Glosario de topología general

Este es un glosario de algunos términos utilizados en la rama de las matemáticas conocida como topología . Si bien no existe una distinción absoluta entre las diferentes áreas de la topología, aquí nos centramos en la topología general . Las siguientes definiciones también son fundamentales para la topología algebraica , la topología diferencial y la topología geométrica . Para una lista de términos específicos de la topología algebraica, consulte el Glosario de topología algebraica .

Se presupone que todos los espacios de este glosario son espacios topológicos, a menos que se indique lo contrario.

A

Completamente cerrado: Ver H cerrado

Accesible: Ver $T_{1}$ .

Punto de acumulación: Ver punto límite .

Compactificación de Alexandroff

Topología de Alexandrov: La topología de un espacio X es una topología de Alexandrov (o es finitamente generada ) si las intersecciones arbitrarias de conjuntos abiertos en X son abiertas, o equivalentemente, si las uniones arbitrarias de conjuntos cerrados son cerradas, o, de nuevo equivalentemente, si los conjuntos abiertos son los conjuntos superiores de un poset . ^{[ 1 ]}

Casi discreto: Un espacio es casi discreto si todo conjunto abierto es cerrado (de ahí el término clopen). Los espacios casi discretos son precisamente los espacios cero-dimensionales generados finitamente.

α-cerrado, α-abierto: Un subconjunto A de un espacio topológico X es α-abierto si $A\subseteq \operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {Cl} _{X}\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)\right)$ y el complemento de dicho conjunto es α-cerrado. ^{[ 2 ]}

Espacio de aproximación: Un espacio de aproximación es una generalización del espacio métrico basado en distancias de punto a conjunto, en lugar de distancias de punto a punto.

B

espacio Baire

Esto tiene dos significados comunes distintos:

Un espacio es un espacio de Baire si la intersección de cualquier colección numerable de conjuntos abiertos densos es densa; véase espacio de Baire .
El espacio de Baire es el conjunto de todas las funciones de los números naturales a los números naturales, con la topología de convergencia puntual; véase espacio de Baire (teoría de conjuntos) .

Base: Una colección B de conjuntos abiertos es una base (o base ) para una topología. $\tau$ si cada conjunto abierto en $\tau$ es una unión de conjuntos en $B$ La topología $\tau$ es la topología más pequeña en $X$ que contiene $B$ y se dice que es generado por $B$ .

Base: Ver Base .

β-abierta: Ver Semi-preapertura .

b-abierto, b-cerrado: Un subconjunto $A$ de un espacio topológico $X$ es b-abierto si $A\subseteq \operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {Cl} _{X}A\right)\cup \operatorname {Cl} _{X}\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)$ . El complemento de un conjunto b-abierto es b-cerrado. ^{[ 2 ]}

Álgebra de Borel: El álgebra de Borel en un espacio topológico $(X,\tau )$ es el más pequeño $\sigma$ -álgebra que contiene todos los conjuntos abiertos. Se obtiene tomando la intersección de todos $\sigma$ -álgebras en $X$ que contiene $\tau$ .

Juego de Borel: Un conjunto de Borel es un elemento de un álgebra de Borel.

Límite: El límite (o frontera ) de un conjunto es su clausura menos su interior. De forma equivalente, el límite de un conjunto es la intersección de su clausura con la clausura de su complemento. Límite de un conjunto $A$ se denota por $\partial A$ o $bd$ $A$ .

Encerrado: Un conjunto en un espacio métrico es acotado si tiene diámetro finito . De forma equivalente, un conjunto es acotado si está contenido en una bola abierta de radio finito. Una función que toma valores en un espacio métrico es acotada si su imagen es un conjunto acotado.

do

Categoría de espacios topológicos: La categoría Top tiene como objetos espacios topológicos y como morfismos mapas continuos .

secuencia de Cauchy: Una secuencia { x _n } en un espacio métrico ( M , d ) es una secuencia de Cauchy si, para cada número real positivo r , existe un entero N tal que para todos los enteros m , n > N , tenemos d ( x _m , x _n ) < r .

Conjunto Clopen: Un conjunto es abierto y cerrado si es a la vez abierto y cerrado.

Bola cerrada: Si ( M , d ) es un espacio métrico , una bola cerrada es un conjunto de la forma D ( x ; r ) := { y en M : d ( x , y ) ≤ r }, donde x está en M y r es un número real positivo , el radio de la bola. Una bola cerrada de radio r es una r -bola cerrada . Toda bola cerrada es un conjunto cerrado en la topología inducida en M por d . Nótese que la bola cerrada D ( x ; r ) podría no ser igual a la clausura de la bola abierta B ( x ; r ).

Conjunto cerrado: Un conjunto es cerrado si su complemento es un miembro de la topología.

Función cerrada: Una función de un espacio a otro es cerrada si la imagen de cada conjunto cerrado es cerrada.

Cierre: La clausura de un conjunto es el conjunto cerrado más pequeño que contiene al conjunto original. Es igual a la intersección de todos los conjuntos cerrados que lo contienen. Un elemento de la clausura de un conjunto S es un punto de clausura de S.

Operador de cierre: Véase Axiomas de cierre de Kuratowski .

Topología más gruesa: Si X es un conjunto, y si T ₁ y T ₂ son topologías en X , entonces T ₁ es más gruesa (o más pequeña , más débil ) que T ₂ si T ₁ está contenida en T _2. Cuidado, algunos autores, especialmente analistas , usan el término más fuerte .

Comeagre: Un subconjunto A de un espacio X es comeagre ( comeager ) si su complemento X \ A es meagre . También llamado residual .

Compacto: Un espacio es compacto si toda cubierta abierta tiene una subcubierta finita . Todo espacio compacto es Lindelöf y paracompacto. Por lo tanto, todo espacio compacto de Hausdorff es normal. Véase también cuasicompacto .

Topología compacta y abierta: La topología compacta-abierta en el conjunto C ( X , Y ) de todas las aplicaciones continuas entre dos espacios X e Y se define de la siguiente manera: dado un subconjunto compacto K de X y un subconjunto abierto U de Y , sea V ( K , U ) el conjunto de todas las aplicaciones f en C ( X , Y ) tales que f ( K ) está contenida en U . Entonces, la colección de todos estos V ( K , U ) es una subbase para la topología compacta-abierta.

Completo: Un espacio métrico es completo si toda sucesión de Cauchy converge.

Completamente metrizable/completamente metrizable: Ver espacio completo .

Completamente normal: Un espacio es completamente normal si cualesquiera dos conjuntos separados tienen vecindarios disjuntos .

Hausdorff completamente normal: Un espacio de Hausdorff completamente normal (o espacio T ₅ ) es un espacio T _{1 completamente normal. (Un espacio completamente normal es de Hausdorff}si y solo si es T ₁ , por lo que la terminología es consistente ). Todo espacio de Hausdorff completamente normal es un espacio de Hausdorff normal.

Completamente normal: Un espacio es completamente regular si, siempre que C sea un conjunto cerrado y x sea un punto que no está en C , entonces C y { x } están funcionalmente separados.

Completamente T ₃: Véase Tychonoff .

Componente: Consulte Componente conectado / Componente conectado por ruta .

Conectado: Un espacio es conexo si no es la unión de un par de conjuntos abiertos no vacíos disjuntos . De forma equivalente, un espacio es conexo si los únicos conjuntos abiertos cerrados son el espacio entero y el conjunto vacío.

Componente conectado: Un componente conexo de un espacio es un subespacio conexo máximo no vacío. Cada componente conexo es cerrado, y el conjunto de componentes conexos de un espacio es una partición de ese espacio.

Continuo: Una función de un espacio a otro es continua si la preimagen de cada conjunto abierto es abierto.

Continuo: Un espacio se denomina continuo si es un espacio de Hausdorff compacto y conectado.

Contráctil: Un espacio X es contraíble si la aplicación identidad en X es homotópica a una aplicación constante. Todo espacio contraíble es simplemente conexo.

Topología de coproductos: Si { X _i } es una colección de espacios y X es la unión disjunta (en teoría de conjuntos) de { X _i }, entonces la topología de coproducto (o topología de unión disjunta , suma topológica de los X _i ) en X es la topología más fina para la cual todos los mapas de inyección son continuos.

Espacio compacto central

espacio cósmico: Una imagen continua de algún espacio métrico separable . ^[³^]

condición de cadena contable: Un espacio X satisface la condición de cadena numerable si toda familia de conjuntos abiertos no vacíos y disjuntos dos a dos es numerable.

Compacto contable: Un espacio es numerablemente compacto si toda cubierta abierta numerable tiene una subcubierta finita . Todo espacio numerablemente compacto es pseudocompacto y débilmente numerablemente compacto.

Numerablemente localmente finito: Una colección de subconjuntos de un espacio X es numerablemente localmente finita (o σ-localmente finita ) si es la unión de una colección numerable de colecciones localmente finitas de subconjuntos de X.

Cubrir: Una colección de subconjuntos de un espacio es una cubierta (o recubrimiento ) de ese espacio si la unión de la colección es todo el espacio.

Cubierta: Ver portada .

Punto de corte: Si X es un espacio conexo con más de un punto, entonces un punto x de X es un punto de corte si el subespacio X − { x } es disconexo.

D

Punto del grupo δ, δ-cerrado, δ-abierto: Un punto x de un espacio topológico X es un punto de δ-clúster de un subconjunto A si $A\cap \operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {Cl} _{X}(U)\right)\neq \emptyset$ para cada vecindario abierto U de x en X. El subconjunto A es δ-cerrado si es igual al conjunto de sus puntos de δ-agrupación, y δ-abierto si su complemento es δ-cerrado. ^{[ 4 ]}

Conjunto denso: Un conjunto es denso si tiene intersección no vacía con todo conjunto abierto no vacío. De forma equivalente, un conjunto es denso si su clausura es todo el espacio.

Conjunto denso en sí mismo: Un conjunto es denso en sí mismo si no tiene ningún punto aislado .

Densidad: La cardinalidad mínima de un subconjunto denso de un espacio topológico. Un conjunto de densidad ℵ ₀ es un espacio separable . ^{[ 5 ]}

Conjunto derivado: Si X es un espacio y S es un subconjunto de X , el conjunto derivado de S en X es el conjunto de puntos límite de S en X.

Espacio edificable: Un espacio topológico con un desarrollo . ^{[ 6 ]}

Desarrollo: Una colección numerable de cubiertas abiertas de un espacio topológico, tal que para cualquier conjunto cerrado ^C y cualquier punto p en su complemento existe una cubierta en la colección tal que cada entorno de p en la cubierta es disjunto de C. ^[⁶ ]

Diámetro: Si ( M , d ) es un espacio métrico y S es un subconjunto de M , el diámetro de S es el supremo de las distancias d ( x , y ), donde x e y varían sobre S .

Métrica discreta: La métrica discreta en un conjunto X es la función d : X × X → R tal que para todo x , y en X , d ( x , x ) = 0 y d ( x , y ) = 1 si x ≠ y . La métrica discreta induce la topología discreta en X .

Espacio discreto: Un espacio X es discreto si todo subconjunto de X es abierto. Decimos que X posee la topología discreta . ^{[ 7 ]}

Topología discreta: Ver espacio discreto .

Topología de unión disjunta: Ver topología de coproducto .

Punto de dispersión: Si X es un espacio conexo con más de un punto, entonces un punto x de X es un punto de dispersión si el subespacio X − { x } es hereditariamente disconexo (sus únicos componentes conexos son los conjuntos de un punto).

Distancia: Ver espacio métrico .

Espacio Dowker

Teorema de extensión de Dugundji

Sombrero de burro (topología)

mi

Séquito: Ver espacio uniforme .

Exterior: El exterior de un conjunto es el interior de su complemento.

Teorema de Eilenberg-Wojdysławski: El teorema de Eilenberg-Wojdysławski establece que todo espacio métrico acotado puede incrustarse en un espacio de Banach como un subconjunto cerrado de la envoltura convexa de la imagen.

F

Conjunto F _σ: Un conjunto F _σ es una unión numerable de conjuntos cerrados. ^{[ 8 ]}

Filtrar

Véase también: Filtros en topología . Un filtro en un espacio X es una familia no vacía F de subconjuntos de X que cumplen las siguientes condiciones:

El conjunto vacío no está en F.
La intersección de cualquier número finito de elementos de F está nuevamente en F.
Si A está en F y si B contiene a A , entonces B está en F.

Topología final: En un conjunto X con respecto a una familia de funciones en $X$ , es la topología más fina en X que hace que esas funciones sean continuas . ^{[ 9 ]}

Topología fina (teoría del potencial): En el espacio euclidiano $\mathbb {R} ^{n}$ , la topología más gruesa hace que todas las funciones subarmónicas (equivalentemente todas las funciones superarmónicas) sean continuas. ^{[ 10 ]}

Topología más fina: Si X es un conjunto, y si T ₁ y T ₂ son topologías en X , entonces T ₂ es más fina (o más grande , más fuerte ) que T ₁ si T ₂ contiene a T _1. Cuidado, algunos autores, especialmente analistas , usan el término más débil .

Generado de forma finita: Véase la topología de Alexandrov .

Primera categoría: Ver Escaso .

Primeros contables: Un espacio es numerable de primer orden si cada punto tiene una base local numerable .

Fréchet: Ver T ₁ .

Frontera: Ver límite .

Juego completo: Un subconjunto compacto K del plano complejo se denomina completo si su complemento es conexo. Por ejemplo, el disco unitario cerrado es completo, mientras que el círculo unitario no lo es.

Separado funcionalmente: Dos conjuntos A y B en un espacio X están funcionalmente separados si existe una aplicación continua f : X → [0, 1] tal que f ( A ) = 0 y f ( B ) = 1.

GRAMO

Conjunto G _δ: Un conjunto Gδ o conjunto límite interno es una intersección numerable _de conjuntos abiertos. ^{[ 8 ]}

Espacio G _δ: Un espacio en el que cada conjunto cerrado es un conjunto G _δ . ^{[ 8 ]}

Punto genérico: Un punto genérico para un conjunto cerrado es un punto para el cual el conjunto cerrado es la clausura del conjunto unitario que contiene ese punto. ^{[ 11 ]}

H

Hausdorff: Un espacio de Hausdorff (o espacio T ₂ ) es aquel en el que cada par de puntos distintos tienen vecindarios disjuntos . Todo espacio de Hausdorff es T ₁ .
H cerrado: Un espacio es H-cerrado, o Hausdorff cerrado o absolutamente cerrado , si está cerrado en todos los espacios Hausdorff que lo contienen.
Hemicompacto: Un espacio es hemicompacto si existe una secuencia de subconjuntos compactos tal que cada subconjunto compacto está contenido en uno de ellos.
Hereditariamente P: Un espacio es hereditariamente P para alguna propiedad P si cada subespacio es también P.
Hereditario: Se dice que una propiedad de los espacios es hereditaria si, siempre que un espacio tenga esa propiedad, también la tendrán todos sus subespacios. ^{[ 12 ]} Por ejemplo, la segunda numerabilidad es una propiedad hereditaria.
Homeomorfismo: Si X e Y son espacios, un homeomorfismo de X a Y es una función biyectiva f : X → Y tal que f y f ⁻¹ son continuas. Se dice entonces que los espacios X e Y son homeomorfos . Desde el punto de vista de la topología, los espacios homeomorfos son idénticos.
Homogéneo: Un espacio X es homogéneo si, para cada x e y en X , existe un homeomorfismo f : X → X tal que f ( x ) = y . Intuitivamente, el espacio se ve igual en cada punto. Todo grupo topológico es homogéneo.
Mapas homotópicos: Dos aplicaciones continuas f y g : X → Y son homotópicas (en Y ) si existe una aplicación continua H : X × [0, 1] → Y tal que H ( x , 0) = f ( x ) y H ( x , 1) = g ( x ) para todo x en X. Aquí, X × [0, 1] tiene la topología de producto. La función H se denomina homotopía (en Y ) entre f y g .
Homotopía: Ver mapas homotópicos .
Hiperconectado: Un espacio es hiperconexo si no hay dos conjuntos abiertos no vacíos disjuntos ^{[ 13 ]} Todo espacio hiperconexo es conexo. ^{[ 13 ]}

I

Mapa de identificación: Ver mapa de cocientes .
Espacio de identificación: Ver espacio de cociente .
Espacio indiscreto: Ver Topología trivial .
Topología de dimensión infinita: Véase variedad de Hilbert y variedades Q , es decir, variedades (generalizadas) modeladas en el espacio de Hilbert y en el cubo de Hilbert, respectivamente.
Conjunto límite interno: Un conjunto G _δ . ^{[ 8 ]}
Interior: El interior de un conjunto es el conjunto abierto más grande contenido en el conjunto original. Es igual a la unión de todos los conjuntos abiertos contenidos en él. Un elemento del interior de un conjunto S es un punto interior de S.
Punto interior: Ver interior .
Punto aislado: Un punto x es un punto aislado si el conjunto unitario { x } es abierto. De manera más general, si S es un subconjunto de un espacio X , y si x es un punto de S , entonces x es un punto aislado de S si { x } es abierto en la topología de subespacios en S .
isomorfismo isométrico: Si M ₁ y M ₂ son espacios métricos, un isomorfismo isométrico de M ₁ a M ₂ es una isometría biyectiva f : M ₁ → M _2. Se dice entonces que los espacios métricos son isométricamente isomorfos . Desde el punto de vista de la teoría de espacios métricos, los espacios isométricamente isomorfos son idénticos.
Isometría: Si ( M ₁ , d ₁ ) y ( M ₂ , d ₂ ) son espacios métricos, una isometría de M ₁ a M ₂ es una función f : M ₁ → M ₂ tal que d ₂ ( f ( x ), f ( y )) = d ₁ ( x , y ) para todo x , y en M ₁ . Toda isometría es inyectiva , aunque no toda isometría es sobreyectiva .

K

Teorema del arco de Koch

Axioma de Kolmogorov: Ver T ₀ .

axiomas de cierre de Kuratowski

Los axiomas de clausura de Kuratowski son un conjunto de axiomas que satisface la función que lleva cada subconjunto de X a su clausura:

Isotonicidad : Todo conjunto está contenido en su clausura.
Idempotencia : El cierre del cierre de un conjunto es igual al cierre de ese conjunto.
Preservación de uniones binarias : El cierre de la unión de dos conjuntos es la unión de sus cierres.
Preservación de uniones nulas : La clausura del conjunto vacío es vacía.

Si c es una función del conjunto potencia de X en sí mismo, entonces c es un operador de cierre si satisface los axiomas de cierre de Kuratowski. Los axiomas de cierre de Kuratowski se pueden usar para definir una topología en X declarando que los conjuntos cerrados son los puntos fijos de este operador, es decir, un conjunto A es cerrado si y solo si c ( A ) = A .

Topología de Kolmogorov: T _Kol = {R, $\varnothing$ }∪{(a,∞): a es un número real}; el par (R,T _Kol ) se denomina recta de Kolmogorov .

L

Espacio en L: Un espacio L es un espacio de Lindelöf hereditario que no es separable hereditariamente . Una línea de Suslin sería un espacio L. ^[¹⁴^]

Topología más amplia: Ver topología más fina .

Punto límite: Un punto x en un espacio X es un punto límite de un subconjunto S si todo conjunto abierto que contiene a x también contiene un punto de S distinto de x . Esto equivale a exigir que todo entorno de x contenga un punto de S distinto de x .

Punto límite compacto: Véase Compacto débilmente numerable .

Limitar el espacio

Lindelöf: Un espacio es Lindelöf si cada cubierta abierta tiene una subcubierta contable .

Base local: Un conjunto B de vecindarios de un punto x de un espacio X es una base local (o base local , base de vecindario , base de vecindario ) en x si cada vecindario de x contiene algún miembro de B.

Base local: Ver base local .

Espacio local (P): Existen dos definiciones para que un espacio sea "localmente (P)", donde (P) es una propiedad topológica o de teoría de conjuntos: que cada punto tenga un entorno con la propiedad (P), o que cada punto tenga una base de entorno para la cual cada miembro tenga la propiedad (P). La primera definición se suele utilizar para espacios localmente compactos, numerablemente compactos, metrizables, separables y numerables; la segunda, para espacios localmente conexos. ^{[ 15 ]}

Subconjunto cerrado localmente: Un subconjunto de un espacio topológico que es la intersección de un subconjunto abierto y uno cerrado. De forma equivalente, es un subconjunto relativamente abierto de su clausura.

Compacto localmente: Un espacio es localmente compacto si cada punto tiene un entorno compacto: a veces se utiliza la definición alternativa de que cada punto tiene una base local formada por entornos compactos: estas son equivalentes para los espacios de Hausdorff. ^{[ 15 ]} Todo espacio de Hausdorff localmente compacto es de Tychonoff.

Conectado localmente: Un espacio está conectado localmente si cada punto tiene una base local formada por vecindarios conectados. ^{[ 15 ]}

Denso localmente: ver Preapertura .

Localmente finito: Una colección de subconjuntos de un espacio es localmente finita si cada punto tiene un entorno cuya intersección con un número finito de subconjuntos no es vacía. Véase también localmente finito numerable y finito puntual .

Metrizable localmente / Metrizable localmente: Un espacio es metrizable localmente si cada punto tiene un vecindario metrizable. ^{[ 15 ]}

Conectado localmente por ruta: Un espacio es localmente conectado por caminos si cada punto tiene una base local que consiste en vecindarios conectados por caminos. ^{[ 15 ]} Un espacio localmente conectado por caminos está conectado si y solo si es conectado por caminos.

Conexión sencilla a nivel local: Un espacio es localmente simplemente conexo si cada punto tiene una base local formada por vecindarios simplemente conexos.

Bucle: Si x es un punto en un espacio X , un bucle en x en X (o un bucle en X con punto base x ) es un camino f en X , tal que f (0) = f (1) = x . Equivalentemente, un bucle en X es una aplicación continua del círculo unitario S1 en ^X.

METRO

Pobre: Si X es un espacio y A es un subconjunto de X , entonces A es meagre en X (o de primera categoría en X ) si es la unión numerable de conjuntos densos ^en ninguna parte. Si A no es meagre en X , A es de segunda categoría en X. ^[¹⁶ ]

Metacompacto: Un espacio es metacompacto si cada cubierta abierta tiene un refinamiento abierto finito puntual.

Métrico: Ver espacio métrico .

Invariante métrico: Un invariante métrico es una propiedad que se conserva bajo isomorfismo isométrico.

Mapa métrico: Si X e Y son espacios métricos con métricas d _X y d _Y respectivamente, entonces una aplicación métrica es una función f de X a Y tal que para cualesquiera puntos x e y en X , d _Y ( f ( x ), f ( y )) ≤ d _X ( x , y ) . Una aplicación métrica es estrictamente métrica si la desigualdad anterior es estricta para todo x e y en X.

Espacio métrico

Un espacio métrico ( M , d ) es un conjunto M equipado con una función d : M × M → R que satisface los siguientes axiomas para todos los x , y , y z en M :

d ( x , y ) ≥ 0
d ( x , x ) = 0
Si d ( x , y ) = 0 entonces x = y ( identidad de indiscernibles )
d ( x , y ) = d ( y , x ) ( simetría )
d ( x , z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z ) ( desigualdad triangular )

La función d es una métrica en M , y d ( x , y ) es la distancia entre x e y . El conjunto de todas las bolas abiertas de M es una base para una topología en M ; esta es la topología en M inducida por d . Todo espacio métrico es Hausdorff y paracompacto (y por lo tanto normal y Tychonoff). Todo espacio métrico es primeramente numerable.

Metrizable / Metrisable: Un espacio es metrizable si es homeomorfo a un espacio métrico. Todo espacio metrizable es de Hausdorff y paracompacto (y, por lo tanto, normal y de Tychonoff). Todo espacio metrizable es primeramente numerable.

Monolito: Todo espacio compacto ultraconexo no vacío X tiene un subconjunto abierto propio más grande; este subconjunto se llama monolito .

Espacio Moore: Un espacio de Moore es un espacio de Hausdorff regular desarrollable . ^[⁶^]

norte

Casi abierto: ver preapertura . Ver también: mapa casi abierto .

Barrio / Vecindario: Un entorno de un punto x es un conjunto que contiene un conjunto abierto que, a su vez, contiene el punto x . De forma más general, un entorno de un conjunto S es un conjunto que contiene un conjunto abierto que, a su vez, contiene el conjunto S. Por lo tanto , un entorno de un punto x es un entorno del conjunto unitario { x }. (Cabe destacar que, según esta definición, el entorno en sí no tiene por qué ser abierto. Muchos autores exigen que los entornos sean abiertos; conviene tener en cuenta las convenciones).

Base del vecindario / fundamento: Ver base local .

Sistema de vecindario para un punto x: Un sistema de vecindad en un punto x en un espacio es el conjunto de todas las vecindades de x .

Neto: Una red en un espacio X es una aplicación de un conjunto dirigido A a X. Una red de A a X se suele denotar como ( x _α ), donde α es una variable de índice que recorre A. Toda secuencia es una red, considerando A como el conjunto dirigido de los números naturales con el orden habitual.

Normal: Un espacio es normal si cualesquiera dos conjuntos cerrados disjuntos tienen vecindarios disjuntos. ^{[ 8 ]} Todo espacio normal admite una partición de la unidad .

Normal Hausdorff: Un espacio de Hausdorff normal (o espacio T4 ) es un espacio T1 normal _. (Un espacio normal es de Hausdorff _si y solo si es T1 _, por lo que la terminología es consistente). Todo espacio de Hausdorff normal es de Tychonoff.

No hay densidad en ningún lugar: Un conjunto denso en ninguna parte es un conjunto cuyo cierre tiene interior vacío.

O

Abrir la tapa: Una cubierta abierta es una cubierta que consta de conjuntos abiertos. ^{[ 6 ]}

Bola abierta: Si ( M , d ) es un espacio métrico, una bola abierta es un conjunto de la forma B ( x ; r ) := { y en M : d ( x , y ) < r }, donde x está en M y r es un número real positivo , el radio de la bola. Una bola abierta de radio r es una r -bola abierta . Toda bola abierta es un conjunto abierto en la topología sobre M inducida por d .
Estado abierto: Ver propiedad abierta .
Conjunto abierto: Un conjunto abierto es un miembro de la topología.
Función abierta: Una función de un espacio a otro es abierta si la imagen de cada conjunto abierto es abierta.
Propiedad abierta: Se dice que una propiedad de los puntos en un espacio topológico es "abierta" si los puntos que la poseen forman un conjunto abierto . Estas condiciones suelen tener una forma común, que se denomina condición abierta ; por ejemplo, en espacios métricos , se define una bola abierta como se indicó anteriormente y se afirma que "la desigualdad estricta es una condición abierta".

Ortocompacto: Un espacio es ortocompacto si cada cubierta abierta tiene un refinamiento abierto que preserva el interior .

PAG

Paracompacto: Un espacio es paracompacto si toda cubierta abierta tiene un refinamiento abierto localmente finito. Paracompacto implica metacompacto. ^{[ 17 ]} Los espacios de Hausdorff paracompactos son normales. ^{[ 18 ]}

Partición de la unidad: Una partición de la unidad de un espacio X es un conjunto de funciones continuas de X a [0, 1] tales que cualquier punto tiene un entorno donde todas las funciones, excepto un número finito , son idénticamente cero, y la suma de todas las funciones en todo el espacio es idénticamente 1.

Camino: Una trayectoria en un espacio X es una aplicación continua f del intervalo unitario cerrado [0, 1] en X. El punto f (0) es el punto inicial de f ; el punto f (1) es el punto final de f . ^{[ 13 ]}

Conectado por caminos: Un espacio X es conexo por caminos si, para cada par de puntos x , y en X , existe un camino f desde x hasta y , es decir, un camino con punto inicial f (0) = x y punto final f (1) = y . Todo espacio conexo por caminos es conexo. ^{[ 13 ]}

Componente conectado por ruta: Un componente conectado por caminos de un espacio es un subespacio conectado por caminos maximal no vacío. El conjunto de componentes conectados por caminos de un espacio es una partición de ese espacio, que es más fina que la partición en componentes conexas. ^{[ 13 ]} El conjunto de componentes conectados por caminos de un espacio X se denota π ₀ ( X ) .

Peano continúa

Completamente normal: un espacio normal que también es un G _δ . ^{[ 8 ]}

base π: Una colección B de conjuntos abiertos no vacíos es una π-base para una topología τ si cada conjunto abierto no vacío en τ incluye un conjunto ^de B. ^[¹⁹ ]

Punto: Un punto es un elemento de un espacio topológico. De forma más general, un punto es un elemento de cualquier conjunto con una estructura topológica subyacente; por ejemplo, un elemento de un espacio métrico o un grupo topológico también es un "punto".

Punto de cierre: Ver Cierre .

Polaco: Un espacio es polaco si es separable y completamente metrizable, es decir, si es homeomorfo a un espacio métrico separable y completo.

Poliádico: Un espacio es poliádico si es la imagen continua de la potencia de una compactificación de un punto de un espacio de Hausdorff localmente compacto y no compacto.

Espacio politopológico: Un espacio politopológico es un conjunto $X$ junto con una familia $\{\tau _{i}\}_{i\in I}$ de topologías en $X$ que está ordenado linealmente por la relación de inclusión donde $I$ es un conjunto de índices arbitrario .

Punto P: Un punto de un espacio topológico es un punto P si su filtro de vecindarios es cerrado bajo intersecciones numerables.

Precompacto: Ver Relativamente compacto .

Conjunto previo a la apertura: Un subconjunto A de un espacio topológico X es preabierto si $A\subseteq \operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {Cl} _{X}A\right)$ . ^{[ 4 ]}

Topología prodiscreta: La topología prodiscreta en un producto A ^G es la topología del producto cuando a cada factor A se le da la topología discreta. ^{[ 20 ]}

Topología del producto: Si $\left(X_{i}\right)$ es una colección de espacios y X es el producto cartesiano (en teoría de conjuntos) de $\left(X_{i}\right),$ Entonces, la topología del producto en X es la topología más gruesa para la cual todos los mapas de proyección son continuos.

Función/mapeo correctos: Una función continua f de un espacio X a un espacio Y es propia si $f^{-1}(C)$ es un conjunto compacto en X para cualquier subespacio compacto C de Y.

Espacio de proximidad: Un espacio de proximidad ( X , d ) es un conjunto X equipado con una relación binaria d entre subconjuntos de X que satisfacen las siguientes propiedades:

Para todos los subconjuntos A , B y C de X ,

A d B implica B d A
A d B implica que A no es vacío
Si A y B tienen una intersección no vacía, entonces A d B
Un d ( B $\cup$ C ) si y solo si ( A d B o A d C )
Si para todos los subconjuntos E de X tenemos ( A d E o B d E ), entonces debemos tener A d ( X − B )

Pseudocompacto: Un espacio es pseudocompacto si toda función continua de valor real definida en dicho espacio está acotada.

Pseudométrico: Ver espacio pseudométrico .

Espacio pseudométrico: Un espacio pseudométrico ( M , d ) es un conjunto M equipado con una función de valores reales $d:M\times M\to \mathbb {R}$ que satisface todas las condiciones de un espacio métrico, excepto posiblemente la identidad de los indiscernibles. Es decir, los puntos en un espacio pseudométrico pueden estar "infinitamente cerca" sin ser idénticos. La función d es una pseudométrica en M. Toda métrica es una pseudométrica.

Barrio perforado / Barrio perforado: Un entorno perforado de un punto x es un entorno de x , menos { x }. Por ejemplo, el intervalo (−1, 1) = { y : −1 < y < 1} es un entorno de x = 0 en la recta real , por lo que el conjunto $(-1,0)\cup (0,1)=(-1,1)-\{0\}$ es un vecindario perforado de 0.

Q

Cuasicompacto: Véase compacto . Algunos autores definen «compacto» incluyendo el axioma de separación de Hausdorff , y utilizan el término cuasicompacto para referirse a lo que en este glosario denominamos simplemente «compacto» (sin el axioma de Hausdorff). Esta convención se encuentra con mayor frecuencia en francés y en ramas de las matemáticas fuertemente influenciadas por este idioma.

Mapa de cocientes: Si X e Y son espacios, y si f es una sobreyección de X a Y , entonces f es una aplicación cociente (o aplicación de identificación ) si, para cada subconjunto U de Y , U es abierto en Y si y solo si f ^-¹ ( U ) es abierto en X. En otras palabras, Y tiene la topología f -fuerte. Equivalentemente, $f$ es un mapa cociente si y solo si es la composición transfinita de mapas $X\rightarrow X/Z$ , dónde $Z\subset X$ es un subconjunto. Nótese que esto no implica que f sea una función abierta.

espacio cociente: Si X es un espacio, Y es un conjunto y f : X → Y es cualquier función sobreyectiva , entonces la topología cociente en Y inducida por f es la topología más fina para la cual f es continua. El espacio X es un espacio cociente o espacio de identificación . Por definición, f es una aplicación cociente. El ejemplo más común de esto es considerar una relación de equivalencia en X , donde Y es el conjunto de clases de equivalencia y f es la aplicación de proyección natural. Esta construcción es dual a la construcción de la topología de subespacio.

R

Refinamiento: Una cobertura K es un refinamiento de una cobertura L si cada miembro de K es un subconjunto de algún miembro de L.
Regular: Un espacio es regular si, siempre que C sea un conjunto cerrado y x sea un punto que no pertenece a C , entonces C y x tienen entornos disjuntos .
Hausdorff regular: Un espacio es regular de Hausdorff ₍ o T3 ) si es un espacio regular T0 _. (Un espacio regular es de Hausdorff si y solo si es T0 _, por lo que la terminología es coherente).
Abierto regularmente: Un subconjunto de un espacio X es abierto regular si es igual al interior de su clausura; dualmente, un conjunto cerrado regular es igual a la clausura de su interior. ^{[ 21 ]} Un ejemplo de un conjunto abierto no regular es el conjunto U = $(0,1)$ ∪ $(1,2)$ en R con su topología normal, ya que 1 está en el interior de la clausura de U , pero no en U . Los subconjuntos abiertos regulares de un espacio forman un álgebra booleana completa . ^{[ 21 ]}
Relativamente compacto: Un subconjunto Y de un espacio X es relativamente compacto en X si la clausura de Y en X es compacta.
Residual: Si X es un espacio y A es un subconjunto de X , entonces A es residual en X si el complemento de A es escaso en X. También llamado comeagre o comeager .
Soluble: Un espacio topológico se denomina resoluble si puede expresarse como la unión de dos subconjuntos densos disjuntos .
Llanta compacta: Un espacio es compacto en su borde si tiene una base de conjuntos abiertos cuyos límites son compactos.

S

Espacio S: Un espacio S es un espacio hereditariamente separable que no es hereditariamente Lindelöf . ^[¹⁴^]

Disperso: Un espacio X está disperso si cada subconjunto no vacío A de X contiene un punto aislado en A.

Scott: La topología de Scott en un poset es aquella en la que los conjuntos abiertos son aquellos conjuntos superiores inaccesibles mediante uniones dirigidas. ^{[ 22 ]}

Segunda categoría: Ver Escaso .

Segundo contable: Un espacio es segundo-contable o perfectamente separable si tiene una base contable para su topología. ^{[ 8 ]} Todo espacio segundo-contable es primero-contable, separable y Lindelöf.

Conectado simplemente de forma semilocal: Un espacio X es semilocalmente simplemente conexo si, para cada punto x en X , existe un entorno U de x tal que todo lazo en x en U es homotópico en X al lazo constante x . Todo espacio simplemente conexo y todo espacio localmente simplemente conexo es semilocalmente simplemente conexo. (Compárese con la conexidad local; aquí, la homotopía puede existir en X , mientras que en la definición de conexidad local, la homotopía debe existir en U ).

Semiabierto: Un subconjunto A de un espacio topológico X se denomina semiabierto si $A\subseteq \operatorname {Cl} _{X}\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)$ . ^{[ 23 ]}

Semipreapertura: Un subconjunto A de un espacio topológico X se denomina semi-preabierto si $A\subseteq \operatorname {Cl} _{X}\left(\operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {Cl} _{X}A\right)\right)$ ^{[ 2 ]}

Semirregular: Un espacio es semirregular si los conjuntos abiertos regulares forman una base.

Separable: Un espacio es separable si tiene un subconjunto denso numerable . ^{[ 8 ]}^{[ 16 ]}

Apartado: Dos conjuntos A y B están separados si cada uno es disjunto del cierre del otro.

Compacto secuencialmente: Un espacio es secuencialmente compacto si toda sucesión tiene una subsucesión convergente. Todo espacio secuencialmente compacto es numerablemente compacto, y todo espacio numerablemente compacto de primer orden es secuencialmente compacto.

Mapa corto: Ver mapa métrico

Espacio Sierpiński

Simplemente conectado: Un espacio está simplemente conectado si está conectado por caminos y cada bucle es homotópico a un mapa constante.

Topología más pequeña: Ver topología más gruesa .

Sobrio: En un espacio sobrio , todo subconjunto cerrado irreducible es el cierre de exactamente un punto: es decir, tiene un único punto genérico . ^{[ 24 ]}

Estrella: La estrella de un punto en una cubierta dada de un espacio topológico es la unión de todos los conjuntos en la cubierta que contienen el punto. Véase refinamiento estrella .

$f$ -Topología fuerte: Dejar $f\colon X\rightarrow Y$ sea un mapa de espacios topológicos. Decimos que $Y$ tiene el $f$ -topología fuerte si, para cada subconjunto $U\subset Y$ , uno tiene eso $U$ está abierto en $Y$ si y solo si $f^{-1}(U)$ está abierto en $X$

Topología más robusta: Véase Topología más fina . Tenga cuidado, algunos autores, especialmente analistas , utilizan el término topología más débil .

Subbase: Una colección de conjuntos abiertos es una subbase (o subbase ) para una topología si todo conjunto abierto propio no vacío en la topología es la unión de una intersección finita de conjuntos en la subbase. ${\mathcal {B}}$ es cualquier colección de subconjuntos de un conjunto X , la topología en X generada por ${\mathcal {B}}$ es la topología más pequeña que contiene ${\mathcal {B}};$ Esta topología consiste en el conjunto vacío, X y todas las uniones de intersecciones finitas de elementos de ${\mathcal {B}}.$ De este modo ${\mathcal {B}}$ es una subbase para la topología que genera.

Subbase: Ver Subbase .

Subportada: Una cubierta K es una subcubierta (o subcubierta ) de una cubierta L si cada miembro de K es un miembro de L.

Subcubrimiento: Ver contraportada .
Espacio submáximo: Se dice que un espacio topológico es submaximal si cada subconjunto del mismo es localmente cerrado, es decir, cada subconjunto es la intersección de un conjunto abierto y un conjunto cerrado .

Aquí hay algunos datos sobre la submaximalidad como propiedad de los espacios topológicos:

Cada espacio de puerta es subóptimo.
Todo espacio submaximal es débilmente submaximal, es decir, todo conjunto finito es localmente cerrado.
Todo espacio submaximal es irresoluble . ^{[ 25 ]}

Subespacio: Si T es una topología en un espacio X , y si A es un subconjunto de X , entonces la topología de subespacio en A inducida por T consiste en todas las intersecciones de conjuntos abiertos en T con A. Esta construcción es dual a la construcción de la topología cociente.

Línea Suslin

T

T ₀: Un espacio es T ₀ (o Kolmogorov ) si para cada par de puntos distintos x e y en el espacio, o bien hay un conjunto abierto que contiene a x pero no a y , o bien hay un conjunto abierto que contiene a y pero no a x .

T ₁: Un espacio es T ₁ (o Fréchet o accesible ) si para cada par de puntos distintos x e y en el espacio, existe un conjunto abierto que contiene a x pero no a y . (Compárese con T ₀ ; aquí, podemos especificar qué punto estará contenido en el conjunto abierto). De forma equivalente, un espacio es T ₁ si todos sus conjuntos unitarios son cerrados. Todo espacio T _{1 es T}₀ .

T ₂: Ver el espacio Hausdorff .

T ₃: Ver Regular Hausdorff .

T _3½: Ver el espacio Tychonoff .

T ₄: Véase Normal Hausdorff .

T ₅: Ver Hausdorff completamente normal .

Arriba: Véase la categoría de espacios topológicos .

θ-punto de conglomerado, θ-cerrado, θ-abierto: Un punto x de un espacio topológico X es un punto de agrupamiento θ de un subconjunto A si $A\cap \operatorname {Cl} _{X}(U)\neq \emptyset$ para cada vecindario abierto U de x en X. El subconjunto A es θ-cerrado si es igual al conjunto de sus puntos de agrupamiento θ, y θ-abierto si su complemento es θ-cerrado. ^{[ 23 ]}

Invariante topológico: Un invariante topológico es una propiedad que se conserva bajo homeomorfismo. Por ejemplo, la compacidad y la conexidad son propiedades topológicas, mientras que la acotación y la completitud no lo son. La topología algebraica estudia las construcciones de álgebra abstracta topológicamente invariantes en espacios topológicos.

Espacio topológico: Un espacio topológico ( X , T ) es un conjunto X equipado con una colección T de subconjuntos de X que satisfacen los siguientes axiomas :

El conjunto vacío y X están en T.
La unión de cualquier colección de conjuntos en T también está en T.
La intersección de cualquier par de conjuntos en T también está en T.

La colección T es una topología en X.

Suma topológica: Ver topología de coproducto .

Topológicamente completo: Los espacios completamente metrizables (es decir, espacios topológicos homeomorfos a espacios métricos completos) a menudo se denominan topológicamente completos ; a veces el término también se utiliza para espacios Čech-completos o espacios completamente uniformizables .

Topología: Ver Espacio topológico .

Totalmente delimitado: Un espacio métrico M es totalmente acotado si, para todo r > 0, existe una cubierta finita de M mediante bolas abiertas de radio r . Un espacio métrico es compacto si y solo si es completo y totalmente acotado.

Totalmente desconectado: Un espacio está totalmente desconectado si no tiene ningún subconjunto conectado con más de un punto.

Topología trivial: La topología trivial (o topología indiscreta ) en un conjunto X consiste precisamente en el conjunto vacío y todo el espacio X.

Tychonoff: Un espacio de Tychonoff ₍ o espacio de Hausdorff completamente regular , espacio _T3 completo , espacio T3.5 ) es un espacio T0 completamente regular. (Un espacio completamente regular es de Hausdorff _siy solo si es T0 _, por lo que la terminología es consistente). Todo espacio de Tychonoff es un espacio de Hausdorff regular.

U

Ultraconectado: Un espacio es ultraconexo si no hay dos conjuntos cerrados no vacíos disjuntos. ^{[ 13 ]} Todo espacio ultraconexo es conexo por caminos.

Ultramétrico: Una métrica es ultramétrica si satisface la siguiente versión más fuerte de la desigualdad triangular : para todo x , y , z en M , d ( x , z ) ≤ max( d ( x , y ), d ( y , z )).

isomorfismo uniforme: Si X e Y son espacios uniformes , un isomorfismo uniforme de X a Y es una función biyectiva f : X → Y tal que f y f ⁻¹ son uniformemente continuas . Se dice entonces que los espacios son uniformemente isomorfos y comparten las mismas propiedades uniformes .

Uniformizable / Uniformizable: Un espacio es uniformizable si es homeomorfo a un espacio uniforme.

Espacio uniforme: Un espacio uniforme es un conjunto X equipado con una colección no vacía Φ de subconjuntos del producto cartesiano X × X que satisfacen los siguientes axiomas :

Si U está en Φ, entonces U contiene { ( x , x ) | x en X }.
Si U está en Φ, entonces { ( y , x ) | ( x , y ) en U } también está en Φ
Si U está en Φ y V es un subconjunto de X × X que contiene a U , entonces V está en Φ.
Si U y V están en Φ, entonces U ∩ V está en Φ.
Si U está en Φ, entonces existe V en Φ tal que, siempre que ( x , y ) y ( y , z ) estén en V , entonces ( x , z ) está en U .

Los elementos de Φ se denominan séquitos , y Φ mismo se denomina estructura uniforme en X. La estructura uniforme induce una topología en X donde los vecindarios básicos de x son conjuntos de la forma { y : ( x , y )∈ U } para U ∈Φ.

Estructura uniforme: Ver espacio uniforme .

V

Vietoris: Topología de Vietoris

W

topología débil: La topología débil en un conjunto, con respecto a una colección de funciones de ese conjunto en espacios topológicos, es la topología más gruesa en el conjunto que hace que todas las funciones sean continuas.
Topología más débil: Véase Topología más gruesa . Tenga cuidado, algunos autores, especialmente analistas , utilizan el término topología más fuerte .
Débilmente contable compacto: Un espacio es débilmente numerablemente compacto (o compacto en el punto límite ) si todo subconjunto infinito tiene un punto límite.
Débilmente hereditario: Se dice que una propiedad de los espacios es débilmente hereditaria si, siempre que un espacio la posea, también la poseen todos sus subespacios cerrados. Por ejemplo, la compacidad y la propiedad de Lindelöf son propiedades débilmente hereditarias, aunque ninguna de ellas es hereditaria.
Peso: The weight of a spaceX is the smallest cardinal number κ such that X has a base of cardinal κ. (Note that such a cardinal number exists, because the entire topology forms a base, and because the class of cardinal numbers is well-ordered.)
Well-connected: See Ultra-connected. (Some authors use this term strictly for ultra-connected compact spaces.)

Z

Zero-dimensional: A space is zero-dimensional if it has a base of clopen sets.^[26]

References

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Enlaces externos

Glosario de definiciones en topología

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[10] Conway, John B. (1995). Functions of One Complex Variable II. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 159. Springer-Verlag. pp. 367–376. ISBN 0-387-94460-5. Zbl 0887.30003.

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[20] Ceccherini-Silberstein, Tullio; Coornaert, Michel (2010). Autómatas y grupos celulares . Monografías de Springer en Matemáticas. Berlín: Springer-Verlag . pag. 3.ISBN 978-3-642-14033-4. Zbl 1218.37004 .

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[FOOTNOTEHartNagataVaughan20048-23] Hart , Nagata y Vaughan 2004 , pág. 8.

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[ss33-26] Steen y Seebach (1978) pág. 33

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See also

References

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