio

${\displaystyle x-{\frac {4}{\pi }}{\sqrt {x}}\log x<p\leq x}$.

La constante${\displaystyle 4/\pi }$puede reducirse a${\displaystyle 1+\varepsilon }$siempre que${\displaystyle x}$se considera suficientemente grande. Esta es una versión explícita de un teorema de Cramér .

La hipótesis de Riemann implica fuertes límites para el crecimiento de muchas otras funciones aritméticas , además de la función de conteo de números primos mencionada anteriormente.

Un ejemplo involucra la función de Möbius μ . La afirmación de que la ecuación

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}$

es válido para todo s con parte real mayor que 1/2, con la suma del lado derecho convergiendo, es equivalente a la hipótesis de Riemann. De esto también podemos concluir que si la función de Mertens está definida por

${\displaystyle M(x)=\sum _{n\leq x}\mu (n)}$

entonces la afirmación de que

${\displaystyle M(x)=O\left(x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }\right)}$

para cada ε positivo es equivalente a la hipótesis de Riemann ( JE Littlewood , 1912; véase, por ejemplo: párrafo 14.25 en Titchmarsh (1986) ). El determinante de la matriz de Redheffer de orden n es igual a M ( n ), por lo que la hipótesis de Riemann también puede enunciarse como una condición sobre el crecimiento de estos determinantes. El resultado de Littlewood ha sido mejorado varias veces desde entonces por Edmund Landau , ^{[ 10 ]} Edward Charles Titchmarsh , ^{[ 11 ]} Helmut Maier y Hugh Montgomery , ^{[ 12 ]} y Kannan Soundararajan . ^{[ 13 ]} El resultado de Soundararajan es que, condicionado a la hipótesis de Riemann,

${\displaystyle M(x)=O\left(x^{1/2}\exp \left((\log x)^{1/2}(\log \log x)^{14}\right)\right).}$

La hipótesis de Riemann impone un límite bastante estricto al crecimiento de M , ya que Odlyzko y te Riele (1985) refutaron la conjetura de Mertens, ligeramente más fuerte.

${\displaystyle |M(x)|\leq {\sqrt {x}}.}$

Otro resultado estrechamente relacionado se debe a Björner (2011) , que la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación de que la característica de Euler del complejo simplicial determinado por la red de enteros bajo divisibilidad es${\displaystyle o(n^{1/2+\epsilon })}$a pesar de${\displaystyle \epsilon >0}$(véase álgebra de incidencia ).

La hipótesis de Riemann es equivalente a muchas otras conjeturas sobre la tasa de crecimiento de otras funciones aritméticas además de μ ( n ). Un ejemplo típico es el teorema de Robin , ^{[ 14 ]} que establece que si σ ( n ) es la función sigma , dada por

${\displaystyle \sigma (n)=\sum _{d\mid n}d}$

entonces

${\displaystyle \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n}$

para todo n > 5040 si y solo si la hipótesis de Riemann es verdadera, donde γ es la constante de Euler-Mascheroni .

Jeffrey Lagarias dio una cota relacionada en 2002, demostrando que la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación de que:

${\displaystyle \sigma (n)<H_{n}+\log(H_{n})e^{H_{n}}}$

para cada número natural n > 1 , donde${\displaystyle H_{n}}$es el n -ésimo número armónico . ^{[ 15 ]}

La hipótesis de Riemann también es verdadera si y solo si la desigualdad

${\displaystyle {\frac {n}{\varphi (n)}}<e^{\gamma }\log \log n+{\frac {e^{\gamma }(4+\gamma -\log 4\pi )}{\sqrt {\log n}}}}$

es cierto para todo n ≥ 120569# , donde φ ( n ) es la función totiente de Euler y 120569# es el producto de los primeros 120569 primos. ^{[ 16 ]}

Otro ejemplo fue hallado por Jérôme Franel y extendido por Landau (véase Franel y Landau (1924) ). La hipótesis de Riemann es equivalente a varias afirmaciones que demuestran que los términos de la sucesión de Farey son bastante regulares. Una de estas equivalencias es la siguiente: si F _n es la sucesión de Farey de orden n , comenzando con 1/ n y hasta 1/1, entonces la afirmación de que para todo ε > 0

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}|F_{n}(i)-{\tfrac {i}{m}}|=O\left(n^{{\frac {1}{2}}+\epsilon }\right)}$

es equivalente a la hipótesis de Riemann. Aquí

${\displaystyle m=\sum _{i=1}^{n}\varphi (i)}$

es el número de términos en la secuencia de Farey de orden n .

Como ejemplo de la teoría de grupos , si g ( n ) es la función de Landau dada por el orden máximo de los elementos del grupo simétrico S _n de grado n , entonces Massias, Nicolas y Robin (1988) demostraron que la hipótesis de Riemann es equivalente a la cota

${\displaystyle \log g(n)<{\sqrt {\operatorname {Li} ^{-1}(n)}}}$

para todo n suficientemente grande .

La hipótesis de Riemann también tiene varias consecuencias más débiles; una de ellas es la hipótesis de Lindelöf sobre la tasa de crecimiento de la función zeta en la línea crítica, que dice que, para cualquier ε > 0 ,

${\displaystyle \zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right)=O(t^{\varepsilon }),}$

cuando t →${\displaystyle \infty }$.

La hipótesis de Riemann también implica límites bastante precisos para la tasa de crecimiento de la función zeta en otras regiones de la franja crítica. Por ejemplo, implica que

${\displaystyle e^{\gamma }\leq \limsup _{t\rightarrow +\infty }{\frac {|\zeta (1+it)|}{\log \log t}}\leq 2e^{\gamma }}$

${\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}e^{\gamma }\leq \limsup _{t\rightarrow +\infty }{\frac {1/|\zeta (1+it)|}{\log \log t}}\leq {\frac {12}{\pi ^{2}}}e^{\gamma }}$

de modo que la tasa de crecimiento de ζ (1 + it ) y su inversa se conocerían hasta un factor de 2. ^{[ 17 ]}

El teorema de los números primos implica que, en promedio, la diferencia entre el primo p y su sucesor es log p . Sin embargo, algunas diferencias entre primos pueden ser mucho mayores que el promedio. Cramér demostró que, asumiendo la hipótesis de Riemann, cada diferencia es O ( √p log p ) . Este es un caso en el que incluso la mejor cota que se puede demostrar usando la hipótesis de Riemann es mucho más débil de lo que parece ser cierto: la conjetura de Cramér implica que cada diferencia es O ((log p ) ^² ) , que, si bien es mayor que la diferencia promedio, es mucho menor que la cota implícita en la hipótesis de Riemann. La evidencia numérica respalda la conjetura de Cramér. ^{[ 18 ]}

Se han encontrado numerosas afirmaciones equivalentes a la hipótesis de Riemann, aunque hasta el momento ninguna ha contribuido significativamente a su demostración (o refutación). Algunos ejemplos típicos son los siguientes. (Otros involucran la función divisora ​​σ ( n )).

El criterio de Riesz fue dado por Riesz (1916) , en el sentido de que el límite

${\displaystyle -\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{(k-1)!\zeta (2k)}}=O\left(x^{{\frac {1}{4}}+\epsilon }\right)}$

Se cumple para todo ε > 0 si y solo si se cumple la hipótesis de Riemann. Véase también el criterio de Hardy-Littlewood .

Nyman (1950) demostró que la hipótesis de Riemann es verdadera si y solo si el espacio de funciones de la forma

${\displaystyle f(x)=\sum _{\nu =1}^{n}c_{\nu }\rho \left({\frac {\theta _{\nu }}{x}}\right)}$

donde ρ ( z ) es la parte fraccionaria de z , 0 ≤ θ _ν ≤ 1 , y

${\displaystyle \sum _{\nu =1}^{n}c_{\nu }\theta _{\nu }=0,}$

es denso en el espacio de Hilbert L ² (0,1) de funciones de cuadrado integrable en el intervalo unitario. Beurling (1955) extendió esto al demostrar que la función zeta no tiene ceros con parte real mayor que 1/ p si y solo si este espacio de funciones es denso en L ^p (0,1). Este criterio de Nyman-Beurling fue reforzado por Baez-Duarte ^{[ 19 ]} al caso donde${\displaystyle \theta _{\nu }\in \{1/k\}_{k\geq 1}}$.

Salem (1953) demostró que la hipótesis de Riemann es verdadera si y solo si la ecuación integral

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {z^{-\sigma -1}\varphi (z)}{{e^{x/z}}+1}}\,dz=0}$

no tiene soluciones acotadas no triviales${\displaystyle \varphi }$para${\displaystyle 1/2<\sigma <1}$.

El criterio de Weil establece que la positividad de una determinada función es equivalente a la hipótesis de Riemann. Relacionado con esto está el criterio de Li , que establece que la positividad de una determinada secuencia de números es equivalente a la hipótesis de Riemann.

Speiser (1934) demostró que la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación de que ζ ′ ( s ), la derivada de ζ ( s ), no tiene ceros en la franja.

${\displaystyle 0<\Re (s)<{\frac {1}{2}}.}$

Que ζ ( s ) tenga solo ceros simples en la línea crítica es equivalente a que su derivada no tenga ceros en la línea crítica.

La secuencia de Farey proporciona dos equivalencias, debidas a Jerome Franel y Edmund Landau en 1924.

La constante de De Bruijn-Newman, denotada por Λ y nombrada en honor a Nicolaas Govert de Bruijn y Charles M. Newman , se define como el único número real tal que la función

${\displaystyle H(\lambda ,z):=\int _{0}^{\infty }e^{\lambda u^{2}}\Phi (u)\cos(zu)\,du}$,

que está parametrizada por un parámetro real λ , tiene una variable compleja z y se define mediante una función de decaimiento superexponencial.

${\displaystyle \Phi (u)=\sum _{n=1}^{\infty }(2\pi ^{2}n^{4}e^{9u}-3\pi n^{2}e^{5u})e^{-\pi n^{2}e^{4u}}}$,

tiene ceros reales solo si y solo si λ ≥ Λ . Dado que la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación de que todos los ceros de H (0, z ) son reales, la hipótesis de Riemann es equivalente a la conjetura de que Λ ≤ 0. Brad Rodgers y Terence Tao descubrieron que la equivalencia es en realidad Λ = 0 al demostrar que cero es el límite inferior de la constante. ^{[ 20 ]} Demostrar que cero también es el límite superior probaría, por lo tanto, la hipótesis de Riemann. Newman señaló que esta conjetura (ahora teorema) "es una versión cuantitativa del aforismo de que la hipótesis de Riemann, si es cierta, lo es solo por poco". ^{[ 21 ]} A partir de abril de 2020, el límite superior es Λ ≤ 0,2 . ^{[ 22 ]}

Varias aplicaciones utilizan la hipótesis de Riemann generalizada para las series L de Dirichlet o las funciones zeta de los cuerpos numéricos, en lugar de solo la hipótesis de Riemann. Muchas propiedades básicas de la función zeta de Riemann se pueden generalizar fácilmente a todas las series L de Dirichlet, por lo que es plausible que un método que demuestre la hipótesis de Riemann para la función zeta de Riemann también funcione para la hipótesis de Riemann generalizada para las funciones L de Dirichlet. Varios resultados demostrados inicialmente utilizando la hipótesis de Riemann generalizada recibieron posteriormente demostraciones incondicionales sin utilizarla, aunque estas fueron generalmente mucho más difíciles. Muchas de las consecuencias de la siguiente lista se toman de Conrad (2010) .

• En 1913, Grönwall demostró que la hipótesis generalizada de Riemann implica que la lista de Gauss de campos cuadráticos imaginarios con número de clase 1 es completa, aunque Baker, Stark y Heegner posteriormente dieron pruebas incondicionales de esto sin utilizar la hipótesis generalizada de Riemann.
• En 1917, Hardy y Littlewood demostraron que la hipótesis generalizada de Riemann implica una conjetura de Chebyshev que$${\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}\sum _{p>2}(-1)^{(p+1)/2}x^{p}=+\infty ,}$$que afirma que los números primos 3 mod 4 son más comunes que los primos 1 mod 4 en cierto sentido. (Para resultados relacionados, véase el Teorema de los números primos §  Carrera de números primos ).
• En 1923, Hardy y Littlewood demostraron que la hipótesis generalizada de Riemann implica una forma débil de la conjetura de Goldbach para números impares: que todo número impar suficientemente grande es la suma de tres números primos, aunque en 1937 Vinogradov dio una demostración incondicional. En 1997 , Deshouillers , Effinger, te Riele y Zinoviev demostraron que la hipótesis generalizada de Riemann implica que todo número impar mayor que 5 es la suma de tres números primos. En 2013, Harald Helfgott demostró la conjetura ternaria de Goldbach sin la dependencia de la hipótesis generalizada de Riemann, sujeta a algunos cálculos extensos realizados con la ayuda de David J. Platt.
• En 1934, Chowla demostró que la hipótesis generalizada de Riemann implica que el primer primo en la progresión aritmética a mod m es como máximo Km ² log( m ) ² para alguna constante fija K.
• En 1967, Hooley demostró que la hipótesis generalizada de Riemann implica la conjetura de Artin sobre las raíces primitivas .
• En 1973, Weinberger demostró que la hipótesis generalizada de Riemann implica que la lista de números idóneos de Euler es completa.
• Weinberger (1973) demostró que la hipótesis generalizada de Riemann para las funciones zeta de todos los cuerpos numéricos algebraicos implica que cualquier cuerpo numérico con número de clase 1 es euclidiano o un cuerpo numérico cuadrático imaginario de discriminante −19, −43, −67 o −163.
• En 1976, G. Miller demostró que la hipótesis generalizada de Riemann implica que se puede comprobar si un número es primo en tiempo polinomial mediante la prueba de Miller . En 2002, Manindra Agrawal, Neeraj Kayal y Nitin Saxena demostraron este resultado de forma incondicional utilizando la prueba de primalidad AKS .
• Odlyzko (1990) analizó cómo se puede utilizar la hipótesis generalizada de Riemann para dar estimaciones más precisas de los discriminantes y los números de clase de los cuerpos numéricos.
• Ono y Soundararajan (1997) demostraron que la hipótesis generalizada de Riemann implica que la forma cuadrática integral de Ramanujan x ² + y ² + 10 z ² representa todos los enteros que representa localmente, con exactamente 18 excepciones.
• En 2021, Alexander (Alex) Dunn y Maksym Radziwill demostraron la conjetura de Patterson sobre sumas cúbicas de Gauss , bajo la suposición de la GRH. ^{[ 23 ] [ 24 ]}

Algunas consecuencias de la RH son también consecuencias de su negación, y por lo tanto son teoremas. En su análisis del teorema de Hecke, Deuring, Mordell, Heilbronn , Ireland y Rosen (1990 , p. 359) afirman: 

El método de demostración es realmente asombroso. Si la hipótesis generalizada de Riemann es verdadera, entonces el teorema es verdadero. Si la hipótesis generalizada de Riemann es falsa, entonces el teorema es verdadero. Por lo tanto, ¡el teorema es verdadero!

Es importante comprender qué significa decir que la hipótesis generalizada de Riemann es falsa: se debe especificar exactamente qué clase de series de Dirichlet tiene un contraejemplo.

La hipótesis de Riemann puede generalizarse sustituyendo la función zeta de Riemann por las funciones L globales, formalmente similares pero mucho más generales . En este contexto más amplio, se espera que los ceros no triviales de las funciones L globales tengan una parte real de 1/2. Son estas conjeturas, y no la hipótesis clásica de Riemann solo para la función zeta de Riemann, las que explican la verdadera importancia de la hipótesis de Riemann en matemáticas.

La hipótesis de Riemann generalizada más común extiende la hipótesis de Riemann a todas las funciones L de Dirichlet . En particular, implica la conjetura de que no existen ceros de Siegel (ceros de funciones L entre 1/2 y 1).

La hipótesis de Riemann extendida extiende la hipótesis de Riemann a todas las funciones zeta de Dedekind de cuerpos numéricos algebraicos . Dado que la función zeta de Dedekind para la extensión abeliana de los racionales puede expresarse como un producto de funciones L de Dirichlet y el único polo posible está en 1 para la función zeta de Riemann (por lo tanto, ningún polo puede cancelar un cero no trivial), esta versión de la hipótesis de Riemann implica la hipótesis de Riemann generalizada.

La hipótesis de Riemann también puede extenderse a las funciones L de los caracteres de Hecke de los cuerpos numéricos. Dado que las funciones L de Dirichlet son funciones L de Hecke para caracteres finitos, esta hipótesis implica directamente la hipótesis de Riemann generalizada. Las funciones zeta de Dedekind pueden expresarse como producto de funciones L de Hecke, y el único polo posible de una función L de Hecke es 1; por lo tanto, esta versión de la hipótesis de Riemann también implica una versión para las funciones zeta de Dedekind.

Existen dos enfoques para la extensión de la hipótesis de Riemann que parecen ser los más generales. La hipótesis de Riemann general la extiende a todas las funciones L automorfas , como las transformadas de Mellin de las formas propias de Hecke . La hipótesis de Riemann para la clase de Selberg la extiende más bien a funciones que satisfacen ciertas propiedades (al menos conjeturadamente satisfechas por la mayoría de las funciones generalmente llamadas funciones zeta o funciones L ) que a funciones definidas por fórmula directa. Si bien se espera que la clase de Selberg sea igual a la clase de funciones L automorfas, y por lo tanto estos enfoques deberían ser equivalentes, este es un importante problema abierto en sí mismo y parte del programa de Langlands .

Artin (1924) introdujo funciones zeta globales de campos de funciones (cuadráticas) y conjeturó un análogo de la hipótesis de Riemann para ellas, que ha sido demostrado por Hasse en el caso de género 1 y por Weil (1948) en general. Por ejemplo, el hecho de que la suma de Gauss , del carácter cuadrático de un campo finito de tamaño q (con q impar), tenga valor absoluto${\displaystyle {\sqrt {q}}}$En realidad, es un ejemplo de la hipótesis de Riemann en el contexto de los cuerpos de funciones. Esto llevó a Weil (1949) a conjeturar una afirmación similar para todas las variedades algebraicas ; las conjeturas de Weil resultantes fueron demostradas por Pierre Deligne . ^{[ 29 ]}

Las funciones zeta aritméticas generalizan las funciones zeta de Riemann y Dedekind, así como las funciones zeta de variedades sobre cuerpos finitos, a cualquier esquema aritmético o esquema de tipo finito sobre enteros. La función zeta aritmética de un esquema aritmético equidimensional conexo regular de dimensión de Kronecker n puede factorizarse en el producto de factores L definidos adecuadamente y un factor auxiliar. ^{[ 30 ]} Suponiendo una ecuación funcional y una continuación meromorfa, la hipótesis generalizada de Riemann para el factor L establece que sus ceros dentro de la banda crítica${\displaystyle \Re (s)\in (0,n)}$se encuentran en la línea central. Correspondientemente, la hipótesis generalizada de Riemann para la función zeta aritmética de un esquema aritmético equidimensional conexo regular establece que sus ceros dentro de la banda crítica se encuentran en líneas verticales.${\displaystyle \Re (s)=1/2,3/2,\dots ,n-1/2}$y sus polos dentro de la franja crítica se encuentran en líneas verticales${\displaystyle \Re (s)=1,2,\dots ,n-1}$. Esto se sabe para esquemas en característica positiva y se deduce de Pierre Deligne ^{[ 31 ]} , pero sigue siendo completamente desconocido en característica cero.

Selberg (1956) introdujo la función zeta de Selberg para una superficie de Riemann. Estas funciones son similares a la función zeta de Riemann: poseen una ecuación funcional y un producto infinito similar al producto de Euler, pero aplicado a geodésicas cerradas en lugar de números primos. La fórmula de traza de Selberg es el análogo, para estas funciones, de las fórmulas explícitas en la teoría de números primos. Selberg demostró que las funciones zeta de Selberg satisfacen el análogo de la hipótesis de Riemann, con las partes imaginarias de sus ceros relacionadas con los autovalores del operador laplaciano de la superficie de Riemann.

La función zeta de Ihara de un grafo finito es un análogo de la función zeta de Selberg , introducida por primera vez por Yasutaka Ihara en el contexto de subgrupos discretos del grupo lineal especial p-ádico de dos por dos. Un grafo finito regular es un grafo de Ramanujan , un modelo matemático de redes de comunicación eficientes, si y solo si su función zeta de Ihara satisface el análogo de la hipótesis de Riemann, como señaló T. Sunada .

Montgomery (1973) propuso la conjetura de correlación de pares según la cual las funciones de correlación de los ceros (debidamente normalizados) de la función zeta deberían ser las mismas que las de los autovalores de una matriz hermitiana aleatoria . Odlyzko (1987) demostró que esto se ve respaldado por cálculos numéricos a gran escala de dichas funciones de correlación.

Montgomery demostró que (asumiendo la hipótesis de Riemann) al menos 2/3 de todos los ceros son simples, y una conjetura relacionada es que todos los ceros de la función zeta son simples (o más generalmente no tienen relaciones lineales enteras no triviales entre sus partes imaginarias). Las funciones zeta de Dedekind de los cuerpos de números algebraicos, que generalizan la función zeta de Riemann, a menudo tienen múltiples ceros complejos. ^{[ 32 ]} Esto se debe a que las funciones zeta de Dedekind se factorizan como un producto de potencias de funciones L de Artin , por lo que los ceros de las funciones L de Artin a veces dan lugar a múltiples ceros de las funciones zeta de Dedekind. Otros ejemplos de funciones zeta con múltiples ceros son las funciones L de algunas curvas elípticas : estas pueden tener múltiples ceros en el punto real de su línea crítica; la conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer predice que la multiplicidad de este cero es el rango de la curva elíptica.

Hay muchos otros ejemplos de funciones zeta con análogos de la hipótesis de Riemann, algunos de los cuales han sido demostrados. Las funciones zeta de Goss de los cuerpos de funciones tienen una hipótesis de Riemann, demostrada por Sheats (1998) . La conjetura principal de la teoría de Iwasawa , demostrada por Barry Mazur y Andrew Wiles para cuerpos ciclotómicos , y por Wiles para cuerpos totalmente reales , identifica los ceros de una función L p -ádica con los autovalores de un operador, por lo que puede pensarse como un análogo de la conjetura de Hilbert-Pólya para funciones L p -ádicas . ^{[ 33 ]}

Hilbert y Pólya sugirieron que una forma de derivar la hipótesis de Riemann sería encontrar un operador autoadjunto , de cuya existencia se seguiría la afirmación sobre las partes reales de los ceros de ζ ( s ) cuando se aplica el criterio sobre los autovalores reales . Parte del apoyo a esta idea proviene de varios análogos de las funciones zeta de Riemann cuyos ceros corresponden a autovalores de algún operador: los ceros de una función zeta de una variedad sobre un cuerpo finito corresponden a autovalores de un elemento de Frobenius en un grupo de cohomología étale , los ceros de una función zeta de Selberg son autovalores de un operador laplaciano de una superficie de Riemann, y los ceros de una función zeta p-ádica corresponden a autovectores de una acción de Galois sobre grupos de clases ideales .

Odlyzko (1987) demostró que la distribución de los ceros de la función zeta de Riemann comparte algunas propiedades estadísticas con los valores propios de matrices aleatorias extraídas del conjunto unitario gaussiano . Esto respalda en cierta medida la conjetura de Hilbert-Pólya .

En 1999, Michael Berry y Jonathan Keating conjeturaron que existe alguna cuantización desconocida.${\displaystyle {\hat {H}}}$del hamiltoniano clásico H = xp de modo que $${\displaystyle \zeta (1/2+i{\hat {H}})=0}$$ y aún más fuertemente, que los ceros de Riemann coinciden con el espectro del operador.${\displaystyle 1/2+i{\hat {H}}}$Esto contrasta con la cuantización canónica , que conduce al principio de incertidumbre de Heisenberg.${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}}$y los números naturales como espectro del oscilador armónico cuántico . El punto crucial es que el hamiltoniano debe ser un operador autoadjunto para que la cuantización sea una realización del programa de Hilbert-Pólya. En relación con este problema de mecánica cuántica, Berry y Connes propusieron que el inverso del potencial del hamiltoniano está conectado a la semiderivada de la función $${\displaystyle N(s)={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Arg} \xi (1/2+i{\sqrt {s}})}$$ Luego, en el enfoque de Hilbert-Polya $${\displaystyle V^{-1}(x)={\sqrt {4\pi }}{\frac {d^{1/2}N(x)}{dx^{1/2}}}.}$$ Esto produce un hamiltoniano cuyos autovalores son el cuadrado de la parte imaginaria de los ceros de Riemann, y también que el determinante funcional de este operador hamiltoniano es precisamente la función Xi de Riemann . De hecho, la función Xi de Riemann sería proporcional al determinante funcional ( producto de Hadamard ). $${\displaystyle \det(H+1/4+s(s-1))}$$$${\displaystyle {\frac {\xi (s)}{\xi (0)}}={\frac {\det(H+s(s-1)+1/4)}{\det(H+1/4)}}.}$$ Sin embargo, este operador no es útil en la práctica, ya que incluye la función inversa (función implícita) del potencial, pero no el potencial en sí. La analogía con la hipótesis de Riemann sobre cuerpos finitos sugiere que el espacio de Hilbert que contiene los autovectores correspondientes a los ceros podría ser una especie de primer grupo de cohomología del espectro Spec( Z ) de los enteros. Deninger (1998) describió algunos de los intentos de encontrar dicha teoría de cohomología. ^{[ 34 ]}

Zagier (1981) construyó un espacio natural de funciones invariantes en el semiplano superior que tiene autovalores bajo el operador laplaciano que corresponden a ceros de la función zeta de Riemann, y señaló que en el improbable caso de que se pudiera demostrar la existencia de un producto interno definido positivo adecuado en este espacio, se seguiría la hipótesis de Riemann. Cartier (1982) analizó un ejemplo relacionado, donde debido a un extraño error un programa de computadora listó ceros de la función zeta de Riemann como autovalores del mismo operador laplaciano .

Schumayer y Hutchinson (2011) analizaron algunos de los intentos de construir un modelo físico adecuado relacionado con la función zeta de Riemann.

El teorema de Lee-Yang establece que los ceros de ciertas funciones de partición en mecánica estadística se encuentran todos en una "línea crítica" con su parte real igual a 0, y esto ha dado lugar a algunas especulaciones sobre una relación con la hipótesis de Riemann. ^{[ 35 ]}

Pál Turán demostró que si las funciones $${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}n^{-s}}$$ no tienen ceros cuando la parte real de s es mayor que uno entonces $${\displaystyle T(x)=\sum _{n\leq x}{\frac {\lambda (n)}{n}}\geq 0{\text{ for }}x>0,}$$ donde λ( n ) es la función de Liouville dada por (−1) ^r si n tiene r factores primos. ^{[ 36 ]} Demostró que esto a su vez implicaría que la hipótesis de Riemann es verdadera. Pero Haselgrove (1958) demostró que T ( x ) es negativo para infinitos x (y también refutó la conjetura de Pólya estrechamente relacionada ), y Borwein, Ferguson y Mossinghoff (2008) demostraron que el más pequeño de tales x es 72 185 376 951 205 . Spira (1968) demostró mediante cálculo numérico que la serie de Dirichlet finita anterior para N = 19 tiene un cero con parte real mayor que 1. Turán también demostró que una suposición algo más débil, la no existencia de ceros con parte real mayor que 1 + N ^{−1/2+ ε} para N grande en la serie de Dirichlet finita anterior, también implicaría la hipótesis de Riemann, pero Montgomery (1983) demostró que para todo N suficientemente grande estas series tienen ceros con parte real mayor que 1 + (log log N )/(4 log N ) . Por lo tanto, el resultado de Turán es trivialmente cierto y no puede ayudar a probar la hipótesis de Riemann.

Alain Connes ha descrito una relación entre la hipótesis de Riemann y la geometría no conmutativa , y ha demostrado que un análogo adecuado de la fórmula de traza de Selberg para la acción del grupo de clases idèle sobre el espacio de clases adèle implicaría la hipótesis de Riemann. ^{[ 37 ]} Algunas de estas ideas se desarrollan en Lapidus (2008) .

Louis de Branges demostró que la hipótesis de Riemann se derivaría de una condición de positividad en un cierto espacio de Hilbert de funciones enteras . ^{[ 38 ]} Sin embargo , Conrey y Li (2000) demostraron que las condiciones necesarias de positividad no se cumplen. A pesar de este obstáculo, de Branges continuó trabajando en un intento de demostración de la hipótesis de Riemann siguiendo las mismas líneas, pero esto no ha sido ampliamente aceptado por otros matemáticos. ^{[ 39 ]}

La hipótesis de Riemann implica que los ceros de la función zeta forman un cuasicristal , una distribución con soporte discreto cuya transformada de Fourier también tiene soporte discreto. Dyson (2009) sugirió intentar demostrar la hipótesis de Riemann clasificando, o al menos estudiando, cuasicristales unidimensionales.

Cuando se pasa de la dimensión geométrica uno, por ejemplo, un cuerpo numérico algebraico , a la dimensión geométrica dos, por ejemplo, un modelo regular de una curva elíptica sobre un cuerpo numérico, la parte bidimensional de la hipótesis de Riemann generalizada para la función zeta aritmética del modelo trata sobre los polos de la función zeta. En la dimensión uno, el estudio de la integral zeta en la tesis de Tate no conduce a información nueva e importante sobre la hipótesis de Riemann. Por el contrario, en la dimensión dos, el trabajo de Ivan Fesenko sobre la generalización bidimensional de la tesis de Tate incluye una representación integral de una integral zeta estrechamente relacionada con la función zeta. En esta nueva situación, imposible en la dimensión uno, los polos de la función zeta pueden estudiarse a través de la integral zeta y los grupos adele asociados. La conjetura relacionada de Ivan Fesenko sobre la positividad de la cuarta derivada de una función de frontera asociada a la integral zeta implica esencialmente la parte de los polos de la hipótesis de Riemann generalizada. ^{[ 40 ]} Suzuki ( 2011 ) demostró que esto último, junto con algunos supuestos técnicos, implica la conjetura de Fesenko. 

La demostración de Deligne de la hipótesis de Riemann sobre cuerpos finitos empleó las funciones zeta de variedades producto, cuyos ceros y polos corresponden a sumas de ceros y polos de la función zeta original, para acotar las partes reales de los ceros de dicha función. Por analogía, Kurokawa (1992) introdujo funciones zeta múltiples cuyos ceros y polos corresponden a sumas de ceros y polos de la función zeta de Riemann. Para lograr la convergencia de la serie, restringió el análisis a sumas de ceros o polos con parte imaginaria no negativa. Hasta el momento, las cotas conocidas para los ceros y polos de las funciones zeta múltiples no son lo suficientemente robustas como para proporcionar estimaciones útiles para los ceros de la función zeta de Riemann.

La ecuación funcional combinada con el principio del argumento implica que el número de ceros de la función zeta con parte imaginaria entre 0 y T viene dado por

${\displaystyle N(T)={\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\xi (s))={\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\Gamma ({\tfrac {s}{2}})\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)s(s-1)/2)}$

para s = 1/2 + iT , donde el argumento se define variándolo continuamente a lo largo de la línea con Im( s ) = T , comenzando con argumento 0 en ∞ + iT . Esta es la suma de un término grande pero bien entendido

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\Gamma ({\tfrac {s}{2}})\pi ^{-s/2}s(s-1)/2)={\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}+7/8+O(1/T)}$

y un término pequeño pero bastante misterioso

${\displaystyle S(T)={\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\zeta (1/2+iT))=O(\log T).}$

Así, la densidad de ceros con parte imaginaria cerca de T es aproximadamente log( T )/(2 π ), y la función S describe las pequeñas desviaciones de esto. La función S ( t ) salta en 1 en cada cero de la función zeta, y para t ≥ 8 disminuye monótonamente entre ceros con derivada cercana a −log t .

Trudgian (2014) demostró que, si T > e , entonces

${\displaystyle |N(T)-{\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi e}}|\leq 0.112\log T+0.278\log \log T+3.385+{\frac {0.2}{T}}}$.

Karatsuba (1996) demostró que cada intervalo ( T , T + H ] para${\displaystyle H\geq T^{{\frac {27}{82}}+\varepsilon }}$contiene al menos

${\displaystyle H(\log T)^{\frac {1}{3}}e^{-c{\sqrt {\log \log T}}}}$

puntos donde la función S ( t ) cambia de signo.

Selberg (1946) demostró que los momentos promedio de potencias pares de S están dados por

${\displaystyle \int _{0}^{T}|S(t)|^{2k}dt={\frac {(2k)!}{k!(2\pi )^{2k}}}T(\log \log T)^{k}+O(T(\log \log T)^{k-1/2}).}$

Esto sugiere que S ( T )/(log log T ) ^1/2 se asemeja a una variable aleatoria gaussiana con media 0 y varianza 2 π ² ( Ghosh (1983) demostró este hecho). En particular , | S ( T ) | suele estar alrededor de (log log T ) ^1/2 , pero ocasionalmente mucho mayor. No se conoce el orden exacto de crecimiento de S ( T ). No ha habido una mejora incondicional a la cota original de Riemann S ( T ) = O (log T ) , aunque la hipótesis de Riemann implica la cota ligeramente menor S ( T ) = O (log T /log log T ) . ^{[ 17 ]} El verdadero orden de magnitud puede ser algo menor que esto, ya que las funciones aleatorias con la misma distribución que S ( T ) tienden a tener un crecimiento del orden de aproximadamente log( T ) ^1/2 . En la otra dirección no puede ser demasiado pequeño: Selberg (1946) demostró que S ( T ) ≠ o ((log T ) ^1/3 /(log log T ) ^7/3 ) , y asumiendo la hipótesis de Riemann Montgomery demostró que S ( T ) ≠ o ((log T ) ^1/2 /(log log T ) ^1/2 ) .

Los cálculos numéricos confirman que S crece muy lentamente: | S ( T ) | < 1 para T < 280 , | S ( T ) | < 2 para T <6 800 000 , y el valor más grande de | S ( T ) | encontrado hasta ahora no es mucho mayor que 3. ^{[ 41 ]}

La estimación de Riemann S ( T ) = O (log T ) implica que las brechas entre ceros están acotadas, y Littlewood mejoró esto ligeramente, mostrando que las brechas entre sus partes imaginarias tienden a 0.

Hadamard (1896) y de la Vallée-Poussin (1896) demostraron independientemente que ningún cero podía estar en la línea Re( s ) = 1. Junto con la ecuación funcional y el hecho de que no hay ceros con parte real mayor que 1, esto demostró que todos los ceros no triviales deben estar en el interior de la franja crítica 0 < Re( s ) < 1. Este fue un paso clave en sus primeras demostraciones del teorema de los números primos .

Ambas demostraciones originales de que la función zeta no tiene ceros con parte real 1 son similares y dependen de demostrar que si ζ (1 + it ) se anula, entonces ζ (1 + 2 it ) es singular, lo cual no es posible. Una forma de hacer esto es utilizando la desigualdad

${\displaystyle |\zeta (\sigma )^{3}\zeta (\sigma +it)^{4}\zeta (\sigma +2it)|\geq 1}$

para σ > 1 , t real, y observando el límite cuando σ → 1 . Esta desigualdad se deduce tomando la parte real del logaritmo del producto de Euler para ver que

${\displaystyle |\zeta (\sigma +it)|=\exp \Re \sum _{p^{n}}{\frac {p^{-n(\sigma +it)}}{n}}=\exp \sum _{p^{n}}{\frac {p^{-n\sigma }\cos(t\log p^{n})}{n}},}$

donde la suma se realiza sobre todas las potencias primas p ⁿ , de modo que

${\displaystyle |\zeta (\sigma )^{3}\zeta (\sigma +it)^{4}\zeta (\sigma +2it)|=\exp \sum _{p^{n}}p^{-n\sigma }{\frac {3+4\cos(t\log p^{n})+\cos(2t\log p^{n})}{n}}}$

que es al menos 1 porque todos los términos de la suma son positivos, debido a la desigualdad.

${\displaystyle 3+4\cos(\theta )+\cos(2\theta )=2(1+\cos(\theta ))^{2}\geq 0.}$

La búsqueda informática más extensa realizada por Platt y Trudgian ^{[ 22 ]} para encontrar contraejemplos de la hipótesis de Riemann la ha verificado para | t | ≤3.000 175 3328 × 10 ¹² . Más allá de eso, las regiones libres de ceros se conocen como desigualdades con respecto a σ + i t , que pueden ser ceros. La versión más antigua es de De la Vallée-Poussin (1899–1900) , quien demostró que hay una región sin ceros que satisface 1 − σ ≥ ⁠ C / log( t ) ⁠ para alguna constante positiva C . En otras palabras, los ceros no pueden estar demasiado cerca de la línea σ = 1 : hay una región libre de ceros cerca de esta línea. Esto ha sido ampliado por varios autores utilizando métodos como el teorema del valor medio de Vinogradov .

El artículo más reciente ^{[ 42 ]} de Mossinghoff, Trudgian y Yang es de diciembre de 2022 y proporciona cuatro regiones libres de ceros que mejoraron los resultados anteriores de Kevin Ford de 2002, los de Mossinghoff y Trudgian de 2015 y la ligera mejora de Ford de Pace Nielsen de octubre de 2022:

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {1}{5.558691\log |t|}}}$cuando sea${\displaystyle |t|\geq 2}$,

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {1}{55.241(\log {|t|})^{2/3}(\log {\log {|t|}})^{1/3}}}}$cuando sea${\displaystyle |t|\geq 3}$(la región conocida más grande en el límite${\displaystyle 3.0001753328\cdot 10^{12}\leq |t|\leq \exp(64.1)\approx 6.89\cdot 10^{27}}$),

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {0.04962-{\frac {0.0196}{1.15+\log 3+{\frac {1}{6}}\log t+\log \log t}}}{0.685+\log 3+{\frac {1}{6}}\log t+1.155\cdot \log \log t}}}$cuando sea${\displaystyle |t|\geq 1.88\cdot 10^{14}}$(la región conocida más grande en el límite${\displaystyle \exp(64.1)\leq |t|\leq \exp(1000)\approx 1.97\cdot 10^{434}}$) y

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {0.05035}{{\frac {27}{164}}(\log {|t|})+7.096}}+{\frac {0.0349}{({\frac {27}{164}}(\log {|t|})+7.096)^{2}}}}$cuando sea${\displaystyle |t|\geq \exp(1000)}$(la región más grande conocida dentro de sus propios límites)

El artículo también presenta una mejora a la segunda región libre de ceros, cuyos límites son desconocidos debido a${\displaystyle |t|}$simplemente se asume que es "suficientemente grande" para cumplir con los requisitos de la prueba del artículo. Esta región es

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {1}{48.1588(\log {|t|})^{2/3}(\log {\log {|t|}})^{1/3}}}}$.

En 1914, Godfrey Harold Hardy demostró que${\displaystyle \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}$tiene infinitos ceros reales.

Las siguientes dos conjeturas de Hardy y John Edensor Littlewood sobre la distancia entre ceros reales de${\displaystyle \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}$y sobre la densidad de ceros de${\displaystyle \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}$en el intervalo${\displaystyle (T,T+H]}$para suficientemente grande${\displaystyle T>0}$, y${\displaystyle H=T^{a+\varepsilon }}$y con el valor de lo más pequeño posible${\displaystyle a>0}$, dónde${\displaystyle \varepsilon >0}$es un número arbitrariamente pequeño, abre dos nuevas direcciones en la investigación de la función zeta de Riemann:

1. Para cualquier${\displaystyle \varepsilon >0}$Existe un límite inferior${\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0}$de tal manera que para${\displaystyle T\geq T_{0}}$y${\displaystyle H=T^{{\tfrac {1}{4}}+\varepsilon }}$el intervalo${\displaystyle (T,T+H]}$contiene un cero de orden impar de la función${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}$.

Dejar${\displaystyle N(T)}$sea ​​el número total de ceros reales, y${\displaystyle N_{0}(T)}$sea ​​el número total de ceros de orden impar de la función${\displaystyle ~\zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)~}$acostado en el intervalo${\displaystyle (0,T]~}$.

2. Para cualquier${\displaystyle \varepsilon >0}$existe${\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0}$y algunos${\displaystyle c=c(\varepsilon )>0}$, de tal manera que para${\displaystyle T\geq T_{0}}$y${\displaystyle H=T^{{\tfrac {1}{2}}+\varepsilon }}$la desigualdad${\displaystyle N_{0}(T+H)-N_{0}(T)\geq cH}$Es cierto.

Atle Selberg investigó el problema de Hardy–Littlewood 2 y demostró que para cualquier ε > 0 existe tal${\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0}$y c = c ( ε ) > 0 , de tal manera que para${\displaystyle T\geq T_{0}}$y${\displaystyle H=T^{0.5+\varepsilon }}$la desigualdad ${\displaystyle N(T+H)-N(T)\geq cH\log T}$es cierto. ^{[ 44 ]} Selberg conjeturó que esto podría ajustarse a${\displaystyle H=T^{0.5}}$. Anatoly Karatsuba demostró que para un ε fijo que satisface la condición 0 < ε < 0.001, un T suficientemente grande y${\displaystyle H=T^{a+\varepsilon }}$,${\displaystyle a={\tfrac {27}{82}}={\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{246}}}$El intervalo ( T , T + H ) contiene al menos cH log( T ) ceros reales de la función zeta de Riemann.${\displaystyle \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}$y por lo tanto confirmaron la conjetura de Selberg. ^{[ 45 ]} Las estimaciones de Selberg y Karatsuba no se pueden mejorar con respecto al orden de crecimiento cuando T → ∞ .

Karatsuba (1992) demostró que un análogo de la conjetura de Selberg se cumple para casi todos los intervalos ( T , T + H ] ,${\displaystyle H=T^{\varepsilon }}$donde ε es un número positivo fijo arbitrariamente pequeño. El método de Karatsuba permite investigar los ceros de la función zeta de Riemann en intervalos "supercortos" de la línea crítica, es decir, en los intervalos ( T , T + H ] , cuya longitud H crece más lentamente que cualquier grado T , incluso arbitrariamente pequeño . En particular, demostró que para cualquier número ε dado ,${\displaystyle \varepsilon _{1}}$satisfaciendo las condiciones${\displaystyle 0<\varepsilon ,\varepsilon _{1}<1}$casi todos los intervalos ( T , T + H ] para${\displaystyle H\geq \exp {\{(\log T)^{\varepsilon }\}}}$contener al menos${\displaystyle H(\log T)^{1-\varepsilon _{1}}}$ceros de la función${\displaystyle \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}$Esta estimación es bastante cercana a la que se deduce de la hipótesis de Riemann.

La función

${\displaystyle \pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma ({\tfrac {s}{2}})\zeta (s)}$

tiene los mismos ceros que la función zeta en la franja crítica, y es real en la línea crítica debido a la ecuación funcional, por lo que se puede demostrar la existencia de ceros exactamente en la línea real entre dos puntos comprobando numéricamente que la función tiene signos opuestos en esos puntos. Normalmente se escribe

${\displaystyle \zeta ({\tfrac {1}{2}}+it)=Z(t)e^{-i\theta (t)}}$

donde la función Z de Hardy y la función theta de Riemann-Siegel θ están definidas unívocamente por esto y la condición de que sean funciones reales suaves con θ (0)  =  0. Al encontrar muchos intervalos donde la función Z cambia de signo, se puede demostrar que hay muchos ceros en la línea crítica. Para verificar la hipótesis de Riemann hasta una parte imaginaria T dada de los ceros, también hay que comprobar que no haya más ceros fuera de la línea en esta región. Esto se puede hacer calculando el número total de ceros en la región usando el método de Turing y comprobando que es el mismo que el número de ceros encontrados en la línea. Esto permite verificar computacionalmente la hipótesis de Riemann hasta cualquier valor deseado de T (siempre que todos los ceros de la función zeta en esta región sean simples y estén en la línea crítica). ^{[ 46 ] [ 47 ]}

Estos cálculos también se pueden utilizar para estimar${\displaystyle \pi (x)}$para rangos finitos de${\displaystyle x}$. Por ejemplo, utilizando el último resultado de 2020 (ceros hasta la altura${\displaystyle 3\times 10^{12}}$), se ha demostrado que

${\displaystyle |\pi (x)-\operatorname {li} (x)|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\log(x),\qquad {\text{for }}2657\leq x\leq 1.101\times 10^{26}.}$

En general, esta desigualdad se cumple si

${\displaystyle x\geq 2657}$y${\displaystyle {\frac {9.06}{\log {\log {x}}}}{\sqrt {\frac {x}{\log {x}}}}\leq T,}$

dónde${\displaystyle T}$es el mayor valor conocido tal que la hipótesis de Riemann es verdadera para todos los ceros${\displaystyle \rho }$con${\displaystyle \Im {\left(\rho \right)}\in \left(0,T\right]}$. ^{[ 48 ]}

A continuación se muestran algunos cálculos de ceros de la función zeta, donde la "altura" de un cero es la magnitud de su parte imaginaria, y la altura del n -ésimo cero se denota por γ _n . Hasta ahora, todos los ceros que se han comprobado están en la línea crítica y son simples. (Un cero múltiple causaría problemas a los algoritmos de búsqueda de ceros, que dependen de encontrar cambios de signo entre ceros). Para tablas de ceros, véase Haselgrove y Miller (1960) u Odlyzko .

Un punto de Gram es un punto en la línea crítica 1/2  + it donde la función zeta es real y distinta de cero. Usando la expresión para la función zeta en la línea crítica, ζ (1/2 + it ) = Z ( t ) e ^{− iθ ( t )} , donde la función de Hardy, Z , es real para t real , y θ es la función theta de Riemann-Siegel , vemos que zeta es real cuando sin( θ ( t )) = 0 . Esto implica que θ ( t ) es un múltiplo entero de π , lo que permite calcular la ubicación de los puntos de Gram de manera bastante sencilla invirtiendo la fórmula para θ . Por lo general, se numeran como g _n para n = 0, 1, ..., donde g _n es la solución única de θ ( t ) = n π . 

Gram observó que a menudo había exactamente un cero de la función zeta entre dos puntos de Gram consecutivos; Hutchinson denominó a esta observación la ley de Gram . Existen otras afirmaciones estrechamente relacionadas que también se denominan a veces ley de Gram: por ejemplo, (−1) ⁿ Z ( g _n ) suele ser positivo, o Z ( t ) suele tener signo opuesto en puntos de Gram consecutivos. Las partes imaginarias γ _n de los primeros ceros (en azul) y de los primeros puntos de Gram g _n se muestran en la siguiente tabla.

El primer fallo de la ley de Gram se produce en el cero número 127 y en el punto de Gram g ₁₂₆ , que están en el orden "incorrecto".

Un punto de Gram t se llama bueno si la función zeta es positiva en 1/2 + it . Los índices de los puntos de Gram "malos" donde Z tiene el signo "incorrecto" son 126, 134, 195, 211, ... (secuencia A114856 en la OEIS ) . Un bloque de Gram es un intervalo acotado por dos puntos de Gram buenos tales que todos los puntos de Gram entre ellos son malos. Un refinamiento de la ley de Gram llamado regla de Rosser debido a Rosser, Yohe y Schoenfeld (1969) dice que los bloques de Gram a menudo tienen el número esperado de ceros en ellos (el mismo que el número de intervalos de Gram), aunque algunos de los intervalos de Gram individuales en el bloque pueden no tener exactamente un cero en ellos. Por ejemplo, el intervalo delimitado por g ₁₂₅ y g ₁₂₇ es un bloque de Gram que contiene un único punto de Gram incorrecto g ₁₂₆ , y contiene el número esperado de ceros (2), aunque ninguno de sus dos intervalos de Gram contiene un único cero. Rosser et al. comprobaron que no había excepciones a la regla de Rosser en los primeros 3 millones de ceros, aunque existen infinitas excepciones a la regla de Rosser en toda la función zeta.

La regla de Gram y la regla de Rosser afirman que, en cierto sentido, los ceros no se alejan demasiado de sus posiciones esperadas. La distancia de un cero a su posición esperada está controlada por la función S definida anteriormente, que crece extremadamente despacio: su valor medio es del orden de (log log T ) ^1/2 , que solo alcanza 2 para T alrededor de 10 ^24. Esto significa que ambas reglas se cumplen la mayor parte del tiempo para T pequeño , pero eventualmente fallan con frecuencia. De hecho, Trudgian (2011) demostró que tanto la ley de Gram como la regla de Rosser fallan en una proporción positiva de casos. Para ser específicos, se espera que en aproximadamente el 66% un cero esté encerrado por dos puntos de Gram sucesivos, pero en el 17% ningún cero y en el 17% dos ceros están en dicho intervalo de Gram a largo plazo (Hanga, 2020) .

Suponiendo la hipótesis de Riemann, cabe preguntarse qué otras regularidades podrían regir la distribución de los ceros de la función zeta en la línea crítica. Una conjetura plantea que los ceros críticos de la función zeta se comportan estadísticamente como los autovalores de grandes matrices hermíticas aleatorias . La idea surgió del trabajo de Hugh Montgomery sobre la conjetura de correlación de pares para los ceros de la función zeta. ^{[ 50 ]} Tras un reescalamiento adecuado para tener en cuenta la creciente densidad de ceros con la altura, la función de correlación de pares conjeturada coincide con la de los autovalores en el conjunto unitario gaussiano (GUE) en la teoría de matrices aleatorias. ^{[ 51 ] [ 52 ]}

La conexión fue probada numéricamente por Andrew Odlyzko , quien encontró que las estadísticas de espaciamiento de los ceros en la línea crítica coinciden estrechamente con las predicciones de la teoría de matrices aleatorias GUE. ^{[ 53 ] [ 54 ]} La concordancia se extiende más allá de los espaciamientos entre vecinos más cercanos a funciones de correlación más altas, y se considera ampliamente como una fuerte evidencia de que los ceros se modelan mediante las mismas estadísticas locales que las matrices aleatorias. ^{[ 55 ] [ 56 ]}

La analogía de la matriz aleatoria también está relacionada con la conjetura de Hilbert-Pólya y con ideas del caos cuántico . En los sistemas caóticos cuánticos, los autovalores suelen obedecer a la estadística de la matriz aleatoria, por lo que la aparición de la misma estadística en los ceros de la función zeta puede interpretarse como evidencia de que pueden surgir de un operador autoadjunto o de un sistema dinámico caótico. ^{[ 57 ] [ 58 ]} Esto proporciona una imagen heurística de por qué los ceros podrían estar sobre una línea espectral y por qué sus espaciamientos exhiben una fuerte repulsión en lugar de una agrupación aleatoria. ^{[ 59 ]}

Este punto de vista fue adoptado por Nicholas Katz y Peter Sarnak , quienes propusieron que las familias de funciones L tienen tipos de simetría regidos por los grupos clásicos compactos ( unitarios , ortogonales o simplécticos ), y que las distribuciones de sus ceros de baja energía deben coincidir con los conjuntos de matrices aleatorias correspondientes. ^{[ 60 ] [ 61 ] [ 62 ]} Para la función zeta de Riemann, el conjunto relevante es el del grupo unitario.

La teoría de matrices aleatorias también ha dado lugar a conjeturas sobre el crecimiento de los momentos de la función zeta en la línea crítica. En particular, Jonathan Keating y Nina Snaith utilizaron promedios sobre matrices unitarias aleatorias para predecir las constantes principales en fórmulas de momentos asintóticos como $${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}|\zeta (1/2+it)|^{2k}\,dt}$$ como${\displaystyle T\to \infty }$Sus conjeturas separan un factor de matriz aleatoria universal de un factor de producto de Euler aritmético , y han influido en trabajos posteriores sobre momentos y razones de funciones L. ^{[ 63 ] [ 64 ] [ 65 ]}

La teoría de matrices aleatorias y el caos cuántico constituyen, por lo tanto, un marco heurístico que rodea la hipótesis de Riemann, aunque no se conoce ninguna prueba de la hipótesis a partir de este enfoque. ^{[ 66 ]}