Armónicos esféricos

{\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta,\varphi)} — Representaciones visuales de los primeros armónicos esféricos reales. Las porciones azules representan regiones donde la función es positiva, y las porciones amarillas representan donde es negativa. La distancia de la superficie al origen indica el valor absoluto de $Y_{\ell }^{m}(\theta,\varphi)$ en dirección angular $(\theta,\varphi)$ .

En matemáticas y física , los armónicos esféricos son funciones especiales definidas en la superficie de una esfera . Se utilizan frecuentemente para resolver ecuaciones diferenciales parciales en diversos campos científicos. La tabla de armónicos esféricos contiene una lista de los armónicos esféricos más comunes.

Dado que los armónicos esféricos forman un conjunto completo de funciones ortogonales y, por lo tanto, una base ortonormal , ciertas funciones definidas en la superficie de una esfera pueden escribirse como una suma de estos armónicos esféricos. Esto es similar a las funciones periódicas definidas en un círculo, que pueden expresarse como una suma de funciones circulares (senos y cosenos) mediante series de Fourier . Al igual que los senos y cosenos en las series de Fourier, los armónicos esféricos pueden organizarse por frecuencia angular (espacial) , como se observa en las filas de funciones de la ilustración de la derecha. Además, los armónicos esféricos son funciones base para representaciones irreducibles de SO(3) , el grupo de rotaciones en tres dimensiones, y, por lo tanto, desempeñan un papel central en el análisis teórico de grupos de SO(3).

Los armónicos esféricos se originan al resolver la ecuación de Laplace en dominios esféricos. Las funciones que son soluciones de la ecuación de Laplace se llaman armónicos . A pesar de su nombre, los armónicos esféricos toman su forma más simple en coordenadas cartesianas , donde se pueden definir como polinomios homogéneos de grado $\ell$ en $(x,y,z)$ que obedecen la ecuación de Laplace. La conexión con las coordenadas esféricas surge inmediatamente si se utiliza la homogeneidad para extraer un factor de dependencia radial. $r^{\ell }$ del polinomio de grado mencionado anteriormente $\ell$ ; el factor restante puede considerarse como una función de las coordenadas angulares esféricas. $\theta$ y $\varphi$ solamente, o equivalentemente del vector unitario de orientación $\mathbf {r}$ especificados por estos ángulos. En este contexto, pueden verse como la porción angular de un conjunto de soluciones a la ecuación de Laplace en tres dimensiones, y este punto de vista se suele tomar como una definición alternativa. Sin embargo, observe que los armónicos esféricos no son funciones en la esfera que sean armónicas con respecto al operador de Laplace-Beltrami para la métrica redonda estándar en la esfera: las únicas funciones armónicas en este sentido en la esfera son las constantes, ya que las funciones armónicas satisfacen el principio del máximo . Los armónicos esféricos, como funciones en la esfera, son autofunciones del operador de Laplace-Beltrami (véase Dimensiones superiores ).

Un conjunto específico de armónicos esféricos, denotado $Y_{\ell }^{m}(\theta,\varphi)$ o $Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} })$ , se conocen como armónicos esféricos de Laplace, ya que fueron introducidos por primera vez por Pierre Simon de Laplace en 1782. ^{[ 1 ]} Estas funciones forman un sistema ortogonal y, por lo tanto, son fundamentales para la expansión de una función general en la esfera como se mencionó anteriormente.

Los armónicos esféricos son importantes en numerosas aplicaciones teóricas y prácticas, incluyendo la representación de campos electrostáticos y electromagnéticos multipolares , configuraciones electrónicas , campos gravitatorios , geoides , campos magnéticos de cuerpos planetarios y estrellas, y la radiación cósmica de fondo de microondas . En gráficos 3D por computadora , los armónicos esféricos desempeñan un papel fundamental en una amplia variedad de temas, incluyendo la iluminación indirecta ( oclusión ambiental , iluminación global , transferencia de radiancia precalculada , etc.) y el modelado de formas 3D.

Historia

Los armónicos esféricos se investigaron por primera vez en relación con el potencial newtoniano de la ley de gravitación universal de Newton en tres dimensiones. En 1782, Pierre-Simon de Laplace había determinado , en su obra Mécanique Céleste , que el potencial gravitatorio $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ en un punto $x$ asociado con un conjunto de masas puntuales $m i$ ubicadas en los puntos $x i$ fue dado por

$V(\mathbf {x} )=\sum _{i}{\frac {m_{i}}{|\mathbf {x} _{i}-\mathbf {x} |}}.$

Cada término de la suma anterior es un potencial newtoniano individual para una masa puntual. Justo antes de eso, Adrien-Marie Legendre había investigado la expansión del potencial newtoniano en potencias de $r = | x |$ y $r 1 = | x 1 |$ . Descubrió que si $r \leq r 1$ entonces

${\frac {1}{|\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} |}}=P_{0}(\cos \gamma ){\frac {1}{r_{1}}}+P_{1}(\cos \gamma ){\frac {r}{r_{1}^{2}}}+P_{2}(\cos \gamma ){\frac {r^{2}}{r_{1}^{3}}}+\cdots$

donde $γ$ es el ángulo entre los vectores $x$ y $x 1$ . Las funciones $P_{i}:[-1,1]\to \mathbb {R}$ Los polinomios de Legendre se pueden derivar como un caso especial de armónicos esféricos. Posteriormente, en sus memorias de 1782, Laplace investigó estos coeficientes utilizando coordenadas esféricas para representar el ángulo $γ$ entre $x₁$ y $x₂$ $.$ (Véase Polinomios de Legendre § Aplicaciones para más detalles).

En 1867, William Thomson (Lord Kelvin) y Peter Guthrie Tait introdujeron los armónicos esféricos sólidos en su Tratado de Filosofía Natural , y también fueron los primeros en utilizar el término "armónicos esféricos" para referirse a estas funciones. Los armónicos sólidos eran soluciones polinómicas homogéneas . $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ de la ecuación de Laplace ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=0.$ Al examinar la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas, Thomson y Tait recuperaron los armónicos esféricos de Laplace. (Véase Representación polinómica armónica ). William Whewell empleó el término «coeficientes de Laplace» para describir el sistema particular de soluciones introducido en este sentido, mientras que otros reservaron esta denominación para los armónicos esféricos zonales que Laplace y Legendre habían introducido propiamente.

El desarrollo de las series de Fourier en el siglo XIX posibilitó la solución de una amplia variedad de problemas físicos en dominios rectangulares, como la ecuación del calor y la ecuación de onda . Esto se lograba mediante la expansión de funciones en series trigonométricas . Mientras que las funciones trigonométricas en una serie de Fourier representan los modos fundamentales de vibración de una cuerda , los armónicos esféricos representan los modos fundamentales de vibración de una esfera de manera similar. Muchos aspectos de la teoría de las series de Fourier podían generalizarse mediante expansiones en armónicos esféricos en lugar de funciones trigonométricas. Además, de forma análoga a como las funciones trigonométricas pueden escribirse como exponenciales complejas , los armónicos esféricos también poseían una forma equivalente como funciones de valor complejo. Esto resultó muy útil para problemas con simetría esférica , como los de mecánica celeste estudiados originalmente por Laplace y Legendre.

La prevalencia de los armónicos esféricos ya en la física preparó el terreno para su posterior importancia en el nacimiento de la mecánica cuántica en el siglo XX . Los armónicos esféricos (de valor complejo) $S^{2}\to \mathbb {C}$ son autofunciones del cuadrado del operador de momento angular orbital $-i\hbar \mathbf {r} \times \nabla ,$ y por lo tanto representan las diferentes configuraciones cuantizadas de los orbitales atómicos .

Armónicos esféricos de Laplace

{\displaystyle Y_{\ell m}} — Armónicos esféricos reales (de Laplace) $Y_{\ell m}$ para $\ell =0,\dots ,4$ (de arriba a abajo) y $m=0,\dots ,\ell$ (de izquierda a derecha). Los armónicos zonales, sectoriales y teserales se representan a lo largo de la columna más a la izquierda, la diagonal principal y en otros lugares, respectivamente. (Los armónicos de orden negativo $Y_{\ell (-m)}$ se mostraría rotado alrededor del eje *z por* $90^{\circ }/m$ con respecto a los de orden positivo.). Se agregó rotación para una mejor visualización del armónico.

Imagen alternativa para los armónicos esféricos reales $Y_{\ell m}$ .

La ecuación de Laplace impone que el laplaciano de un campo escalar $f$ sea cero. (Aquí se entiende que el campo escalar es complejo, es decir, que corresponde a una función (suave) $f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$ .) En coordenadas esféricas esto es: ^{[ 2 ]}

$\nabla ^{2}f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}=0.$

Consideremos el problema de encontrar soluciones de la forma $f (r, θ, φ) = R (r) Y (θ, φ)$ . Mediante la separación de variables , se obtienen dos ecuaciones diferenciales al imponer la ecuación de Laplace: ${\frac {1}{R}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dR}{dr}}\right)=\lambda ,\qquad {\frac {1}{Y}}{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial Y}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{Y}}{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial \varphi ^{2}}}=-\lambda .$ La segunda ecuación se puede simplificar bajo la suposición de que $Y$ tiene la forma $Y (θ, φ) = Θ(θ) Φ(φ)$ . Aplicando nuevamente la separación de variables a la segunda ecuación se obtiene el par de ecuaciones diferenciales.

${\frac {1}{\Phi }}{\frac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}}=-m^{2}$ $\lambda \sin ^{2}\theta +{\frac {\sin \theta }{\Theta }}{\frac {d}{d\theta }}\left(\sin \theta {\frac {d\Theta }{d\theta }}\right)=m^{2}$

para algún número $m$ . A priori , $m$ es una constante compleja, pero como $Φ$ debe ser una función periódica cuyo período divide exactamente $a$ $2π$ , $m$ es necesariamente un entero y $Φ$ es una combinación lineal de las exponenciales complejas $e \pm imφ$ . La función solución $Y (θ, φ)$ es regular en los polos de la esfera, donde $θ = 0, π$ . Imponer esta regularidad en la solución $Θ$ de la segunda ecuación en los puntos límite del dominio es un problema de Sturm-Liouville que obliga al parámetro $λ$ a ser de la forma $λ = ℓ (ℓ + 1)$ para algún entero no negativo con $ℓ \geq | m |$ ; esto también se explica más adelante en términos del momento angular orbital . Además, un cambio de variables $t = cos θ$ transforma esta ecuación en la ecuación de Legendre , cuya solución es un múltiplo del polinomio de Legendre asociado $P m ℓ (cos θ)$ . Finalmente, la ecuación para $R$ tiene soluciones de la forma $R (r) = A r ℓ + B r - ℓ - 1$ ; requiriendo que la solución sea regular en todo $R 3$ fuerzas $B = 0$ . ^{[ 3 ]}

Aquí se asumió que la solución tenía la forma especial $Y (θ, φ) = Θ(θ) Φ(φ)$ . Para un valor dado de $ℓ$ , hay $2 ℓ + 1$ soluciones independientes de esta forma, una para cada entero $m$ con $- ℓ \leq m \leq ℓ$ . Estas soluciones angulares $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ son un producto de funciones trigonométricas , aquí representadas como una exponencial compleja , y polinomios de Legendre asociados:

$Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=Ne^{im\varphi }P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })$

que cumplen $r^{2}\nabla ^{2}Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=-\ell (\ell +1)Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ).$

Aquí $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ se denomina función armónica esférica de grado $ℓ$ y orden $m$ , $P_{\ell }^{m}:[-1,1]\to \mathbb {R}$ es un polinomio de Legendre asociado , $N$ es una constante de normalización, ^{[ 4 ]} y $θ$ y $φ$ representan la colatitud y la longitud, respectivamente. En particular, la colatitud $θ$ , o ángulo polar, varía de $0$ en el Polo Norte, a $π /2$ en el Ecuador, a $π$ en el Polo Sur, y la longitud $φ$ , o acimut , puede asumir todos los valores con $0 \leq φ < 2π .$ Para un entero fijo $ℓ$ , cada solución $Y (θ, φ)$ , $Y:S^{2}\to \mathbb {C}$ del problema de valores propios $r^{2}\nabla ^{2}Y=-\ell (\ell +1)Y$ es una combinación lineal de $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ . De hecho, para cualquier solución de este tipo, $r ℓ Y (θ, φ)$ es la expresión en coordenadas esféricas de un polinomio homogéneo $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$ que es armónico (ver más abajo ), y por lo tanto, al contar las dimensiones se muestra que hay $2 ℓ + 1$ polinomios linealmente independientes de este tipo.

La solución general $f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$ a la ecuación de Laplace $\Delta f=0$ en una bola centrada en el origen es una combinación lineal de las funciones armónicas esféricas multiplicadas por el factor de escala apropiado $r ℓ$ ,

$f(r,\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell }^{m}r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ),$

donde el $f_{\ell }^{m}\in \mathbb {C}$ son constantes y los factores $r ℓ Y ℓ m$ se conocen como armónicos sólidos ( regulares ) $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$ . Dicha expansión es válida en la bola

$r<R={\frac {1}{\limsup _{\ell \to \infty }|f_{\ell }^{m}|^{{1}/{\ell }}}}.$

Para $r>R$ , los armónicos sólidos con potencias negativas de $r$ (los armónicos sólidos irregulares) $\mathbb {R} ^{3}\setminus \{\mathbf {0} \}\to \mathbb {C}$ ) se eligen en su lugar. En ese caso, es necesario ampliar la solución de regiones conocidas en la serie de Laurent (aproximadamente $r=\infty$ ), en lugar de la serie Taylor (sobre $r=0$ ) utilizado anteriormente, para hacer coincidir los términos y hallar los coeficientes de expansión en serie $f_{\ell }^{m}\in \mathbb {C}$ .

Momento angular orbital

En mecánica cuántica, los armónicos esféricos de Laplace se entienden en términos del momento angular orbital ^{[ 5 ].} $\mathbf {L} =-i\hbar (\mathbf {x} \times \mathbf {\nabla } )=L_{x}\mathbf {i} +L_{y}\mathbf {j} +L_{z}\mathbf {k} .$ La $ħ$ es convencional en mecánica cuántica; resulta conveniente trabajar en unidades donde $ħ = 1.$ Los armónicos esféricos son autofunciones del cuadrado del momento angular orbital. ${\begin{aligned}\mathbf {L} ^{2}&=-r^{2}\nabla ^{2}+\left(r{\frac {\partial }{\partial r}}+1\right)r{\frac {\partial }{\partial r}}\\&=-{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}-{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}.\end{aligned}}$ Los armónicos esféricos de Laplace son las funciones propias conjuntas del cuadrado del momento angular orbital y del generador de rotaciones alrededor del eje azimutal: ${\begin{aligned}L_{z}&=-i\left(x{\frac {\partial }{\partial y}}-y{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\\&=-i{\frac {\partial }{\partial \varphi }}.\end{aligned}}$

Estos operadores conmutan y son operadores autoadjuntos densamente definidos en el espacio de Hilbert ponderado de funciones f de cuadrado integrable con respecto a la distribución normal como la función de peso en R ³ : ${\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{3}}|f(x)|^{2}e^{-|x|^{2}/2}\,dx<\infty .$ Además, L ² es un operador positivo .

Si $Y$ es una autofunción conjunta de $L 2$ y $L z$ , entonces por definición ${\begin{aligned}\mathbf {L} ^{2}Y&=\lambda Y\\L_{z}Y&=mY\end{aligned}}$ para algunos números reales m y λ . Aquí m debe ser de hecho un entero, ya que Y debe ser periódica en la coordenada φ con un período que divide exactamente a 2π . Además, dado que $\mathbf {L} ^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}$ y cada uno de L _x , L _y , L _z son autoadjuntos, por lo que se deduce que $λ \geq m 2$ .

Denotemos este espacio propio conjunto por $E λ, m$ , y definamos los operadores de creación y aniquilación por ${\begin{aligned}L_{+}&=L_{x}+iL_{y}\\L_{-}&=L_{x}-iL_{y}\end{aligned}}$ Entonces $L +$ y $L -$ conmutan con $L 2$ , y el álgebra de Lie generada por $L +$ , $L -$ , $L z$ es el álgebra de Lie lineal especial de orden 2, ${\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {C} )$ , con relaciones de conmutación $[L_{z},L_{+}]=L_{+},\quad [L_{z},L_{-}]=-L_{-},\quad [L_{+},L_{-}]=2L_{z}.$ Así, $L + : E λ, m \to E λ, m +1$ (es un "operador de elevación") y $L - : E λ, m \to E λ, m -1$ (es un "operador de descenso"). En particular, $L k + : E λ, m \to E λ, m + k$ debe ser cero para k suficientemente grande, porque la desigualdad $λ \geq m 2$ debe cumplirse en cada uno de los autoespacios conjuntos no triviales. Sea $Y \in E λ, m$ una autofunción conjunta no nula, y sea $k$ el menor entero tal que $L_{+}^{k}Y=0.$ Entonces, dado que $L_{-}L_{+}=\mathbf {L} ^{2}-L_{z}^{2}-L_{z}$ resulta que $0=L_{-}L_{+}^{k}Y=(\lambda -(m+k)^{2}-(m+k))Y.$ Por lo tanto, $λ = ℓ (ℓ + 1)$ para el entero positivo $ℓ = m + k$ .

Todo lo anterior se ha desarrollado en la representación de coordenadas esféricas, $\langle \theta ,\varphi |lm\rangle =Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )$ pero puede expresarse de forma más abstracta en la base completa y ortonormal de kets esféricos .

Representación polinómica armónica

Los armónicos esféricos pueden expresarse como la restricción a la esfera unitaria de ciertas funciones polinómicas. $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$ . Específicamente, decimos que una función polinómica (de valores complejos) $p:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$ es homogéneo de grado $\ell$ si $p(\lambda \mathbf {x} )=\lambda ^{\ell }p(\mathbf {x} )$ para todos los números reales $\lambda \in \mathbb {R}$ y todo $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3}$ Decimos que $p$ es armónico si $\Delta p=0,$ dónde $\Delta$ es el laplaciano . Entonces, para cada $\ell$ , definimos $\mathbf {A} _{\ell }=\left\{{\text{harmonic polynomials }}\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} {\text{ that are homogeneous of degree }}\ell \right\}.$

Por ejemplo, cuando $\ell =1$ , $\mathbf {A} _{1}$ es simplemente el espacio tridimensional de todas las funciones lineales. $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$ , ya que cualquier función de este tipo es automáticamente armónica. Mientras tanto, cuando $\ell =2$ Tenemos un espacio de 5 dimensiones: $\mathbf {A} _{2}=\operatorname {span} _{\mathbb {C} }(x_{1}x_{2},\,x_{1}x_{3},\,x_{2}x_{3},\,x_{1}^{2}-x_{2}^{2},\,2x_{3}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}).$

Para cualquier $\ell$ , el espacio $\mathbf {H} _{\ell }$ de armónicos esféricos de grado $\ell$ es simplemente el espacio de restricciones a la esfera $S^{2}$ de los elementos de $\mathbf {A} _{\ell }$ . ^{[ 6 ]} Como se sugiere en la introducción, esta perspectiva es presumiblemente el origen del término "armónico esférico" (es decir, la restricción a la esfera de una función armónica ).

Por ejemplo, para cualquier $c\in \mathbb {C}$ la fórmula $p(x_{1},x_{2},x_{3})=c(x_{1}+ix_{2})^{\ell }$ define un polinomio homogéneo de grado $\ell$ con dominio y codominio $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$ , que resulta ser independiente de $x_{3}$ Este polinomio es fácilmente armónico. Si escribimos $p$ en coordenadas esféricas $(r,\theta ,\varphi )$ y luego restringir a $r=1$ , obtenemos $p(\theta ,\varphi )=c\sin(\theta )^{\ell }(\cos(\varphi )+i\sin(\varphi ))^{\ell },$ que puede reescribirse como $p(\theta ,\varphi )=c\left({\sqrt {1-\cos ^{2}(\theta )}}\right)^{\ell }e^{i\ell \varphi }.$ Después de utilizar la fórmula para el polinomio de Legendre asociado $P_{\ell }^{\ell }$ , podemos reconocer esto como la fórmula para el armónico esférico $Y_{\ell }^{\ell }(\theta ,\varphi ).$ ^{[ 7 ]} (VéaseCasos especiales.)

Convenciones

Fase de Condon-Shortley

Una fuente de confusión con la definición de las funciones armónicas esféricas se refiere a un factor de fase de $(-1)^{m}$ , comúnmente conocida como fase de Condon -Shortley en la literatura de mecánica cuántica. Este factor de fase puede incluirse tanto en la definición de los polinomios de Legendre asociados como en la definición de las funciones armónicas esféricas, pero no debe contarse dos veces. ^{[ 8 ]}

En esta sección, a menos que se indique lo contrario, $P_{\ell }^{m}$ denota la función de Legendre asociada con la fase de Condon-Shortley incluida, de modo que para $m>0$ $P_{\ell }^{m}(x)=(-1)^{m}(1-x^{2})^{m/2}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}P_{\ell }(x),$ y $P_{\ell }^{-m}=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}P_{\ell }^{m}.$ Esta es la convención utilizada, por ejemplo, por la Biblioteca Digital de Funciones Matemáticas del NIST y en muchas referencias matemáticas. ^{[ 9 ]}

Algunos autores definen en cambio funciones de Legendre asociadas sin este factor de fase. Si estas se denotan aquí por ${\widetilde {P}}_{\ell }^{m}$ , entonces ${\widetilde {P}}_{\ell }^{m}(x)=(1-x^{2})^{m/2}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}P_{\ell }(x),\qquad P_{\ell }^{m}(x)=(-1)^{m}{\widetilde {P}}_{\ell }^{m}(x).$ Con esta notación, una fórmula con un factor externo $(-1)^{m}$ multiplicando ${\widetilde {P}}_{\ell }^{m}$ da el mismo armónico esférico que una fórmula que utiliza $P_{\ell }^{m}$ sin un factor de fase externo. ^{[ 8 ]}

No es obligatorio utilizar la fase de Condon-Shortley en la definición de las funciones armónicas esféricas, pero su inclusión puede simplificar algunas operaciones de mecánica cuántica, especialmente la aplicación de operadores de creación y aniquilación . Las comunidades de geodesia ^{[ 10 ]} y magnetismo suelen utilizar convenciones en las que el factor de fase de Condon-Shortley no se incluye en las funciones de Legendre asociadas ni en los armónicos esféricos.

Ortogonalidad y normalización

Para las funciones armónicas esféricas de Laplace se utilizan comúnmente varias normalizaciones diferentes. $S^{2}\to \mathbb {C}$ Estas opciones de normalización son independientes de la ubicación de la fase de Condon-Shortley.

Con la fase Condon-Shortley incluida en $P_{\ell }^{m}$ , los armónicos esféricos complejos ortonormales son $Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {{\frac {(2\ell +1)}{4\pi }}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }.$ Esta es la convención utilizada en este artículo, y es común en acústica. ^{[ 11 ]}

Las mismas funciones ortonormales se escriben a menudo en mecánica cuántica como ^{[ 12 ]}^{[ 13 ].} $Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=(-1)^{m}{\sqrt {{\frac {(2\ell +1)}{4\pi }}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}}\,{\widetilde {P}}_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi },$ dónde ${\widetilde {P}}_{\ell }^{m}$ denota la función de Legendre asociada sin la fase de Condon-Shortley. Esto evita contar la fase dos veces.

Con cualquiera de las ubicaciones de la fase de Condon-Shortley, los armónicos esféricos ortonormales satisfacen $\int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}\,Y_{\ell '}^{m'}{}^{*}\,d\Omega =\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'},$ donde $δ ij$ es la delta de Kronecker y $d Ω = sin(θ) dφ dθ$ . ^{[ 9 ]} Esta normalización se utiliza en mecánica cuántica porque garantiza que la probabilidad esté normalizada, es decir, $\int {|Y_{\ell }^{m}|^{2}d\Omega }=1.$

Las disciplinas de geodesia ^{[ 14 ]} y análisis espectral a menudo utilizan el correspondiente $4\pi$ -armónicos normalizados. Escritos con la misma convención de fase que la anterior, estos son $Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {{(2\ell +1)}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi },$ que poseen potencia unitaria ${\frac {1}{4\pi }}\int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}\,Y_{\ell '}^{m'}{}^{*}d\Omega =\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'}.$ En aplicaciones geodésicas, esta normalización se combina comúnmente con la omisión de la fase de Condon-Shortley. ^{[ 15 ]}

La comunidad de magnetismo ^{[ 14 ]} , en cambio, suele utilizar armónicos seminormalizados de Schmidt. Escritos con la misma convención de fase que la anterior, estos son: $Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi },$ que tienen la normalización $\int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}\,Y_{\ell '}^{m'}{}^{*}d\Omega ={\frac {4\pi }{(2\ell +1)}}\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'}.$ En mecánica cuántica, esta normalización también se utiliza a veces y recibe el nombre de normalización de Racah en honor a Giulio Racah .

Para la convención de fase utilizada en este artículo, los armónicos esféricos complejos satisfacen $Y_{\ell }^{m}{}^{*}(\theta ,\varphi )=(-1)^{m}Y_{\ell }^{-m}(\theta ,\varphi ),$ donde el superíndice $*$ denota la conjugación compleja . De manera equivalente, dado que $(-1)^{m}=(-1)^{-m}$ para entero $m$ , esto también puede escribirse con $(-1)^{-m}$ Esta ecuación también se deduce de la relación de las funciones armónicas esféricas con la matriz D de Wigner . ^{[ 9 ]}

Forma real

Suponiendo que los armónicos esféricos complejos están normalizados y desfasados de manera que $Y_{\ell }^{m}{}^{*}=(-1)^{m}Y_{\ell }^{-m},$ una base real de los armónicos esféricos $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ pueden definirse en términos de sus análogos complejos $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ al establecer ${\begin{aligned}Y_{\ell m}&={\begin{cases}{\dfrac {i}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{m}-(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{-m}\right)&{\text{if}}\ m<0\\Y_{\ell }^{0}&{\text{if}}\ m=0\\{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{-m}+(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{m}\right)&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}\\&={\begin{cases}{\dfrac {i}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{-|m|}-(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{|m|}\right)&{\text{if}}\ m<0\\Y_{\ell }^{0}&{\text{if}}\ m=0\\{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{-|m|}+(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{|m|}\right)&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}\\&={\begin{cases}{\sqrt {2}}\,(-1)^{m}\,\Im [{Y_{\ell }^{|m|}}]&{\text{if}}\ m<0\\Y_{\ell }^{0}&{\text{if}}\ m=0\\{\sqrt {2}}\,(-1)^{m}\,\Re [{Y_{\ell }^{m}}]&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}\end{aligned}}$ Aquí se utiliza la convención de fase de Condon-Shortley para mayor consistencia. Las ecuaciones inversas correspondientes definen los armónicos esféricos complejos. $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ en términos de los armónicos esféricos reales $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ son $Y_{\ell }^{m}={\begin{cases}{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell |m|}-iY_{\ell ,-|m|}\right)&{\text{if}}\ m<0\\[4pt]Y_{\ell 0}&{\text{if}}\ m=0\\[4pt]{\dfrac {(-1)^{m}}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell |m|}+iY_{\ell ,-|m|}\right)&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}$

Los armónicos esféricos reales $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ a veces se las conoce como armónicos esféricos tesserales . ^{[ 16 ]} Estas funciones tienen las mismas propiedades de ortonormalidad que las complejas. $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ arriba. Los armónicos esféricos reales $Y_{\ell m}$ Se dice que las funciones con $m > 0$ son de tipo coseno, y aquellas con $m < 0$ de tipo seno. La razón de esto se puede ver escribiendo las funciones en términos de los polinomios de Legendre como $Y_{\ell m}={\begin{cases}\left(-1\right)^{m}{\sqrt {2}}{\sqrt {{\dfrac {2\ell +1}{4\pi }}{\dfrac {(\ell -|m|)!}{(\ell +|m|)!}}}}\;P_{\ell }^{|m|}(\cos \theta )\ \sin(|m|\varphi )&{\text{if }}m<0\\[4pt]{\sqrt {\dfrac {2\ell +1}{4\pi }}}\ P_{\ell }^{0}(\cos \theta )&{\text{if }}m=0\\[4pt]\left(-1\right)^{m}{\sqrt {2}}{\sqrt {{\dfrac {2\ell +1}{4\pi }}{\dfrac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}}\;P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ \cos(m\varphi )&{\text{if }}m>0\,.\end{cases}}$ Aquí $P_{\ell }^{m}$ Nuevamente denota la función de Legendre asociada con la fase de Condon-Shortley incluida. Con una ubicación diferente de esa fase, los signos mostrados deben cambiarse de forma consistente. ^{[ 8 ]}

Los mismos factores de seno y coseno también pueden observarse en la siguiente subsección que trata sobre la representación cartesiana.

Consulte aquí una lista de armónicos esféricos reales hasta e incluyendo $\ell =4$ , lo cual puede verse que es coherente con el resultado de las ecuaciones anteriores.

Uso en química cuántica

A partir de las soluciones analíticas para el átomo de hidrógeno, las autofunciones de la parte angular de la función de onda son armónicos esféricos. Sin embargo, las soluciones de la ecuación de Schrödinger no relativista sin términos magnéticos pueden ser reales. Por ello, las formas reales se utilizan ampliamente en las funciones base de la química cuántica , ya que los programas no necesitan recurrir al álgebra compleja. En este caso, las funciones reales abarcan el mismo espacio que las complejas.

Por ejemplo, como se puede ver en la tabla de armónicos esféricos , las funciones $p usuales ($ $\ell =1$ ) son complejos y mezclan direcciones de ejes, pero las versiones reales son esencialmente solo $x$ , $y$ y $z$ .

Armónicos esféricos en forma cartesiana

Los armónicos esféricos complejos $Y_{\ell }^{m}$ dan lugar a los armónicos sólidos extendiéndose desde $S^{2}$ a todos $\mathbb {R} ^{3}$ como una función homogénea del grado $\ell$ , es decir, configuración $R_{\ell }^{m}(v):=\|v\|^{\ell }Y_{\ell }^{m}\left({\frac {v}{\|v\|}}\right)$ Resulta que $R_{\ell }^{m}$ es la base del espacio de polinomios armónicos y homogéneos de grado $\ell$ . Más específicamente, es la base de Gelfand-Tsetlin (única salvo normalización) de esta representación del grupo rotacional. $SO(3)$ y una fórmula explícita para $R_{\ell }^{m}$ Las coordenadas cartesianas se pueden derivar de ese hecho.

La función generadora de Herglotz

Si se adopta la convención de la mecánica cuántica para el $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ , entonces $e^{v{\mathbf {a} }\cdot {\mathbf {r} }}=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}{\frac {r^{\ell }v^{\ell }{\lambda ^{m}}}{\sqrt {(\ell +m)!(\ell -m)!}}}Y_{\ell }^{m}(\mathbf {r} /r).$ Aquí, $\mathbf {r}$ es el vector con componentes $(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}$ , $r=|\mathbf {r} |$ , y ${\mathbf {a} }={\mathbf {\hat {z}} }-{\frac {\lambda }{2}}\left({\mathbf {\hat {x}} }+i{\mathbf {\hat {y}} }\right)+{\frac {1}{2\lambda }}\left({\mathbf {\hat {x}} }-i{\mathbf {\hat {y}} }\right).$ $\mathbf {a}$ es un vector con coordenadas complejas:

$\mathbf {a} =[{\frac {1}{2}}({\frac {1}{\lambda }}-\lambda ),-{\frac {i}{2}}({\frac {1}{\lambda }}+\lambda ),1].$

La propiedad esencial de $\mathbf {a}$ es que es nulo: $\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =0.$

Basta con tomar $v$ y $\lambda$ como parámetros reales. Al nombrar esta función generadora en honor a Herglotz , seguimos a Courant y Hilbert 1962 , §VII.7 , quienes le atribuyen su descubrimiento a notas inéditas.

Esencialmente, todas las propiedades de los armónicos esféricos se pueden derivar de esta función generadora. ^{[ 17 ]} Un beneficio inmediato de esta definición es que si el vector $\mathbf {r}$ es reemplazado por el operador vectorial de espín mecánico cuántico $\mathbf {J}$ , de tal manera que ${\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}({\mathbf {J} })$ es el análogo del operador del armónico sólido $r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\mathbf {r} /r)$ , ^{[ 18 ]} se obtiene una función generadora para un conjunto estandarizado de operadores tensoriales esféricos , ${\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}({\mathbf {J} })$ :

$e^{v{\mathbf {a} }\cdot {\mathbf {J} }}=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}{\frac {v^{\ell }{\lambda ^{m}}}{\sqrt {(\ell +m)!(\ell -m)!}}}{\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}({\mathbf {J} }).$

El paralelismo de las dos definiciones garantiza que la ${\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}$ La transformación de bajo rotaciones (ver más abajo) es de la misma manera que la $Y_{\ell }^{m}$ lo cual, a su vez, garantiza que sean operadores tensoriales esféricos, $T_{q}^{(k)}$ , con $k={\ell }$ y $q=m$ Cumplen con todas las propiedades de dichos operadores, como el teorema de composición de Clebsch-Gordan y el teorema de Wigner-Eckart . Además, constituyen un conjunto estandarizado con una escala o normalización fija.

Forma cartesiana separada

La definición herglotziana produce polinomios que, si se desea, pueden factorizarse aún más en un polinomio de $z$ y otro de $x$ y $y$ , como sigue (fase de Condon-Shortley): $r^{\ell }\,{\begin{pmatrix}Y_{\ell }^{m}\\Y_{\ell }^{-m}\end{pmatrix}}=\left[{\frac {2\ell +1}{4\pi }}\right]^{1/2}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z){\begin{pmatrix}\left(-1\right)^{m}(A_{m}+iB_{m})\\(A_{m}-iB_{m})\end{pmatrix}},\qquad m>0.$ y para $m = 0$ : $r^{\ell }\,Y_{\ell }^{0}\equiv {\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{0}.$ Aquí $A_{m}(x,y)=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{m-p}\cos \left((m-p){\frac {\pi }{2}}\right),$ $B_{m}(x,y)=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{m-p}\sin \left((m-p){\frac {\pi }{2}}\right),$ y ${\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)=\left[{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\sum _{k=0}^{\left\lfloor (\ell -m)/2\right\rfloor }(-1)^{k}2^{-\ell }{\binom {\ell }{k}}{\binom {2\ell -2k}{\ell }}{\frac {(\ell -2k)!}{(\ell -2k-m)!}}\;r^{2k}\;z^{\ell -2k-m}.$ Para $m=0$ esto se reduce a ${\bar {\Pi }}_{\ell }^{0}(z)=\sum _{k=0}^{\left\lfloor \ell /2\right\rfloor }(-1)^{k}2^{-\ell }{\binom {\ell }{k}}{\binom {2\ell -2k}{\ell }}\;r^{2k}\;z^{\ell -2k}.$

El factor ${\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)$ es esencialmente el polinomio de Legendre asociado $P_{\ell }^{m}(\cos \theta )$ y los factores $(A_{m}\pm iB_{m})$ son esencialmente $e^{\pm im\varphi }$ .

Ejemplos

Utilizando las expresiones para ${\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)$ , $A_{m}(x,y)$ , y $B_{m}(x,y)$ Como se indica explícitamente arriba, obtenemos: $Y_{3}^{1}=-{\frac {1}{r^{3}}}\left[{\tfrac {7}{4\pi }}\cdot {\tfrac {3}{16}}\right]^{1/2}\left(5z^{2}-r^{2}\right)\left(x+iy\right)=-\left[{\tfrac {7}{4\pi }}\cdot {\tfrac {3}{16}}\right]^{1/2}\left(5\cos ^{2}\theta -1\right)\left(\sin \theta e^{i\varphi }\right)$

$Y_{4}^{-2}={\frac {1}{r^{4}}}\left[{\tfrac {9}{4\pi }}\cdot {\tfrac {5}{32}}\right]^{1/2}\left(7z^{2}-r^{2}\right)\left(x-iy\right)^{2}=\left[{\tfrac {9}{4\pi }}\cdot {\tfrac {5}{32}}\right]^{1/2}\left(7\cos ^{2}\theta -1\right)\left(\sin ^{2}\theta e^{-2i\varphi }\right)$ Se puede verificar que esto coincide con la función que se indica aquí y aquí .

Formas reales

Utilizando las ecuaciones anteriores para formar los armónicos esféricos reales, se observa que para $m>0$ solo el $A_{m}$ Se incluyen términos (cosenos) y para $m<0$ solo el $B_{m}$ Se incluyen términos (sinos):

$r^{\ell }\,{\begin{pmatrix}Y_{\ell m}\\Y_{\ell -m}\end{pmatrix}}={\sqrt {\frac {2\ell +1}{2\pi }}}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z){\begin{pmatrix}A_{m}\\B_{m}\end{pmatrix}},\qquad m>0.$ y para m = 0: $r^{\ell }\,Y_{\ell 0}\equiv {\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{0}.$

Casos especiales y valores

Cuando $m=0$ , los armónicos esféricos $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ reducir a los polinomios de Legendre ordinarios : $Y_{\ell }^{0}(\theta ,\varphi )={\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}}P_{\ell }(\cos \theta ).$
Cuando $m=\pm \ell$ , ${\displaystyle Y_{\ell }^{\pm \ell }(\theta ,\varphi )={\frac {(\mp 1)^{\ell }}{2^{\ell }\ell$ o más simplemente en coordenadas cartesianas, ${\displaystyle r^{\ell }Y_{\ell }^{\pm \ell }({\mathbf {r} })={\frac {(\mp 1)^{\ell }}{2^{\ell }\ell$
En el polo norte, donde $\theta =0$ , y $\varphi$ no está definido, todos los armónicos esféricos excepto aquellos con $m=0$ desaparecer: $Y_{\ell }^{m}(0,\varphi )=Y_{\ell }^{m}({\mathbf {z} })={\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}}\delta _{m0}.$

Propiedades de simetría

Los armónicos esféricos poseen propiedades profundas y trascendentales bajo las operaciones de inversión espacial (paridad) y rotación.

Paridad

Los armónicos esféricos tienen paridad definida. Es decir, son pares o impares con respecto a la inversión respecto al origen. La inversión está representada por el operador $P\Psi (\mathbf {r} )=\Psi (-\mathbf {r} )$ . Entonces, como se puede ver de muchas maneras (quizás la más sencilla a partir de la función generadora de Herglotz), con $\mathbf {r}$ siendo un vector unitario, $Y_{\ell }^{m}(-\mathbf {r} )=(-1)^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\mathbf {r} ).$

En términos de los ángulos esféricos, la paridad transforma un punto con coordenadas $\{\theta ,\varphi \}$ a $\{\pi -\theta ,\pi +\varphi \}$ La afirmación de la paridad de los armónicos esféricos es entonces $Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )\to Y_{\ell }^{m}(\pi -\theta ,\pi +\varphi )=(-1)^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )$ (Esto se puede ver de la siguiente manera: Los polinomios de Legendre asociados dan $(-1) ℓ + m$ y de la función exponencial tenemos $(-1) m$ , lo que da en conjunto para los armónicos esféricos una paridad de $(-1) ℓ$ .)

La paridad sigue siendo válida para los armónicos esféricos reales y para los armónicos esféricos en dimensiones superiores: aplicar una reflexión puntual a un armónico esférico de grado $ℓ$ cambia el signo por un factor de $(-1) ℓ$ .

Rotaciones

Consideremos una rotación. ${\mathcal {R}}$ sobre el origen que envía el vector unitario $\mathbf {r}$ a $\mathbf {r} '$ . Bajo esta operación, un armónico esférico de grado $\ell$ y orden $m$ se transforma en una combinación lineal de armónicos esféricos del mismo grado. Es decir, $Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} }')=\sum _{m'=-\ell }^{\ell }A_{mm'}Y_{\ell }^{m'}({\mathbf {r} }),$ dónde $A_{mm'}$ es una matriz de orden $(2\ell +1)$ Eso depende de la rotación. ${\mathcal {R}}$ Sin embargo, esta no es la forma estándar de expresar esta propiedad. De la forma estándar se escribe:

$Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} }')=\sum _{m'=-\ell }^{\ell }[D_{mm'}^{(\ell )}({\mathcal {R}})]^{*}Y_{\ell }^{m'}({\mathbf {r} }),$ dónde $D_{mm'}^{(\ell )}({\mathcal {R}})^{*}$ es el conjugado complejo de un elemento de la matriz D de Wigner . En particular cuando $\mathbf {r} '$ es un $\phi _{0}$ rotación del acimut obtenemos la identidad,

$Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} }')=Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} })e^{im\phi _{0}}.$

El comportamiento rotacional de los armónicos esféricos es quizás su característica por excelencia desde el punto de vista de la teoría de grupos. $Y_{\ell }^{m}$ de grado $\ell$ proporcionar un conjunto base de funciones para la representación irreducible del grupo SO(3) de dimensión $(2\ell +1)$ Muchos hechos sobre armónicos esféricos (como el teorema de adición) que se demuestran laboriosamente utilizando los métodos de análisis, adquieren demostraciones más sencillas y un significado más profundo utilizando los métodos de simetría.

Expansión en armónicos esféricos

Los armónicos esféricos de Laplace $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ forman un conjunto completo de funciones ortonormales y, por lo tanto, forman una base ortonormal del espacio de Hilbert de funciones de cuadrado integrable. $L_{\mathbb {C} }^{2}(S^{2})$ En la esfera unitaria $S^{2}$ cualquier función de cuadrado integrable $f:S^{2}\to \mathbb {C}$ Por lo tanto, puede expandirse como una combinación lineal de estos:

$f(\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell }^{m}\,Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ).$

Esta expansión se sostiene en el sentido de convergencia cuadrática media —convergencia en L ² de la esfera— lo que significa que

$\lim _{N\to \infty }\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\left|f(\theta ,\varphi )-\sum _{\ell =0}^{N}\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell }^{m}Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )\right|^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi =0.$

Los coeficientes de expansión son análogos a los coeficientes de Fourier y se pueden obtener multiplicando la ecuación anterior por el conjugado complejo de un armónico esférico, integrando sobre el ángulo sólido Ω y utilizando las relaciones de ortogonalidad mencionadas. Esto se justifica rigurosamente mediante la teoría básica de espacios de Hilbert. Para el caso de armónicos ortonormalizados, se obtiene:

$f_{\ell }^{m}=\int _{\Omega }f(\theta ,\varphi )\,Y_{\ell }^{m*}(\theta ,\varphi )\,d\Omega =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{\pi }\,d\theta \,\sin \theta f(\theta ,\varphi )Y_{\ell }^{m*}(\theta ,\varphi ).$

Si los coeficientes decaen en ℓ suficientemente rápido —por ejemplo, exponencialmente— entonces la serie también converge uniformemente a f .

Una función de cuadrado integrable $f:S^{2}\to \mathbb {R}$ También se puede ampliar en términos de armónicos reales. $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ arriba como suma

$f(\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell m}\,Y_{\ell m}(\theta ,\varphi ).$

La convergencia de la serie se mantiene nuevamente en el mismo sentido, es decir, los armónicos esféricos reales. $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ forman un conjunto completo de funciones ortonormales y, por lo tanto, forman una base ortonormal del espacio de Hilbert de funciones de cuadrado integrable. $L_{\mathbb {R} }^{2}(S^{2})$ . El beneficio de la expansión en términos de las funciones armónicas reales $Y_{\ell m}$ es que para funciones reales $f:S^{2}\to \mathbb {R}$ los coeficientes de expansión $f_{\ell m}$ Se garantiza que son reales, mientras que sus coeficientes $f_{\ell }^{m}$ en su expansión en términos de la $Y_{\ell }^{m}$ (considerándolas como funciones) $f:S^{2}\to \mathbb {C} \supset \mathbb {R}$ ) no tienen esa propiedad.

Relación de completitud

La relación de completitud es una igualdad distribucional entre una suma sobre todos los índices y la función delta de Dirac . Para los armónicos esféricos, la delta de Dirac es el producto tensorial de dos funciones delta de Dirac, una para el ángulo azimutal en la esfera y otra para el ángulo polar. La relación se lee ^{[ 19 ]} ,

$\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}Y_{lm}^{*}(\theta \,',\,\phi \,')Y_{lm}(\theta ,\,\phi )=\delta (\phi -\phi \,')\,\delta (\cos \theta -\cos \theta \,').$

Análisis espectral

Espectro de potencia en el procesamiento de señales

La potencia total de una función f se define en la literatura de procesamiento de señales como la integral del cuadrado de la función, dividida por el área de su dominio. Utilizando las propiedades de ortonormalidad de las funciones armónicas esféricas de potencia unitaria real, es sencillo verificar que la potencia total de una función definida en la esfera unitaria está relacionada con sus coeficientes espectrales mediante una generalización del teorema de Parseval (aquí, el teorema se enuncia para armónicos seminormalizados de Schmidt; la relación es ligeramente diferente para armónicos ortonormales): ^{[ 20 ]}^{[ 21 ]}

${\frac {1}{4\,\pi }}\int _{\Omega }|f(\Omega )|^{2}\,d\Omega =\sum _{\ell =0}^{\infty }S_{f\!f}(\ell ),$ dónde $S_{f\!f}(\ell )={\frac {1}{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }|f_{\ell m}|^{2}$

se define como el espectro de potencia angular (para armónicos seminormalizados de Schmidt). De manera similar, se puede definir la potencia cruzada de dos funciones como ${\frac {1}{4\,\pi }}\int _{\Omega }f(\Omega )\,g^{\ast }(\Omega )\,d\Omega =\sum _{\ell =0}^{\infty }S_{fg}(\ell ),$ dónde $S_{fg}(\ell )={\frac {1}{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell m}g_{\ell m}^{\ast }$

se define como el espectro de potencia cruzada. Si las funciones $f$ y $g$ tienen una media cero (es decir, los coeficientes espectrales $f 00$ y $g 00$ son cero), entonces $S ff (ℓ)$ y $S fg (ℓ)$ representan las contribuciones a la varianza y covarianza de la función para el grado $ℓ$ , respectivamente. Es común que el espectro de potencia (cruzada) se aproxime bien mediante una ley de potencia de la forma

$S_{f\!f}(\ell )=C\,\ell ^{\beta }.$

Cuando $β = 0$ , el espectro es "blanco" ya que cada grado posee la misma potencia. Cuando $β < 0$ , el espectro se denomina "rojo" ya que hay más potencia en los grados bajos con longitudes de onda largas que en los grados altos. Finalmente, cuando $β > 0$ , el espectro se denomina "azul". La condición sobre el orden de crecimiento de $S ff (ℓ)$ está relacionada con el orden de diferenciabilidad de $f$ en la siguiente sección.

Aproximación y suavidad

Los armónicos esféricos se utilizan para aproximar funciones en la esfera, y el orden de decaimiento de la potencia determina la suavidad. $\Pi _{n}(S^{2})$ denotan el espacio abarcado por armónicos esféricos de grado como máximo $n$ . Para una función $f$ en la esfera, el error de mejor aproximación por polinomios esféricos de grado como máximo $n$ es

E_{n}(f)_{p}=\inf _{P\in \Pi _{n}(S^{2})}\|f-P\|_{p},

con la norma tomada en $L^{p}(S^{2})$ , o en la norma uniforme cuando $p=\infty$ . El comportamiento asintótico de $E_{n}(f)_{p}$ como $n\to \infty$ proporciona una medida cuantitativa de qué tan bien $f$ Se puede aproximar mediante armónicos esféricos de bajo grado. Esto es análogo a la aproximación mediante polinomios trigonométricos en el análisis de Fourier ordinario.

En el círculo, la suavidad se puede medir mediante la disminución de los coeficientes de Fourier. En la esfera, las funciones más suaves admiten una aproximación más rápida mediante polinomios esféricos, mientras que, a la inversa, una disminución suficientemente rápida del error de aproximación implica suavidad. Más precisamente, la suavidad de tipo Sobolev también se puede describir espectralmente, ya que los armónicos esféricos de grado $\ell$ son autofunciones del operador de Laplace-Beltrami con autovalor $-\ell (\ell +1)$ . ^{[ 22 ]}

Para $p=2$ Esta relación puede enunciarse de forma especialmente explícita. Si

f=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell m}Y_{\ell m}

es la expansión en armónicos esféricos de $f$ , entonces la norma de Sobolev de orden $s$ es equivalente, salvo la convención de normalización para los armónicos, a

\|f\|_{H^{s}(S^{2})}^{2}=\sum _{\ell =0}^{\infty }(1+\ell (\ell +1))^{s}S_{ff}(\ell ).

De este modo $f\in H^{s}(S^{2})$ precisamente cuando esta suma ponderada es finita. Dado que $\ell (\ell +1)$ crece como $\ell ^{2}$ , una mayor suavidad de Sobolev requiere una disminución más rápida de la potencia en grados altos.

En $L^{2}$ , la mejor aproximación mediante armónicos esféricos de grado como máximo $n$ se obtiene truncando la expansión en armónicos esféricos, de modo que

E_{n}(f)_{2}^{2}=\sum _{\ell >n}S_{ff}(\ell ).

En consecuencia, si $f\in H^{s}(S^{2})$ , entonces

E_{n}(f)_{2}\leq C_{s}n^{-s}\|f\|_{H^{s}(S^{2})},

que limita el error de aproximación mediante la norma de Sobolev.

Con la normalización de potencia anterior, una estimación de decaimiento de la forma $S_{ff}(\ell )=O(\ell ^{-\alpha })$ implica pertenencia a $H^{s}(S^{2})$ cuando sea $\alpha >2s+1$ . Por el teorema de incrustación de Sobolev , $H^{s}(S^{2})$ se incrusta en $C^{k}(S^{2})$ cuando $s>k+1$ Por lo tanto, una disminución polinómica suficientemente rápida del espectro de potencia implica diferenciabilidad, y una disminución más rápida que cualquier potencia implica suavidad de todos los órdenes.

Propiedades algebraicas

Teorema de la adición

Un resultado matemático de considerable interés y utilidad se denomina teorema de adición para armónicos esféricos. Dados dos vectores $r$ y $r'$ , con coordenadas esféricas $(r,\theta ,\varphi )$ y $(r,\theta ',\varphi ')$ , respectivamente, el ángulo $\gamma$ entre ellos viene dada por la relación $\cos \gamma =\cos \theta '\cos \theta +\sin \theta \sin \theta '\cos(\varphi -\varphi ')$ en la que el papel de las funciones trigonométricas que aparecen en el lado derecho lo desempeñan los armónicos esféricos y el del lado izquierdo lo desempeñan los polinomios de Legendre .

El teorema de adición establece ^{[ 23 ]}

donde $P ℓ$ es el polinomio de Legendre de grado $ℓ$ . Esta expresión es válida tanto para armónicos reales como complejos. ^{[ 24 ]} El resultado puede demostrarse analíticamente, utilizando las propiedades del núcleo de Poisson en la bola unitaria, o geométricamente aplicando una rotación al vector y de modo que apunte a lo largo del eje z , y luego calculando directamente el lado derecho. ^{[ 25 ]}

En particular, cuando $x = y$ , esto da el teorema de Unsöld ^{[ 26 ].} $\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell }^{m}{}^{*}(\mathbf {x} )\,Y_{\ell }^{m}(\mathbf {x} )={\frac {2\ell +1}{4\pi }}$ que generaliza la identidad $cos 2 θ + sin 2 θ = 1$ a dos dimensiones.

En la expansión ( 1 ), el lado izquierdo $P_{\ell }(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )$ es un múltiplo constante del armónico esférico zonal de grado $ℓ$ . Desde esta perspectiva, se tiene la siguiente generalización a dimensiones superiores. Sea $Y$ $j$ una base ortonormal arbitraria del espacio $H$ $ℓ$ de armónicos esféricos de grado $ℓ en la$ $n$ -esfera. Entonces $Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}$ , el armónico zonal de grado $ℓ$ correspondiente al vector unitario $x$ , se descompone como ^{[ 27 ]}

Además, el armónico zonal $Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}({\mathbf {y} })$ se da como un múltiplo constante del polinomio de Gegenbauer apropiado :

La combinación de ( 2 ) y ( 3 ) da como resultado ( 1 ) en dimensión $n = 2$ cuando $x$ e $y$ se representan en coordenadas esféricas. Finalmente, la evaluación en $x = y$ da como resultado la identidad funcional. ${\frac {\dim \mathbf {H} _{\ell }}{\omega _{n-1}}}=\sum _{j=1}^{\dim(\mathbf {H} _{\ell })}|Y_{j}({\mathbf {x} })|^{2}$ donde $ω n -1$ es el volumen de la ( n −1)-esfera.

Regla de contracción

Otra identidad útil expresa el producto de dos armónicos esféricos como una suma sobre armónicos esféricos ^{[ 28 ].} ${\begin{aligned}Y_{a}^{\alpha }\left(\theta ,\varphi \right)Y_{b}^{\beta }\left(\theta ,\varphi \right)&={\sqrt {\frac {\left(2a+1\right)\left(2b+1\right)}{4\pi }}}\sum _{c=0}^{\infty }\sum _{\gamma =-c}^{c}\left(-1\right)^{\gamma }{\sqrt {2c+1}}{\begin{pmatrix}a&b&c\\\alpha &\beta &-\gamma \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b&c\\0&0&0\end{pmatrix}}Y_{c}^{\gamma }\left(\theta ,\varphi \right)\\&={\sqrt {\frac {\left(2a+1\right)\left(2b+1\right)}{4\pi }}}\sum _{c=|a-b|}^{a+b}{\frac {1}{\sqrt {2c+1}}}\left\langle a\,\alpha \,b\,\beta |c\,\alpha +\beta \right\rangle \left\langle a\,0\,b\,0|c\,0\right\rangle Y_{c}^{\gamma }\left(\theta ,\varphi \right)\end{aligned}}$ Muchos de los términos de esta suma son trivialmente cero. Los valores de $c$ y $\gamma$ Los términos que dan como resultado términos distintos de cero en esta suma están determinados por las reglas de selección para los símbolos 3j .

Coeficientes de Clebsch-Gordan

Los coeficientes de Clebsch-Gordan son los coeficientes que aparecen en el desarrollo en serie del producto de dos armónicos esféricos en términos de los propios armónicos esféricos. Existen diversas técnicas para realizar esencialmente el mismo cálculo, como el símbolo de Wigner 3-jm , los coeficientes de Racah y las integrales de Slater . En abstracto, los coeficientes de Clebsch-Gordan expresan el producto tensorial de dos representaciones irreducibles del grupo de rotación como una suma de representaciones irreducibles: una vez normalizados adecuadamente, los coeficientes son entonces las multiplicidades.

Visualización de los armónicos esféricos

Los armónicos esféricos de Laplace $Y_{\ell }^{m}$ se pueden visualizar considerando sus " líneas nodales ", es decir, el conjunto de puntos en la esfera donde $\Re [Y_{\ell }^{m}]=0$ , o alternativamente donde $\Im [Y_{\ell }^{m}]=0$ . Líneas nodales de $Y_{\ell }^{m}$ están compuestas por ℓ círculos: hay $| m |$ círculos a lo largo de las longitudes y ℓ −| m | círculos a lo largo de las latitudes. Se puede determinar el número de líneas nodales de cada tipo contando el número de ceros de $Y_{\ell }^{m}$ en el $\theta$ y $\varphi$ direcciones respectivamente. Considerando $Y_{\ell }^{m}$ como función de $\theta$ , las componentes real e imaginaria de los polinomios de Legendre asociados poseen cada una ℓ −| m | ceros, cada una dando lugar a una 'línea de latitud' nodal. Por otro lado, considerando $Y_{\ell }^{m}$ como función de $\varphi$ , las funciones trigonométricas seno y coseno poseen 2| m | ceros, cada uno de los cuales da lugar a una 'línea de longitud' nodal. ^{[ 29 ]}

Cuando el orden del armónico esférico m es cero (arriba a la izquierda en la figura), las funciones del armónico esférico no dependen de la longitud y se denominan zonales . Dichos armónicos esféricos son un caso especial de funciones esféricas zonales . Cuando $ℓ = | m |$ (abajo a la derecha en la figura), no hay cruces por cero en latitud y las funciones se denominan sectoriales . Para los demás casos, las funciones recorren la esfera y se denominan teserales .

Los armónicos esféricos más generales de grado $ℓ$ no son necesariamente los de la base de Laplace. $Y_{\ell }^{m}$ y sus conjuntos nodales pueden ser de un tipo bastante general. ^{[ 30 ]}

Lista de armónicos esféricos

Expresiones analíticas para los primeros armónicos esféricos de Laplace ortonormalizados. $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ que utilizan la convención de fases de Condon-Shortley: $Y_{0}^{0}(\theta ,\varphi )={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{\pi }}}$

${\begin{aligned}Y_{1}^{-1}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {3}{2\pi }}}\,\sin \theta \,e^{-i\varphi }\\Y_{1}^{0}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {3}{\pi }}}\,\cos \theta \\Y_{1}^{1}(\theta ,\varphi )&={\frac {-1}{2}}{\sqrt {\frac {3}{2\pi }}}\,\sin \theta \,e^{i\varphi }\end{aligned}}$

${\begin{aligned}Y_{2}^{-2}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin ^{2}\theta \,e^{-2i\varphi }\\Y_{2}^{-1}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{-i\varphi }\\Y_{2}^{0}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {5}{\pi }}}\,(3\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{2}^{1}(\theta ,\varphi )&={\frac {-1}{2}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{i\varphi }\\Y_{2}^{2}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin ^{2}\theta \,e^{2i\varphi }\end{aligned}}$

Dimensiones superiores

Los armónicos esféricos clásicos se definen como funciones de valor complejo en la esfera unitaria. $S^{2}$ dentro del espacio euclidiano tridimensional $\mathbb {R} ^{3}$ Los armónicos esféricos pueden generalizarse al espacio euclidiano de dimensiones superiores. $\mathbb {R} ^{n}$ de la siguiente manera, lo que lleva a las funciones $S^{n-1}\to \mathbb {C}$ . ^{[ 31 ]} Sea P _ℓ el espacio de polinomios homogéneos de valores complejos de grado $ℓ$ en $n$ variables reales, aquí considerados como funciones $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C}$ . Es decir, un polinomio $p$ está en $P ℓ$ siempre que para cualquier real $\lambda \in \mathbb {R}$ , uno tiene

$p(\lambda \mathbf {x} )=\lambda ^{\ell }p(\mathbf {x} ).$

Sea A _ℓ el subespacio de P _ℓ que consta de todos los polinomios armónicos : $\mathbf {A} _{\ell }:=\{p\in \mathbf {P} _{\ell }\,\mid \,\Delta p=0\}\,.$ Estos son los armónicos esféricos sólidos (regulares) . Sea H _ℓ el espacio de funciones en la esfera unitaria. $S^{n-1}:=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\,\mid \,\left|x\right|=1\}$ obtenido por restricción de $A ℓ$ $\mathbf {H} _{\ell }:=\left\{f:S^{n-1}\to \mathbb {C} \,\mid \,{\text{ for some }}p\in \mathbf {A} _{\ell },\,f(\mathbf {x} )=p(\mathbf {x} ){\text{ for all }}\mathbf {x} \in S^{n-1}\right\}.$

Se cumplen las siguientes propiedades:

La suma de los espacios $H ℓ$ es densa en el conjunto $C(S^{n-1})$ de funciones continuas en $S^{n-1}$ Con respecto a la topología uniforme , según el teorema $de$ Stone-Weierstrass . Como resultado, la suma de estos espacios también es densa en el espacio $L² (Sⁿ⁻¹) de funciones de cuadrado integrable en la esfera. Por lo tanto,$ $toda función de$ cuadrado integrable en la esfera se descompone de forma única en una serie de armónicos esféricos, donde la serie converge en el $sentido$ L² $.$
Para todo $f \in H ℓ$ , se tiene $\Delta _{S^{n-1}}f=-\ell (\ell +n-2)f.$ donde $Δ S n -1$ es el operador de Laplace-Beltrami en $S n -1$ . Este operador es el análogo de la parte angular del laplaciano en tres dimensiones; es decir, el laplaciano en $n$ dimensiones se descompone como $\nabla ^{2}=r^{1-n}{\frac {\partial }{\partial r}}r^{n-1}{\frac {\partial }{\partial r}}+r^{-2}\Delta _{S^{n-1}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {n-1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+r^{-2}\Delta _{S^{n-1}}$
Del teorema de Stokes y de la propiedad precedente se deduce que los espacios $H ℓ$ son ortogonales con respecto al producto interno de $L 2 (S n -1)$ . Es decir, $\int _{S^{n-1}}f{\bar {g}}\,\mathrm {d} \Omega =0$ para $f \in H ℓ$ y $g \in H k$ para $k \neq ℓ$ .
Por el contrario, los espacios $H ℓ$ son precisamente los autoespacios de $Δ S n -1$ . En particular, una aplicación del teorema espectral al potencial de Riesz $\Delta _{S^{n-1}}^{-1}$ da otra prueba de que los espacios $H ℓ$ son ortogonales por pares y completos en $L 2 (S n -1)$ .
Todo polinomio homogéneo $p \in P ℓ$ puede escribirse de forma única en la forma ^{[ 32 ].} $p(x)=p_{\ell }(x)+|x|^{2}p_{\ell -2}+\cdots +{\begin{cases}|x|^{\ell }p_{0}&\ell {\rm {\ even}}\\|x|^{\ell -1}p_{1}(x)&\ell {\rm {\ odd}}\end{cases}}$ donde $p j \in A j$ . En particular, $\dim \mathbf {H} _{\ell }={\binom {n+\ell -1}{n-1}}-{\binom {n+\ell -3}{n-1}}={\binom {n+\ell -2}{n-2}}+{\binom {n+\ell -3}{n-2}}.$

Una base ortogonal de armónicos esféricos en dimensiones superiores puede construirse inductivamente mediante el método de separación de variables , resolviendo el problema de Sturm-Liouville para el laplaciano esférico. $\Delta _{S^{n-1}}=\sin ^{2-n}\varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}\sin ^{n-2}\varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}+\sin ^{-2}\varphi \Delta _{S^{n-2}}$ donde φ es la coordenada axial en un sistema de coordenadas esféricas en S ^{n −1} . El resultado final de dicho procedimiento es ^{[ 33 ]} $Y_{\ell _{1},\dots \ell _{n-1}}(\theta _{1},\dots \theta _{n-1})={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{i\ell _{1}\theta _{1}}\prod _{j=2}^{n-1}{}_{j}{\bar {P}}_{\ell _{j}}^{\ell _{j-1}}(\theta _{j})$ donde los índices satisfacen $| ℓ 1 | \leq ℓ 2 \leq \dots \leq ℓ n -1$ y el valor propio es $- ℓ n -1 (ℓ n -1 + n -2)$ . Las funciones en el producto se definen en términos de la función de Legendre ${}_{j}{\bar {P}}_{L}^{\ell }(\theta )={\sqrt {{\frac {2L+j-1}{2}}{\frac {(L+\ell +j-2)!}{(L-\ell )!}}}}\sin ^{\frac {2-j}{2}}(\theta )P_{L+{\frac {j-2}{2}}}^{-\left(\ell +{\frac {j-2}{2}}\right)}(\cos \theta )\,.$

Conexión con la teoría de la representación

El espacio $H ℓ$ de armónicos esféricos de grado $ℓ$ es una representación del grupo de simetría de rotaciones alrededor de un punto ( SO(3) ) y su doble recubrimiento SU(2) . De hecho, las rotaciones actúan sobre la esfera bidimensional y, por lo tanto, también sobre $H ℓ$ mediante la composición de funciones. $\psi \mapsto \psi \circ \rho ^{-1}$ donde $ψ$ es un armónico esférico y $ρ$ una rotación. La representación $H ℓ$ es una representación irreducible de SO(3). ^{[ 34 ]}

Los elementos de $H ℓ$ surgen como restricciones a la esfera de elementos de $A ℓ$ : polinomios armónicos homogéneos de grado $ℓ$ en el espacio euclidiano tridimensional $R 3$ . Por polarización de $ψ \in A ℓ$ , hay coeficientes $\psi _{i_{1}\dots i_{\ell }}$ simétrico en los índices, determinado de forma única por el requisito $\psi (x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{i_{1}\dots i_{\ell }}\psi _{i_{1}\dots i_{\ell }}x_{i_{1}}\cdots x_{i_{\ell }}.$ La condición de que $ψ$ sea armónico es equivalente a la afirmación de que el tensor $\psi _{i_{1}\dots i_{\ell }}$ debe ser libre de traza en cada par de índices. Por lo tanto, como una representación irreducible de $SO(3)$ , $H ℓ$ es isomorfo al espacio de tensores simétricos sin traza de grado $ℓ$ .

En términos más generales, las afirmaciones análogas se cumplen en dimensiones superiores: el espacio $H ℓ$ de armónicos esféricos en la $n-$ esfera es la representación irreducible de $SO(n +1)$ correspondiente a los tensores $ℓ$ simétricos sin traza . Sin embargo, mientras que toda representación tensorial irreducible de $SO(2)$ y $SO(3)$ es de este tipo, los grupos ortogonales especiales en dimensiones superiores poseen representaciones irreducibles adicionales que no surgen de esta manera.

Los grupos ortogonales especiales poseen representaciones de espín adicionales que no son representaciones tensoriales y, por lo general, no son armónicos esféricos. Una excepción son las representaciones de espín de SO(3): estrictamente hablando, estas son representaciones del recubrimiento doble SU(2) de SO(3). A su vez, SU(2) se identifica con el grupo de cuaterniones unitarios y, por lo tanto, coincide con la 3-esfera . Los espacios de armónicos esféricos en la 3-esfera son ciertas representaciones de espín de SO(3), con respecto a la acción de la multiplicación cuaterniónica.

Conexión con armónicos hemisféricos

Los armónicos esféricos se pueden separar en dos conjuntos de funciones. ^{[ 35 ]} Uno son los armónicos hemisféricos (HSH), ortogonales y completos en el hemisferio. El otro son los armónicos hemisféricos complementarios (CHSH).

Generalizaciones

Las simetrías que preservan los ángulos de la esfera bidimensional se describen mediante el grupo de transformaciones de Möbius PSL(2, C ). Con respecto a este grupo, la esfera es equivalente a la esfera de Riemann usual . El grupo PSL(2, C ) es isomorfo al grupo de Lorentz (propio) y su acción sobre la esfera bidimensional coincide con la acción del grupo de Lorentz sobre la esfera celeste en el espacio de Minkowski . El análogo de los armónicos esféricos para el grupo de Lorentz viene dado por la serie hipergeométrica ; además, los armónicos esféricos pueden reexpresarse en términos de la serie hipergeométrica, ya que $SO(3) = PSU(2)$ es un subgrupo de $PSL(2, C)$ .

De manera más general, las series hipergeométricas pueden generalizarse para describir las simetrías de cualquier espacio simétrico ; en particular, las series hipergeométricas pueden desarrollarse para cualquier grupo de Lie . ^{[ 36 ]}^{[ 37 ]}^{[ 38 ]}^{[ 39 ]}

Véase también

Armónico cúbico (a menudo utilizado en lugar de armónicos esféricos en cálculos)
Armónicos cilíndricos
Base esférica
Armónicos esféricos de espinores
Armónicos esféricos ponderados por espín
teoría de Sturm-Liouville
Tabla de armónicos esféricos
Armónicos esféricos vectoriales
polinomios de Zernike
Polinomios de Jacobi
Orbital atómico

Notas

↑ En el capítulo IV de MacRobert (1967) se puede encontrar un análisis histórico de los distintos enfoques de los armónicos esféricos en tres dimensiones. El término «armónicos esféricos de Laplace» es de uso común; véanse Courant y Hilbert (1962) y Meijer y Bauer (2004) .
↑ El enfoque de los armónicos esféricos que se toma aquí se encuentra en ( Courant & Hilbert 1962 , §V.8, §VII.5) .
↑ Las aplicaciones físicas suelen tomar la solución que se anula en el infinito, haciendo que $A = 0.$ Esto no afecta la parte angular de los armónicos esféricos.
↑ Weisstein, Eric W. "Armónico esférico" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 10 de mayo de 2023 .
↑ Edmonds 1957 , §2.5
↑ Sala 2013 Sección 17.6
↑ Hall 2013 Lema 17.16
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↑Error de cita: La referencia con nombre SHTOOLS complexfue invocada pero nunca definida (consulte la página de ayuda ).
↑ Whittaker y Watson 1927 , pág. 392 .
↑ Véase, por ejemplo, el Apéndice A de Garg, A., Classical Electrodynamics in a Nutshell (Princeton University Press, 2012).
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↑Error de cita: La referencia con nombre SteinWeissfue invocada pero nunca definida (consulte la página de ayuda ).
↑Error de cita: La referencia con nombre DaiXufue invocada pero nunca definida (consulte la página de ayuda ).
↑ Edmonds, AR (1996). Momento angular en mecánica cuántica . Princeton University Press. pág. 63 .
↑ Esto es válido para cualquier base ortonormal de armónicos esféricos de grado $ℓ . Para armónicos$ $de$ potencia unitaria es necesario eliminar el factor de $4π$ .
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↑ Desgarrado 1927
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Referencias

Referencias citadas

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Referencias generales

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Maddock, John, Armónicos esféricos en Boost.Math

Enlaces externos

Armónicos esféricos en MathWorld
Representación 3D de armónicos esféricos

[1] En el capítulo IV de MacRobert (1967) se puede encontrar un análisis histórico de los distintos enfoques de los armónicos esféricos en tres dimensiones. El término «armónicos esféricos de Laplace» es de uso común; véanse Courant y Hilbert (1962) y Meijer y Bauer (2004) .

[2] El enfoque de los armónicos esféricos que se toma aquí se encuentra en ( Courant & Hilbert 1962 , §V.8, §VII.5) .

[3] Las aplicaciones físicas suelen tomar la solución que se anula en el infinito, haciendo que $A = 0.$ Esto no afecta la parte angular de los armónicos esféricos.

[4] Weisstein, Eric W. "Armónico esférico" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 10 de mayo de 2023 .

[5] Edmonds 1957 , §2.5

[6] Sala 2013 Sección 17.6

[7] Hall 2013 Lema 17.16

[MathWorld_Condon-Shortley-8] 1 2 3 Weisstein, Eric W. "Fase de Condon-Shortley" . MathWorld—Un recurso web de Wolfram . Wolfram Research . Recuperado el 2 de mayo de 2026 .

[DLMF_spherical_harmonics-9] 1 2 3 "DLMF: §14.30 Armónicos esféricos y esferoidales" . Biblioteca digital de funciones matemáticas del NIST . Instituto Nacional de Estándares y Tecnología . Recuperado el 2 de mayo de 2026 .

[10] Heiskanen y Moritz, Geodesia física , 1967, ec. 1-62.

[11] Williams, Earl G. (1999). Acústica de Fourier: radiación sonora y holografía acústica de campo cercano . San Diego, California: Academic Press. ISBN 0-08-050690-9OCLC 181010993

[12] Messiah, Albert (1999). Mecánica cuántica: dos volúmenes encuadernados en uno ( Edición reimpresa íntegra). Mineola, NY: Dover. págs. 520–523 . ISBN 0-486-40924-4.

[13] Claude Cohen-Tannoudji; Bernardo Diu; Franck Laloë (1996). Mecánica cuántica . Traducido por Susan Reid Hemley; et al. Wiley-Interscience: Wiley. ISBN 978-0-471-56952-7.

[Blakely_1995_113-14] 1 2 Blakely, Richard (1995). Teoría del potencial en gravedad y aplicaciones magnéticas . Cambridge, Inglaterra. Nueva York: Cambridge University Press. pág . 113. ISBN 978-0-521-41508-8.

[SHTOOLS_complex-15] Error de cita: La referencia con nombre SHTOOLS complexfue invocada pero nunca definida (consulte la página de ayuda ).

[16] Whittaker y Watson 1927 , pág. 392 .

[17] Véase, por ejemplo, el Apéndice A de Garg, A., Classical Electrodynamics in a Nutshell (Princeton University Press, 2012).

[18] Li, Feifei; Braun, Carol; Garg, Anupam (2013), "El formalismo de Weyl-Wigner-Moyal para el espín", Europhysics Letters , 102 (6) 60006, arXiv : 1210.4075 , Bibcode : 2013EL....10260006L , doi : 10.1209/0295-5075/102/60006 , S2CID 119610178

[19] Jackson, John David (1999). Electrodinámica clásica (3. ed., [Nachdr.] ed.). Hoboken, Nueva York: Wiley. pag. 108.ISBN 978-0-471-30932-1.

[DahlenSimons-20] Dahlen, FA; Simons, Frederik J. (2008). "Estimación espectral en una esfera en geofísica y cosmología". Geophysical Journal International . 174 (3): 774– 807. arXiv : 0705.3083 . doi : 10.1111/j.1365-246X.2008.03854.x .

[SteinWeiss-21] Error de cita: La referencia con nombre SteinWeissfue invocada pero nunca definida (consulte la página de ayuda ).

[DaiXu-22] Error de cita: La referencia con nombre DaiXufue invocada pero nunca definida (consulte la página de ayuda ).

[23] Edmonds, AR (1996). Momento angular en mecánica cuántica . Princeton University Press. pág. 63 .

[24] Esto es válido para cualquier base ortonormal de armónicos esféricos de grado $ℓ . Para armónicos$ $de$ potencia unitaria es necesario eliminar el factor de $4π$ .

[25] Whittaker y Watson, 1927 , pág. 395

[26] Desgarrado 1927

[27] Stein y Weiss 1971 , §IV.2

[28] Brink, DM; Satchler, GR Momento angular . Oxford University Press. pág. 146.

[29] "Vibraciones esféricas – Armónicos esféricos" .

[30] Eremenko, Jakobson y Nadirashvili 2007

[31] Solomentsev 2001 ; Stein y Weiss 1971 , §Iv.2

[32] Cf. Corolario 1.8 de Axler, Sheldon; Ramey, Wade (1995), Polinomios armónicos y problemas de tipo Dirichlet.

[33] Higuchi, Atsushi (1987). "Armónicos esféricos tensoriales simétricos en la N-esfera y su aplicación al grupo de De Sitter SO(N,1)" . Journal of Mathematical Physics . 28 (7): 1553– 1566. Bibcode : 1987JMP....28.1553H . doi : 10.1063/1.527513 .

[34] Hall 2013 Corolario 17.17

[35] Zheng Y, Wei K, Liang B, Li Y, Chu X (23-12-2019). "Funciones tipo Zernike en casquete esférico: principio y aplicaciones en ajuste de superficies ópticas y renderizado gráfico" . Optics Express . 27 (26): 37180– 37195. Bibcode : 2019OExpr..2737180Z . doi : 10.1364/OE.27.037180 . ISSN 1094-4087 . PMID 31878503 .

[36] N. Vilenkin, Funciones especiales y la teoría de las representaciones de grupos , Am. Math. Soc. Transl., vol. 22, (1968).

[37] JD Talman, Funciones especiales, un enfoque de teoría de grupos , (basado en conferencias de EP Wigner ), WA Benjamin, Nueva York (1968).

[38] W. Miller, Simetría y separación de variables, Addison-Wesley, Reading (1977).

[39] A. Wawrzyńczyk, Representaciones de grupos y funciones especiales , Editorial Científica Polaca. Varsovia (1984).

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