Teoría ergódica

La teoría ergódica es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades estadísticas de los sistemas dinámicos deterministas ; se trata del estudio de la ergodicidad . En este contexto, "propiedades estadísticas" se refiere a aquellas que se expresan a través del comportamiento de los promedios temporales de diversas funciones a lo largo de las trayectorias de los sistemas dinámicos. La noción de sistemas dinámicos deterministas presupone que las ecuaciones que determinan la dinámica no contienen perturbaciones aleatorias , ruido , etc. Por lo tanto, las estadísticas que nos interesan son propiedades de la dinámica.

La teoría ergódica, al igual que la teoría de la probabilidad , se basa en nociones generales de la teoría de la medida . Su desarrollo inicial estuvo motivado por problemas de la física estadística .

Una preocupación central de la teoría ergódica es el comportamiento de un sistema dinámico cuando se le permite operar durante un tiempo prolongado. El primer resultado en este sentido es el teorema de recurrencia de Poincaré , que afirma que casi todos los puntos de cualquier subconjunto del espacio de fases vuelven a visitar dicho conjunto. Los sistemas para los que se cumple el teorema de recurrencia de Poincaré son sistemas conservativos ; por lo tanto, todos los sistemas ergódicos son conservativos.

Diversos teoremas ergódicos proporcionan información más precisa, afirmando que, bajo ciertas condiciones, el promedio temporal de una función a lo largo de las trayectorias existe prácticamente en todas partes y está relacionado con el promedio espacial. Dos de los teoremas más importantes son los de Birkhoff (1931) y von Neumann, que afirman la existencia de un promedio temporal a lo largo de cada trayectoria. Para la clase especial de sistemas ergódicos , este promedio temporal es el mismo para casi todos los puntos iniciales: estadísticamente hablando, el sistema que evoluciona durante un largo tiempo "olvida" su estado inicial. También se han estudiado ampliamente propiedades más fuertes, como la mezcla y la equidistribución .

El problema de la clasificación métrica de sistemas es otra parte importante de la teoría ergódica abstracta. Las diversas nociones de entropía para sistemas dinámicos desempeñan un papel fundamental en la teoría ergódica y sus aplicaciones a procesos estocásticos .

Los conceptos de ergodicidad y la hipótesis ergódica son fundamentales para las aplicaciones de la teoría ergódica. La idea subyacente es que, para ciertos sistemas, el promedio temporal de sus propiedades es igual al promedio sobre todo el espacio. Las aplicaciones de la teoría ergódica a otras áreas de las matemáticas suelen implicar el establecimiento de propiedades de ergodicidad para sistemas de un tipo especial. En geometría , se han utilizado métodos de la teoría ergódica para estudiar el flujo geodésico en variedades riemannianas , comenzando con los resultados de Eberhard Hopf para superficies de Riemann de curvatura negativa. Las cadenas de Markov constituyen un contexto común para las aplicaciones en la teoría de la probabilidad . La teoría ergódica tiene conexiones fructíferas con el análisis armónico , la teoría de Lie ( teoría de la representación , retículos en grupos algebraicos ) y la teoría de números (teoría de aproximaciones diofánticas , funciones L ).

La teoría ergódica se ocupa a menudo de las transformaciones ergódicas . La intuición detrás de estas transformaciones, que actúan sobre un conjunto dado, es que realizan una labor exhaustiva de "remover" los elementos de ese conjunto. Por ejemplo, si el conjunto es una cantidad de avena caliente en un tazón, y si se deja caer una cucharada de jarabe en el tazón, entonces las iteraciones de la inversa de una transformación ergódica de la avena no permitirán que el jarabe permanezca en una subregión localizada de la avena, sino que lo distribuirán uniformemente por toda ella. Al mismo tiempo, estas iteraciones no comprimirán ni dilatarán ninguna porción de la avena: preservarán la medida que es la densidad.

La definición formal es la siguiente:

Sea T  : X → X una transformación que preserva la medida en un espacio de medida ( X , Σ , μ ) , con μ ( X ) = 1 . Entonces T es ergódica si para cada E en Σ con μ ( T ⁻¹ ( E ) Δ E ) = 0 (es decir, E es invariante ), o bien μ ( E ) = 0 o bien μ ( E ) = 1 .

El operador Δ aquí es la diferencia simétrica de conjuntos, equivalente a la operación OR exclusiva con respecto a la pertenencia a un conjunto. La condición de que la diferencia simétrica sea de medida cero se denomina ser esencialmente invariante .

• Una rotación irracional del círculo R / Z , T : x → x + θ, donde θ es irracional , es ergódica. Esta transformación tiene propiedades aún más fuertes de ergodicidad única , minimalidad y equidistribución . Por el contrario, si θ = p / q es racional (en términos más bajos) entonces T es periódica, con período q , y por lo tanto no puede ser ergódica: para cualquier intervalo I de longitud a , 0 < a < 1/ q , su órbita bajo T (es decir, la unión de I , T ( I ), ..., T ^{q −1} ( I ), que contiene la imagen de I bajo cualquier número de aplicaciones de T ) es un conjunto T -invariante módulo 0 que es una unión de q intervalos de longitud a , por lo tanto tiene medida qa estrictamente entre 0 y  1.
• Sea G un grupo abeliano compacto , μ la medida de Haar normalizada y T un automorfismo de grupo de G. Sea G * el grupo dual de Pontryagin , que consta de los caracteres continuos de G , y T * el automorfismo adjunto correspondiente de G *. El automorfismo T es ergódico si y solo si la igualdad ( T *) ⁿ ( χ ) = χ es posible solo cuando n = 0 o χ es el carácter trivial de G. En particular, si G es el toro n -dimensional y el automorfismo T está representado por una matriz unimodular A, entonces T es ergódico si y solo si ningún valor propio de A es una raíz de la unidad .    
• Un cambio de Bernoulli es ergódico. De manera más general, la ergodicidad de la transformación de cambio asociada con una secuencia de variables aleatorias i.i.d. y algunos procesos estacionarios más generales se deduce de la ley cero-uno de Kolmogorov .
• La ergodicidad de un sistema dinámico continuo significa que sus trayectorias se "dispersan" por el espacio de fases . Un sistema con un espacio de fases compacto que tiene una primera integral no constante no puede ser ergódico. Esto se aplica, en particular, a los sistemas hamiltonianos con una primera integral I funcionalmente independiente de la función hamiltoniana H y un conjunto de nivel compacto X = {( p , q ): H ( p , q ) = E} de energía constante. El teorema de Liouville implica la existencia de una medida invariante finita en X , pero la dinámica del sistema está restringida a los conjuntos de nivel de I en X , por lo tanto, el sistema posee conjuntos invariantes de medida positiva pero menor que completa. Una propiedad de los sistemas dinámicos continuos que es opuesta a la ergodicidad es la integrabilidad completa .

Sea T : X → X una transformación que preserva la medida en un espacio de medida ( X , Σ, μ ) y supongamos que f es una función μ -integrable, es decir , f ∈ L ¹ ( μ ). Entonces definimos los siguientes promedios :

Promedio temporal: Se define como el promedio (si existe) sobre las iteraciones de T que comienzan desde algún punto inicial x : $${\displaystyle {\hat {f}}(x)=\lim _{n\to \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f(T^{k}x).}$$

Promedio espacial: Si μ ( X ) es finito y distinto de cero, podemos considerar el promedio espacial o de fase de ƒ: $${\displaystyle {\bar {f}}={\frac {1}{\mu (X)}}\int f\,d\mu .\quad {\text{ (Para un espacio de probabilidad, }}\mu (X)=1.)}$$

En general, el promedio temporal y el promedio espacial pueden ser diferentes. Pero si la transformación es ergódica y la medida es invariante, entonces el promedio temporal es igual al promedio espacial casi en todas partes . Este es el célebre teorema ergódico, en una forma abstracta debida a George David Birkhoff . (En realidad, el artículo de Birkhoff no considera el caso general abstracto, sino solo el caso de sistemas dinámicos que surgen de ecuaciones diferenciales en una variedad diferenciable ). El teorema de equidistribución es un caso especial del teorema ergódico, que trata específicamente sobre la distribución de probabilidades en el intervalo unitario.

Más precisamente, el teorema puntual o ergódico fuerte establece que el límite en la definición del promedio temporal de f existe para casi todo x y que la función límite (definida casi en todas partes)${\displaystyle {\hat {f}}}$es integrable:

$${\displaystyle {\hat {f}}\in L^{1}(\mu ).\,}$$

Además,${\displaystyle {\hat {f}}}$es T -invariante, es decir

$${\displaystyle {\hat {f}}\circ T={\hat {f}}\,}$$

Se cumple en casi todas partes, y si μ ( X ) es finito, entonces la normalización es la misma:

$${\displaystyle \int {\hat {f}}\,d\mu =\int f\,d\mu .}$$

En particular, si T es ergódico, entonces${\displaystyle {\hat {f}}}$debe ser una constante (casi en todas partes), y por eso se tiene que

$${\displaystyle {\bar {f}}={\hat {f}}\,}$$

casi en todas partes. Uniendo la primera con la última afirmación y suponiendo que μ ( X ) es finito y distinto de cero, se tiene que

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f(T^{k}x)={\frac {1}{\mu (X)}}\int f\,d\mu }$$

para casi todos los x , es decir, para todos los x excepto para un conjunto de medida cero.

Para una transformación ergódica, el promedio temporal es casi con seguridad igual al promedio espacial.

Como ejemplo, supongamos que el espacio de medida ( X , Σ, μ ) modela las partículas de un gas como se indicó anteriormente, y sea f ( x ) la velocidad de la partícula en la posición x . Entonces, el teorema ergódico puntual establece que la velocidad promedio de todas las partículas en un instante dado es igual a la velocidad promedio de una partícula a lo largo del tiempo.

Una generalización del teorema de Birkhoff es el teorema ergódico subaditivo de Kingman .

Teorema de Birkhoff-Khinchin . Sea ƒ medible, E (|ƒ|) < ∞, y T una aplicación que preserva la medida. Entonces, con probabilidad 1 :

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f(T^{k}x)=E(f\mid {\mathcal {C}})(x),}$$

dónde${\displaystyle E(f|{\mathcal {C}})}$es la esperanza condicional dada la σ-álgebra${\displaystyle {\mathcal {C}}}$de conjuntos invariantes de T .

Corolario ( Teorema ergódico puntual ): En particular, si T también es ergódico, entonces${\displaystyle {\mathcal {C}}}$es el álgebra σ trivial y, por lo tanto, con probabilidad 1:

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}f(T^{k}x)=E(f).}$$

El teorema ergódico medio de Von Neumann se cumple en espacios de Hilbert. ^{[ 1 ]}

Sea U un operador unitario en un espacio de Hilbert H ; más generalmente, un operador lineal isométrico (es decir, un operador lineal no necesariamente sobreyectivo que satisface ‖ Ux ‖ = ‖ x ‖ para todo x en H , o equivalentemente, que satisface U * U = I, pero no necesariamente UU * = I). Sea P la proyección ortogonal sobre { ψ  ∈ H | Uψ = ψ} = ker( I − U ).         

Entonces, para cualquier x en H , tenemos:

$${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{1 \over N}\sum _{n=0}^{N-1}U^{n}x=Px,}$$

donde el límite es con respecto a la norma en H. En otras palabras, la secuencia de promedios

$${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}U^{n}}$$

converge a P en la topología de operador fuerte .

De hecho, no es difícil ver que en este caso cualquier${\displaystyle x\in H}$admite una descomposición ortogonal en partes de${\displaystyle \ker(IU)}$y${\displaystyle {\overline {\operatorname {ran} (IU)}}}$respectivamente. La primera parte es invariante en todas las sumas parciales como${\displaystyle N}$crece, mientras que para la última parte, de la serie telescópica se tendría:

$${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{1 \over N}\sum _{n=0}^{N-1}U^{n}(IU)=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\left(IU^{N}\right)=0}$$

Este teorema se especializa al caso en que el espacio de Hilbert H consta de L ² funciones en un espacio de medida y U es un operador de la forma

$${\displaystyle Uf(x)=f(Tx)\,}$$

donde T es un endomorfismo de X que preserva la medida , considerado en las aplicaciones como la representación de un paso de tiempo de un sistema dinámico discreto. ^{[ 2 ]} El teorema ergódico afirma entonces que el comportamiento promedio de una función ƒ en escalas de tiempo suficientemente grandes se aproxima mediante la componente ortogonal de ƒ que es invariante en el tiempo.

En otra forma del teorema ergódico medio, sea U _t un grupo fuertemente continuo de un parámetro de operadores unitarios en H . Entonces el operador

$${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}U_{t}\,dt}$$

converge en la topología de operadores fuertes cuando T → ∞. De hecho, este resultado también se extiende al caso de un semigrupo uniparamétrico fuertemente continuo de operadores contractivos en un espacio reflexivo.

Nota: Se puede desarrollar cierta intuición sobre el teorema ergódico medio considerando el caso en que los números complejos de longitud unitaria se consideran transformaciones unitarias en el plano complejo (mediante multiplicación por la izquierda). Si elegimos un único número complejo de longitud unitaria (que consideramos U ), es intuitivo que sus potencias llenarán el círculo. Dado que el círculo es simétrico respecto a 0, es lógico que las medias de las potencias de U converjan a 0. Además, 0 es el único punto fijo de U , por lo que la proyección sobre el espacio de puntos fijos debe ser el operador cero (lo cual concuerda con el límite descrito anteriormente).

Sea ( X , Σ, μ ) como arriba un espacio de probabilidad con una transformación T que preserva la medida , y sea 1 ≤ p ≤ ∞. La esperanza condicional con respecto a la sub-σ-álgebra Σ _T de los conjuntos T -invariantes es un proyector lineal E _T de norma 1 del espacio de Banach L ^p ( X , Σ, μ ) sobre su subespacio cerrado L ^p ( X , Σ _T , μ ). Este último también puede caracterizarse como el espacio de todas las funciones L ^p T -invariantes en X . Los medios ergódicos, como operadores lineales en L ^p ( X , Σ, μ ) también tienen norma de operador unitario; y, como consecuencia simple del teorema de Birkhoff-Khinchin, convergen al proyector E _T en la topología de operador fuerte de L ^p si 1 ≤ p ≤ ∞, y en la topología de operador débil si p = ∞. Más es cierto si 1 < p ≤ ∞ entonces el teorema de convergencia ergódica dominada de Wiener-Yoshida-Kakutani establece que las medias ergódicas de f ∈ L ^p están dominadas en L ^p ; sin embargo, si f ∈ L ¹ , las medias ergódicas pueden no ser equidominadas en L ^p . Finalmente, si se supone que f está en la clase de Zygmund, es decir | f | log ⁺ (| f |) es integrable, entonces las medias ergódicas están incluso dominadas en L ¹ .

Sea ( X , Σ, μ ) un espacio de medida tal que μ ( X ) es finito y distinto de cero. El tiempo que se pasa en un conjunto medible A se llama tiempo de permanencia . Una consecuencia inmediata del teorema ergódico es que, en un sistema ergódico, la medida relativa de A es igual al tiempo medio de permanencia :

$${\displaystyle {\frac {\mu (A)}{\mu (X)}}={\frac {1}{\mu (X)}}\int \chi _{A}\,d\mu =\lim _{n\to \infty }\;{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\chi _{A}(T^{k}x)}$$

para todo x excepto para un conjunto de medida cero , donde χ _A es la función indicadora de A.

Los tiempos de ocurrencia de un conjunto medible A se definen como el conjunto k ₁ , k ₂ , k ₃ , ..., de tiempos k tales que T ^k ( x ) está en A , ordenados en orden ascendente. Las diferencias entre tiempos de ocurrencia consecutivos R _i = k _i − k _{i − 1} se denominan tiempos de recurrencia de A. Otra consecuencia del teorema ergódico es que el tiempo de recurrencia promedio de A es inversamente proporcional a la medida de A , suponiendo que el punto inicial x está en A , de modo que k ₀ = 0.

$${\displaystyle {\frac {R_{1}+\cdots +R_{n}}{n}}\to {\frac {\mu (X)}{\mu (A)}}\quad {\text{(casi con seguridad)}}}$$

(Véase casi con seguridad ). Es decir, cuanto más pequeño sea A , más tiempo se tarda en volver a él.

La ergodicidad del flujo geodésico en superficies de Riemann compactas de curvatura negativa variable y en variedades compactas de curvatura negativa constante de cualquier dimensión fue demostrada por Eberhard Hopf en 1939, aunque casos especiales ya habían sido estudiados anteriormente: véase, por ejemplo, los billares de Hadamard (1898) y el billar de Artin (1924). La relación entre flujos geodésicos en superficies de Riemann y subgrupos uniparamétricos en SL(2, R ) fue descrita en 1952 por SV Fomin e IM Gelfand . El artículo sobre flujos de Anosov proporciona un ejemplo de flujos ergódicos en SL(2, R ) y en superficies de Riemann de curvatura negativa. Gran parte del desarrollo descrito allí se generaliza a variedades hiperbólicas, ya que pueden verse como cocientes del espacio hiperbólico por la acción de una red en el grupo de Lie semisimple SO(n,1) . La ergodicidad del flujo geodésico en espacios simétricos riemannianos fue demostrada por F. I. Mautner en 1957. En 1967, D. V. Anosov y Ya. G. Sinai demostraron la ergodicidad del flujo geodésico en variedades compactas de curvatura seccional negativa variable. Calvin C. Moore proporcionó un criterio simple para la ergodicidad de un flujo homogéneo en un espacio homogéneo de un grupo de Lie semisimple en 1966. Muchos de los teoremas y resultados de esta área de estudio son típicos de la teoría de la rigidez .

En la década de 1930, GA Hedlund demostró que el flujo horocíclico en una superficie hiperbólica compacta es mínimo y ergódico. La ergodicidad única del flujo fue establecida por Hillel Furstenberg en 1972. Los teoremas de Ratner proporcionan una generalización importante de la ergodicidad para flujos unipotentes en los espacios homogéneos de la forma Γ  \ G , donde G es un grupo de Lie y Γ es una red en G .  

En los últimos 20 años, se han realizado numerosos trabajos para encontrar un teorema de clasificación de medidas similar a los teoremas de Ratner , pero para acciones diagonalizables, motivados por las conjeturas de Furstenberg y Margulis . Elon Lindenstrauss demostró un importante resultado parcial (que resuelve dichas conjeturas con la suposición adicional de entropía positiva) , y en 2010 recibió la Medalla Fields por este resultado.

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• Teoría ergódica (16 de junio de 2015) Notas de Cosma Rohilla Shalizi
• El teorema ergódico supera la prueba. De Physics World.