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Categoría triangulada

En matemáticas , una categoría triangulada es una categoría con la estructura adicional de un functor de traslación y una clase de triángulos exactos. Ejemplos destacados son la...

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En matemáticas , una categoría triangulada es una categoría con la estructura adicional de un functor de traslación y una clase de triángulos exactos. Ejemplos destacados son la categoría derivada de una categoría abeliana , así como la categoría de homotopía estable . Los triángulos exactos generalizan las sucesiones exactas cortas en una categoría abeliana, así como las sucesiones de fibra y las sucesiones de cofibra en topología.

Gran parte del álgebra homológica se aclara y extiende mediante el lenguaje de las categorías trianguladas, siendo un ejemplo importante la teoría de la cohomología de haces . En la década de 1960, un uso típico de las categorías trianguladas consistía en extender las propiedades de los haces en un espacio X a complejos de haces, considerados como objetos de la categoría derivada de haces en X. Más recientemente, las categorías trianguladas se han convertido en objetos de interés por derecho propio. Se han demostrado o conjeturado muchas equivalencias entre categorías trianguladas de diferentes orígenes. Por ejemplo, la conjetura de la simetría especular homológica predice que la categoría derivada de una variedad de Calabi-Yau es equivalente a la categoría de Fukaya de su variedad simpléctica "espejo" . El operador de desplazamiento es un análogo descategorizado de la categoría triangulada.

Historia

Las categorías trianguladas fueron introducidas independientemente por Dieter Puppe (1962) y Jean-Louis Verdier (1963), aunque los axiomas de Puppe eran menos completos (carecían del axioma octaédrico (TR 4)). [ 1 ] Puppe se inspiró en la categoría de homotopía estable. El ejemplo clave de Verdier fue la categoría derivada de una categoría abeliana, que también definió, desarrollando ideas de Alexander Grothendieck . Las primeras aplicaciones de las categorías derivadas incluyeron la dualidad coherente y la dualidad de Verdier , que extiende la dualidad de Poincaré a espacios singulares.

Definición

Un functor de desplazamiento o traslación en una categoría D es un automorfismo aditivo (o para algunos autores, una autoequivalencia ) .Σ{\displaystyle \Sigma }de D a D. Es común escribirincógnita[norte]=Σnorteincógnita{\displaystyle X[n]=\Sigma ^{n}X}para enteros n .

Un triángulo ( X , Y , Z , u , v , w ) consta de tres objetos X , Y y Z , junto con morfismos.tú:incógnita→Y{\displaystyle u\colon X\to Y},v:Y→Z{\displaystyle v\dos puntos Y\a Z}yw:Z→incógnita[1]{\displaystyle w\dos puntos Z\a X[1]}Los triángulos generalmente se escriben en forma desplegada:

incógnita→túY→vZ→wincógnita[1],{\displaystyle X{\xrightarrow {{} \atop u}}Y{\xrightarrow {{} \atop v}}Z{\xrightarrow {{} \atop w}}X[1],}

o

incógnita→túY→vZ→w{\displaystyle X{\xrightarrow {{} \atop u}}Y{\xrightarrow {{} \atop v}}Z{\xrightarrow {{} \atop w}}}

en resumen.

Una categoría triangulada es una categoría aditiva D con un functor de traslación y una clase de triángulos, llamados triángulos exactos [ 2 ] (o triángulos distinguidos ), que satisfacen las siguientes propiedades (TR 1), (TR 2), (TR 3) y (TR 4). (Estos axiomas no son completamente independientes, ya que (TR 3) puede derivarse de los demás. [ 3 ] )

TR 1

  • Para cada objeto X , el siguiente triángulo es exacto:
incógnita→identificaciónincógnita→0→incógnita[1]{\displaystyle X{\overset {\text{id}}{\to }}X\to 0\to X[1]}
  • Para cada morfismotú:incógnita→Y{\displaystyle u\colon X\to Y}Existe un objeto Z (llamado cono o cofibra del morfismo u ) que encaja en un triángulo exacto.
incógnita→túY→Z→incógnita[1]{\displaystyle X{\xrightarrow {{} \atop u}}Y\to Z\to X[1]}
El nombre "cono" proviene del cono de un mapa de complejos de cadenas , que a su vez se inspiró en el cono de mapeo en topología. De los demás axiomas se deduce que un triángulo exacto (y en particular el objeto Z ) está determinado salvo isomorfismo por el morfismo.incógnita→Y{\displaystyle X\to Y}, aunque no siempre hasta un isomorfismo único. [ 4 ]
  • Todo triángulo isomorfo a un triángulo exacto es exacto. Esto significa que si
incógnita→túY→vZ→wincógnita[1]{\displaystyle X{\xrightarrow {{} \atop u}}Y{\xrightarrow {{} \atop v}}Z{\xrightarrow {{} \atop w}}X[1]}
es un triángulo exacto, yF:incógnita→incógnita′{\displaystyle f\colon X\to X'},gramo:Y→Y′{\displaystyle g\colon Y\to Y'}, yh:Z→Z′{\displaystyle h\dos puntos Z\a Z'}son isomorfismos, entonces
incógnita′→gramotúF−1Y′→hvgramo−1Z′→F[1]wh−1incógnita′[1]{\displaystyle X'{\xrightarrow {guf^{-1}}}Y'{\xrightarrow {hvg^{-1}}}Z'{\xrightarrow {f[1]wh^{-1}}}X'[1]}
También es un triángulo exacto.

TR 2

Si

incógnita→túY→vZ→wincógnita[1]{\displaystyle X{\xrightarrow {{} \atop u}}Y{\xrightarrow {{} \atop v}}Z{\xrightarrow {{} \atop w}}X[1]}

Si es un triángulo exacto, entonces también lo son los dos triángulos rotados.

Y→vZ→wincógnita[1]→−tú[1]Y[1]{\displaystyle Y{\xrightarrow {{} \atop v}}Z{\xrightarrow {{} \atop w}}X[1]{\xrightarrow {-u[1]}}Y[1]}

y

Z[−1]→−w[−1]incógnita→túY→vZ. {\displaystyle Z[-1]{\xrightarrow {-w[-1]}}X{\xrightarrow {{} \atop u}}Y{\xrightarrow {{} \atop v}}Z.\ }

En vista del último triángulo, el objeto Z [−1] se denomina fibra del morfismo.incógnita→Y{\displaystyle X\to Y}.

El segundo triángulo rotado tiene una forma más compleja cuando[1]{\displaystyle [1]}y[−1]{\displaystyle [-1]}no son isomorfismos sino solo equivalencias mutuamente inversas de categorías, ya que−w[−1]{\displaystyle -w[-1]}es un morfismo deZ[−1]{\displaystyle Z[-1]}a(incógnita[1])[−1]{\displaystyle (X[1])[-1]}y para obtener un morfismo a[incógnita]{\displaystyle [X]}Hay que componer con la transformación natural.(incógnita[1])[−1]→incógnita{\displaystyle (X[1])[-1]{\xrightarrow {}}X}Esto lleva a preguntas complejas sobre los posibles axiomas que hay que imponer a las transformaciones naturales que hacen[1]{\displaystyle [1]}y[−1]{\displaystyle [-1]}en un par de equivalencias inversas. Debido a este problema, la suposición de que[1]{\displaystyle [1]}y[−1]{\displaystyle [-1]}"son isomorfismos mutuamente inversos" es la elección habitual en la definición de una categoría triangulada.

TR 3

Dados dos triángulos exactos y una aplicación entre los primeros morfismos de cada triángulo, existe un morfismo entre los terceros objetos de cada uno de los dos triángulos que hace que todo conmute . Es decir, en el siguiente diagrama (donde las dos filas son triángulos exactos y f y g son morfismos tales que gu = u′f ), existe una aplicación h (no necesariamente única) que hace que todos los cuadrados conmuten:

TR 4: El axioma octaédrico

Dejartú:incógnita→Y{\displaystyle u\colon X\to Y}yv:Y→Z{\displaystyle v\dos puntos Y\a Z}sean morfismos, y consideremos el morfismo compuesto.vtú:incógnita→Z{\displaystyle vu\dos puntos X\a Z}. Forme triángulos exactos para cada uno de estos tres morfismos según TR 1. El axioma octaédrico establece (aproximadamente) que los tres conos de mapeo se pueden convertir en los vértices de un triángulo exacto de manera que "todo conmuta".

Más formalmente, dados triángulos exactos

incógnita→túY→jZ′→kincógnita[1]{\displaystyle X{\xrightarrow {u\,}}Y{\xrightarrow {j}}Z'{\xrightarrow {k}}X[1]}
Y→vZ→lincógnita′→iY[1]{\displaystyle Y{\xrightarrow {v\,}}Z{\xrightarrow {l}}X'{\xrightarrow {i}}Y[1]}
incógnita→vtúZ→metroY′→norteincógnita[1]{\displaystyle X{\xrightarrow {{} \atop vu}}Z{\xrightarrow {m}}Y'{\xrightarrow {n}}X[1]},

Existe un triángulo exacto

Z′→FY′→gramoincógnita′→hZ′[1]{\displaystyle Z'{\xrightarrow {f}}Y'{\xrightarrow {g}}X'{\xrightarrow {h}}Z'[1]}

de tal manera que

l=gramometro,k=norteF,h=j[1]i,igramo=tú[1]norte,Fj=metrov.{\displaystyle l=gm,\quad k=nf,\quad h=j[1]i,\quad ig=u[1]n,\quad fj=mv.}

Este axioma se denomina «axioma octaédrico» porque al dibujar todos los objetos y morfismos se obtiene el esqueleto de un octaedro , cuatro de cuyas caras son triángulos exactos. La presentación que se muestra aquí es del propio Verdier y aparece, con su diagrama octaédrico, en (Hartshorne 1966 ) . En el siguiente diagrama, u y v son los morfismos dados, y las letras con prima son los conos de diversas aplicaciones (elegidas de modo que cada triángulo exacto tenga una letra X , una Y y una Z ). Varias flechas se han marcado con [1] para indicar que son de «grado 1»; por ejemplo, la aplicación de Z ′ a X es, de hecho, de Z ′ a X [1]. El axioma octaédrico afirma entonces la existencia de aplicaciones f y g que forman un triángulo exacto, y de modo que f y g forman triángulos conmutativos en las demás caras que las contienen: 

En (Beilinson, Bernstein y Deligne 1982 ) aparecen dos imágenes diferentes ( Gelfand y Manin ( 2006 ) también presentan la primera). La primera presenta las pirámides superior e inferior del octaedro anterior y afirma que, dada una pirámide inferior, se puede completar una pirámide superior de manera que los dos caminos de Y a Y ′ y de Y ′ a Y sean iguales (esta condición se omite, quizás erróneamente, en la presentación de Hartshorne). Los triángulos marcados con + son conmutativos y los marcados con "d" son exactos:  

El segundo diagrama es una presentación más innovadora. Los triángulos exactos se presentan linealmente, y el diagrama enfatiza el hecho de que los cuatro triángulos en el "octaedro" están conectados por una serie de aplicaciones de triángulos, donde se dan tres triángulos (a saber, aquellos que completan los morfismos de X a Y , de Y a Z y de X a Z ) y se afirma la existencia del cuarto. Se pasa entre los dos primeros "pivotando" alrededor de X , al tercero pivotando alrededor de Z , y al cuarto pivotando alrededor de X ′. Todos los recintos en este diagrama son conmutativos (tanto los trigonos como el cuadrado), pero el otro cuadrado conmutativo, que expresa la igualdad de los dos caminos de Y ′ a Y , no es evidente. Todas las flechas que apuntan "fuera del borde" son de grado 1:

Este último diagrama también ilustra una útil interpretación intuitiva del axioma octaédrico. En las categorías trianguladas, los triángulos desempeñan el papel de secuencias exactas, por lo que resulta sugerente pensar en estos objetos como "cocientes".Z′=Y/incógnita{\displaystyle Z'=Y/X}yY′=Z/incógnita{\displaystyle Y'=Z/X}En esos términos, la existencia del último triángulo expresa por un lado

incógnita′=Z/Y {\displaystyle X'=Z/Y\ }(mirando el triángulo)Y→Z→incógnita′→{\displaystyle Y\to Z\to X'\to } ), y
incógnita′=Y′/Z′{\displaystyle X'=Y'/Z'}(mirando el triángulo)Z′→Y′→incógnita′→{\displaystyle Z'\to Y'\to X'\to } ).

Al combinar estos elementos, el axioma octaédrico afirma el "tercer teorema de isomorfismo":

(Z/incógnita)/(Y/incógnita)≅Z/Y.{\displaystyle (Z/X)/(Y/X)\cong Z/Y.}

Si la categoría triangulada es la categoría derivada D ( A ) de una categoría abeliana A , y X , Y , Z son objetos de A vistos como complejos concentrados en grado 0, y los mapasincógnita→Y{\displaystyle X\to Y}yY→Z{\displaystyle Y\to Z}Si son monomorfismos en A , entonces los conos de estos morfismos en D ( A ) son en realidad isomorfos a los cocientes anteriores en A .

Finalmente, Neeman ( 2001 ) formula el axioma octaédrico utilizando un diagrama conmutativo bidimensional con 4 filas y 4 columnas. Beilinson, Bernstein y Deligne ( 1982 ) también ofrecen generalizaciones del axioma octaédrico.  

Propiedades

Aquí se presentan algunas consecuencias simples de los axiomas para una categoría triangulada D.

  • Dado un triángulo exacto
incógnita→túY→vZ→wincógnita[1]{\displaystyle X{\xrightarrow {{} \atop u}}Y{\xrightarrow {{} \atop v}}Z{\xrightarrow {{} \atop w}}X[1]}
En D , la composición de dos morfismos sucesivos cualesquiera es cero. Es decir, vu = 0, wv = 0, u [1] w = 0, y así sucesivamente. [ 5 ]
  • Dado un morfismotú:incógnita→Y{\displaystyle u\colon X\to Y}TR 1 garantiza la existencia de un cono Z que completa un triángulo exacto. Cualquier par de conos de u son isomorfos, pero el isomorfismo no siempre está determinado de forma única. [ 4 ]
  • Todo monomorfismo en D es la inclusión de un sumando directo,incógnita→incógnita⊕Y{\displaystyle X\to X\oplus Y}y todo epimorfismo es una proyecciónincógnita⊕Y→incógnita{\displaystyle X\oplus Y\to X}. [ 6 ] Un punto relacionado es que no se debe hablar de "inyectividad" o "sobreyectividad" para morfismos en una categoría triangulada. Todo morfismoincógnita→Y{\displaystyle X\to Y}que no es un isomorfismo tiene un "cokernel" Z distinto de cero (lo que significa que hay un triángulo exacto)incógnita→Y→Z→incógnita[1]{\displaystyle X\to Y\to Z\to X[1]}) y también un "núcleo" distinto de cero, a saber, Z [−1].

No funcionalismo de la construcción del cono

Una de las complicaciones técnicas de las categorías trianguladas es el hecho de que la construcción del cono no es funtorial. Por ejemplo, dado un anilloR{\displaystyle R}y el mapa parcial de triángulos distinguidos

R→0→R[+1]→↓↓0→R[+1]→R[+1]→{\displaystyle {\begin{matrix}R&\to &0&\to &R[+1]&\to \\\downarrow &&\downarrow &&&\\0&\to &R[+1]&\to &R[+1]&\to \end{matrix}}}

enDb(R){\displaystyle D^{b}(R)}Hay dos mapas que completan este diagrama. Este podría ser el mapa identidad o el mapa cero.

identificación:R[+1]→R[+1]0:R[+1]→R[+1]{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{id}}:&R[+1]\to R[+1]\\0:&R[+1]\to R[+1]\end{aligned}}}

Ambos son conmutativos. La existencia de dos mapas es un reflejo de que una categoría triangulada es una herramienta que codifica límites de homotopía y colímites . Grothendieck propuso una solución a este problema, donde no solo se considera la categoría derivada, sino también la categoría derivada de diagramas sobre esta categoría. Dicho objeto se denomina Derivador .

Ejemplos

  1. Los espacios vectoriales sobre un cuerpo k forman una categoría triangulada elemental en la que X [1] = X para todo X . Un triángulo exacto es una secuenciaincógnita→Y→Z→incógnita→Y{\displaystyle X\to Y\to Z\to X\to Y}de mapas k -lineales (escribiendo el mismo mapa)incógnita→Y{\displaystyle X\to Y}dos veces) lo cual es exacto en X , Y y Z.
  2. Si A es una categoría aditiva (por ejemplo, una categoría abeliana), defina la categoría de homotopía .K(A){\displaystyle K(A)}⁠ tener como objetos los complejos de cadena en A , y como morfismos las clases de homotopía de morfismos de complejos. Entonces ⁠K(A){\displaystyle K(A)}⁠ es una categoría triangulada. [ 7 ] El desplazamiento X [1] es el complejo X movido un paso a la izquierda (y con diferenciales multiplicados por −1). Un triángulo exacto en ⁠K(A){\displaystyle K(A)}⁠ es un triángulo que es isomorfo en ⁠K(A){\displaystyle K(A)}al triánguloincógnita→Y→cono(F)→incógnita[1]{\displaystyle X\to Y\to {\text{cono}}(f)\to X[1]}asociado a algún mapaF:incógnita→Y{\displaystyle f\colon X\to Y}de complejos de cadena. (Aquícono(F){\displaystyle {\text{cono}}(f)}denota el cono de mapeo de un mapeo en cadena.)
  3. La categoría derivada D ( A ) de una categoría abeliana A es una categoría triangulada. [ 8 ] Se construye a partir de la categoría de complejos C ( A ) localizando con respecto a todos los cuasi-isomorfismos . Es decir, se adjunta formalmente un morfismo inverso para cada cuasi-isomorfismo. Los objetos de D ( A ) no cambian; es decir, son complejos de cadena. Un triángulo exacto en D ( A ) es un triángulo que es isomorfo en D ( A ) al triánguloincógnita→Y→cono(F)→incógnita[1]{\displaystyle X\to Y\to {\text{cono}}(f)\to X[1]}asociado a algún mapaF:incógnita→Y{\displaystyle f\colon X\to Y}de complejos de cadena. Una motivación clave para la categoría derivada es que los functores derivados en A pueden verse como functores en la categoría derivada. [ 9 ] Algunas subcategorías naturales de D ( A ) también son categorías trianguladas, por ejemplo la subcategoría de complejos X cuyos objetos de cohomologíaHi(incógnita){\displaystyle H^{i}(X)}En A desaparece para i suficientemente negativo, suficientemente positivo o ambos, llamadoD+(A),D−(A),Db(A){\displaystyle D^{+}(A),D^{-}(A),D^{\text{b}}(A)}, respectivamente.
  4. En topología, la categoría de homotopía establehS{\displaystyle h{\cal {S}}}es una categoría triangulada. [ 10 ] Los objetos son espectros , el desplazamiento X [1] es la suspensiónΣincógnita{\displaystyle \Sigma X}(o equivalentemente el desacoplamiento)Ω−1incógnita{\displaystyle \Omega ^{-1}X}), y los triángulos exactos son las secuencias de cofibras. Una característica distintiva de la categoría de homotopía estable (en comparación con la categoría de homotopía inestable ) es que las secuencias de fibras son iguales a las secuencias de cofibras. De hecho, en cualquier categoría triangulada, los triángulos exactos pueden considerarse tanto secuencias de fibras como secuencias de cofibras.
  5. En la teoría de representación modular de un grupo finito G , la categoría de módulos estables StMod( kG ) ​​es una categoría triangulada. Sus objetos son las representaciones de G sobre un cuerpo k , y los morfismos son los usuales, módulo aquellos que se factorizan mediante módulos kG proyectivos (o equivalentemente inyectivos ) . De forma más general, la categoría de módulos estables se define para cualquier álgebra de Frobenius en lugar de kG .

¿Existen axiomas mejores?

Algunos expertos sospechan [ 11 ] pág. 190 (véase, por ejemplo, (Gelfand & Manin 2006 , Introducción, Capítulo IV) ) que las categorías trianguladas no son realmente el concepto "correcto". La razón esencial es que el cono de un morfismo es único solo salvo un isomorfismo no único . En particular, el cono de un morfismo no depende en general de forma funtorial del morfismo (nótese la no unicidad en el axioma (TR 3), por ejemplo). Esta no unicidad es una fuente potencial de errores. Sin embargo, los axiomas funcionan adecuadamente en la práctica, y existe una gran cantidad de literatura dedicada a su estudio. 

Derivados

Una propuesta alternativa es la teoría de los derivadores propuesta en Pursuing stacks por Grothendieck en los años 80 [ 11 ] pág. 191 , y posteriormente desarrollada en los años 90 en su manuscrito sobre el tema. Esencialmente, se trata de un sistema de categorías de homotopía dadas por las categorías de diagramas.I→METRO{\displaystyle I\to M}para una categoría con una clase de equivalencias débiles(METRO,W){\displaystyle (M,W)}Estas categorías se relacionan luego mediante los morfismos de diagramas.I→J{\displaystyle I\to J}Este formalismo tiene la ventaja de poder recuperar los límites y colímites de homotopía, lo que reemplaza la construcción del cono.

Categorías ∞ estables

Otra alternativa construida es la teoría de las ∞-categorías estables . La categoría de homotopía de una ∞-categoría estable está triangulada canónicamente, y además los conos de mapeo se vuelven esencialmente únicos (en un sentido homotópico preciso). Además, una ∞-categoría estable codifica naturalmente toda una jerarquía de compatibilidades para su categoría de homotopía, en cuya base se encuentra el axioma octaédrico. Por lo tanto, es estrictamente más fuerte dar los datos de una ∞-categoría estable que dar los datos de una triangulación de su categoría de homotopía. Casi todas las categorías trianguladas que surgen en la práctica provienen de ∞-categorías estables. Un enriquecimiento similar (pero más especial) de las categorías trianguladas es la noción de una dg-categoría .

En cierto modo, las ∞-categorías estables o las dg-categorías funcionan mejor que las categorías trianguladas. Un ejemplo es la noción de un functor exacto entre categorías trianguladas, que se analiza más adelante. Para una variedad proyectiva lisa X sobre un cuerpo k , la categoría derivada acotada de haces coherentesDb(incógnita){\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(X)}proviene de una dg-categoría de forma natural. Para las variedades X e Y , todo functor de la dg-categoría de X a la de Y proviene de un complejo de haces enincógnita×Y{\displaystyle X\times Y}mediante la transformada de Fourier-Mukai . [ 12 ] Por el contrario, existe un ejemplo de un functor exacto deDb(incógnita){\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(X)}aDb(Y){\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(Y)}que no proviene de un complejo de gavillas enincógnita×Y{\displaystyle X\times Y}. [ 13 ] En vista de este ejemplo, la noción "correcta" de un morfismo entre categorías trianguladas parece ser una que proviene de un morfismo de dg-categorías subyacentes (o ∞-categorías estables).

Otra ventaja de las ∞-categorías estables o dg-categorías sobre las categorías trianguladas aparece en la K-teoría algebraica . Se puede definir la K-teoría algebraica de una ∞-categoría estable o dg-categoría C , dando una secuencia de grupos abelianos.Ki(do){\displaystyle K_{i}(C)}para enteros i . El grupoK0(do){\displaystyle K_{0}(C)}tiene una descripción simple en términos de la categoría triangulada asociada a C. Pero un ejemplo muestra que los K-grupos superiores de una dg-categoría no siempre están determinados por la categoría triangulada asociada. [ 14 ] Por lo tanto, una categoría triangulada tiene una bien definidaK0{\displaystyle K_{0}}grupo, pero en general no grupos K superiores.

Por otro lado, la teoría de categorías trianguladas es más sencilla que la teoría de categorías ∞ o dg estables, y en muchas aplicaciones la estructura triangulada es suficiente. Un ejemplo es la demostración de la conjetura de Bloch-Kato , donde se realizaron numerosos cálculos a nivel de categorías trianguladas, y no se requirió la estructura adicional de categorías ∞ o dg.

Cohomología en categorías trianguladas

Las categorías trianguladas admiten una noción de cohomología, y cada categoría triangulada tiene una gran cantidad de funtores cohomológicos. Un funtor cohomológico F de una categoría triangulada D a una categoría abeliana A es un funtor tal que para cada triángulo exacto

incógnita→Y→Z→incógnita[1], {\displaystyle X\to Y\to Z\to X[1],\ }

la secuenciaF(incógnita)→F(Y)→F(Z){\displaystyle F(X)\to F(Y)\to F(Z)}en A es exacto. Dado que un triángulo exacto determina una secuencia infinita de triángulos exactos en ambas direcciones,

⋯→Z[−1]→incógnita→Y→Z→incógnita[1]→⋯, {\displaystyle \cdots \to Z[-1]\to X\to Y\to Z\to X[1]\to \cdots ,\ }

Un functor cohomológico F da en realidad una larga sucesión exacta en la categoría abeliana A :

⋯→F(Z[−1])→F(incógnita)→F(Y)→F(Z)→F(incógnita[1])→⋯. {\displaystyle \cdots \to F(Z[-1])\to F(X)\to F(Y)\to F(Z)\to F(X[1])\to \cdots .\ }

Un ejemplo clave es: para cada objeto B en una categoría triangulada D , los functoresInicio⁡(B,-){\displaystyle \operatorname {Hom} (B,{\text{-}})}yInicio⁡(-,B){\displaystyle \operatorname {Hom} ({\text{-}},B)}son cohomológicos, con valores en la categoría de grupos abelianos . [ 15 ] (Para ser precisos, este último es un functor contravariante , que puede considerarse como un functor en la categoría opuesta de D. ) Es decir, un triángulo exactoincógnita→Y→Z→incógnita[1]{\displaystyle X\to Y\to Z\to X[1]}determina dos largas secuencias exactas de grupos abelianos:

⋯→Inicio⁡(B,incógnita[i])→Inicio⁡(B,Y[i])→Inicio⁡(B,Z[i])→Inicio⁡(B,incógnita[i+1])→⋯{\displaystyle \cdots \to \operatorname {Hom} (B,X[i])\to \operatorname {Hom} (B,Y[i])\to \operatorname {Hom} (B,Z[i])\to \operatorname {Hom} (B,X[i+1])\to \cdots }

y

⋯→Inicio⁡(Z,B[i])→Inicio⁡(Y,B[i])→Inicio⁡(incógnita,B[i])→Inicio⁡(Z,B[i+1])→⋯.{\displaystyle \cdots \to \operatorname {Hom} (Z,B[i])\to \operatorname {Hom} (Y,B[i])\to \operatorname {Hom} (X,B[i])\to \operatorname {Hom} (Z,B[i+1])\to \cdots .}

Para determinadas categorías trianguladas, estas secuencias exactas dan lugar a muchas de las secuencias exactas importantes en la cohomología de haces, la cohomología de grupos y otras áreas de las matemáticas.

También se puede utilizar la notación

Exti⁡(B,incógnita)=Inicio⁡(B,incógnita[i]){\displaystyle \operatorname {Ext} ^{i}(B,X)=\operatorname {Hom} (B,X[i])}

para enteros i , generalizando el functor Ext en una categoría abeliana. En esta notación, la primera secuencia exacta anterior se escribiría:

⋯→Exti⁡(B,incógnita)→Exti⁡(B,Y)→Exti⁡(B,Z)→Exti+1⁡(B,incógnita)→⋯. {\displaystyle \cdots \to \operatorname {Ext} ^{i}(B,X)\to \operatorname {Ext} ^{i}(B,Y)\to \operatorname {Ext} ^{i}(B,Z)\to \operatorname {Ext} ^{i+1}(B,X)\to \cdots .\ }

Para una categoría abeliana A , otro ejemplo básico de un functor cohomológico en la categoría derivada D ( A ) envía un complejo X al objetoH0(incógnita){\displaystyle H^{0}(X)}en A. Es decir, un triángulo exacto.incógnita→Y→Z→incógnita[1]{\displaystyle X\to Y\to Z\to X[1]}en D ( A ) determina una secuencia exacta larga en A :

⋯→Hi(incógnita)→Hi(Y)→Hi(Z)→Hi+1(incógnita)→⋯,{\displaystyle \cdots \to H^{i}(X)\to H^{i}(Y)\to H^{i}(Z)\to H^{i+1}(X)\to \cdots ,}

usando esoH0(incógnita[i])≅Hi(incógnita){\displaystyle H^{0}(X[i])\cong H^{i}(X)}.

Funtores exactos y equivalencias

Un functor exacto (también llamado functor triangulado ) de una categoría triangulada D a una categoría triangulada E es un functor aditivo.F:D→mi{\displaystyle F\colon D\to E}que, en términos generales, conmuta con la traslación y envía triángulos exactos a triángulos exactos. [ 16 ]

En más detalle, un functor exacto viene con un isomorfismo natural.η:FΣ→ΣF{\displaystyle \eta \colon F\Sigma \to \Sigma F}(donde el primeroΣ{\displaystyle \Sigma }denota el functor de traslación de D y el segundoΣ{\displaystyle \Sigma }denota el functor de traslación de E ), tal que siempre que

incógnita→túY→vZ→wincógnita[1]{\displaystyle X{\xrightarrow {{} \atop u}}Y{\xrightarrow {{} \atop v}}Z{\xrightarrow {{} \atop w}}X[1]}

es un triángulo exacto en D ,

F(incógnita)→F(tú)F(Y)→F(v)F(Z)→ηincógnitaF(w)F(incógnita)[1]{\displaystyle F(X){\xrightarrow {F(u)}}F(Y){\xrightarrow {F(v)}}F(Z){\xrightarrow {\eta _{X}F(w)}}F(X)[1]}

es un triángulo exacto en E.

Una equivalencia de categorías trianguladas es un functor exacto.F:D→mi{\displaystyle F\colon D\to E}que también es una equivalencia de categorías . En este caso, existe un functor exacto.GRAMO:mi→D{\displaystyle G\colon E\to D}de tal manera que FG y GF son naturalmente isomorfos a los respectivos functores identidad.

Categorías trianguladas generadas de forma compacta

Sea D una categoría triangulada tal que existen en D sumas directas indexadas por un conjunto arbitrario (no necesariamente finito) . Un objeto X en D se llama compacto si el functorInicioD(incógnita,-){\displaystyle {\text{Hom}}_{D}(X,{\text{-}})}conmuta con sumas directas. Explícitamente, esto significa que para cada familia de objetosYi{\displaystyle Y_{i}}en D indexado por un conjunto S , el homomorfismo natural de grupos abelianos⊕i∈SHometroD(incógnita,Yi)→HometroD(incógnita,⊕i∈SYi){\displaystyle \oplus _{i\in S}\mathrm {Hom} _{D}(X,Y_{i})\to \mathrm {Hom} _{D}(X,\oplus _{i\in S}Y_{i})}es un isomorfismo. Esto difiere de la noción general de objeto compacto en la teoría de categorías, que involucra todos los colímites en lugar de solo los coproductos.

Por ejemplo, un objeto compacto en la categoría de homotopía estable.hS{\displaystyle h{\cal {S}}}es un espectro finito. [ 17 ] Un objeto compacto en la categoría derivada de un anillo, o en la categoría derivada cuasi-coherente de un esquema, es un complejo perfecto . En el caso de una variedad proyectiva lisa X sobre un cuerpo, la categoría Perf( X ) de complejos perfectos también puede verse como la categoría derivada acotada de haces coherentes,Dcohb(incógnita){\displaystyle D_{\text{coh}}^{\text{b}}(X)}.

Una categoría triangulada D se genera de forma compacta si

  • D tiene sumas directas arbitrarias (no necesariamente finitas);
  • Existe un conjunto S de objetos compactos en D tal que para cada objeto no nulo X en D , existe un objeto Y en S con una función no nulaY[norte]→incógnita{\displaystyle Y[n]\to X}para algún entero n .

Muchas categorías trianguladas "grandes" que se dan de forma natural se generan de manera compacta:

  • La categoría derivada de módulos sobre un anillo R se genera de forma compacta mediante un objeto, el R - módulo R.
  • La categoría derivada cuasi-coherente de un esquema cuasi-compacto cuasi-separado se genera de forma compacta mediante un objeto. [ 18 ]
  • La categoría de homotopía estable se genera de forma compacta mediante un objeto, el espectro de la esfera.S0{\displaystyle S^{0}}. [ 19 ]

Amnon Neeman generalizó el teorema de representabilidad de Brown a cualquier categoría triangulada generada de forma compacta, como sigue. [ 20 ] Sea D una categoría triangulada generada de forma compacta,H:Doperación→Ab{\displaystyle H\colon D^{\text{op}}\to {\text{Ab}}}un functor cohomológico que transforma coproductos en productos. Entonces H es representable. (Es decir, existe un objeto W de D tal queH(incógnita)≅Inicio(incógnita,W){\displaystyle H(X)\cong {\text{Hom}}(X,W)}para todo X .) Para otra versión, sea D una categoría triangulada generada de forma compacta, T cualquier categoría triangulada. Si un functor exactoF:D→T{\displaystyle F\colon D\to T}si F envía coproductos a coproductos, entonces F tiene un adjunto derecho .

El teorema de representabilidad de Brown se puede utilizar para definir varios functores entre categorías trianguladas. En particular, Neeman lo utilizó para simplificar y generalizar la construcción del functor de imagen inversa excepcional.F¡{\displaystyle f^{!}}para un morfismo f de esquemas , la característica central de la teoría de la dualidad coherente . [ 21 ]

estructuras t

Para cada categoría abeliana A , la categoría derivada D ( A ) es una categoría triangulada que contiene a A como una subcategoría completa (los complejos concentrados en grado cero). Diferentes categorías abelianas pueden tener categorías derivadas equivalentes, por lo que no siempre es posible reconstruir A a partir de D ( A ) como una categoría triangulada.

Alexander Beilinson , Joseph Bernstein y Pierre Deligne describieron esta situación mediante la noción de una t-estructura en una categoría triangulada D. [ 22 ] Una t-estructura en D determina una categoría abeliana dentro de D , y diferentes t-estructuras en D pueden producir diferentes categorías abelianas.

Subcategorías locales y densas

Sea D una categoría triangulada con sumas directas arbitrarias. Una subcategoría localizadora de D es una subcategoría triangulada estrictamente completa que es cerrada bajo sumas directas arbitrarias. [ 23 ] Para explicar el nombre: si una subcategoría localizadora S de una categoría triangulada D generada de forma compacta es generada por un conjunto de objetos, entonces existe un functor de localización de Bousfield.L:D→D{\displaystyle L\colon D\to D}con núcleo S . [ 24 ] (Es decir, para cada objeto X en D hay un triángulo exactoY→incógnita→Lincógnita→Y[1]{\displaystyle Y\to X\to LX\to Y[1]}con Y en S y LX en la ortogonal derechaS⊥{\displaystyle S^{\perp }}Por ejemplo, esta construcción incluye la localización de un espectro en un número primo, o la restricción de un complejo de haces en un espacio a un subconjunto abierto.

Una noción paralela es más relevante para las categorías trianguladas "pequeñas": una subcategoría gruesa de una categoría triangulada C es una subcategoría triangulada estrictamente completa que es cerrada bajo sumandos directos. (Si C es idempotente-completa , una subcategoría es gruesa si y solo si también es idempotente-completa). Una subcategoría localizadora es gruesa. [ 25 ] Entonces, si S es una subcategoría localizadora de una categoría triangulada D , entonces la intersección de S con la subcategoríaDdo{\displaystyle D^{\text{c}}}de objetos compactos es una subcategoría gruesa deDdo{\displaystyle D^{\text{c}}}.

Por ejemplo, Devinatz– Hopkins –Smith describieron todas las subcategorías gruesas de la categoría triangulada de espectros finitos en términos de la teoría K de Morava . [ 26 ] Las subcategorías localizadoras de toda la categoría de homotopía estable no han sido clasificadas.

Véase también

Notas

  1. ^ Marioneta (1962, 1967); Verdier (1963, 1967).
  2. ^ Weibel (1994), Definición 10.2.1.
  3. ↑ J. Peter May, Los axiomas para categorías trianguladas .
  4. ^ Weibel (1994), Observación 10.2.2.
  5. ↑ Weibel (1994), Ejercicio 10.2.1.
  6. ↑ Gelfand y Manin (2006), Ejercicio IV.1.1.
  7. ^ Kashiwara y Schapira (2006), Teorema 11.2.6.
  8. ↑ Weibel (1994), Corolario 10.4.3.
  9. ↑ Weibel (1994), sección 10.5.
  10. ^ Weibel (1994), Teorema 10.9.18.
  11. 1 2 Grothendieck. "Pursuing Stacks" . thescrivener.github.io . Archivado (PDF) del original el 30 de julio de 2020. Recuperado el 17 de septiembre de 2020 .
  12. ^ Toën (2007), Teorema 8.15.
  13. ↑ Rizzardo et al. (2019), Teorema 1.4.
  14. ↑ Dugger y Shipley (2009), Observación 4.9.
  15. ^ Weibel (1994), Ejemplo 10.2.8.
  16. ^ Weibel (1994), Definición 10.2.6.
  17. ↑ Neeman (2001), Observación D.1.5.
  18. ↑ Proyecto Stacks, Etiqueta 09IS, Proyecto Stacks, Etiqueta 09M1.
  19. ^ Neeman (2001), Lema D.1.3.
  20. ↑ Neeman (1996), Teoremas 3.1 y 4.1.
  21. ↑ Neeman (1996), Ejemplo 4.2.
  22. ^ Beilinson y col. (1982), Definición 1.3.1.
  23. ↑ Neeman (2001), Introducción, después de la Observación 1.4.
  24. ↑ Krause (2010), Teorema, Introducción.
  25. ↑ Neeman (2001), Observación 3.2.7.
  26. ↑ Ravenel (1992), Teorema 3.4.3.

Referencias

Algunas introducciones a las categorías trianguladas que se encuentran en los libros de texto son:

  • Gelfand, Sergei; Manin, Yuri (2006), "IV. Categorías trianguladas", Métodos de álgebra homológica , Springer Monographs in Mathematics (2ª  ed.), Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-12492-5 , ISBN 978-3540435839, MR 1950475 
  • Kashiwara, Masaki ; Schapira, Pierre (2006), Categorías y gavillas , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/3-540-27950-4 , ISBN 978-3-540-27949-5, MR 2182076 
  • Weibel, Charles A. (1994), Introducción al álgebra homológica , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol.  38, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55987-4, MR 1269324 , OCLC 36131259  

Un resumen conciso con aplicaciones es:

Algunas referencias más avanzadas son:

  • Beilinson, AA ; Bernstein, J .; Deligne, P. (2018) [1982], "Faisceaux pervers" , Astérisque , 100 , Société Mathématique de France, París, ISBN 978-2-85629-878-7, MR 0751966 {{citation}}: CS1 mantenimiento: parámetro de trabajo con ISBN ( enlace )
  • Dugger, Daniel; Shipley, Brooke (2009), "Un ejemplo curioso de categorías de modelos trianguladas equivalentes que no son equivalentes de Quillen", Topología algebraica y geométrica , 9 : 135–166 , arXiv : 0710.3070 , doi : 10.2140/agt.2009.9.135 , MR 2482071 
  • Hartshorne, Robin (1966), "Capítulo I. La categoría derivada", Residuos y dualidad , Lecture Notes in Mathematics 20 , vol.  20, Springer-Verlag , pp. 20–48 , doi : 10.1007/BFb0080482 , ISBN  978-3-540-03603-6, MR 0222093 
  • Krause, Henning (2010), "Teoría de la localización para categorías trianguladas", Categorías trianguladas , London Mathematical Society Lecture Note Series, vol.  375, Cambridge University Press, pp. 161–235 , arXiv : 0806.1324 , doi : 10.1017/CBO9781139107075.005 , ISBN  9780521744317, MR 2681709 , S2CID 50160822  
  • Neeman, Amnon (1996), "El teorema de dualidad de Grothendieck mediante las técnicas de Bousfield y la representabilidad de Brown", Journal of the American Mathematical Society , 9 : 205–236 , doi : 10.1090/S0894-0347-96-00174-9 , MR 1308405 
  • Neeman, Amnon (2001), Categorías trianguladas , Annals of Mathematics Studies, Princeton University Press, doi : 10.1515/9781400837212 , ISBN 978-0691086866, MR 1812507 , S2CID 242258794  
  • Puppe, Dieter (1962), "Sobre la estructura formal de la teoría de homotopía estable", Coloquio sobre topología algebraica , Instituto Matemático de la Universidad de Aarhus, págs. 65–71 , Zbl 0139.41106  
  • Puppe, Dieter (1967), "Stabile Homotopietheorie. I.", Mathematische Annalen , 169 (2): 243– 274, doi : 10.1007/BF01362348 , MR 0211400 , S2CID 122663283  
  • Ravenel, Douglas (1992), Nilpotencia y periodicidad en la teoría de la homotopía estable , Princeton University Press, ISBN 9780691025728, MR 1192553 
  • Rizzardo, Alicia; Van den Bergh, Michel ; Neeman, Amnon (2019), "Un ejemplo de un funtor que no es de Fourier-Mukai entre categorías derivadas de gavillas coherentes", Inventiones Mathematicae , 216 (3): 927– 1004, arXiv : 1410.4039 , Bibcode : 2019InMat.216..927R , doi : 10.1007/s00222-019-00862-9 , SEÑOR 3955712 , S2CID 253743362  
  • Toën, Bertrand (2007), "La teoría de homotopía de las dg-categorías y la teoría de Morita derivada", Inventiones Mathematicae , 167 (3): 615–667 , arXiv : math/0408337 , doi : 10.1007/s00222-006-0025-y , MR 2276263 , S2CID 9445008  
  • Verdier, Jean-Louis (1977) [1963], "Catégories dérivées: quelques résultats (état 0)", Cohomologie étale (SGA 4 1/2) (PDF) , Lecture Notes in Mathematics, vol.  569, Springer, págs. 262–311 , doi : 10.1007/BFb0091525 , ISBN  978-3-540-08066-4, MR 3727440 
  • Verdier, Jean-Louis (1996) [1967], Des catégories dérivées des catégories abéliennes , Astérisque, vol.  239, Sociedad Matemática de Francia, MR 1453167 
  • J. Peter May , Los axiomas para categorías trianguladas
  • Autores del Proyecto Stacks, El Proyecto Stacks