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Mosaico

Azulejos de terracota zellige en Marrakech , que forman teselaciones regulares, de borde a borde y de otro tipo. Una escultura mural en Leeuwarden que celebra las teselaciones a...

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Azulejos de terracota zellige en Marrakech , que forman teselaciones regulares, de borde a borde y de otro tipo.
Una escultura mural en Leeuwarden que celebra las teselaciones artísticas de MC Escher.
Un ejemplo de no periodicidad debido a una orientación diferente de una baldosa de un número infinito de baldosas idénticas.

Una teselación o recubrimiento consiste en cubrir una superficie , generalmente un plano , utilizando una o más figuras geométricas , llamadas teselas , sin superposiciones ni huecos. En matemáticas , la teselación puede generalizarse a dimensiones superiores y a diversas geometrías.

Un teselado periódico tiene un patrón repetitivo. Algunos tipos especiales incluyen teselados regulares con teselas poligonales regulares de la misma forma, y ​​teselados semirregulares con teselas regulares de más de una forma y con cada esquina dispuesta de forma idéntica. Los patrones formados por teselados periódicos se pueden clasificar en 17 grupos de papel tapiz . Un teselado que carece de un patrón repetitivo se llama "no periódico". Un teselado aperiódico utiliza un pequeño conjunto de formas de teselas que no pueden formar un patrón repetitivo (un conjunto aperiódico de prototeselas ). Una teselación del espacio , también conocida como relleno del espacio o panal, se puede definir en la geometría de dimensiones superiores.

Una teselación física real es un revestimiento hecho de materiales como cuadrados o hexágonos de cerámica cementada . Estos revestimientos pueden ser patrones decorativos o tener funciones como proporcionar pavimentos , suelos o revestimientos de paredes duraderos e impermeables . Históricamente, las teselaciones se utilizaron en la Antigua Roma y en el arte islámico, como en la arquitectura marroquí y el revestimiento geométrico decorativo del palacio de la Alhambra . En el siglo XX, la obra de M. C. Escher a menudo empleó teselaciones, tanto en geometría euclidiana ordinaria como en geometría hiperbólica , con fines artísticos. Las teselaciones se emplean a veces con fines decorativos en el patchwork . Las teselaciones forman una clase de patrones en la naturaleza , por ejemplo, en las matrices de celdas hexagonales que se encuentran en los panales de abejas .

Historia

Mosaico de un templo de la antigua ciudad sumeria de Uruk IV (3400-3100 a. C.), que muestra un patrón de teselación en azulejos de colores.

Los sumerios utilizaron teselaciones (alrededor del 4000 a. C.) en la decoración de muros de edificios formados por patrones de tejas de arcilla. [ 1 ]

Los mosaicos decorativos hechos de pequeños bloques cuadrados llamados teselas se emplearon ampliamente en la antigüedad clásica , [ 2 ] a veces mostrando patrones geométricos. [ 3 ] [ 4 ]

En 1619, Johannes Kepler realizó un estudio documentado temprano sobre teselaciones. Escribió sobre teselaciones regulares y semirregulares en su Harmonics Mundi ; posiblemente fue el primero en explorar y explicar las estructuras hexagonales de los panales de abejas y los copos de nieve . [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]

Mosaico romano de rombos

Unos doscientos años después, en 1891, el cristalógrafo ruso Yevgraf Fyodorov demostró que cada teselado periódico del plano presenta uno de diecisiete grupos diferentes de isometrías. [ 8 ] [ 9 ] El trabajo de Fyodorov marcó el inicio no oficial del estudio matemático de las teselaciones. Otros contribuyentes destacados incluyen a Alexei Vasilievich Shubnikov y Nikolai Belov en su libro Simetría coloreada (1964), [ 10 ] y Heinrich Heesch y Otto Kienzle (1963). [ 11 ]

Etimología

En latín, tesela es una pequeña pieza cúbica de arcilla , piedra o vidrio que se usa para hacer mosaicos. [ 12 ] La palabra «tesela» significa «cuadrado pequeño» (de tessera , cuadrado, que a su vez proviene de la palabra griega τέσσερα, que significa cuatro ). Corresponde al término cotidiano «teselado» , que se refiere a las aplicaciones de teselaciones, a menudo hechas de arcilla vidriada .

Descripción general

Un revestimiento rombitrihexagonal : suelo alicatado en el Museo Arqueológico de Sevilla , España, utilizando protobaldosas cuadradas, triangulares y hexagonales.

La teselación en dos dimensiones, también llamada teselación planar, es un tema de la geometría que estudia cómo se pueden disponer las formas, conocidas como teselas , para llenar un plano sin dejar huecos, según un conjunto de reglas. Estas reglas pueden variar. Las más comunes son que no debe haber huecos entre las teselas y que ninguna esquina de una tesela puede estar sobre el borde de otra. [ 13 ] Las teselaciones creadas por la mampostería no obedecen esta regla. Entre las que sí la obedecen, una teselación regular tiene teselas regulares idénticas y vértices o esquinas regulares idénticas, con el mismo ángulo entre los bordes adyacentes para cada tesela. [ 14 ] Solo hay tres formas que pueden formar tales teselaciones regulares: el triángulo equilátero , el cuadrado y el hexágono regular . Cualquiera de estas tres formas se puede duplicar infinitamente para llenar un plano sin dejar huecos. [ 6 ]

Existen muchos otros tipos de teselación posibles bajo diferentes restricciones. Por ejemplo, hay ocho tipos de teselación semirregular, formada por más de un tipo de polígono regular, pero manteniendo la misma disposición de polígonos en cada esquina. [ 15 ] También se pueden crear teselaciones irregulares a partir de otras formas, como pentágonos , poliominós y, de hecho, casi cualquier tipo de figura geométrica. El artista M. C. Escher es famoso por crear teselaciones con piezas irregulares entrelazadas, con forma de animales y otros objetos naturales. [ 16 ] Si se eligen colores contrastantes adecuados para las piezas de diferentes formas, se forman patrones llamativos que pueden utilizarse para decorar superficies físicas, como los suelos de las iglesias. [ 17 ]

Los elaborados y coloridos mosaicos de azulejos vidriados zellige de la Alhambra en España que atrajeron la atención de MC Escher

De manera más formal, una teselación o recubrimiento es una cobertura del plano euclidiano mediante un número contable de conjuntos cerrados, llamados teselas , de modo que las teselas se intersecan solo en sus límites . Estas teselas pueden ser polígonos o cualquier otra forma. [ b ] Muchas teselaciones se forman a partir de un número finito de prototeselas en las que todas las teselas de la teselación son congruentes con las prototeselas dadas. Si una forma geométrica puede usarse como prototela para crear una teselación, se dice que la forma tesela o recubre el plano . El criterio de Conway es un conjunto de reglas suficiente, pero no necesario, para decidir si una forma dada recubre el plano periódicamente sin reflexiones: algunas teselas no cumplen el criterio, pero aun así recubren el plano. [ 19 ] No se ha encontrado ninguna regla general para determinar si una forma dada puede recubrir el plano o no, lo que significa que hay muchos problemas sin resolver en relación con las teselaciones. [ 18 ]

Matemáticamente, las teselaciones pueden extenderse a espacios distintos del plano euclidiano. [ 6 ] El geómetra suizo Ludwig Schläfli fue pionero en esto al definir poliesquemas , que los matemáticos hoy llaman politopos . Estos son los análogos de polígonos y poliedros en espacios con más dimensiones. Además, definió la notación de símbolos de Schläfli para facilitar la descripción de politopos. Por ejemplo, el símbolo de Schläfli para un triángulo equilátero es {3}, mientras que el de un cuadrado es {4}. [ 20 ] La notación de Schläfli permite describir teselaciones de forma compacta. Por ejemplo, una teselación de hexágonos regulares tiene tres polígonos de seis lados en cada vértice, por lo que su símbolo de Schläfli es {6,3}. [ 21 ]

También existen otros métodos para describir los teselados poligonales. Cuando el teselado está formado por polígonos regulares, la notación más común es la configuración de vértices , que es simplemente una lista del número de lados de los polígonos que rodean un vértice. El teselado cuadrado tiene una configuración de vértices de 4.4.4.4, o 4 4 . El teselado de hexágonos regulares se denota como 6.6.6, o 6 3 . [ 18 ]

En matemáticas

Introducción a las teselaciones

Los matemáticos utilizan algunos términos técnicos al hablar de teselaciones. Una arista es la intersección entre dos teselas adyacentes; suele ser una línea recta. Un vértice es el punto de intersección de tres o más teselas adyacentes. Según estos términos, una teselación isogonal o transitiva en vértices es aquella en la que cada vértice es idéntico; es decir, la disposición de los polígonos alrededor de cada vértice es la misma. [ 18 ] La región fundamental es una figura, como un rectángulo, que se repite para formar la teselación. [ 22 ] Por ejemplo, una teselación regular del plano con cuadrados tiene cuatro cuadrados que se encuentran en cada vértice . [ 18 ]

Los lados de los polígonos no son necesariamente idénticos a las aristas de las teselas. Un teselado de borde a borde es cualquier teselado poligonal en el que las teselas adyacentes comparten solo un lado completo, es decir, ninguna tesela comparte un lado parcial o más de un lado con otra tesela. En un teselado de borde a borde, los lados de los polígonos y las aristas de las teselas son iguales. El conocido teselado de "pared de ladrillos" no es de borde a borde porque el lado largo de cada ladrillo rectangular se comparte con dos ladrillos adyacentes. [ 18 ]

Un teselado normal es aquel en el que cada tesela es topológicamente equivalente a un disco , la intersección de dos teselas cualesquiera es un conjunto conexo o el conjunto vacío , y todas las teselas están uniformemente acotadas . Esto significa que se puede utilizar un único radio circunscrito y un único radio inscrito para todas las teselas del teselado completo; la condición impide el uso de teselas patológicamente largas o delgadas. [ 23 ]

Un ejemplo de teselado no borde con borde: el decimoquinto teselado pentagonal monoédrico convexo , descubierto en 2015.

Un teselado monoédrico es una teselación en la que todas las teselas son congruentes ; tiene solo una prototela. Un tipo particularmente interesante de teselado monoédrico es el teselado monoédrico espiral. El primer teselado monoédrico espiral fue descubierto por Heinz Voderberg en 1936; el teselado de Voderberg tiene una tesela unitaria que es un eneágono no convexo . [ 1 ] El teselado de Hirschhorn , publicado por Michael D. Hirschhorn y DC Hunt en 1985, es un teselado pentagonal que utiliza pentágonos irregulares: los pentágonos regulares no pueden teselar el plano euclidiano ya que el ángulo interno de un pentágono regular, ⁠ 3 π / 5 ⁠ , no es divisor de 2 π . [ 24 ] [ 25 ]

Un teselado isoédrico es una variación especial de un teselado monoédrico en el que todos los teselados pertenecen a la misma clase de transitividad, es decir, todos los teselados son transformaciones del mismo prototelado bajo el grupo de simetría del teselado. [ 23 ] Si un prototelado admite un teselado, pero ningún teselado de este tipo es isoédrico, entonces el prototelado se llama anisoédrico y forma teselados anisoédricos .

Una teselación regular es un recubrimiento altamente simétrico , formado por polígonos regulares de la misma forma. Solo existen tres tipos de teselaciones regulares: las formadas por triángulos equiláteros , cuadrados o hexágonos regulares . Estas tres teselaciones son isogonales y monoédricas. [ 26 ]

Un teselado pitagórico no es un teselado de borde a borde.

Una teselación semirregular (o arquimediana) utiliza más de un tipo de polígono regular en una disposición isogonal. Hay ocho teselaciones semirregulares (o nueve si el par de teselaciones simétricas cuenta como dos). [ 27 ] Estas se pueden describir por su configuración de vértices ; por ejemplo, una teselación semirregular que utiliza cuadrados y octágonos regulares tiene la configuración de vértices 4.8 2 (cada vértice tiene un cuadrado y dos octágonos). [ 28 ] Son posibles muchas teselaciones del plano euclidiano que no son de borde a borde, incluida la familia de teselaciones pitagóricas , teselaciones que utilizan dos tamaños (parametrizados) de cuadrados, cada cuadrado tocando cuatro cuadrados del otro tamaño. [ 29 ] Una teselación de borde es aquella en la que cada tesela se puede reflejar sobre un borde para ocupar la posición de una tesela vecina, como en una matriz de triángulos equiláteros o isósceles. [ 30 ]

Grupos de papel tapiz

Este pavimento monoédrico teselado utiliza formas curvas en lugar de polígonos. Pertenece al grupo de fondos de pantalla p3.

Los teselados con simetría traslacional en dos direcciones independientes se pueden categorizar por grupos de papel tapiz , de los cuales existen 17. [ 31 ] Se ha afirmado que los diecisiete de estos grupos están representados en el palacio de la Alhambra en Granada , España . Aunque esto es discutido, [ 32 ] la variedad y sofisticación de los teselados de la Alhambra han interesado a los investigadores modernos. [ 33 ] De los tres teselados regulares, dos están en el grupo de papel tapiz p6m y uno está en p4m . Los teselados en 2-D con simetría traslacional en una sola dirección se pueden categorizar por los siete grupos de frisos que describen los posibles patrones de friso . [ 34 ] La notación de orbifold se puede utilizar para describir grupos de papel tapiz del plano euclidiano. [ 35 ]

Teselaciones aperiódicas

Un teselado de Penrose , con varias simetrías, pero sin repeticiones periódicas.

Los teselados de Penrose , que utilizan dos prototeselados cuadriláteros diferentes, son el ejemplo más conocido de teselas que crean patrones no periódicos de forma forzada. Pertenecen a una clase general de teselados aperiódicos , que utilizan teselas que no pueden teselar periódicamente. El proceso recursivo de teselado por sustitución es un método para generar teselados aperiódicos. Una clase que se puede generar de esta manera son las rep-teselas ; estos teselados tienen propiedades de autorreplicación inesperadas. [ 36 ] Los teselados de Pinwheel son no periódicos, utilizando una construcción de rep-teselas; las teselas aparecen en infinitas orientaciones. [ 37 ] Podría pensarse que un patrón no periódico carecería por completo de simetría, pero esto no es así. Los teselados aperiódicos, si bien carecen de simetría traslacional , sí tienen simetrías de otros tipos, por repetición infinita de cualquier parche acotado del teselado y en ciertos grupos finitos de rotaciones o reflexiones de esos parches. [ 38 ] Una regla de sustitución, como la que se puede usar para generar patrones de Penrose usando conjuntos de teselas llamadas rombos, ilustra la simetría de escala. [ 39 ] Una palabra de Fibonacci se puede usar para construir un teselado aperiódico y para estudiar cuasicristales , que son estructuras con orden aperiódico. [ 40 ]

Un conjunto de 13 teselas de Wang que cubren el plano solo de forma aperiódica.

Las fichas de Wang son cuadrados coloreados en cada borde y colocados de manera que los bordes contiguos de las fichas adyacentes tengan el mismo color; por lo tanto, a veces se les llama dominós de Wang . Un conjunto adecuado de dominós de Wang puede cubrir el plano, pero solo de forma aperiódica. Esto se sabe porque cualquier máquina de Turing puede representarse como un conjunto de dominós de Wang que cubren el plano si, y solo si, la máquina de Turing no se detiene. Dado que el problema de la parada es indecidible, el problema de decidir si un conjunto de dominós de Wang puede cubrir el plano también es indecidible. [ 41 ] [ 42 ] [ 43 ] [ 44 ] [ 45 ]

Azulejos Truchet aleatorios

Las baldosas Truchet son baldosas cuadradas decoradas con patrones, por lo que carecen de simetría rotacional ; en 1704, Sébastien Truchet utilizó una baldosa cuadrada dividida en dos triángulos de colores contrastantes. Estas pueden cubrir el plano de forma periódica o aleatoria. [ 46 ] [ 47 ]

Una tesela de Einstein es una forma única que fuerza un teselado aperiódico. La primera de estas teselas, denominada "sombrero", fue descubierta en 2023 por David Smith, un matemático aficionado. [ 48 ] [ 49 ] El descubrimiento está siendo sometido a revisión profesional y, una vez confirmado, se le atribuirá la solución de un problema matemático de larga data . [ 50 ]

Teselaciones y color

Se requieren al menos siete colores para que los colores de este mosaico formen un patrón repitiendo este rectángulo como dominio fundamental ; en general, se necesitan al menos cuatro colores .

A veces, el color de una baldosa se entiende como parte del teselado; otras veces, se pueden aplicar colores arbitrarios posteriormente. Al hablar de un teselado representado con colores, para evitar ambigüedades, es necesario especificar si los colores forman parte del teselado o solo de su ilustración. Esto afecta a si las baldosas con la misma forma, pero de diferente color, se consideran idénticas, lo que a su vez afecta a las cuestiones de simetría. El teorema de los cuatro colores establece que, para cada teselado de un plano euclidiano normal , con un conjunto de cuatro colores disponibles, cada baldosa puede colorearse de un color tal que no haya baldosas del mismo color que se encuentren en una curva de longitud positiva. La coloración garantizada por el teorema de los cuatro colores generalmente no respeta las simetrías del teselado. Para producir una coloración que sí las respete, es necesario tratar los colores como parte del teselado. En este caso, pueden ser necesarios hasta siete colores, como se muestra en la imagen de la izquierda. [ 51 ]

Teselaciones con polígonos

Además de los diversos recubrimientos mediante polígonos regulares , también se han estudiado los recubrimientos mediante otros tipos de polígonos.

Cualquier triángulo o cuadrilátero (incluso no convexo ) puede usarse como prototipo para formar una teselación monoédrica, a menudo de más de una manera. Copias de un cuadrilátero arbitrario pueden formar una teselación con simetría traslacional y simetría rotacional doble con centros en los puntos medios de todos los lados. Para un cuadrilátero asimétrico, este recubrimiento pertenece al grupo de papel tapiz p2 . Como dominio fundamental tenemos el cuadrilátero. De forma equivalente, podemos construir un paralelogramo subtendido por un conjunto mínimo de vectores de traslación, partiendo de un centro de rotación. Podemos dividirlo por una diagonal y tomar una mitad (un triángulo) como dominio fundamental. Dicho triángulo tiene la misma área que el cuadrilátero y puede construirse a partir de él cortando y pegando. [ 52 ]

Teselación mediante polígonos no convexos de 12 lados con forma de Texas.

Si solo se permite una forma de tesela, existen teselaciones con N -gonos convexos para N igual a 3, 4, 5 y 6. Para N = 5 , véase Teselación pentagonal , para N = 6 , véase Teselación hexagonal , para N = 7 , véase Teselación heptagonal y para N = 8 , véase Teselación octogonal .

En el caso de los polígonos no convexos, existen muchas menos limitaciones en cuanto al número de lados, incluso si solo se permite una forma.

Los poliominós son ejemplos de piezas, convexas o no convexas, que permiten recubrir un plano mediante diversas combinaciones, rotaciones y reflexiones. Para obtener resultados sobre el recubrimiento de planos con poliominós , consulte la sección «Poliominós § Usos de los poliominós» .

mosaicos de Voronoi

Un teselado de Voronoi , en el que las celdas son siempre polígonos convexos.

Los teselados de Voronoi o Dirichlet son teselaciones donde cada tesela se define como el conjunto de puntos más cercanos a uno de los puntos en un conjunto discreto de puntos definitorios. (Piense en regiones geográficas donde cada región se define como todos los puntos más cercanos a una ciudad o oficina de correos determinada). [ 53 ] [ 54 ] La celda de Voronoi para cada punto definitorio es un polígono convexo. La triangulación de Delaunay es una teselación que es el grafo dual de una teselación de Voronoi. Las triangulaciones de Delaunay son útiles en la simulación numérica, en parte porque entre todas las triangulaciones posibles de los puntos definitorios, las triangulaciones de Delaunay maximizan el mínimo de los ángulos formados por las aristas. [ 55 ] Los teselados de Voronoi con puntos colocados aleatoriamente se pueden usar para construir teselados aleatorios del plano. [ 56 ]

Teselaciones en dimensiones superiores

Teselando el espacio tridimensional (3D): el dodecaedro rómbico es uno de los sólidos que se pueden apilar para llenar el espacio exactamente .

La teselación puede extenderse a tres dimensiones. Ciertos poliedros pueden apilarse en un patrón cristalino regular para llenar (o recubrir) el espacio tridimensional, incluyendo el cubo (el único poliedro platónico que lo hace), el dodecaedro rómbico , el octaedro truncado y los prismas triangulares, cuadriláteros y hexagonales , entre otros. [ 57 ] Cualquier poliedro que cumpla este criterio se conoce como plesioedro y puede poseer entre 4 y 38 caras. [ 58 ] Los dodecaedros rómbicos que se encuentran en la naturaleza se hallan como cristales de andradita (un tipo de granate ) y fluorita . [ 59 ] [ 60 ]

Ilustración de un biprisma de Schmitt-Conway, también llamado tesela de Schmitt-Conway-Danzer.

Las teselaciones en tres o más dimensiones se denominan panales . En tres dimensiones solo existe un panal regular, que tiene ocho cubos en cada vértice del poliedro. De manera similar, en tres dimensiones solo existe un panal cuasirregular [ c ] , que tiene ocho tetraedros y seis octaedros en cada vértice del poliedro. Sin embargo, existen muchos panales semirregulares posibles en tres dimensiones. [ 61 ] Los panales uniformes se pueden construir utilizando la construcción de Wythoff . [ 62 ]

El biprisma de Schmitt-Conway es un poliedro convexo con la propiedad de recubrir el espacio solo aperiódicamente. [ 63 ]

Un triángulo de Schwarz es un triángulo esférico que puede usarse para recubrir una esfera . [ 64 ]

Teselaciones en geometrías no euclidianas

Teselado rombitriheptagonal en el plano hiperbólico, visto en la proyección del modelo de disco de Poincaré.
El panal icosaédrico regular {3,5,3} , uno de los cuatro panales compactos regulares en el espacio hiperbólico tridimensional.

Es posible realizar teselaciones en geometrías no euclidianas , como la geometría hiperbólica . Un teselado uniforme en el plano hiperbólico (que puede ser regular, cuasiregular o semirregular) consiste en un relleno de borde a borde del plano hiperbólico, con polígonos regulares como caras ; estos son transitivos en sus vértices e isogonales (existe una isometría que mapea cualquier vértice sobre cualquier otro). [ 65 ] [ 66 ]

Un panal uniforme en el espacio hiperbólico es una teselación uniforme de celdas poliédricas uniformes . En el espacio hiperbólico tridimensional (3D) existen nueve familias de grupos de Coxeter de panales uniformes convexos compactos , generados como construcciones de Wythoff y representados por permutaciones de anillos de los diagramas de Coxeter para cada familia. [ 67 ]

En el arte

Panel de mosaico romano de piedra, azulejo y vidrio, procedente de una villa cerca de Antioquía , en la Siria romana. Siglo II d.C.

En arquitectura, las teselaciones se han utilizado para crear motivos decorativos desde la antigüedad. Los mosaicos a menudo presentaban patrones geométricos. [ 4 ] Civilizaciones posteriores también utilizaron baldosas de mayor tamaño, lisas o decoradas individualmente. Algunas de las más decorativas fueron los azulejos murales moriscos de la arquitectura islámica , que empleaban baldosas Girih y Zellige en edificios como la Alhambra [ 68 ] y la Mezquita . [ 69 ]

Las teselaciones aparecían con frecuencia en la obra gráfica de M. C. Escher ; se inspiró en el uso de la simetría por parte de los moriscos en lugares como la Alhambra cuando visitó España en 1936. [ 70 ] Escher realizó cuatro dibujos de " Límite del círculo " de teselaciones que utilizan geometría hiperbólica. [ 71 ] [ 72 ] Para su xilografía "Límite del círculo IV" (1960), Escher preparó un estudio a lápiz y tinta que mostraba la geometría requerida. [ 73 ] Escher explicó que "Ningún componente individual de todas las series, que desde infinitamente lejos se elevan como cohetes perpendicularmente desde el límite y finalmente se pierden en él, jamás alcanza la línea límite". [ 74 ]

Una colcha que muestra un patrón de teselación regular.

Los diseños teselados suelen aparecer en textiles, ya sean tejidos, bordados o estampados. Los patrones de teselación se han utilizado para diseñar motivos entrelazados de formas de retazos en colchas . [ 75 ] [ 76 ]

Las teselaciones también son un género principal en el origami , donde se utilizan pliegues para conectar moléculas, como pliegues retorcidos, de forma repetitiva. [ 77 ]

En la fabricación

La teselación se utiliza en la industria manufacturera para reducir el desperdicio de material (pérdidas de rendimiento), como la chapa metálica, al cortar formas para objetos como puertas de automóviles o latas de bebidas . [ 78 ]

La teselación es evidente en el agrietamiento tipo grieta de barro de películas delgadas [ 79 ] [ 80 ] – y se observa cierto grado de autoorganización utilizando micro y nanotecnologías . [ 81 ]

En la naturaleza

Un panal de abejas es una estructura teselada natural.

El panal de abejas es un ejemplo bien conocido de teselación en la naturaleza con sus celdas hexagonales. [ 82 ]

En botánica, el término "teselado" describe un patrón a cuadros, por ejemplo , en un pétalo de flor, la corteza de un árbol o un fruto. Las flores, incluidas las de la fritilaria [ 83 ] y algunas especies de Colchicum , son característicamente teseladas. [ 84 ]

Muchos patrones en la naturaleza se forman por grietas en láminas de materiales. Estos patrones pueden describirse mediante teselaciones de Gilbert , [ 85 ] también conocidas como redes de grietas aleatorias. [ 86 ] La teselación de Gilbert es un modelo matemático para la formación de grietas de barro , cristales en forma de aguja y estructuras similares. El modelo, que lleva el nombre de Edgar Gilbert , permite que las grietas se formen a partir de estar dispersas aleatoriamente sobre el plano; cada grieta se propaga en dos direcciones opuestas a lo largo de una línea que pasa por el punto de inicio, cuya pendiente se elige al azar, creando una teselación de polígonos convexos irregulares. [ 87 ] Los flujos de lava basáltica a menudo muestran juntas columnares como resultado de las fuerzas de contracción que causan grietas a medida que la lava se enfría. Las extensas redes de grietas que se desarrollan a menudo producen columnas hexagonales de lava. Un ejemplo de tal conjunto de columnas es la Calzada del Gigante en Irlanda del Norte. [ 88 ] El pavimento teselado , un ejemplo característico del cual se encuentra en Eaglehawk Neck en la península de Tasman de Tasmania , es una rara formación de roca sedimentaria donde la roca se ha fracturado en bloques rectangulares. [ 89 ]

Patrón teselado en una flor de Colchicum

En las espumas se presentan otros patrones naturales ; estos se empaquetan según las leyes de Plateau , que requieren superficies mínimas . Dichas espumas plantean un problema en cuanto a cómo empaquetar las celdas lo más juntas posible: en 1887, Lord Kelvin propuso un empaquetamiento que utilizaba un solo sólido, el panal cúbico bitruncado con caras ligeramente curvadas. En 1993, Denis Weaire y Robert Phelan propusieron la estructura de Weaire-Phelan , que utiliza menos superficie para separar celdas de igual volumen que la espuma de Kelvin. [ 90 ]

En rompecabezas y matemáticas recreativas

Rompecabezas de disección de tangram tradicional

Las teselaciones han dado lugar a muchos tipos de rompecabezas de teselado , desde los rompecabezas tradicionales (con piezas irregulares de madera o cartón) [ 91 ] y el tangram , [ 92 ] hasta rompecabezas más modernos que a menudo tienen una base matemática. Por ejemplo, los polidiamantes y los poliominós son figuras de triángulos y cuadrados regulares, que se utilizan a menudo en rompecabezas de teselado. [ 93 ] [ 94 ] Autores como Henry Dudeney y Martin Gardner han hecho muchos usos de la teselación en matemáticas recreativas . Por ejemplo, Dudeney inventó la disección articulada , [ 95 ] mientras que Gardner escribió sobre el " rep-tile ", una forma que se puede diseccionar en copias más pequeñas de la misma forma. [ 96 ] [ 97 ] Inspirada por los artículos de Gardner en Scientific American , la matemática aficionada Marjorie Rice encontró cuatro nuevas teselaciones con pentágonos. [ 98 ] [ 99 ] Cuadrar el cuadrado es el problema de teselar un cuadrado entero (uno cuyos lados tienen longitud entera) usando solo otros cuadrados enteros. [ 100 ] [ 101 ] Una extensión es cuadrar el plano, teselándolo con cuadrados cuyos tamaños son todos números naturales sin repeticiones; James y Frederick Henle demostraron que esto era posible. [ 102 ]

Ejemplos

Véase también

Notas a pie de página explicativas

  1. ↑ El término matemático para formas idénticas es "congruente"; en matemáticas, "idéntico" significa que son la misma pieza.
  2. ↑ Por lo general, se requiere que las teselas sean homeomorfas (topológicamente equivalentes) a un disco cerrado , lo que significa que se excluyen las formas extrañas con agujeros, segmentos de línea colgantes o áreas infinitas. [ 18 ]
  3. ↑ En este contexto, cuasiregular significa que las celdas son regulares (sólidas) y las figuras de los vértices son semirregulares.

Referencias

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  3. ↑ "Los mosaicos geométricos de Brantingham" . Ayuntamiento de Hull. 2008. Consultado el 19 de diciembre de 2025 .
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  5. ↑ Kepler, Johannes (1619). Harmonices Mundi [ Armonía de los mundos ] .
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