Poliedro

Los poliedros se pueden clasificar y a menudo se nombran según el número de caras. El sistema de nomenclatura se basa en el griego clásico y combina un prefijo que cuenta las caras con el sufijo "hedron", que significa "base" o "asiento" y se refiere a las caras. Por ejemplo, un tetraedro es un poliedro con cuatro caras, un pentaedro es un poliedro con cinco caras, un hexaedro es un poliedro con seis caras, etc. ^{[ 18 ]} Para una lista completa de los prefijos numéricos griegos, véase Prefijo numérico §  Tabla de prefijos numéricos en inglés , en la columna de números cardinales griegos. Los nombres de tetraedros, hexaedros, octaedros (poliedros de ocho lados), dodecaedros (poliedros de doce lados) e icosaedros (poliedros de veinte lados) se utilizan a veces sin ninguna especificación adicional para referirse a los sólidos platónicos , y otras veces para referirse de forma más general a poliedros con el número de lados dado sin ninguna suposición de simetría. ^{[ 19 ]}

Algunos poliedros tienen dos caras distintas en su superficie. Por ejemplo, el interior y el exterior de un modelo de papel de poliedro convexo pueden tener colores diferentes (aunque el color del interior quedará oculto). Estos poliedros son orientables . Lo mismo ocurre con los poliedros no convexos sin autointersecciones. Algunos poliedros no convexos con autointersecciones pueden colorearse de la misma manera, pero con regiones invertidas, de modo que ambos colores aparecen en lugares diferentes en el exterior; estos también se consideran orientables. Sin embargo, para otros poliedros con autointersecciones y caras de polígonos simples, como el tetrahemihexaedro , no es posible colorear las dos caras de cada lado con dos colores diferentes de manera que las caras adyacentes tengan colores consistentes. En este caso, se dice que el poliedro no es orientable. Para poliedros con caras que se cruzan a sí mismas, puede que no esté claro qué significa que las caras adyacentes estén coloreadas de forma consistente, pero para estos poliedros aún es posible determinar si es orientable o no orientable considerando un complejo de celdas topológicas con las mismas incidencias entre sus vértices, aristas y caras. ^{[ 20 ]}

Una distinción más sutil entre superficies poliédricas viene dada por su característica de Euler , que combina los números de vértices.${\displaystyle V}$bordes${\displaystyle E}$y caras${\displaystyle F}$de un poliedro en un solo número${\displaystyle \chi }$definido por la fórmula

${\displaystyle \chi =V-E+F.\ }$

La misma fórmula también se utiliza para la característica de Euler de otros tipos de superficies topológicas. Es un invariante de la superficie, lo que significa que cuando una sola superficie se subdivide en vértices, aristas y caras de más de una manera, la característica de Euler será la misma para estas subdivisiones. Para un poliedro convexo, o más generalmente cualquier poliedro simplemente conexo con la superficie de una esfera topológica, siempre es igual a 2. Para formas más complicadas, la característica de Euler se relaciona con el número de agujeros toroidales , asas o tapas cruzadas en la superficie y será menor que 2. ^{[ 21 ]} Todos los poliedros con características de Euler impares no son orientables. Una figura dada con una característica de Euler par puede o no ser orientable. Por ejemplo, el toroide de un agujero y la botella de Klein tienen${\displaystyle \chi =0}$, siendo el primero orientable y el otro no. ^{[ 20 ]}

Para muchas (pero no todas) las formas de definir poliedros, se requiere que la superficie del poliedro sea una variedad . Esto significa que cada arista forma parte del límite de exactamente dos caras (lo que excluye formas como la unión de dos cubos que se encuentran solo a lo largo de una arista común) y que cada vértice es incidente a un único ciclo alterno de aristas y caras (lo que excluye formas como la unión de dos cubos que comparten solo un vértice). Para los poliedros definidos de estas maneras, la clasificación de variedades implica que el tipo topológico de la superficie está completamente determinado por la combinación de su característica de Euler y su orientabilidad. Por ejemplo, todo poliedro cuya superficie sea una variedad orientable y cuya característica de Euler sea 2 debe ser una esfera topológica. ^{[ 20 ]}

Un poliedro toroidal es un poliedro cuya característica de Euler es menor o igual a 0, o equivalentemente, cuyo género es 1 o mayor. Topológicamente, las superficies de dichos poliedros son superficies de toro con uno o más agujeros en el centro. ^{[ 22 ]} Un ejemplo notable es el poliedro de Szilassi , que realiza geométricamente el mapa de Heawood . Un poliedro con las simetrías de un poliedro regular y con género mayor que uno es un poliedro de Leonardo . ^{[ 23 ]}

Para cada poliedro convexo, existe un poliedro dual que tiene

• caras en lugar de los vértices originales y viceversa, y
• el mismo número de aristas.

El dual de un poliedro convexo se puede obtener mediante el proceso de reciprocación polar . ^{[ 24 ]} Los poliedros duales existen en pares, y el dual de un dual es simplemente el poliedro original nuevamente. Algunos poliedros son autoduales, lo que significa que el dual del poliedro es congruente con el poliedro original. ^{[ 25 ]} Sin embargo, a diferencia de la reciprocación polar, es posible que una autodualidad no sea una involución , lo que significa que repetir la autodualidad dos veces podría no devolver cada vértice y cara del poliedro a su posición original. ^{[ 26 ]}

Los poliedros abstractos también tienen duales, que se obtienen invirtiendo el orden parcial que define el poliedro para obtener su dual u orden opuesto . ^{[ 15 ]} Estos tienen la misma característica de Euler y orientabilidad que el poliedro inicial. Sin embargo, esta forma de dualidad no describe la forma de un poliedro dual, sino solo su estructura combinatoria. Para algunas definiciones de poliedros geométricos no convexos, existen poliedros cuyos duales abstractos no pueden realizarse como poliedros geométricos bajo la misma definición. ^{[ 12 ]}

Para cada vértice se puede definir una figura de vértice , que describe la estructura local del poliedro alrededor del vértice. Las definiciones precisas varían, pero una figura de vértice puede pensarse como el polígono expuesto donde un corte a través del poliedro corta un vértice. ^{[ 10 ]} Para los sólidos platónicos y otros poliedros altamente simétricos, este corte puede elegirse para que pase por los puntos medios de cada arista incidente al vértice, ^{[ 27 ]} pero otros poliedros pueden no tener un plano que pase por estos puntos. Para poliedros convexos, y más generalmente para poliedros cuyos vértices están en posición convexa , este corte puede elegirse como cualquier plano que separe el vértice de los otros vértices. ^{[ 28 ]} Cuando el poliedro tiene un centro de simetría, es estándar elegir que este plano sea perpendicular a la línea que pasa por el vértice dado y el centro; ^{[ 29 ]} con esta elección, la forma de la figura de vértice está determinada salvo escala. Cuando los vértices de un poliedro no están en posición convexa, no siempre habrá un plano que separe cada vértice del resto. En este caso, es común dividir el poliedro mediante una pequeña esfera centrada en el vértice. ^{[ 30 ]} Nuevamente, esto produce una figura de vértice que es invariante salvo escala. Todas estas opciones dan como resultado figuras de vértice con la misma estructura combinatoria, para los poliedros a los que se pueden aplicar, pero pueden darles formas geométricas diferentes.

El área de la superficie de un poliedro es la suma de las áreas de sus caras, para definiciones de poliedros en las que el área de una cara está bien definida. La distancia geodésica entre dos puntos cualesquiera de la superficie de un poliedro mide la longitud de la curva más corta que conecta los dos puntos, permaneciendo dentro de la superficie. Según el teorema de unicidad de Alexandrov , todo poliedro convexo está determinado de forma única por el espacio métrico de distancias geodésicas en su superficie. Sin embargo, los poliedros no convexos pueden tener las mismas distancias superficiales entre sí, o las mismas que ciertos poliedros convexos. ^{[ 31 ]}

Cuando un segmento de línea conecta dos vértices que no están en la misma cara, forma una línea diagonal del poliedro. ^{[ 32 ]} No todos los poliedros tienen líneas diagonales, como en la familia de las pirámides ^{[ 33 ]} . El poliedro de Schönhardt tiene tres líneas diagonales, todas las cuales se encuentran completamente fuera de él, y el poliedro de Császár no tiene líneas diagonales (en cambio, cada par de vértices está conectado por una arista). ^{[ 34 ]}

Los sólidos poliédricos tienen una magnitud asociada llamada volumen , que mide el espacio que ocupan. Las familias simples de sólidos pueden tener fórmulas sencillas para calcular sus volúmenes; por ejemplo, los volúmenes de pirámides, prismas y paralelepípedos se pueden expresar fácilmente en función de la longitud de sus aristas u otras coordenadas. (Véase Volumen § Fórmulas de volumen para consultar una lista que incluye muchas de estas fórmulas).

Los volúmenes de poliedros más complejos pueden no tener fórmulas sencillas. Estos volúmenes se pueden calcular subdividiendo el poliedro en partes más pequeñas (por ejemplo, mediante triangulación ). Por ejemplo, el volumen de un sólido platónico se puede calcular dividiéndolo en pirámides congruentes , donde cada pirámide tiene una cara del poliedro como base y el centro del poliedro como vértice.

En general, del teorema de la divergencia se puede deducir que el volumen de un sólido poliédrico viene dado por $${\displaystyle {\frac {1}{3}}\left|\sum _{F}(Q_{F}\cdot N_{F})\operatorname {area} (F)\right|,}$$ donde la suma es sobre caras${\displaystyle F}$del poliedro,${\displaystyle Q_{F}}$es un punto arbitrario en la cara${\displaystyle F}$,${\displaystyle N_{F}}$es el vector unitario perpendicular a${\displaystyle F}$apuntando hacia fuera del sólido, y el punto de multiplicación es el producto escalar . ^{[ 35 ]} En dimensiones superiores, el cálculo del volumen puede ser un desafío, en parte debido a la dificultad de enumerar las caras de un poliedro convexo especificado solo por sus vértices, y existen algoritmos especializados para determinar el volumen en estos casos. ^{[ 36 ]}

En dos dimensiones, el teorema de Bolyai-Gerwien afirma que cualquier polígono puede transformarse en cualquier otro polígono de la misma área dividiéndolo en un número finito de piezas poligonales y reorganizándolas . La cuestión análoga para los poliedros fue el tema del tercer problema de Hilbert . Max Dehn resolvió este problema demostrando que, a diferencia del caso bidimensional, existen poliedros del mismo volumen que no pueden dividirse en poliedros más pequeños y volver a ensamblarse entre sí. Para demostrar esto, Dehn descubrió otro valor asociado a un poliedro, el invariante de Dehn , de tal manera que dos poliedros solo pueden dividirse entre sí cuando tienen el mismo volumen y el mismo invariante de Dehn. Posteriormente, Sydler demostró que este es el único obstáculo para la división: cualquier par de poliedros euclidianos con los mismos volúmenes e invariantes de Dehn pueden dividirse y volver a ensamblarse entre sí. ^{[ 37 ]} El invariante de Dehn no es un número, sino un vector en un espacio vectorial de dimensión infinita, determinado a partir de las longitudes y los ángulos diedros de las aristas de un poliedro. ^{[ 38 ]}

Otro de los problemas de Hilbert, el decimoctavo problema de Hilbert , se refiere (entre otras cosas) a los poliedros que recubren el espacio . Todo poliedro de este tipo debe tener un invariante de Dehn igual a cero. ^{[ 39 ]} El invariante de Dehn también se ha relacionado con los poliedros flexibles mediante el teorema del fuelle fuerte, que establece que el invariante de Dehn de cualquier poliedro flexible permanece invariante al flexionarse. ^{[ 40 ]}

Las caras de algunos poliedros pueden desplegarse en una disposición de polígonos unidos por aristas que no se superponen en el plano. Dicha disposición se conoce como desarrollo plano del poliedro . Los desarrollos planos pueden utilizarse para construir modelos de poliedros a partir de papel u otros materiales flexibles. ^{[ 41 ]}

Se dice que todos los elementos (vértice, cara y arista) que pueden superponerse entre sí mediante simetrías forman una órbita de simetría . Si estos elementos se encuentran en la misma órbita, la figura puede ser transitiva en la órbita. Individualmente, son isoédricas (o transitivas en las caras, lo que significa que las transformaciones de simetría involucran las caras de los poliedros en órbita), ^{[ 43 ] [ a ]} isotoxales (o transitivas en las aristas, que involucran los poliedros de la arista), ^{[ 44 ]} e isogonales (o transitivas en los vértices, que involucran los vértices de los poliedros). Por ejemplo, el cubo en el que todas las caras están en una órbita e involucran la rotación y las reflexiones en la órbita permanece inalterado en su apariencia; por lo tanto, el cubo es transitivo en las caras. El cubo también tiene las otras dos simetrías de este tipo. ^{[ 45 ]}

Cuando un poliedro posee tres de estas simetrías, se le conoce como poliedro regular . ^{[ 45 ]} Existen nueve poliedros regulares: cinco sólidos platónicos (cubo, octaedro , icosaedro , tetraedro y dodecaedro , todos con caras poligonales regulares) y cuatro poliedros de Kepler-Poinsot . Sin embargo, algunos poliedros pueden carecer de una o dos de estas simetrías:

• Se dice que un poliedro que es transitivo en vértices y transitivo en aristas es cuasirregular ; tiene caras regulares y sus duales son transitivos en caras y transitivos en aristas.
• Un poliedro transitivo en vértices pero no en aristas, con caras poligonales regulares, se denomina semirregular . ^{[ b ]} Esto incluye los prismas y antiprismas . El dual de un poliedro semirregular es transitivo en caras, y cada vértice es regular.
• Un poliedro uniforme es transitivo en vértices y tiene caras poligonales regulares . Esta clase incluye los poliedros regulares, cuasi-regulares y semirregulares. La definición puede aplicarse tanto a poliedros convexos como estrellados. El dual de un poliedro uniforme es transitivo en caras y tiene vértices regulares, pero no necesariamente transitivo en vértices. Los poliedros uniformes y sus duales se clasifican tradicionalmente según su grado de simetría y si son convexos o no.
• Se dice que un poliedro es noble si es transitivo en caras y vértices (pero no necesariamente transitivo en aristas) . Los poliedros regulares también son nobles; son los únicos poliedros uniformes nobles. Los duales de los poliedros nobles también son nobles.

Algunos poliedros carecen de simetría de reflexión , por lo que poseen dos formas enantiomorfas, que son reflejos una de la otra. Ejemplos de ello son el cuboctaedro truncado y el icosidodecaedro truncado . En este caso, se dice que el poliedro es quiral .

El grupo puntual de poliedros es un grupo matemático dotado de operaciones de simetría que preservan la apariencia de los poliedros durante su transformación en el espacio tridimensional. La transformación aquí indicada incluye la rotación alrededor de los ejes, la reflexión respecto al plano, la inversión respecto a un punto central y una combinación de estas tres. ^{[ 46 ]}

El grupo poliédrico es el grupo de simetría derivado originalmente de los tres sólidos platónicos: tetraedro, octaedro e icosaedro. Estos tres tienen grupos puntuales conocidos respectivamente como simetría tetraédrica , simetría octaédrica y simetría icosaédrica . Cada uno de ellos se centra en el grupo de rotación de poliedros, conocido como grupo poliédrico quiral , mientras que la simetría de reflexión adicional se conoce como grupo poliédrico completo . Un grupo puntual, la simetría piritoédrica , incluye la rotación de la simetría tetraédrica y además tiene tres planos de simetría de reflexión y algunas rotaciones-reflexiones . En general, los grupos poliédricos mencionados se resumen en los siguientes puntos: ^{[ 47 ]}

• simetría tetraédrica quiral${\displaystyle \mathrm {T} }$, el grupo de rotación para un tetraedro regular y tiene un orden de doce.
• simetría tetraédrica completa${\displaystyle \mathrm {T} _ {\mathrm {d} }}$, el grupo de simetría para un tetraedro regular y tiene orden veinticuatro.
• simetría piritoédrica${\displaystyle \mathrm {T} _ {\mathrm {h} }}$, la simetría de un piritoedro y tiene un orden de veinticuatro.
• simetría octaédrica quiral${\displaystyle \mathrm {O} }$, el grupo de rotación tanto del cubo como del octaedro regular y tiene orden veinticuatro.
• simetría octaédrica completa${\displaystyle \mathrm {O} _ {\mathrm {h} }}$, el grupo de simetría tanto del cubo como del octaedro regular y tiene orden cuarenta y ocho.
• simetría icosaédrica quiral${\displaystyle \mathrm {I} }$, el grupo de rotación tanto del icosaedro regular como del dodecaedro regular y tiene un orden de sesenta.
• simetría icosaédrica completa${\displaystyle \mathrm {I} _ {\mathrm {h} }}$, el grupo de simetría tanto del icosaedro regular como del dodecaedro regular y tiene un orden de ciento veinte.

Los grupos puntuales en tres dimensiones también pueden permitir la preservación de la apariencia de los poliedros mediante la circulación alrededor de un eje. Existen tres tipos diferentes de estos grupos puntuales:

• simetría piramidal${\displaystyle C_{n\mathrm {v} }}$, permitiendo rotar el eje que pasa por el vértice y su base , así como la reflexión con respecto a planos perpendiculares que pasan por la bisectriz de una base. Esta simetría de grupo puntual se puede encontrar en pirámides, ^{[ 48 ]} cúpulas y rotondas .
• simetría prismática${\displaystyle D_{n\mathrm {h} }}$, similar a la simetría piramidal, pero con una transformación adicional al reflejarla sobre un plano horizontal. ^{[ 48 ]} Esto puede lograrse a partir de la familia de prismas y sus bipirámides duales . ^{[ 48 ]}
• simetría antiprismática${\displaystyle D_{n\mathrm {v} }}$, que conserva la simetría mediante la rotación de su mitad inferior y la reflexión a través del plano horizontal. ^{[ 48 ]} Se pueden encontrar ejemplos en los antiprismas.

Un grupo puntual${\displaystyle C_{n\mathrm {h} }}$Consiste en rotar alrededor del eje de simetría y reflejarlo en el plano horizontal. En el caso de${\displaystyle n=1}$, el grupo de simetría solo conserva la simetría mediante una rotación completa únicamente, que normalmente denota${\displaystyle C_{s}}$. ^{[ 49 ]} Los poliedros pueden tener rotación solo para preservar la simetría, y el grupo de simetría puede considerarse como el grupo cíclico.${\displaystyle C_{n}}$. ^{[ 50 ]} Los poliedros con la reflexión del rotor y la rotación por el grupo cíclico son el grupo puntual${\displaystyle S_{n}}$. ^{[ 51 ]}

Un poliedro que llena el espacio es aquel que puede empaquetarse con copias de sí mismo para llenar completamente el espacio. Este empaquetamiento compacto o relleno del espacio se denomina a menudo teselación del espacio o panal . Estos incluyen los paralelepípedos (o poliedros de Federov), cada uno de los cuales forma una teselación utilizando copias de sí mismo trasladadas sin rotación; ^{[ 74 ]} los plesioedros , definidos como las celdas de Voronoi de conjuntos de Delone simétricos ; y los tetraedros de Hill , una familia de tetraedros que llenan el espacio. Los paralelepípedos y los plesioedros son ejemplos de estereoedros , que recubren el espacio isoédricamente. ^{[ 75 ]} Todo poliedro que llena el espacio debe tener su invariante de Dehn igual a cero. ^{[ 76 ]}

Algunos panales involucran más de un tipo de poliedro, como un teselado de octaedros y tetraedros y octaedros y cuboctaedros . ^{[ 77 ]}

El poliedro de Steffen y uno de los poliedros de Bricard.

Algunos poliedros pueden cambiar su forma general, manteniendo la forma de sus caras, al variar los ángulos de sus aristas. Un poliedro que puede hacer esto se llama poliedro flexible. Según el teorema de rigidez de Cauchy , los poliedros flexibles deben ser no convexos. El volumen de un poliedro flexible debe permanecer constante al flexionarse; este resultado se conoce como el teorema del fuelle. ^{[ 78 ]} Tres ejemplos son el poliedro de Steffen , ^{[ 79 ]} el octaedro de Bricard , ^{[ 80 ]} y el poliedro de Kokotsakis . ^{[ 81 ]}

Los poliedros convexos pueden definirse en el espacio hiperbólico tridimensional de la misma manera que en el espacio euclidiano, como las envolturas convexas de conjuntos finitos de puntos. Sin embargo, en el espacio hiperbólico, también es posible considerar puntos ideales y los puntos dentro del espacio. Un poliedro ideal es la envoltura convexa de un conjunto finito de puntos ideales. ^{[ 82 ]} Sus caras son polígonos ideales, pero sus aristas están definidas por líneas hiperbólicas completas en lugar de segmentos de línea, y sus vértices (los puntos ideales de los que es la envoltura convexa) no se encuentran dentro del espacio hiperbólico.

Los poliedros convexos cuyos vértices tienen coordenadas enteras se denominan poliedros reticulares o poliedros integrales . El polinomio de Ehrhart de un poliedro reticular cuenta cuántos puntos con coordenadas enteras se encuentran dentro de una copia escalada del poliedro, en función del factor de escala. El estudio de estos polinomios se sitúa en la intersección de la combinatoria y el álgebra conmutativa . ^{[ 83 ]} Un ejemplo es el tetraedro de Reeve . ^{[ 84 ]}

Existe una equivalencia de gran alcance entre los poliedros reticulares y ciertas variedades algebraicas llamadas variedades tóricas . ^{[ 85 ]} Stanley utilizó esto para demostrar las ecuaciones de Dehn-Sommerville para politopos simpliciales . ^{[ 86 ]}

Un compuesto poliédrico está formado por dos o más poliedros que comparten un centro común. Los compuestos simétricos suelen compartir los mismos vértices que otros poliedros conocidos y a menudo también pueden formarse por estelación . Por ejemplo, el compuesto de dos tetraedros se forma a partir de dos tetraedros regulares que se cruzan, o bien extendiendo las caras subyacentes de un octaedro regular ; por ello, también se denomina "octaedro estrellado"; el poliedro resultante forma caras triangulares adicionales. ^{[ 87 ]}

Un zonohedro es un poliedro convexo en el que cada cara es un polígono simétrico bajo rotaciones de 180°. Los zonohedros también pueden caracterizarse como sumas de Minkowski de segmentos de línea e incluyen varios poliedros importantes que llenan el espacio. ^{[ 88 ]}

Se dice que los poliedros son ortogonales porque todos sus bordes son paralelos a los ejes de un sistema de coordenadas cartesianas. ^{[ 89 ]} Esto implica que todas las caras se encuentran en ángulos rectos , pero esta condición es más débil: el icosaedro de Jessen tiene caras que se encuentran en ángulos rectos, pero no tiene bordes paralelos a los ejes. ^{[ 90 ]} Aparte de los cuboides rectangulares , los poliedros ortogonales no son convexos. Son los análogos tridimensionales de los polígonos ortogonales bidimensionales, también conocidos como polígonos rectilíneos . Los poliedros ortogonales se utilizan en geometría computacional , donde su estructura restringida ha permitido avances en problemas sin resolver para poliedros arbitrarios, por ejemplo, desplegar la superficie de un poliedro en una red poligonal . ^{[ 91 ]} Los policubos son un caso especial de poliedros ortogonales que se pueden descomponer en cubos idénticos, y son análogos tridimensionales de los poliominós planares . ^{[ 92 ]}

Una superficie poliédrica clásica tiene un número finito de caras, unidas de dos en dos a lo largo de sus aristas. Los apeiroedros forman una clase relacionada de objetos con un número infinito de caras. Ejemplos de apeiroedros incluyen los recubrimientos o teselaciones del plano y estructuras esponjosas llamadas poliedros sesgados infinitos .

Tres apeiroedros oblicuos regulares de Petrie y Coxeter: mucubo, muoctaedro y mutetraedro.

Los poliedros oblicuos son poliedros con caras no planas. Los apeiroedros oblicuos regulares se originaron a partir de la extensión de polígonos oblicuos regulares . Estos polígonos se caracterizan por tener vértices no planos. John Flinders Petrie , quien generalizó este concepto a un caso tridimensional en 1926, inventó los dos primeros apeiroedros de este tipo: el mucubo y el mucotahedro, construidos a partir de cubos y octaedros truncados mediante la eliminación de las caras cuadradas compartidas de poliedros adyacentes para formar túneles. El tercer poliedro oblicuo regular, el mutetrahedro, fue descubierto posteriormente por Harold Scott MacDonald Coxeter mediante la construcción de múltiples tetraedros truncados siguiendo el procedimiento de Petrie. ^{[ 93 ]}

Existen objetos denominados poliedros complejos, cuyo espacio subyacente es un espacio de Hilbert complejo en lugar de un espacio euclidiano real. Solo existen definiciones precisas para los poliedros complejos regulares, cuyos grupos de simetría son grupos de reflexión complejos . Los poliedros complejos están matemáticamente más relacionados con las configuraciones que con los poliedros reales. ^{[ 94 ]}

En algunos campos de estudio, los poliedros pueden tener caras y aristas curvas. Las caras curvas permiten la existencia de caras diagonales con área positiva.

• Cuando la superficie de una esfera se divide mediante un número finito de arcos máximos (o, equivalentemente, mediante planos que pasan por el centro de la esfera), el resultado se denomina poliedro esférico . Muchos politopos convexos con cierto grado de simetría (por ejemplo, todos los sólidos platónicos) pueden proyectarse sobre la superficie de una esfera concéntrica para producir un poliedro esférico. Sin embargo, el proceso inverso no siempre es posible; algunos poliedros esféricos (como los hosoedros ) no tienen un análogo de caras planas. ^{[ 95 ]}
• Si se permite que las caras sean cóncavas además de convexas, las caras adyacentes pueden unirse sin dejar espacio. Algunos de estos poliedros curvos pueden agruparse para llenar el espacio. Dos tipos importantes son las burbujas en espumas, como las burbujas de Weaire-Phelan ^{[ 96 ]} , y las formas utilizadas en arquitectura ^{[ 97 ] .}

Los poliedros aparecieron en formas arquitectónicas tempranas como cubos y paralelepípedos, y las primeras pirámides egipcias de cuatro lados datan del siglo XXVII a . C. ^{[ 99 ]} El Papiro Matemático de Moscú, de aproximadamente 1800-1650 a. C., incluye un estudio escrito temprano de los poliedros y sus volúmenes (específicamente, el volumen de un tronco de cono ). ^{[ 100 ]} Las matemáticas del Imperio Babilónico Antiguo , de aproximadamente el mismo período que el Papiro de Moscú, también incluían cálculos de los volúmenes de paralelepípedos (y de cilindros no poliédricos ), y cálculos de la altura de dicha forma necesaria para alcanzar un volumen dado. ^{[ 101 ]}

Los etruscos precedieron a los griegos en su conocimiento de al menos algunos de los poliedros regulares, como lo demuestra el descubrimiento de un dodecaedro etrusco de esteatita en el Monte Loffa . Sus caras estaban marcadas con diferentes diseños, lo que sugiere a algunos estudiosos que pudo haber sido utilizado como dado de juego. ^{[ 102 ]}

Sólidos platónicos asignados a los elementos (dibujos de Harmonices Mundi de Kepler ) 

Los matemáticos de la antigua Grecia descubrieron y estudiaron los poliedros regulares convexos , que llegaron a conocerse como sólidos platónicos . Su primera descripción escrita se encuentra en el Timeo de Platón (alrededor del 360 a. C.), que asocia cuatro de ellos con los cuatro elementos y el quinto con la forma general del universo. Un tratamiento más matemático de estos cinco poliedros se escribió poco después en los Elementos de Euclides . Un comentarista temprano de Euclides (posiblemente Gémino ) escribe que la atribución de estas formas a Platón es incorrecta: Pitágoras conocía el tetraedro , el cubo y el dodecaedro , y Teeteto (alrededor del 417 a. C.) descubrió los otros dos, el octaedro y el icosaedro . ^{[ 103 ]} Más tarde, Arquímedes amplió su estudio a los poliedros uniformes convexos que ahora llevan su nombre. Su obra original se ha perdido y sus sólidos nos han llegado a través de Papo . ^{[ 104 ]}

Tanto los dados cúbicos como los dados de 14 caras con forma de octaedro truncado en China se remontan al período de los Reinos Combatientes . ^{[ 105 ]}

Hacia el año 236 d. C., Liu Hui describía la disección del cubo en su tetraedro característico ( ortoesquema ) y sólidos relacionados, utilizando conjuntos de estos sólidos como base para calcular los volúmenes de tierra que debían moverse durante las excavaciones de ingeniería. ^{[ 106 ]}

Tras el fin de la época clásica, los eruditos de la civilización islámica continuaron desarrollando el conocimiento griego (véase Matemáticas en el Islam medieval ). ^{[ 107 ]} El erudito del siglo IX, Thabit ibn Qurra, incluyó el cálculo de volúmenes en sus estudios, ^{[ 108 ]} y escribió una obra sobre el cuboctaedro . Posteriormente, en el siglo X, Abu'l Wafa describió los poliedros esféricos convexos regulares y cuasirregulares. ^{[ 109 ]}

Doppio ritratto , atribuido a Jacopo de' Barbari , que representa a Luca Pacioli y a un estudiante estudiando un rombicuboctaedro de vidrio medio lleno de agua. ^{[ 110 ]}

Un poliedro esquelético (específicamente, un rombicuboctaedro ) dibujado por Leonardo da Vinci para ilustrar un libro de Luca Pacioli.

Al igual que con otras áreas del pensamiento griego mantenidas y enriquecidas por los eruditos islámicos, el interés occidental por los poliedros resurgió durante el Renacimiento italiano . Los artistas construyeron poliedros esqueléticos, representándolos del natural como parte de sus investigaciones sobre la perspectiva . ^{[ 111 ]} Los poliedros toroidales , hechos de madera y utilizados para sostener tocados, se convirtieron en un ejercicio común en el dibujo de perspectiva y se representaron en paneles de marquetería de la época como símbolo de geometría. ^{[ 112 ]} Piero della Francesca escribió sobre la construcción de vistas en perspectiva de poliedros y redescubrió muchos de los sólidos arquimedianos. Leonardo da Vinci ilustró modelos esqueléticos de varios poliedros para un libro de Luca Pacioli , ^{[ 113 ]} con un texto en gran parte plagiado de della Francesca. ^{[ 114 ]} Las redes poliédricas aparecen en la obra de Albrecht Dürer . ^{[ 115 ]}

Varias obras de esta época investigan los poliedros estrellados y otras elaboraciones de las formas platónicas básicas. Una tarsia de mármol en el suelo de la Basílica de San Marcos , Venecia, diseñada por Paolo Uccello , representa un dodecaedro estrellado. ^{[ 116 ]} A medida que el Renacimiento se extendió más allá de Italia, artistas posteriores como Wenzel Jamnitzer , Durero y otros también representaron poliedros de creciente complejidad, muchos de ellos novedosos, en imaginativos grabados. ^{[ 111 ]} Johannes Kepler (1571-1630) utilizó polígonos estrellados , típicamente pentagramas , para construir poliedros estrellados. Algunas de estas figuras pueden haber sido descubiertas antes de la época de Kepler, pero él fue el primero en reconocer que podían considerarse "regulares" si se eliminaba la restricción de que los poliedros regulares deben ser convexos. ^{[ 117 ]}

En el mismo período, la fórmula poliédrica de Euler , una ecuación lineal que relaciona el número de vértices, aristas y caras de un poliedro, fue enunciada para los sólidos platónicos en 1537 en un manuscrito inédito de Francesco Maurolico . ^{[ 118 ]}

René Descartes , alrededor de 1630, escribió su libro De solidorum elementis estudiando los poliedros convexos como un concepto general, no limitado a los sólidos platónicos y sus elaboraciones. La obra se perdió y no fue redescubierta hasta el siglo XIX. Una de sus contribuciones fue el teorema de Descartes sobre el defecto angular total , que está estrechamente relacionado con la fórmula poliédrica de Euler. ^{[ 119 ]} Leonhard Euler , de quien toma su nombre la fórmula, la introdujo en 1758 para poliedros convexos de forma más general, aunque con una demostración incorrecta. ^{[ 120 ]} El trabajo de Euler (junto con su solución anterior al enigma de los Siete Puentes de Königsberg ) se convirtió en la base del nuevo campo de la topología . ^{[ 121 ]} Los conceptos centrales de este campo, incluidas las generalizaciones de la fórmula poliédrica, fueron desarrollados a finales del siglo XIX por Henri Poincaré , Enrico Betti , Bernhard Riemann y otros. ^{[ 122 ]}

A principios del siglo XIX, Louis Poinsot extendió el trabajo de Kepler y descubrió los dos poliedros estrellados regulares restantes. Poco después, Augustin-Louis Cauchy demostró que la lista de Poinsot era completa, sujeta a la suposición implícita de que la secuencia de vértices y aristas de cada lado poligonal no podía admitir repeticiones (una suposición que había sido considerada pero rechazada en el trabajo anterior de AFL Meister). ^{[ 123 ]} Se les conoció como los poliedros de Kepler-Poinsot , y Arthur Cayley les dio sus nombres habituales . ^{[ 124 ]} Mientras tanto, el descubrimiento de dimensiones superiores a principios del siglo XIX llevó a Ludwig Schläfli hacia 1853 a la idea de los politopos de dimensiones superiores. ^{[ 125 ]} Además, a finales del siglo XIX, el cristalógrafo ruso Evgraf Fedorov completó la clasificación de los paralelepípedos , poliedros convexos que recubren el espacio mediante traslaciones. ^{[ 126 ]}

Las matemáticas del siglo XX amanecieron con los problemas de Hilbert , uno de los cuales, el tercer problema de Hilbert , trataba sobre poliedros y sus disecciones . Fue rápidamente resuelto por el alumno de Hilbert, Max Dehn , quien introdujo el invariante de Dehn para poliedros. ^{[ 127 ]} El teorema de Steinitz , publicado por Ernst Steinitz en 1992, caracterizó las gráficas de poliedros convexos, incorporando ideas modernas de la teoría de grafos y la combinatoria al estudio de los poliedros . ^{[ 128 ]}

Los poliedros de Kepler-Poinsot pueden construirse a partir de los sólidos platónicos mediante un proceso llamado estelación . La mayoría de las estelaciones no son regulares. El estudio de las estelaciones de los sólidos platónicos recibió un gran impulso en 1938 gracias a HSM Coxeter y otros, con el ahora famoso artículo «Los cincuenta y nueve icosaedros» . ^{[ 129 ]} El análisis de Coxeter marcó un renacimiento del interés por la geometría. El propio Coxeter procedió a enumerar por primera vez los poliedros uniformes estrellados, a tratar los recubrimientos del plano como poliedros, a descubrir los poliedros sesgados regulares y a desarrollar la teoría de los poliedros complejos, descubierta por primera vez por Shephard en 1952, además de realizar contribuciones fundamentales a muchas otras áreas de la geometría. ^{[ 130 ]}

En la segunda mitad del siglo XX, tanto Branko Grünbaum como Imre Lakatos señalaron la tendencia entre los matemáticos a definir un "poliedro" de maneras diferentes y a veces incompatibles para adaptarse a las necesidades del momento. ^{[ 3 ] [ 2 ]} En una serie de artículos, Grünbaum amplió la definición aceptada de poliedro, descubriendo muchos nuevos poliedros regulares . A finales del siglo XX, estas últimas ideas se fusionaron con otros trabajos sobre complejos de incidencia para crear la idea moderna de un poliedro abstracto (como un 3-politopo abstracto), presentada notablemente por McMullen y Schulte. ^{[ 131 ]}

El radiolario Circogonia icosahedra

Mapa Dymaxion , creado mediante la red de un icosaedro regular.

Se han descubierto poliedros en muchos campos de la ciencia. Los sólidos platónicos aparecieron en criaturas biológicas, como en Braarudosphaera bigelowii, que tiene una estructura dodecaédrica regular. ^{[ 132 ]} Ernst Haeckel describió varias especies de radiolarios , algunas de cuyas conchas tienen forma de diversos poliedros regulares. ^{[ 133 ]} Las cápsides proteicas externas de muchos virus forman poliedros regulares. Por ejemplo, el VIH está encerrado en un icosaedro regular, al igual que la cabeza de un miovirus típico . ^{[ 134 ] [ 135 ]} El icosaedro regular también pudo haber aparecido en aplicaciones de cartografía cuando R. Buckminster Fuller usó su red para su proyecto conocido como mapa Dymaxion , y se dio cuenta con frustración de que el tamaño de Groenlandia era menor que el de Sudamérica . ^{[ 136 ]}

Los poliedros aparecen con frecuencia en la geometría computacional moderna , los gráficos por computadora y el diseño geométrico , con temas que incluyen la reconstrucción de superficies poliédricas o mallas de superficie a partir de puntos de datos dispersos, ^{[ 137 ]} geodésicas en superficies poliédricas, ^{[ 138 ]} visibilidad e iluminación en escenas poliédricas, ^{[ 139 ]} policubos y otros poliedros no convexos con lados paralelos a los ejes, ^{[ 140 ]} formas algorítmicas del teorema de Steinitz, ^{[ 141 ]} y el problema aún sin resolver de la existencia de redes poliédricas para poliedros convexos. ^{[ 142 ]}

• Weisstein, Eric W. , "Poliedro" , MathWorld{{cite web}}: Mantenimiento de CS1: configuración sobrescrita ( enlace )
• Páginas de poliedros
• Solución uniforme para poliedros uniformes por el Dr. Zvi Har'El. Archivado el 27/11/2015 en Wayback Machine.
• Simetría, cristales y poliedros

• Poliedros de realidad virtual : la enciclopedia de los poliedros.
• Modelos de geometría electrónica : contiene una selección revisada por pares de poliedros con propiedades inusuales.
• Modelos de poliedros – Poliedros virtuales.
• Modelos de papel de poliedros uniformes (y de otro tipo)

• Una plétora de poliedros : una colección interactiva y gratuita de poliedros en Java. Incluye desarrollos planos, secciones planas, duales, truncamientos y estelaciones de más de 300 poliedros.
• Hyperspace Star Polytope Slicer – Applet Java para exploradores, incluye diversas opciones de visualización 3D.
• openSCAD : software multiplataforma gratuito para programadores. Los poliedros son solo uno de los elementos que puedes modelar. El manual de usuario de openSCAD también está disponible.
• OpenVolumeMesh : una biblioteca C++ multiplataforma de código abierto para el manejo de mallas poliédricas. Desarrollada por el Grupo de Gráficos por Computadora de Aquisgrán, Universidad RWTH Aachen.
• Polyhedronisme ( archivado el 25/04/2012 en Wayback Machine) : herramienta web para generar modelos de poliedros mediante la notación de poliedros de Conway . Los modelos se pueden exportar como imágenes PNG 2D o como archivos OBJ o VRML2 3D.

• Modelos de papel de poliedros. Redes libres de poliedros.
• Instrucciones sencillas para construir más de 30 poliedros de papel.
• Poliedros trenzados con tiras de papel : modelos de poliedros construidos sin usar pegamento.