Número de Bernoulli

Los números de Bernoulli tienen su origen en los inicios del cálculo de sumas de potencias enteras, que han sido de interés para los matemáticos desde la antigüedad.

Se conocían métodos para calcular la suma de los primeros n enteros positivos, la suma de los cuadrados y de los cubos de los primeros n enteros positivos, pero no existían fórmulas propiamente dichas, sino solo descripciones verbales. Entre los grandes matemáticos de la antigüedad que abordaron este problema se encuentran Pitágoras (c. 572-497  a. C., Grecia), Arquímedes (287-212  a. C., Italia), Aryabhata (n. 476, India), Al-Karaji (m. 1019, Persia) e Ibn al-Haytham (965-1039, Irak).

Durante finales del siglo XVI y principios del XVII, los matemáticos lograron avances significativos. En Occidente, Thomas Harriot (1560-1621) de Inglaterra, Johann Faulhaber (1580-1635) de Alemania, Pierre de Fermat (1601-1665) y su colega matemático francés Blaise Pascal (1623-1662) desempeñaron papeles importantes.

Thomas Harriot parece haber sido el primero en derivar y escribir fórmulas para sumas de potencias utilizando notación simbólica, pero incluso él solo calculaba hasta la suma de las cuartas potencias. Johann Faulhaber proporcionó fórmulas para sumas de potencias hasta la decimoséptima potencia en su obra Academia Algebrae de 1631 , mucho más altas que las de cualquier otro autor anterior, pero no ofreció una fórmula general.

Blaise Pascal demostró en 1654 la identidad de Pascal que relaciona ( n +1) ^{k +1} con las sumas de las potencias p de los primeros n enteros positivos para p = 0, 1, 2, ..., k .

El matemático suizo Jacob Bernoulli (1654–1705) fue el primero en darse cuenta de la existencia de una única secuencia de constantes B ₀ , B ₁ , B ₂ ,... que proporciona una fórmula uniforme para todas las sumas de potencias. ^{[ 9 ]}

La alegría que experimentó Bernoulli al dar con el patrón necesario para calcular rápida y fácilmente los coeficientes de su fórmula para la suma de las potencias c -ésimas para cualquier entero positivo c se puede apreciar en su comentario. Escribió:

"Con la ayuda de esta tabla, me llevó menos de un cuarto de hora descubrir que la suma de las potencias décimas de los primeros 1000 números da como resultado 91.409.924.241.424.243.424.241.924.242.500."

El resultado de Bernoulli se publicó póstumamente en Ars Conjectandi en 1713. Seki Takakazu descubrió de forma independiente los números de Bernoulli y su resultado se publicó un año antes, también póstumamente, en 1712. ^{[ 2 ]} Sin embargo, Seki no presentó su método como una fórmula basada en una secuencia de constantes.

La fórmula de Bernoulli para sumas de potencias es la formulación más útil y generalizable hasta la fecha. Los coeficientes de la fórmula de Bernoulli se denominan ahora números de Bernoulli, siguiendo una sugerencia de Abraham de Moivre .

La fórmula de Bernoulli a veces se denomina fórmula de Faulhaber, en honor a Johann Faulhaber, quien halló métodos notables para calcular la suma de potencias, pero nunca enunció la fórmula de Bernoulli. Según Knuth ^{[ 9 ],} Carl Jacobi publicó por primera vez una demostración rigurosa de la fórmula de Faulhaber en 1834. ^{[ 10 ]} El estudio exhaustivo de Knuth sobre la fórmula de Faulhaber concluye:

"Faulhaber nunca descubrió los números de Bernoulli; es decir, nunca se dio cuenta de que una sola secuencia de constantes B ₀ , B ₁ , B ₂ , ... proporcionaría una distribución uniforme

${\textstyle \sum n^{m}={\frac {1}{m+1}}\left(B_{0}n^{m+1}-{\binom {m+1}{1}}B_{1}n^{m}+{\binom {m+1}{2}}B_{2}n^{m-1}-\cdots +(-1)^{m}{\binom {m+1}{m}}B_{m}n\right)}$

para todas las sumas de potencias. Nunca mencionó, por ejemplo, el hecho de que casi la mitad de los coeficientes resultaron ser cero después de haber convertido sus fórmulas para Σ n ^m de polinomios en N a polinomios en n ." ^{[ 11 ]}

En lo anterior, Knuth quería decir${\displaystyle B_{1}^{-}}$; en su lugar, utilice${\displaystyle B_{1}^{+}}$La fórmula evita la resta:

${\textstyle \sum n^{m}={\frac {1}{m+1}}\left(B_{0}n^{m+1}+{\binom {m+1}{1}}B_{1}^{+}n^{m}+{\binom {m+1}{2}}B_{2}n^{m-1}+\cdots +{\binom {m+1}{m}}B_{m}n\right).}$

... Atque sic porrò ad altiores gradatim potestates pergere, levique negotio sequentem adornare laterculum licet: Summæ Potestatum${\displaystyle \textstyle \int n={\frac {1}{2}}nn+{\frac {1}{2}}n}$${\displaystyle \textstyle \int nn={\frac {1}{3}}n^{3}+{\frac {1}{2}}nn+{\frac {1}{6}}n}$${\displaystyle \textstyle \int n^{3}={\frac {1}{4}}n^{4}+{\frac {1}{2}}n^{3}+{\frac {1}{4}}nn}$${\displaystyle \textstyle \int n^{4}={\frac {1}{5}}n^{5}+{\frac {1}{2}}n^{4}+{\frac {1}{3}}n^{3}-{\frac {1}{30}}n}$${\displaystyle \textstyle \int n^{5}={\frac {1}{6}}n^{6}+{\frac {1}{2}}n^{5}+{\frac {5}{12}}n^{4}-{\frac {1}{12}}nn}$${\displaystyle \textstyle \int n^{6}={\frac {1}{7}}n^{7}+{\frac {1}{2}}n^{6}+{\frac {1}{2}}n^{5}-{\frac {1}{6}}n^{3}+{\frac {1}{42}}n}$${\displaystyle \textstyle \int n^{7}={\frac {1}{8}}n^{8}+{\frac {1}{2}}n^{7}+{\frac {7}{12}}n^{6}-{\frac {7}{24}}n^{4}+{\frac {1}{12}}nn}$${\displaystyle \textstyle \int n^{8}={\frac {1}{9}}n^{9}+{\frac {1}{2}}n^{8}+{\frac {2}{3}}n^{7}-{\frac {7}{15}}n^{5}+{\frac {2}{9}}n^{3}-{\frac {1}{30}}n}$${\displaystyle \textstyle \int n^{9}={\frac {1}{10}}n^{10}+{\frac {1}{2}}n^{9}+{\frac {3}{4}}n^{8}-{\frac {7}{10}}n^{6}+{\frac {1}{2}}n^{4}-{\frac {1}{12}}nn}$${\displaystyle \textstyle \int n^{10}={\frac {1}{11}}n^{11}+{\frac {1}{2}}n^{10}+{\frac {5}{6}}n^{9}-1n^{7}+1n^{5}-{\frac {1}{2}}n^{3}+{\frac {5}{66}}n}$Quin imò qui legem progresivois inibi attentius inspexerit, eundem etiam continuare poterit absque his ratiociniorum ambagibus: Sumtâ enim${\displaystyle c}$pro potestatis cujuslibet exponente, ajuste summa omnium${\displaystyle n^{c}}$su${\displaystyle \textstyle \int n^{c}={\frac {1}{c+1}}n^{c+1}+{\frac {1}{2}}n^{c}+{\frac {c}{2}}An^{c-1}+{\frac {c\cdot c-1\cdot c-2}{2\cdot 3\cdot 4}}Bn^{c-3}}$${\displaystyle \qquad +{\frac {c\cdot c-1\cdot c-2\cdot c-3\cdot c-4}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}}Cn^{c-5}}$${\displaystyle \qquad +{\frac {c\cdot c-1\cdot c-2\cdot c-3\cdot c-4\cdot c-5\cdot c-6}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8}}Dn^{c-7}\ldots }$& ita deinceps, exponentem potestatis ipsius${\displaystyle n}$continuè minuendo binario, quosque perveniatur ad${\displaystyle n}$velocidad${\displaystyle nn}$. Literæ capitales${\displaystyle A}$,${\displaystyle B}$,${\displaystyle C}$,${\displaystyle D}$&do. ordine denotan coëfficientes ultimorum terminorum pro${\displaystyle \textstyle \int nn}$,${\displaystyle \textstyle \int n^{4}}$,${\displaystyle \textstyle \int n^{6}}$,${\displaystyle \textstyle \int n^{8}}$etc. nempe${\displaystyle \textstyle A={\frac {1}{6}},B=-{\frac {1}{30}},C={\frac {1}{42}},D=-{\frac {1}{30}}.}$ De Ars Conjectandi de Jacob Bernoulli , 1713 [ a ] [ 13 ]

Los números de Bernoulli OEIS : A164555  (n)/ OEIS : A027642  (n) fueron introducidos por Jacob Bernoulli en el libro Ars Conjectandi , publicado póstumamente en 1713. ^{[ 13 ]} La fórmula principal se puede ver en la segunda mitad del facsímil correspondiente . Los coeficientes constantes denotados A , B , C y D por Bernoulli se asignan a la notación que ahora prevalece como A = B ₂ , B = B ₄ , C = B ₆ , D = B ₈ . La expresión c · c −1· c −2· c −3 significa c ·( c −1)·( c −2)·( c −3) – los puntos pequeños se usan como símbolos de agrupación. Usando la terminología actual, estas expresiones son potencias factoriales descendentes c ^k . La notación factorial k ! El uso de ∫ como abreviatura de 1 × 2 × ... × k fue introducido mucho más tarde, en 1808, por Christian Kramp . El símbolo integral ∫ en el lado izquierdo se remonta a Gottfried Wilhelm Leibniz en 1675, quien lo utilizó como una letra S larga para "summa" (suma). ^{[ 14 ]} La letra n en el lado izquierdo no es un índice de sumatoria, sino que indica el límite superior del rango de sumatoria, que debe entenderse como 1, 2, ..., n . En resumen, para c positivo , hoy en día un matemático probablemente escribiría la fórmula de Bernoulli como:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{c}={\frac {n^{c+1}}{c+1}}+{\frac {1}{2}}n^{c}+\sum _{k=2}^{c}{\frac {B_{k}}{k!}}c^{\underline {k-1}}n^{c-k+1}.}$

Esta fórmula sugiere establecer B ₁ = 1 / 2 al cambiar de la llamada enumeración "arcaica", que usa solo los índices pares 2, 4, 6... a la forma moderna. Lo más llamativo en este contexto es el hecho de que el factorial descendente c k ^{−1 tiene} para k = 0 el valor 1 / c + 1. [ ^{15 ] Por lo tanto} , la fórmula de Bernoulli se puede escribir

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{c}=\sum _{k=0}^{c}{\frac {B_{k}}{k!}}c^{\underline {k-1}}n^{c-k+1}}$

si B ₁ = 1/2 , recuperando el valor que Bernoulli le dio al coeficiente en esa posición.

La fórmula para${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{n}k^{9}}$En la página 97 del Ars Conjectandi de Bernoulli hay un error en el último término; debería ser${\displaystyle -{\tfrac {3}{20}}n^{2}}$en lugar de${\displaystyle -{\tfrac {1}{12}}n^{2}}$.

Los números de Bernoulli obedecen las fórmulas de suma ^{[ 1 ].}

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{-{}}&=\delta _{m,0}\\\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{+{}}&=m+1\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle m=0,1,2...}$y δ denota la delta de Kronecker .

La primera de ellas a veces se escribe ^{[ 16 ]} como la fórmula (para m > 1) $${\displaystyle (B+1)^{m}-B_{m}=0,}$$ donde la potencia se expande formalmente utilizando el teorema del binomio y${\displaystyle B^{k}}$es reemplazado por${\displaystyle B_{k}}$.

Resolver para${\displaystyle B_{m}^{\mp {}}}$proporciona las fórmulas recursivas ^{[ 17 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{m}^{-{}}&=\delta _{m,0}-\sum _{k=0}^{m-1}{\binom {m}{k}}{\frac {B_{k}^{-{}}}{m-k+1}}\\B_{m}^{+}&=1-\sum _{k=0}^{m-1}{\binom {m}{k}}{\frac {B_{k}^{+}}{m-k+1}}.\end{aligned}}}$

En 1893, Louis Saalschütz enumeró un total de 38 fórmulas explícitas para los números de Bernoulli, ^{[ 18 ]} generalmente dando alguna referencia en la literatura anterior. Una de ellas es (para${\displaystyle m\geq 1}$):

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{m}^{-}&=\sum _{k=0}^{m}{\frac {1}{k+1}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}(-1)^{j}j^{m}\\B_{m}^{+}&=\sum _{k=0}^{m}{\frac {1}{k+1}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}(-1)^{j}(j+1)^{m}.\end{aligned}}}$

Las funciones generadoras exponenciales son

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\frac {t}{e^{t}-1}}&={\frac {t}{2}}\left(\operatorname {coth} {\frac {t}{2}}-1\right)&&=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {B_{m}^{-{}}t^{m}}{m!}}\\{\frac {te^{t}}{e^{t}-1}}={\frac {t}{1-e^{-t}}}&={\frac {t}{2}}\left(\operatorname {coth} {\frac {t}{2}}+1\right)&&=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {B_{m}^{+}t^{m}}{m!}}.\end{alignedat}}}$

donde la sustitución es${\displaystyle t\to -t}$. La diferencia aritmética entre las funciones generadoras para${\displaystyle B_{m}^{+}}$y${\displaystyle B_{m}^{-}}$es t .

La función generadora (ordinaria)

${\displaystyle z^{-1}\psi _{1}(z^{-1})=\sum _{m=0}^{\infty }B_{m}^{+}z^{m}}$

es una serie asintótica . Contiene la función trigamma ψ ₁ .

A partir de las funciones generadoras anteriores, se puede obtener la siguiente fórmula integral para los números de Bernoulli pares:

${\displaystyle B_{2n}=4n(-1)^{n+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{2n-1}}{e^{2\pi t}-1}}\mathrm {d} t}$

Podría decirse que la aplicación más importante de los números de Bernoulli en matemáticas es su uso en la fórmula de Euler-Maclaurin . Suponiendo que f es una función suficientemente diferenciable, la fórmula de Euler-Maclaurin se puede escribir como ^{[ 29 ].}

${\displaystyle \sum _{k=a}^{b-1}f(k)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}^{-}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_{-}(f,m).}$

Esta formulación asume la convención B ⁻ ₁ = − ⁠ 1 / 2 ⁠ . Usando la convención B ⁺ ₁ = + ⁠ 1 / 2 ⁠ la fórmula se convierte en

${\displaystyle \sum _{k=a+1}^{b}f(k)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}^{+}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_{+}(f,m).}$

Aquí${\displaystyle f^{(0)}=f}$(es decir, la derivada de orden cero de${\displaystyle f}$es solo${\displaystyle f}$). Además, dejemos${\displaystyle f^{(-1)}}$denota una antiderivada de${\displaystyle f}$. Por el teorema fundamental del cálculo ,

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=f^{(-1)}(b)-f^{(-1)}(a).}$

Así, la última fórmula se puede simplificar aún más a la siguiente forma concisa de la fórmula de Euler-Maclaurina.

${\displaystyle \sum _{k=a+1}^{b}f(k)=\sum _{k=0}^{m}{\frac {B_{k}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R(f,m).}$

Esta forma es, por ejemplo, la fuente de la importante expansión de Euler-Maclaurin de la función zeta.

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (s)&=\sum _{k=0}^{m}{\frac {B_{k}^{+}}{k!}}s^{\overline {k-1}}+R(s,m)\\&={\frac {B_{0}}{0!}}s^{\overline {-1}}+{\frac {B_{1}^{+}}{1!}}s^{\overline {0}}+{\frac {B_{2}}{2!}}s^{\overline {1}}+\cdots +R(s,m)\\&={\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{12}}s+\cdots +R(s,m).\end{aligned}}}$

Aquí s ^k denota la potencia factorial creciente . ^{[ 30 ]}

Los números de Bernoulli también se utilizan con frecuencia en otros tipos de expansiones asintóticas . El siguiente ejemplo es la expansión asintótica clásica de tipo Poincaré de la función digamma ψ .

${\displaystyle \psi (z)\sim \ln z-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}^{+}}{kz^{k}}}}$

Los números de Bernoulli ocupan un lugar destacado en la expresión en forma cerrada de la suma de las m -ésimas potencias de los primeros n enteros positivos. Para m , n ≥ 0 , definimos

${\displaystyle S_{m}(n)=\sum _{k=1}^{n}k^{m}=1^{m}+2^{m}+\cdots +n^{m}.}$

Esta expresión siempre se puede reescribir como un polinomio en n de grado m + 1. Los coeficientes de estos polinomios están relacionados con los números de Bernoulli mediante la fórmula de Bernoulli :

${\displaystyle S_{m}(n)={\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{+}n^{m+1-k}=m!\sum _{k=0}^{m}{\frac {B_{k}^{+}n^{m+1-k}}{k!(m+1-k)!}},}$

donde ( ^{m + 1} _k ) denota el coeficiente binomial .

Por ejemplo, tomando m igual a 1 se obtienen los números triangulares 0, 1, 3, 6, ... OEIS : A000217  .

${\displaystyle 1+2+\cdots +n={\frac {1}{2}}(B_{0}n^{2}+2B_{1}^{+}n^{1})={\tfrac {1}{2}}(n^{2}+n).}$

Tomando m igual a 2 se obtienen los números piramidales cuadrados 0, 1, 5, 14, ... OEIS : A000330  .

${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+\cdots +n^{2}={\frac {1}{3}}(B_{0}n^{3}+3B_{1}^{+}n^{2}+3B_{2}n^{1})={\tfrac {1}{3}}\left(n^{3}+{\tfrac {3}{2}}n^{2}+{\tfrac {1}{2}}n\right).}$

Algunos autores utilizan la convención alternativa para los números de Bernoulli y enuncian la fórmula de Bernoulli de esta manera:

${\displaystyle S_{m}(n)={\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{-{}}n^{m+1-k}.}$

La fórmula de Bernoulli a veces se denomina fórmula de Faulhaber, en honor a Johann Faulhaber, quien también encontró formas notables de calcular sumas de potencias .

La fórmula de Faulhaber fue generalizada por V. Guo y J. Zeng a un q -análogo . ^{[ 31 ]}

Los números de Bernoulli aparecen en el desarrollo en serie de Taylor de muchas funciones trigonométricas e hiperbólicas .

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tan x&={\hphantom {1 \over x}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}\;x^{2n-1},&&\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}.\\\cot x&={1 \over x}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}B_{2n}(2x)^{2n}}{(2n)!}},&0<&|x|<\pi .\\\tanh x&={\hphantom {1 \over x}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}\;x^{2n-1},&&|x|<{\frac {\pi }{2}}.\\\coth x&={1 \over x}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{2n}(2x)^{2n}}{(2n)!}},&0<&|x|<\pi .\end{aligned}}}$$

Los números de Bernoulli aparecen en la siguiente serie de Laurent : ^{[ 32 ]}

Función Digamma :${\displaystyle \psi (z)=\ln z-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}^{+{}}}{kz^{k}}}}$

La fórmula de Kervaire-Milnor para el orden del grupo cíclico de clases de difeomorfismos de (4 n − 1) -esferas exóticas que delimitan variedades paralelizable involucra números de Bernoulli. Sea ES _n el número de tales esferas exóticas para n ≥ 2 , entonces

${\displaystyle {\textit {ES}}_{n}=(2^{2n-2}-2^{4n-3})\operatorname {Numerator} \left({\frac {B_{4n}}{4n}}\right).}$

El teorema de la signatura de Hirzebruch para el género L de una variedad cerrada orientada y lisa de dimensión 4 n también involucra números de Bernoulli.

La definición que se utilizará fue desarrollada por Julius Worpitzky en 1883. Además de la aritmética elemental, solo se emplean la función factorial n ! y la función potencia k ^{m . Los números de Worpitzky sin signo se definen como}

${\displaystyle W_{n,k}=\sum _{v=0}^{k}(-1)^{v+k}(v+1)^{n}{k \choose v}\ .}$

También pueden expresarse mediante los números de Stirling de segunda especie.

${\displaystyle W_{n,k}=k!\left\{{n+1 \atop k+1}\right\}.}$

A continuación , se introduce un número de Bernoulli como una suma de inclusión-exclusión de números de Worpitzky ponderados por la secuencia armónica 1 , 1/2 , 1/3 , ...   

${\displaystyle B_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {W_{n,k}}{k+1}}\ =\ \sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k+1}}\sum _{v=0}^{k}(-1)^{v}(v+1)^{n}{k \choose v}\ .}$

B ₀ = 1

B ₁ = 1 − 1 / 2

B ₂ = 1 − ⁠ 3 / 2 ⁠ + ⁠ 2 / 3 ⁠

B ₃ = 1 − ⁠ 7 / 2 ⁠ + ⁠ 12 / 3 ⁠ − ⁠ 6 / 4 ⁠

B ₄ = 1 − ⁠ 15 / 2 ⁠ + ⁠ 50 / 3 ⁠ − ⁠ 60 / 4 ⁠ + ⁠ 24 / 5 ⁠

B ₅ = 1 − ⁠ 31 / 2 ⁠ + ⁠ 180 / 3 ⁠ − ⁠ 390 / 4 ⁠ + ⁠ 360 / 5 ⁠ − ⁠ 120 / 6 ⁠

B ₆ = 1 − ⁠ 63 / 2 ⁠ + ⁠ 602 / 3 ⁠ − ⁠ 2100 / 4 ⁠ + ⁠ 3360 / 5 ⁠ − ⁠ 2520 / 6 ⁠ + ⁠ 720 / 7 ⁠

Esta representación tiene B ⁺ ₁ = + ⁠ 1 / 2 ⁠ .

Consideremos la secuencia s _n , n ≥ 0 . A partir de los números de Worpitzky OEIS : A028246  , OEIS : A163626  aplicados a s ₀ , s ₀ , s ₁ , s ₀ , s ₁ , s ₂ , s ₀ , s ₁ , s ₂ , s ₃ , ... es idéntico a la transformada de Akiyama-Tanigawa aplicada a s _n (véase Conexión con los números de Stirling de primera especie ). Esto se puede ver en la tabla:

La primera fila representa s ₀ , s ₁ , s ₂ , s ₃ , s ₄ .

Por lo tanto, para los segundos números fraccionarios de Euler OEIS : A198631  ( n ) / OEIS : A006519  ( n + 1 ):

E ₀ = 1

E ₁ = 1 − 1 / 2

mi ₂ = 1 − ⁠ 3 / 2 ⁠ + ⁠ 2 / 4 ⁠

mi ₃ = 1 − ⁠ 7 / 2 ⁠ + ⁠ 12 / 4 ⁠ − ⁠ 6 / 8 ⁠

mi ₄ = 1 − ⁠ 15 / 2 ⁠ + ⁠ 50 / 4 ⁠ − ⁠ 60 / 8 ⁠ + ⁠ 24 / 16 ⁠

mi ₅ = 1 − ⁠ 31 / 2 ⁠ + ⁠ 180 / 4 ⁠ − ⁠ 390 / 8 ⁠ + ⁠ 360 / 16 ⁠ − ⁠ 120 / 32 ⁠

mi ₆ = 1 − ⁠ 63 / 2 ⁠ + ⁠ 602 / 4 ⁠ − ⁠ 2100 / 8 ⁠ + ⁠ 3360 / 16 ⁠ − ⁠ 2520 / 32 ⁠ + ⁠ 720 / 64 ⁠

Una segunda fórmula que representa los números de Bernoulli mediante los números de Worpitzky es para n ≥ 1

${\displaystyle B_{n}={\frac {n}{2^{n+1}-2}}\sum _{k=0}^{n-1}(-2)^{-k}\,W_{n-1,k}.}$

La segunda representación simplificada de Worpitzky de los segundos números de Bernoulli es:

OEIS : A164555  ( n + 1 ) / OEIS : A027642  ( n + 1 ) = ⁠ n + 1 / 2 ^{n + 2} − 2 ⁠ × OEIS : A198631 ( n ) / OEIS : A006519 ( n + 1 )  

que vincula los segundos números de Bernoulli con los segundos números fraccionarios de Euler. El comienzo es:

1/2 , 1/6 , 0 , -1/30 ,0 , 1/42 , ... = ( 1/2 , 1/3 , 3/14 , 2/15 , 5/62 , 1/21 , ... ) × ( 1 , 1/2 , 0 , -1/4 , 0 , 1/2 , ... )​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​

Los numeradores del primer paréntesis son OEIS : A111701  (véase Conexión con los números Stirling de primera clase ).

Los números de Stirling de segundo tipo , S ( k , m ) , tienen la propiedad de que ^{[ 33 ]} :

${\displaystyle x^{k}=\sum _{m=0}^{k}{x^{\underline {m}}}S(k,m)}$

donde x ^m denota la función factorial descendente .

Los polinomios de Bernoulli B _k ( x ) se pueden escribir como: ^{[ 34 ]}

${\displaystyle B_{k}(x)=k\sum _{m=0}^{k-1}{\binom {x}{m+1}}S(k-1,m)m!+B_{k}}$

donde B _k para k = 0, 1, 2,... son los números de Bernoulli.

La siguiente propiedad del coeficiente binomial :

${\displaystyle {\binom {x}{m}}={\binom {x+1}{m+1}}-{\binom {x}{m+1}}}$

esto implica que

${\displaystyle x^{k}={\frac {B_{k+1}(x+1)-B_{k+1}(x)}{k+1}}.}$

También se tiene lo siguiente para los polinomios de Bernoulli, ^{[ 34 ]}

${\displaystyle B_{k}(x)=\sum _{n=0}^{k}{\binom {k}{n}}B_{n}x^{k-n}.}$

El coeficiente de x en ( ^x _{m + 1} ) es ⁠ (−1) ^m / m + 1 ⁠ .

El coeficiente de x en la primera expresión para${\displaystyle B_{k}(x)}$es${\displaystyle k\sum _{m=0}^{k-1}{\frac {(-1)^{m}}{m+1}}S(k-1,m)m!}$mientras que en la segunda expresión es${\displaystyle kB_{k-1}.}$Reemplazar${\displaystyle k-1}$por${\displaystyle k}$Esto produce:

${\displaystyle B_{k}=\sum _{m=0}^{k}(-1)^{m}{\frac {m!}{m+1}}S(k,m)}$

(resultando en B ₁ = + ⁠ 1 / 2 ⁠ ) que es una fórmula explícita para los números de Bernoulli y puede usarse para demostrar el teorema de Von-Staudt Clausen . ^{[ 35 ] [ 36 ] [ 37 ]}

Las dos fórmulas principales que relacionan los números de Stirling sin signo de primera especie [ ⁿ _m ] con los números de Bernoulli (con B ₁ = + ⁠ 1 / 2 ⁠ ) son

${\displaystyle {\frac {1}{m!}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}\left[{m+1 \atop k+1}\right]B_{k}={\frac {1}{m+1}},}$

y la inversión de esta suma (para n ≥ 0 , m ≥ 0 )

${\displaystyle {\frac {1}{m!}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}\left[{m+1 \atop k+1}\right]B_{n+k}=A_{n,m}.}$

Aquí, los números A _{n , m} son los números racionales de Akiyama-Tanigawa, los primeros de los cuales se muestran en la siguiente tabla.

Los números de Akiyama-Tanigawa satisfacen una relación de recurrencia simple que puede utilizarse para calcular iterativamente los números de Bernoulli. Véase OEIS : A051714  / OEIS : A051715  .

Una autosecuencia es una secuencia cuya transformada binomial inversa es igual a la secuencia con signo. Si la diagonal principal es ceros = OEIS : A000004  , la autosecuencia es de primera especie. Ejemplo: OEIS : A000045  , los números de Fibonacci. Si la diagonal principal es la primera diagonal superior multiplicada por 2, es de segunda especie. Ejemplo: OEIS : A164555  / OEIS : A027642  , los segundos números de Bernoulli (véase OEIS : A190339  ). La transformada de Akiyama-Tanigawa aplicada a 2 ^{− n} = 1/ OEIS : A000079  conduce a OEIS : A198631  ( n ) / OEIS : A06519  ( n + 1). Por lo tanto:

Consulte OEIS : A209308  y OEIS : A227577  . OEIS : A198631  ( n ) / OEIS : A006519  ( n + 1 ) son los segundos números de Euler (fraccionales) y una autosecuencia de segundo tipo.

( ⁠ OEIS : A164555 ( n + 2 ) / OEIS : A027642 ( n + 2 ) ⁠ = ⁠ 1 / 6 ⁠ , 0, − ⁠ 1 / 30 ⁠ , 0, ⁠ 1 / 42 ⁠ , ... ) × ( ⁠ 2 ^{n + 3} − 2 / n + 2 ⁠ = 3, ⁠ 14 / 3 ⁠ , ⁠ 15 / 2 ⁠ , ⁠ 62 / 5 ⁠ , 21, ... ) = ⁠ OEIS : A198631 ( n + 1 ) / OEIS : A006519 ( n + 2 ) ⁠ = ⁠ 1 / 2 ⁠ , 0, − ⁠ 1 / 4 ⁠ , 0, ⁠ 1 / 2 ⁠ , ... .    

También valioso para OEIS : A027641  / OEIS : A027642  (ver Conexión con los números de Worpitzky ).

Hay fórmulas que conectan el triángulo de Pascal con los números de Bernoulli ^{[ b ].}

${\displaystyle B_{n}^{+}={\frac {|A_{n}|}{(n+1)!}}~~~}$con definiciones de filas y columnas${\displaystyle [A_{n}]_{i,k}:={\begin{cases}0&{\text{if }}k>1+i\\{i+1 \choose k-1}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

dónde${\displaystyle |A_{n}|}$es el determinante de una matriz de Hessenberg de n x n que forma parte del triángulo de Pascal.

Ejemplo:

${\displaystyle B_{6}^{+}={\frac {\begin{vmatrix}1&2&0&0&0&0\\1&3&3&0&0&0\\1&4&6&4&0&0\\1&5&10&10&5&0\\1&6&15&20&15&6\\1&7&21&35&35&21\end{vmatrix}}{7!}}={\frac {120}{5040}}={\frac {1}{42}}}$^{[ 38 ]}