Teoría del caos

Animación de un péndulo de doble varilla con energía intermedia que muestra comportamiento caótico. Si el péndulo partiera de una condición inicial ligeramente diferente, su trayectoria sería radicalmente distinta . El péndulo de doble varilla es uno de los sistemas dinámicos más simples con soluciones caóticas.

La teoría del caos es una rama de las matemáticas y un área interdisciplinaria de estudio científico . Se centra en los patrones subyacentes y las leyes deterministas de los sistemas dinámicos que son altamente sensibles a las condiciones iniciales . Antes se pensaba que estos tenían estados completamente aleatorios de desorden e irregularidades. ^{[ 1 ]} La teoría afirma que dentro de la aparente aleatoriedad de los sistemas complejos caóticos , existen patrones subyacentes, interconexión, bucles de retroalimentación constantes , repetición, autosimilitud , fractales y autoorganización . ^{[ 2 ]} El efecto mariposa , un principio subyacente del caos, describe cómo un pequeño cambio en un estado de un sistema no lineal determinista puede resultar en grandes diferencias en un estado posterior (lo que significa que existe una dependencia sensible de las condiciones iniciales). ^{[ 3 ]} Una metáfora para este comportamiento es que una mariposa batiendo sus alas en Brasil puede causar o prevenir un tornado en Texas . ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}^{: 181–184}^{[ 6 ]}

Pequeñas diferencias en las condiciones iniciales, como las debidas a errores en las mediciones o a errores de redondeo en el cálculo numérico , pueden producir resultados muy divergentes para estos sistemas dinámicos, lo que hace imposible la predicción a largo plazo de su comportamiento en general. ^{[ 7 ]} Esto puede ocurrir incluso aunque estos sistemas sean deterministas , lo que significa que su comportamiento futuro sigue una evolución única ^{[ 8 ]} y está completamente determinado por sus condiciones iniciales, sin elementos aleatorios involucrados. ^{[ 9 ]} En otras palabras, a pesar de la naturaleza determinista de estos sistemas, esto no los hace predecibles. ^{[ 10 ]}^{[ 11 ]} Este comportamiento se conoce como caos determinista , o simplemente caos . La teoría fue resumida por Edward Lorenz como: ^{[ 12 ]}

Caos: Cuando el presente determina el futuro, pero el presente aproximado no determina aproximadamente el futuro.

El comportamiento caótico existe en muchos sistemas naturales, incluyendo el flujo de fluidos, las irregularidades del ritmo cardíaco, el tiempo y el clima. ^{[ 13 ]}^{[ 14 ]}^{[ 8 ]} También ocurre espontáneamente en algunos sistemas con componentes artificiales, como el tráfico rodado . ^{[ 2 ]} Este comportamiento puede estudiarse a través del análisis de un modelo matemático caótico o a través de técnicas analíticas como diagramas de recurrencia y mapas de Poincaré . La teoría del caos tiene aplicaciones en una variedad de disciplinas, incluyendo meteorología , ^{[ 8 ]} antropología , ^{[ 15 ]} sociología , ciencias ambientales , informática , ingeniería , economía , ecología y gestión de crisis pandémicas . ^[¹⁶^]^[¹⁷^] La teoría formó la base para campos de estudio tales como sistemas dinámicos complejos , borde de la teoría del caos y procesos de autoensamblaje .

Introducción

La teoría del caos se refiere a sistemas deterministas que son predecibles durante un tiempo y luego parecen volverse aleatorios. El tiempo durante el cual se puede predecir eficazmente el comportamiento de un sistema caótico depende de tres factores: la incertidumbre tolerable en la predicción, la precisión con la que se puede medir su estado actual y una escala temporal que depende de la dinámica del sistema, denominada tiempo de Lyapunov . Algunos ejemplos de tiempos de Lyapunov son: circuitos eléctricos caóticos, aproximadamente 1 milisegundo; sistemas meteorológicos, unos pocos días (aunque no está demostrado); el sistema solar interior, de 4 a 5 millones de años. ^{[ 18 ]} En los sistemas caóticos, la incertidumbre en una predicción aumenta exponencialmente con el tiempo transcurrido. Por lo tanto, matemáticamente, duplicar el tiempo de predicción aumenta más del cuadrado la incertidumbre proporcional en la predicción. Esto significa que, en la práctica, no se puede realizar una predicción significativa en un intervalo de más de dos o tres veces el tiempo de Lyapunov. Cuando no se pueden realizar predicciones significativas, el sistema parece aleatorio. ^{[ 19 ]}

Dinámica caótica

En el uso común, "caos" significa "un estado de desorden". ^{[ 20 ]}^{[ 21 ]} Sin embargo, en la teoría del caos, el término se define con mayor precisión. Aunque no existe una definición matemática de caos universalmente aceptada, una definición comúnmente utilizada, formulada originalmente por Robert L. Devaney , dice que para clasificar un sistema dinámico como caótico, debe tener estas propiedades: ^{[ 22 ]}

debe ser sensible a las condiciones iniciales ,
debe ser topológicamente transitivo ,
debe tener órbitas periódicas densas .

En algunos casos, se ha demostrado que las dos últimas propiedades mencionadas anteriormente implican realmente sensibilidad a las condiciones iniciales. ^{[ 23 ]}^{[ 24 ]} En el caso de tiempo discreto, esto es cierto para todas las aplicaciones continuas en espacios métricos . ^[²⁵^] En estos casos, si bien suele ser la propiedad más significativa en la práctica, no es necesario que la "sensibilidad a las condiciones iniciales" se mencione en la definición.

Si la atención se restringe a intervalos , la segunda propiedad implica las otras dos. ^{[ 26 ]} Una definición alternativa y generalmente más débil de caos utiliza solo las dos primeras propiedades de la lista anterior. ^{[ 27 ]}

Sensibilidad a las condiciones iniciales

Se utilizaron ecuaciones de Lorenz para generar gráficos para la variable y. Las condiciones iniciales para x y z se mantuvieron iguales, pero las de y se cambiaron entre **1.001** , **1.0001** y **1.00001** . Los valores para $\rho$ , $\sigma$ y $\beta$ Los valores fueron **45,91** , 16 y 4 respectivamente. Como se puede observar en el gráfico, incluso la más mínima diferencia en los valores iniciales provoca cambios significativos tras unos 12 segundos de evolución en los tres casos. Esto demuestra una fuerte dependencia de las condiciones iniciales.

{\displaystyle \rho } — Se utilizaron ecuaciones de Lorenz para generar gráficos para la variable y. Las condiciones iniciales para x y z se mantuvieron iguales, pero las de y se cambiaron entre **1.001** , **1.0001** y **1.00001** . Los valores para $\rho$ , $\sigma$ y $\beta$ Los valores fueron **45,91** , 16 y 4 respectivamente. Como se puede observar en el gráfico, incluso la más mínima diferencia en los valores iniciales provoca cambios significativos tras unos 12 segundos de evolución en los tres casos. Esto demuestra una fuerte dependencia de las condiciones iniciales.

La sensibilidad a las condiciones iniciales implica que cada punto en un sistema caótico se aproxima arbitrariamente a otros puntos que tienen trayectorias futuras significativamente diferentes. Por lo tanto, un cambio o perturbación arbitrariamente pequeña de la trayectoria actual puede conducir a un comportamiento futuro significativamente diferente. ^{[ 2 ]}

La sensibilidad a las condiciones iniciales se conoce popularmente como el " efecto mariposa ", llamado así por el título de un artículo presentado por Edward Lorenz en 1972 ante la Asociación Estadounidense para el Avance de la Ciencia en Washington, D.C., titulado Predictibilidad: ¿El aleteo de una mariposa en Brasil desencadena un tornado en Texas? [ ^{28 ] El} aleteo representa un pequeño cambio en la condición inicial del sistema, que provoca una cadena de eventos que impide la predictibilidad de fenómenos a gran escala. Si la mariposa no hubiera aleteado, la trayectoria del sistema en su conjunto podría haber sido muy diferente.

Como se sugiere en el libro de Lorenz titulado La esencia del caos , publicado en 1993, ^{[ 5 ]}^{: 8} "la dependencia sensible puede servir como una definición aceptable de caos". En el mismo libro, Lorenz definió el efecto mariposa como: "El fenómeno por el cual una pequeña alteración en el estado de un sistema dinámico hará que los estados subsiguientes difieran enormemente de los estados que habrían seguido sin la alteración". ^{[ 5 ]}^{: 23} La definición anterior es consistente con la dependencia sensible de las soluciones en las condiciones iniciales (SDIC). Se desarrolló un modelo de esquí idealizado para ilustrar la sensibilidad de las trayectorias variables en el tiempo a las posiciones iniciales. ^{[ 5 ]}^{: 189–204} Se puede determinar un horizonte de predictibilidad antes del inicio de la SDIC (es decir, antes de separaciones significativas de trayectorias cercanas iniciales). ^{[ 29 ]}

Una consecuencia de la sensibilidad a las condiciones iniciales es que si comenzamos con una cantidad limitada de información sobre el sistema (como suele ser el caso en la práctica), entonces después de cierto tiempo, el sistema dejaría de ser predecible. Esto es más frecuente en el caso del clima, que generalmente es predecible solo con una semana de anticipación. ^{[ 30 ]} Esto no significa que no se pueda afirmar nada sobre eventos lejanos en el futuro, solo que existen algunas restricciones en el sistema. Por ejemplo, sabemos que la temperatura de la superficie de la tierra no alcanzará naturalmente los 100 °C (212 °F) ni caerá por debajo de −130 °C (−202 °F) en la Tierra (durante la era geológica actual ), pero no podemos predecir exactamente qué día tendrá la temperatura más alta del año.

En términos más matemáticos, el exponente de Lyapunov mide la sensibilidad a las condiciones iniciales, en forma de tasa de divergencia exponencial de las condiciones iniciales perturbadas. ^{[ 31 ]} Más específicamente, dadas dos trayectorias iniciales en el espacio de fases que están infinitesimalmente cerca, con separación inicial $\delta \mathbf {Z} _ {0}$ , las dos trayectorias terminan divergiendo a una velocidad dada por

|\delta \mathbf {Z} (t)|\approx e^{\lambda t}|\delta \mathbf {Z} _{0}|,

dónde $t$ es el momento y $\lambda$ es el exponente de Lyapunov. La tasa de separación depende de la orientación del vector de separación inicial, por lo que puede existir un amplio espectro de exponentes de Lyapunov. El número de exponentes de Lyapunov es igual al número de dimensiones del espacio de fases, aunque es común referirse solo al mayor. Por ejemplo, el exponente de Lyapunov máximo (ELM) es el más utilizado, ya que determina la predictibilidad general del sistema. Un ELM positivo, junto con la acotación de la solución, suele interpretarse como un indicio de que el sistema es caótico. ^{[ 8 ]}

Además de la propiedad anterior, también existen otras propiedades relacionadas con la sensibilidad de las condiciones iniciales. Estas incluyen, por ejemplo, ^la mezcla teórica de la medida (como se discute en la teoría ergódica ) y las propiedades de un sistema K. ^[¹¹ ]

No periodicidad

Un sistema caótico puede presentar secuencias de valores para la variable en evolución que se repiten exactamente, generando un comportamiento periódico a partir de cualquier punto de dicha secuencia. Sin embargo, estas secuencias periódicas son repulsivas en lugar de atractivas, lo que significa que si la variable en evolución se encuentra fuera de la secuencia, por muy cerca que esté, no entrará en ella y, de hecho, divergirá. Por lo tanto, para casi todas las condiciones iniciales, la variable evoluciona caóticamente con un comportamiento no periódico.

Mezcla topológica

Seis iteraciones de un conjunto de estados $[x,y]$ Se ha pasado por el mapa logístico. La primera iteración (azul) es la condición inicial, que esencialmente forma un círculo. La animación muestra desde la primera hasta la sexta iteración de las condiciones iniciales circulares. Se puede observar que se produce *una mezcla* a medida que avanzamos en las iteraciones. La sexta iteración muestra que los puntos están casi completamente dispersos en el espacio de fases. Si hubiéramos avanzado más en las iteraciones, la mezcla habría sido homogénea e irreversible. El mapa logístico tiene la ecuación $x_{k+1}=4x_{k}(1-x_{k})$ . Para expandir el espacio de estados del mapa logístico a dos dimensiones, un segundo estado, $y$ , fue creado como $y_{k+1}=x_{k}+y_{k}$ , si $x_{k}+y_{k}<1$ y $y_{k+1}=x_{k}+y_{k}-1$ de lo contrario.

{\displaystyle [x,y]} — Seis iteraciones de un conjunto de estados $[x,y]$ Se ha pasado por el mapa logístico. La primera iteración (azul) es la condición inicial, que esencialmente forma un círculo. La animación muestra desde la primera hasta la sexta iteración de las condiciones iniciales circulares. Se puede observar que se produce *una mezcla* a medida que avanzamos en las iteraciones. La sexta iteración muestra que los puntos están casi completamente dispersos en el espacio de fases. Si hubiéramos avanzado más en las iteraciones, la mezcla habría sido homogénea e irreversible. El mapa logístico tiene la ecuación $x_{k+1}=4x_{k}(1-x_{k})$ . Para expandir el espacio de estados del mapa logístico a dos dimensiones, un segundo estado, $y$ , fue creado como $y_{k+1}=x_{k}+y_{k}$ , si $x_{k}+y_{k}<1$ y $y_{k+1}=x_{k}+y_{k}-1$ de lo contrario.

La mezcla topológica (o la condición más débil de transitividad topológica) implica que el sistema evoluciona con el tiempo de tal manera que cualquier región o conjunto abierto de su espacio de fases termina por superponerse con cualquier otra región. Este concepto matemático de "mezcla" se corresponde con la intuición habitual, y la mezcla de tintes o fluidos de colores es un ejemplo de sistema caótico.

La mezcla topológica suele omitirse en las explicaciones populares del caos, que lo equiparan únicamente con la sensibilidad a las condiciones iniciales. Sin embargo, la dependencia sensible a las condiciones iniciales por sí sola no genera caos. Por ejemplo, consideremos el sistema dinámico simple que se produce al duplicar repetidamente un valor inicial. Este sistema presenta una dependencia sensible a las condiciones iniciales en todas partes, ya que cualquier par de puntos cercanos termina por separarse considerablemente. Sin embargo, este ejemplo carece de mezcla topológica y, por lo tanto, no presenta caos. De hecho, su comportamiento es extremadamente simple: todos los puntos, excepto el 0, tienden al infinito positivo o negativo.

Transitividad topológica

Un mapa $f:X\to X$ Se dice que es topológicamente transitivo si para cualquier par de conjuntos abiertos no vacíos $U,V\subset X$ , existe $k>0$ de tal manera que $f^{k}(U)\cap V\neq \emptyset$ La transitividad topológica es una versión más débil de la mezcla topológica . Intuitivamente, si una aplicación es topológicamente transitiva, entonces, dado un punto x y una región V , existe un punto y cerca de x cuya órbita pasa por V. Esto implica que es imposible descomponer el sistema en dos conjuntos abiertos. ^{[ 32 ]}

Un teorema importante relacionado es el Teorema de Transitividad de Birkhoff. Es fácil ver que la existencia de una órbita densa implica transitividad topológica. El Teorema de Transitividad de Birkhoff establece que si X es un espacio métrico completo y numerable de segundo orden , entonces la transitividad topológica implica la existencia de un conjunto denso de puntos en X que tienen órbitas densas. ^[³³^]

Densidad de órbitas periódicas

Para que un sistema caótico tenga órbitas periódicas densas significa que cada punto en el espacio es alcanzado arbitrariamente cerca por órbitas periódicas. ^[³²^] El mapa logístico unidimensional definido por x → 4 x (1 – x ) es uno de los sistemas más simples con densidad de órbitas periódicas. Por ejemplo, ${\tfrac {5-{\sqrt {5}}}{8}}$ → ${\tfrac {5+{\sqrt {5}}}{8}}$ → ${\tfrac {5-{\sqrt {5}}}{8}}$ (o aproximadamente 0,3454915 → 0,9045085 → 0,3454915) es una órbita (inestable) de período 2, y existen órbitas similares para períodos 4, 8, 16, etc. (de hecho, para todos los períodos especificados por el teorema de Sharkovskii ). ^{[ 34 ]}

El teorema de Sharkovskii es la base de la demostración de Li y Yorke ^{[ 35 ]} (1975) de que cualquier sistema continuo unidimensional que exhiba un ciclo regular de período tres también mostrará ciclos regulares de cualquier otra longitud, así como órbitas completamente caóticas.

Atractores extraños

El atractor de Lorenz presenta un comportamiento caótico. Estos dos gráficos demuestran una dependencia sensible de las condiciones iniciales dentro de la región del espacio de fases ocupada por el atractor.

Algunos sistemas dinámicos, como el mapa logístico unidimensional definido por x → 4 x (1 – x ), son caóticos en todas partes, pero en muchos casos el comportamiento caótico se encuentra solo en un subconjunto del espacio de fases. Los casos de mayor interés surgen cuando el comportamiento caótico tiene lugar en un atractor , ya que entonces un gran conjunto de condiciones iniciales conduce a órbitas que convergen a esta región caótica. ^{[ 36 ]}

Una forma sencilla de visualizar un atractor caótico es partir de un punto en la cuenca de atracción del atractor y, a continuación, trazar su órbita subsiguiente. Debido a la condición de transitividad topológica, es probable que esto genere una imagen del atractor final completo, y de hecho, ambas órbitas mostradas en la figura de la derecha ofrecen una representación de la forma general del atractor de Lorenz.

A diferencia de los atractores de punto fijo y los ciclos límite , los atractores que surgen de sistemas caóticos, conocidos como atractores extraños , presentan gran detalle y complejidad. Los atractores extraños aparecen tanto en sistemas dinámicos continuos (como el sistema de Lorenz) como en algunos sistemas discretos (como el mapa de Hénon ). Otros sistemas dinámicos discretos poseen una estructura repulsora denominada conjunto de Julia , que se forma en el límite entre cuencas de atracción de puntos fijos. Los conjuntos de Julia pueden considerarse repulsores extraños. Tanto los atractores extraños como los conjuntos de Julia suelen tener una estructura fractal , y su dimensión fractal puede calcularse.

Atractores coexistentes

A diferencia de las soluciones caóticas de un solo tipo, los estudios que utilizan modelos de Lorenz ^{[ 40 ]}^{[ 41 ]} han enfatizado la importancia de considerar diversos tipos de soluciones. Por ejemplo, pueden aparecer soluciones caóticas y no caóticas coexistentes dentro del mismo modelo (p. ej., el sistema de péndulo doble) utilizando las mismas configuraciones de modelado pero diferentes condiciones iniciales. Los hallazgos de coexistencia de atractores, obtenidos a partir de modelos de Lorenz clásicos y generalizados, ^{[ 37 ]}^{[ 38 ]}^{[ 39 ]} sugirieron una visión revisada de que "la totalidad del clima posee una naturaleza dual de caos y orden con distinta predictibilidad", en contraste con la visión convencional de que "el clima es caótico".

Complejidad mínima de un sistema caótico

Los sistemas caóticos discretos, como el mapa logístico , pueden presentar atractores extraños independientemente de su dimensionalidad . En cambio, para los sistemas dinámicos continuos , el teorema de Poincaré-Bendixson demuestra que un atractor extraño solo puede surgir en tres o más dimensiones. Los sistemas lineales de dimensión finita nunca son caóticos; para que un sistema dinámico muestre comportamiento caótico, debe ser no lineal o de dimensión infinita.

El teorema de Poincaré-Bendixson establece que una ecuación diferencial bidimensional tiene un comportamiento muy regular. El atractor de Lorenz que se analiza a continuación se genera mediante un sistema de tres ecuaciones diferenciales como:

{\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=\sigma y-\sigma x,\\{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=\rho x-xz-y,\\{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}&=xy-\beta z.\end{aligned}}

dónde $x$ , $y$ , y $z$ conforman el estado del sistema , $t$ es el tiempo, y $\sigma$ , $\rho$ , $\beta$ son los parámetros del sistema . Cinco de los términos del lado derecho son lineales, mientras que dos son cuadráticos; un total de siete términos. Otro atractor caótico bien conocido es generado por las ecuaciones de Rössler , que tienen solo un término no lineal de siete. Sprott ^{[ 42 ]} encontró un sistema tridimensional con solo cinco términos, que tenía solo un término no lineal, que exhibe caos para ciertos valores de parámetros. Zhang y Heidel ^{[ 43 ]}^{[ 44 ]} mostraron que, al menos para sistemas cuadráticos disipativos y conservativos, los sistemas cuadráticos tridimensionales con solo tres o cuatro términos en el lado derecho no pueden exhibir comportamiento caótico. La razón es, simplemente, que las soluciones a tales sistemas son asintóticas a una superficie bidimensional y por lo tanto las soluciones se comportan bien.

Si bien el teorema de Poincaré-Bendixson demuestra que un sistema dinámico continuo en el plano euclidiano no puede ser caótico, los sistemas continuos bidimensionales con geometría no euclidiana aún pueden exhibir algunas propiedades caóticas. ^{[ 45 ]}

El conjunto anterior de tres ecuaciones diferenciales ordinarias se ha denominado modelo de Lorenz tridimensional. ^{[ 46 ]} Desde 1963, se han desarrollado modelos de Lorenz de dimensiones superiores en numerosos estudios ^{[ 47 ]}^{[ 48 ]}^{[ 37 ]}^{[ 38 ]} para examinar el impacto de un mayor grado de no linealidad, así como su efecto colectivo con el calentamiento y las disipaciones, en la estabilidad de la solución.

Caos y sistemas lineales

Quizás sorprendentemente, el caos también puede ocurrir en sistemas lineales, siempre que sean de dimensión infinita. ^{[ 49 ]} Se está desarrollando una teoría del caos lineal en el análisis funcional . ^{[ 50 ]}

La mecánica cuántica también se considera a menudo un ejemplo paradigmático de teoría lineal no caótica, que atenúa el comportamiento caótico de la misma manera que la viscosidad atenúa la turbulencia ; sin embargo, este no es el caso para los sistemas mecánicos cuánticos con infinitos grados de libertad, como los sistemas fuertemente correlacionados que sí presentan formas de turbulencia a nanoescala . ^{[ 51 ]}^{[ 52 ]}

Otras características del caos

Mapas de dimensión infinita

La generalización directa de mapas discretos acoplados ^{[ 53 ]} se basa en la integral de convolución que media la interacción entre mapas distribuidos espacialmente: $\psi _{n+1}({\vec {r}},t)=\int K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},t)f[\psi _{n}({\vec {r}}^{,},t)]d{\vec {r}}^{,}$ ,

donde kernel $K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},t)$ es propagador derivado como función de Green de un sistema físico relevante, ^{[ 54 ]}

$f[\psi _{n}({\vec {r}},t)]$ podría ser similar a un mapa logístico $\psi \rightarrow G\psi [1-\tanh(\psi )]$ o mapa complejo . Para ejemplos de mapas complejos, consulte el conjunto de Julia. $f[\psi ]=\psi ^{2}$ o mapa de Ikeda $\psi _{n+1}=A+B\psi _{n}e^{i(|\psi _{n}|^{2}+C)}$ puede servir. Cuando los problemas de propagación de ondas a distancia $L=ct$ con longitud de onda $\lambda =2\pi /k$ se consideran el núcleo $K$ puede tener una forma de función de Green para la ecuación de Schrödinger :. ^{[ 55 ]}^{[ 56 ]}

$K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},L)={\frac {ik\exp[ikL]}{2\pi L}}\exp[{\frac {ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{,}|^{2}}{2L}}]$ .

Orden espontáneo

En las condiciones adecuadas, el caos evoluciona espontáneamente hacia un patrón sincronizado. En el modelo de Kuramoto , cuatro condiciones son suficientes para producir sincronización en un sistema caótico. Algunos ejemplos incluyen la oscilación acoplada de los péndulos de Christiaan Huygens , las luciérnagas, las neuronas , la resonancia del Puente del Milenio de Londres y grandes conjuntos de uniones Josephson . ^{[ 57 ]}

Además, desde el punto de vista de la física teórica, el caos dinámico en sí mismo, en su manifestación más general, es un orden espontáneo. La esencia radica en que la mayoría de los órdenes en la naturaleza surgen de la ruptura espontánea de diversas simetrías. Esta amplia familia de fenómenos incluye la elasticidad, la superconductividad, el ferromagnetismo y muchos otros. Según la teoría supersimétrica de la dinámica estocástica , el caos, o más precisamente, su generalización estocástica, también forma parte de esta familia. La simetría que se rompe es la supersimetría topológica , que está oculta en todas las ecuaciones diferenciales (parciales) estocásticas , y el parámetro de orden correspondiente es una representación teórica de campos del efecto mariposa. ^{[ 58 ]}

Caos combinatorio (o complejo)

También existen definiciones de caos que no requieren la propiedad de sensibilidad a las condiciones iniciales, como el caos combinatorio (es decir, la aplicación recursiva de una acción combinatoria discreta). ^{[ 59 ]} Esto también es comparable y similar al caos generado por autómatas celulares . Esto es importante porque, dado que este tipo de caos puede ser equivalente a una máquina de Turing , es posible realizar cálculos con tales sistemas dinámicos, lo cual es una forma intuitiva de ver que el problema de la parada no es decidible, lo que implica que algunos algoritmos computacionales pueden no terminar nunca. La imprevisibilidad en este tipo de sistema suele ser de una naturaleza diferente a la de otros tipos de caos. ^{[ 60 ]}

Historia

James Clerk Maxwell fue el primer científico en enfatizar la importancia de las condiciones iniciales, y se le considera uno de los primeros en discutir la teoría del caos, con trabajos en las décadas de 1860 y 1870. ^{[ 61 ]}^{[ 62 ]}^{[ 63 ]} En la década de 1880, mientras estudiaba el problema de los tres cuerpos , Henri Poincaré descubrió que puede haber órbitas que no son periódicas, y que no aumentan indefinidamente ni se aproximan a un punto fijo. ^{[ 64 ]}^{[ 65 ]}^{[ 66 ]} En 1898, Jacques Hadamard publicó un influyente estudio del movimiento de una partícula libre que se desliza sin fricción sobre una superficie de curvatura negativa constante, llamado " billar de Hadamard ". Hadamard pudo demostrar que todas las trayectorias son inestables, ^{[ 67 ]} ya que todas las trayectorias de partículas divergen exponencialmente entre sí, con un exponente de Lyapunov positivo . ^{[ 68 ]}

Estudios posteriores, también sobre el tema de ecuaciones diferenciales no lineales , fueron llevados a cabo por George David Birkhoff , ^{[ 69 ]} Andrey Nikolaevich Kolmogorov , ^{[ 70 ]}^{[ 71 ]}^{[ 72 ]} Mary Lucy Cartwright y John Edensor Littlewood , ^{[ 73 ]} y Stephen Smale . ^{[ 74 ]} Experimentales y matemáticos habían encontrado turbulencia en el movimiento de fluidos, comportamiento caótico en la sociedad y la economía, oscilación no periódica en circuitos de radio y patrones fractales en la naturaleza sin el beneficio de una teoría que explicara lo que estaban viendo.

A pesar de las primeras intuiciones surgidas en la primera mitad del siglo XX, la teoría del caos se formalizó como tal a mediados de siglo, cuando algunos científicos se percataron de que la teoría lineal, suave y continua , que era la teoría de sistemas predominante en aquel entonces, simplemente no podía explicar el comportamiento observado en ciertos experimentos, como el del mapa logístico , que presenta saltos y comportamientos erráticos . Ambas observaciones subrayan la conexión del caos con sistemas dinámicos estocásticos o no lineales , pero definitivamente con una evolución temporal no diferenciable y discontinua .

Lo que se había atribuido a la imprecisión de la medición y al simple " ruido " fue considerado por los teóricos del caos como un componente integral de los sistemas estudiados. En 1959, Boris Valerianovich Chirikov propuso un criterio para la aparición del caos clásico en sistemas hamiltonianos ( criterio de Chirikov ). Aplicó este criterio para explicar algunos resultados experimentales sobre el confinamiento de plasma en trampas de espejo abiertas. ^{[ 75 ]}^{[ 76 ]} Esta es considerada la primera teoría física del caos que logró explicar un experimento concreto. Y el propio Boris Chirikov es considerado un pionero en el caos clásico y cuántico. ^{[ 77 ]}^{[ 78 ]}^{[ 79 ]}

El principal catalizador del desarrollo de la teoría del caos fue la computadora electrónica. Gran parte de las matemáticas de la teoría del caos implican la iteración repetida de fórmulas matemáticas simples, lo cual sería impracticable de realizar a mano. Las computadoras electrónicas hicieron que estos cálculos repetidos fueran prácticos, mientras que las figuras e imágenes permitieron visualizar estos sistemas. Como estudiante de posgrado en el laboratorio de Chihiro Hayashi en la Universidad de Kioto, Yoshisuke Ueda experimentaba con computadoras analógicas y observó, el 27 de noviembre de 1961, lo que denominó "fenómenos de transición aleatoria". Sin embargo, su director de tesis no estuvo de acuerdo con sus conclusiones en ese momento y no le permitió publicar sus hallazgos hasta 1970. ^{[ 80 ]}^{[ 81 ]}

Edward Lorenz fue uno de los primeros pioneros de la teoría. Su interés en el caos surgió accidentalmente a través de su trabajo sobre predicción meteorológica en 1961. ^{[ 82 ]}^{[ 13 ]} Lorenz y su colaboradora Ellen Fetter y Margaret Hamilton ^{[ 83 ]} estaban usando una computadora digital simple, una Royal McBee LGP-30 , para ejecutar simulaciones meteorológicas. Querían ver una secuencia de datos nuevamente y, para ahorrar tiempo, iniciaron la simulación a la mitad de su curso. Lo hicieron ingresando una impresión de los datos que correspondía a las condiciones en medio de la simulación original. Para su sorpresa, el clima que la máquina comenzó a predecir era completamente diferente del cálculo anterior. Rastrearon esto hasta la impresión de la computadora. La computadora trabajaba con una precisión de 6 dígitos, pero la impresión redondeaba las variables a un número de 3 dígitos, por lo que un valor como 0.506127 se imprimió como 0.506. Esta diferencia es minúscula, y el consenso en ese momento habría sido que no debería tener ningún efecto práctico. Sin embargo, Lorenz descubrió que pequeños cambios en las condiciones iniciales producían grandes cambios en el resultado a largo plazo. ^{[ 84 ]} El descubrimiento de Lorenz, que dio nombre a los atractores de Lorenz , demostró que incluso la modelización atmosférica detallada no puede, en general, realizar predicciones meteorológicas precisas a largo plazo.

En 1963, Benoit Mandelbrot , estudiando la teoría de la información , descubrió que el ruido en muchos fenómenos (incluidos los precios de las acciones y los circuitos telefónicos ) tenía un patrón similar al de un conjunto de Cantor , un conjunto de puntos con una rugosidad y un detalle infinitos. ^{[ 85 ]} Mandelbrot describió tanto el "efecto Noé" (en el que pueden ocurrir cambios repentinos y discontinuos) como el "efecto José" (en el que la persistencia de un valor puede ocurrir durante un tiempo, pero cambiar repentinamente después). ^{[ 86 ]}^{[ 87 ]} En 1967, publicó "¿ Cuánto mide la costa de Gran Bretaña? Autosimilitud estadística y dimensión fraccionaria ", mostrando que la longitud de una línea costera varía con la escala del instrumento de medición, se asemeja a sí misma en todas las escalas y es infinita en longitud para un dispositivo de medición infinitesimalmente pequeño. ^{[ 88 ]} Argumentando que una bola de hilo aparece como un punto cuando se observa desde lejos (0-dimensional), una bola cuando se observa desde bastante cerca (3-dimensional), o un hilo curvo (1-dimensional), sostuvo que las dimensiones de un objeto son relativas al observador y pueden ser fraccionarias. Un objeto cuya irregularidad es constante en diferentes escalas ("autosimilitud") es un fractal (ejemplos incluyen la esponja de Menger , la junta de Sierpiński y la curva de Koch o copo de nieve , que es infinitamente larga pero encierra un espacio finito y tiene una dimensión fractal de aproximadamente 1,2619). En 1982, Mandelbrot publicó La geometría fractal de la naturaleza , que se convirtió en un clásico de la teoría del caos. ^{[ 89 ]}

En diciembre de 1977, la Academia de Ciencias de Nueva York organizó el primer simposio sobre el caos, al que asistieron David Ruelle, Robert May , James A. Yorke (creador del término "caos" en matemáticas), Robert Shaw y el meteorólogo Edward Lorenz. Al año siguiente, Pierre Coullet y Charles Tresser publicaron "Itérations d'endomorphismes et groupe de renormalisation", y el artículo de Mitchell Feigenbaum, "Quantitative Universality for a Class of Nonlinear Transformations", finalmente apareció en una revista, después de 3 años de rechazos por parte de los revisores. ^{[ 90 ]}^{[ 91 ]} Así, Feigenbaum (1975) y Coullet y Tresser (1978) descubrieron la universalidad del caos, lo que permitió la aplicación de la teoría del caos a muchos fenómenos diferentes.

En 1979, Albert J. Libchaber , durante un simposio organizado en Aspen por Pierre Hohenberg , presentó su observación experimental de la cascada de bifurcación que conduce al caos y la turbulencia en los sistemas de convección de Rayleigh-Bénard . Fue galardonado con el Premio Wolf de Física en 1986 junto con Mitchell J. Feigenbaum por sus inspiradores logros. ^{[ 92 ]}

En 1986, la Academia de Ciencias de Nueva York coorganizó con el Instituto Nacional de Salud Mental y la Oficina de Investigación Naval la primera conferencia importante sobre el caos en biología y medicina. Allí, Bernardo Huberman presentó un modelo matemático de la disfunción del seguimiento ocular en personas con esquizofrenia . ^{[ 93 ]} Esto condujo a una renovación de la fisiología en la década de 1980 a través de la aplicación de la teoría del caos, por ejemplo, en el estudio de los ciclos cardíacos patológicos .

En 1987, Per Bak , Chao Tang y Kurt Wiesenfeld publicaron un artículo en Physical Review Letters ^{[ 94 ]} que describía por primera vez la criticidad autoorganizada (SOC), considerada uno de los mecanismos por los cuales surge la complejidad en la naturaleza.

Además de los enfoques basados principalmente en laboratorios, como el experimento del montón de arena de Bak-Tang-Wiesenfeld , muchas otras investigaciones se han centrado en sistemas naturales o sociales a gran escala que se sabe (o se sospecha) que muestran un comportamiento invariante a la escala . Aunque estos enfoques no siempre fueron bien recibidos (al menos inicialmente) por los especialistas en los temas examinados, el SOC se ha establecido como un fuerte candidato para explicar una serie de fenómenos naturales, incluidos los terremotos (que, mucho antes de que se descubriera el SOC, eran conocidos como una fuente de comportamiento invariante de escala, como la ley de Gutenberg-Richter que describe la distribución estadística de los tamaños de los terremotos, y la ley de Omori ^{[ 95 ]} que describe la frecuencia de las réplicas), las erupciones solares , las fluctuaciones en sistemas económicos como los mercados financieros (las referencias al SOC son comunes en econofísica ), la formación del paisaje, los incendios forestales , los deslizamientos de tierra , las epidemias y la evolución biológica (donde el SOC se ha invocado, por ejemplo, como el mecanismo dinámico detrás de la teoría de los " equilibrios puntuados " propuestos por Niles Eldredge y Stephen Jay Gould ). Dadas las implicaciones de una distribución libre de escala de los tamaños de los eventos, algunos investigadores han sugerido que otro fenómeno que debería considerarse un ejemplo de SOC es la ocurrencia de guerras . Estas investigaciones sobre el carbono orgánico del suelo (COS) han incluido tanto intentos de modelización (ya sea desarrollando nuevos modelos o adaptando los existentes a las particularidades de un sistema natural determinado) como un análisis exhaustivo de datos para determinar la existencia y/o las características de las leyes de escala naturales.

También en 1987, James Gleick publicó Chaos: Making a New Science , que se convirtió en un éxito de ventas y presentó los principios generales de la teoría del caos, así como su historia, al público en general. ^{[ 96 ]} Inicialmente dominio de unos pocos individuos aislados, la teoría del caos emergió progresivamente como una disciplina transdisciplinaria e institucional, principalmente bajo el nombre de análisis de sistemas no lineales . Aludiendo al concepto de cambio de paradigma de Thomas Kuhn expuesto en La estructura de las revoluciones científicas (1962), muchos "caólogos" (como algunos se autodenominaban) afirmaron que esta nueva teoría era un ejemplo de tal cambio, una tesis sostenida por Gleick.

La disponibilidad de computadoras más baratas y potentes amplía la aplicabilidad de la teoría del caos. Actualmente, la teoría del caos sigue siendo un área activa de investigación, ^{[ 97 ]} que involucra muchas disciplinas diferentes como matemáticas , topología , física , ^{[ 98 ]} sistemas sociales , ^{[ 99 ]} modelado de poblaciones , biología , meteorología , astrofísica , teoría de la información , neurociencia computacional , gestión de crisis pandémicas , ^[¹⁶^]^[¹⁷^] etc.

Una analogía popular pero inexacta para el caos.

La dependencia sensible de las condiciones iniciales (es decir, el efecto mariposa) se ha ilustrado utilizando el siguiente folclore: ^{[ 96 ]}

Por falta de un clavo, se perdió la herradura. Por falta de una herradura, se perdió el caballo. Por falta de un caballo, se perdió el jinete. Por falta de un jinete, se perdió la batalla. Por falta de una batalla, se perdió el reino. Y todo por falta de un clavo de herradura.

Basándose en lo anterior, muchas personas creen erróneamente que el impacto de una pequeña perturbación inicial aumenta monótonamente con el tiempo y que cualquier pequeña perturbación puede eventualmente producir un gran impacto en las integraciones numéricas. Sin embargo, en 2008, Lorenz afirmó que no sentía que este versículo describiera el verdadero caos, sino que ilustraba mejor el fenómeno más simple de la inestabilidad y que el versículo sugiere implícitamente que los pequeños eventos subsiguientes no revertirán el resultado. ^{[ 100 ]} Según el análisis, el versículo solo indica divergencia, no acotación. ^{[ 6 ]} La acotación es importante para el tamaño finito de un patrón de mariposa. ^{[ 6 ]} La característica del versículo mencionado se describió como "dependencia sensible al tiempo finito". ^{[ 101 ]}

Aplicaciones

Aunque la teoría del caos nació de la observación de patrones climáticos, se ha vuelto aplicable a una variedad de otras situaciones. Algunas áreas que se benefician de la teoría del caos hoy son la geología , las matemáticas , la biología , la informática , la economía , ^{[ 103 ]}^{[ 104 ]}^{[ 105 ]} la ingeniería , ^{[ 106 ]}^{[ 107 ]} las finanzas , ^{[ 108 ]}^{[ 109 ]}^{[ 110 ]}^{[ 111 ]}^{[ 112 ]} la meteorología , la filosofía , la antropología , ^{[ 15 ]} la física , ^{[ 113 ]}^{[ 114 ]}^{[ 115 ]} la política , ^{[ 116 ]}^{[ 117 ]} la dinámica de poblaciones , ^{[ 118 ]} y la robótica . A continuación se enumeran algunas categorías con ejemplos, pero esta no es de ninguna manera una lista exhaustiva, ya que están apareciendo nuevas aplicaciones.

Criptografía

La teoría del caos se ha utilizado durante muchos años en criptografía . En las últimas décadas, el caos y la dinámica no lineal se han utilizado en el diseño de cientos de primitivas criptográficas . Estos algoritmos incluyen algoritmos de cifrado de imágenes , funciones hash , generadores seguros de números pseudoaleatorios , cifrados de flujo , marcas de agua y esteganografía . ^{[ 119 ]} La mayoría de estos algoritmos se basan en mapas caóticos unimodales y una gran parte de ellos utiliza los parámetros de control y la condición inicial de los mapas caóticos como claves. ^{[ 120 ]} Desde una perspectiva más amplia, sin pérdida de generalidad, las similitudes entre los mapas caóticos y los sistemas criptográficos son la principal motivación para el diseño de algoritmos criptográficos basados en el caos. ^{[ 119 ]} Un tipo de cifrado, la clave secreta o clave simétrica , se basa en la difusión y la confusión , que se modelan bien mediante la teoría del caos. ^{[ 121 ]}

Robótica

La robótica es otra área que se ha beneficiado recientemente de la teoría del caos. En lugar de que los robots actúen mediante un proceso de ensayo y error para interactuar con su entorno, la teoría del caos se ha utilizado para construir un modelo predictivo . ^{[ 122 ]} Se han observado dinámicas caóticas en robots bípedos que caminan pasivamente . ^{[ 123 ]}

Biología

Durante más de cien años, los biólogos han estado monitoreando poblaciones de diferentes especies con modelos poblacionales . La mayoría de los modelos son continuos , pero recientemente los científicos han podido implementar modelos caóticos en ciertas poblaciones. ^{[ 124 ]} Por ejemplo, un estudio sobre modelos de lince canadiense mostró que había un comportamiento caótico en el crecimiento de la población. ^{[ 125 ]} El caos también puede encontrarse en sistemas ecológicos, como la hidrología . Si bien un modelo caótico para la hidrología tiene sus limitaciones, todavía hay mucho que aprender al observar los datos a través de la lente de la teoría del caos. ^{[ 126 ]} Otra aplicación biológica se encuentra en la cardiotocografía . La vigilancia fetal es un delicado equilibrio entre obtener información precisa y ser lo menos invasiva posible. Se pueden obtener mejores modelos de señales de alerta de hipoxia fetal mediante el modelado caótico. ^{[ 127 ]}

Como señala Perry, el modelado de series temporales caóticas en ecología se ve facilitado por la restricción. ^{[ 128 ]}^{: 176, 177} Siempre existe una dificultad potencial para distinguir el caos real del caos que solo está en el modelo. ^{[ 128 ]}^{: 176, 177} Por lo tanto, tanto la restricción en el modelo como los datos duplicados de series temporales para la comparación serán útiles para restringir el modelo a algo cercano a la realidad, por ejemplo Perry y Wall 1984. ^{[ 128 ]}^{: 176, 177} La coevolución gen por gen a veces muestra dinámicas caóticas en las frecuencias alélicas . ^{[ 129 ]} Agregar variables exagera esto: el caos es más común en modelos que incorporan variables adicionales para reflejar facetas adicionales de poblaciones reales. ^{[ 129 ]} El propio Robert M. May realizó algunos de estos estudios fundamentales de coevolución de cultivos, y esto a su vez ayudó a dar forma a todo el campo. ^{[ 129 ]} Incluso en un entorno estable, la mera combinación de un cultivo y un patógeno puede dar lugar a oscilaciones cuasiperiódicas o caóticas en la población de patógenos . ^{[ 130 ]}^{: 169}

Ciencias económicas

Es posible que los modelos económicos también puedan mejorarse mediante la aplicación de la teoría del caos, pero predecir la salud de un sistema económico y qué factores lo influyen más es una tarea extremadamente compleja. ^{[ 131 ]} Los sistemas económicos y financieros son fundamentalmente diferentes de los de las ciencias naturales clásicas, ya que los primeros son inherentemente estocásticos, al ser resultado de las interacciones de las personas, y por lo tanto, es improbable que los modelos puramente deterministas proporcionen representaciones precisas de los datos. La literatura empírica que analiza el caos en economía y finanzas presenta resultados muy dispares, en parte debido a la confusión entre pruebas específicas para el caos y pruebas más generales para relaciones no lineales. ^{[ 132 ]}

El caos podría detectarse en economía mediante el análisis de cuantificación de recurrencia . De hecho, Orlando et al. ^{[ 133 ]} , utilizando el índice de correlación de cuantificación de recurrencia, lograron detectar cambios ocultos en series temporales. Posteriormente, emplearon la misma técnica para detectar transiciones de fases laminares (regulares) a turbulentas (caóticas), así como diferencias entre variables macroeconómicas y para resaltar características ocultas de la dinámica económica. ^{[ 134 ]} Finalmente, la teoría del caos podría ayudar a modelar el funcionamiento de una economía y a incorporar perturbaciones debidas a eventos externos como la COVID-19. ^{[ 135 ]}

Previsibilidad finita en el tiempo y el clima

Debido a la dependencia sensible de las soluciones de las condiciones iniciales (SDIC), también conocida como el efecto mariposa, los sistemas caóticos como el modelo de Lorenz de 1963 implican un horizonte de predictibilidad finito. Esto significa que, si bien las predicciones precisas son posibles durante un período de tiempo finito, no son factibles durante un lapso de tiempo infinito. Considerando la naturaleza de las soluciones caóticas de Lorenz, el comité liderado por Charney et al. en 1966 ^{[ 136 ]} extrapoló un tiempo de duplicación de cinco días a partir de un modelo de circulación general, sugiriendo un límite de predictibilidad de dos semanas. Esta conexión entre el tiempo de duplicación de cinco días y el límite de predictibilidad de dos semanas también se registró en un informe de 1969 del Programa de Investigación Atmosférica Global (GARP). ^{[ 137 ]} Para reconocer las influencias directas e indirectas combinadas del modelo de Mintz y Arakawa y los modelos de Lorenz, así como el liderazgo de Charney et al., Shen et al. ^{[ 138 ]} se refieren al límite de predictibilidad de dos semanas como la "Hipótesis del límite de predictibilidad", estableciendo una analogía con la Ley de Moore.

Marco de modelado extendido por IA

En los modelos de lenguaje a gran escala impulsados por IA, las respuestas pueden mostrar sensibilidad a factores como alteraciones en el formato y variaciones en las indicaciones. Esta sensibilidad es similar al efecto mariposa. ^{[ 139 ]} Si bien clasificar los modelos de lenguaje a gran escala impulsados por IA como sistemas caóticos deterministas clásicos plantea desafíos, se pueden emplear enfoques y técnicas inspirados en el caos (como el modelado de conjuntos) para extraer información confiable de estos extensos modelos de lenguaje (véase también " Efecto mariposa en la cultura popular ").

Otras áreas

En química, predecir la solubilidad de los gases es esencial para la fabricación de polímeros , pero los modelos que utilizan la optimización por enjambre de partículas (PSO) tienden a converger a puntos incorrectos. Se ha creado una versión mejorada de PSO mediante la introducción del caos, lo que evita que las simulaciones se bloqueen. ^{[ 140 ]} En mecánica celeste , especialmente al observar asteroides, la aplicación de la teoría del caos conduce a mejores predicciones sobre cuándo estos objetos se acercarán a la Tierra y otros planetas. ^{[ 141 ]} Cuatro de las cinco lunas de Plutón rotan caóticamente. En física cuántica e ingeniería eléctrica , el estudio de grandes conjuntos de uniones Josephson se benefició enormemente de la teoría del caos. ^{[ 57 ]} Más cerca de casa, las minas de carbón siempre han sido lugares peligrosos donde las frecuentes fugas de gas natural causan muchas muertes. Hasta hace poco, no había una forma fiable de predecir cuándo ocurrirían. Pero estas fugas de gas tienen tendencias caóticas que, cuando se modelan adecuadamente, se pueden predecir con bastante precisión. ^{[ 142 ]}

La teoría del caos puede aplicarse fuera de las ciencias naturales, pero históricamente casi todos los estudios al respecto han adolecido de falta de reproducibilidad, escasa validez externa o falta de atención a la validación cruzada, lo que ha dado lugar a una baja precisión predictiva (si es que se ha intentado siquiera realizar predicciones fuera de la muestra). Glass ^{[ 143 ]} y Mandell y Selz ^{[ 144 ]} han constatado que ningún estudio de EEG ha indicado hasta la fecha la presencia de atractores extraños u otros signos de comportamiento caótico.

Redington y Reidbord (1992) intentaron demostrar que el corazón humano podía exhibir rasgos caóticos. Monitorearon los cambios en los intervalos entre latidos de una paciente en psicoterapia mientras esta atravesaba períodos de intensidad emocional variable durante una sesión de terapia. Los resultados fueron, sin duda, inconclusos. No solo existían ambigüedades en los diversos gráficos que los autores elaboraron para supuestamente mostrar evidencia de dinámica caótica (análisis espectral, trayectoria de fase y gráficos de autocorrelación), sino que, además, cuando intentaron calcular un exponente de Lyapunov como confirmación más definitiva del comportamiento caótico, descubrieron que no podían hacerlo de manera confiable. ^{[ 145 ]}

En su artículo de 1995, Metcalf y Allen ^{[ 146 ]} afirmaron haber descubierto en el comportamiento animal un patrón de duplicación de período que conduce al caos. Los autores examinaron una respuesta bien conocida llamada polidipsia inducida por programa, por la cual un animal privado de alimento durante ciertos períodos de tiempo beberá cantidades inusuales de agua cuando finalmente se le presente el alimento. El parámetro de control (r) que operaba aquí era la duración del intervalo entre alimentaciones, una vez reanudadas. Los autores se aseguraron de probar un gran número de animales e incluir muchas réplicas, y diseñaron su experimento de manera que descartaran la posibilidad de que los cambios en los patrones de respuesta fueran causados por diferentes puntos de partida para r.

Las series temporales y los gráficos de primer retardo proporcionan el mejor respaldo a las afirmaciones realizadas, mostrando una transición bastante clara de la periodicidad a la irregularidad a medida que aumentaban los tiempos de alimentación. Por otro lado, los diversos gráficos de trayectoria de fase y los análisis espectrales no coinciden lo suficientemente bien con los demás gráficos ni con la teoría general como para conducir inexorablemente a un diagnóstico caótico. Por ejemplo, las trayectorias de fase no muestran una progresión definida hacia una complejidad cada vez mayor (y alejándose de la periodicidad); el proceso parece bastante confuso. Además, donde Metcalf y Allen observaron periodos de dos y seis en sus gráficos espectrales, existe la posibilidad de interpretaciones alternativas. Toda esta ambigüedad requiere una explicación indirecta y compleja para demostrar que los resultados se ajustan a un modelo caótico.

Al adaptar un modelo de orientación profesional para incluir una interpretación caótica de la relación entre los empleados y el mercado laboral, Amundson y Bright descubrieron que se pueden ofrecer mejores sugerencias a las personas que tienen dificultades para tomar decisiones profesionales. ^{[ 147 ]} Las organizaciones modernas se consideran cada vez más sistemas adaptativos complejos y abiertos con estructuras naturales no lineales fundamentales, sujetas a fuerzas internas y externas que pueden contribuir al caos. Por ejemplo, la formación de equipos y el desarrollo de grupos se investigan cada vez más como un sistema inherentemente impredecible, ya que la incertidumbre de que diferentes individuos se conozcan por primera vez hace que la trayectoria del equipo sea impredecible. ^{[ 148 ]}

La predicción del tráfico puede beneficiarse de las aplicaciones de la teoría del caos. Una mejor predicción de cuándo se producirá una congestión permitiría tomar medidas para dispersarla antes de que ocurra. La combinación de los principios de la teoría del caos con otros métodos ha dado lugar a un modelo de predicción a corto plazo más preciso, como el modelo de tráfico BML . ^{[ 149 ]}

La teoría del caos se ha aplicado a datos del ciclo del agua ambiental (incluidos datos hidrológicos ), como la precipitación y el caudal de los ríos. ^{[ 150 ]} Estos estudios han arrojado resultados controvertidos, ya que los métodos para detectar una señal caótica suelen ser relativamente subjetivos. Los primeros estudios tendieron a "tener éxito" en encontrar caos, mientras que estudios posteriores y metaanálisis pusieron en tela de juicio esos estudios y proporcionaron explicaciones de por qué es improbable que estos conjuntos de datos presenten dinámicas caóticas de baja dimensión. ^{[ 151 ]}

Véase también

Ejemplos de sistemas caóticos

Otros temas relacionados

Gente

Referencias

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Atribución

Este artículo incorpora texto de una obra de contenido libre . Licencia CC-BY ( declaración de licencia/permiso ). Texto tomado de Three Kinds of Butterfly Effects within Lorenz Models , Bo-Wen Shen, Roger A. Pielke, Sr., Xubin Zeng, Jialin Cui, Sara Faghih-Naini, Wei Paxson y Robert Atlas, MDPI. Enciclopedia.

Lecturas adicionales

Artículos

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