Teoría de nudos

En topología , la teoría de nudos es el estudio de los nudos matemáticos . Si bien se inspira en los nudos que aparecen en la vida cotidiana, como los de los cordones de los zapatos y las cuerdas, un nudo matemático se diferencia en que los extremos están unidos de manera que no se puede deshacer, siendo el nudo más simple un anillo (o " nudo deshecho "). En lenguaje matemático, un nudo es una incrustación de un círculo en el espacio euclidiano tridimensional .${\displaystyle \mathbb {E} ^{3}}$Dos nudos matemáticos son equivalentes si uno puede transformarse en el otro mediante una deformación de${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$sobre sí misma (conocida como isotopía ambiental ); estas transformaciones corresponden a manipulaciones de una cuerda anudada que no implican cortarla ni pasarla a través de sí misma.

Los nudos pueden describirse de diversas maneras. Al utilizar diferentes métodos de descripción, puede haber más de una descripción del mismo nudo. Por ejemplo, un método común para describir un nudo es un diagrama plano llamado diagrama de nudos, en el que cualquier nudo puede representarse de muchas maneras diferentes. Por lo tanto, un problema fundamental en la teoría de nudos es determinar cuándo dos descripciones representan el mismo nudo.

Existe una solución algorítmica completa para este problema, cuya complejidad es desconocida . ^{[ 1 ]} En la práctica, los nudos suelen distinguirse mediante un invariante de nudo , una "cantidad" que permanece constante al calcularse a partir de diferentes descripciones de un nudo. Entre los invariantes importantes se incluyen los polinomios de nudos , los grupos de nudos y los invariantes hiperbólicos.

La motivación original de los fundadores de la teoría de nudos fue crear una tabla de nudos y enlaces , que son nudos formados por varios componentes entrelazados entre sí. Desde los inicios de la teoría de nudos en el siglo XIX, se han tabulado más de seis mil millones de nudos y enlaces.

Para profundizar en el tema, los matemáticos han generalizado el concepto de nudo de diversas maneras. Los nudos pueden considerarse en otros espacios tridimensionales y pueden utilizarse objetos distintos de los círculos; véase nudo (matemáticas) . Por ejemplo, un nudo de dimensiones superiores es una esfera n- dimensional incrustada en un espacio euclidiano ( n +2)-dimensional. La teoría de nudos también puede extenderse para describir el entrelazamiento en curvas abiertas , lo que se utiliza para estudiar nudos en proteínas, ADN y cuerdas físicas.

Los arqueólogos han descubierto que el arte de atar nudos se remonta a la prehistoria. Además de sus usos para registrar información y unir objetos, los nudos han despertado el interés humano por su estética y simbolismo espiritual. Los nudos aparecen en diversas formas de arte chino que datan de varios siglos antes de Cristo (véase Nudos chinos ). El nudo sin fin aparece en el budismo tibetano , mientras que los anillos borromeos se han repetido en diferentes culturas, representando a menudo la fuerza de la unidad. Los monjes celtas que crearon el Libro de Kells adornaron páginas enteras con intrincados nudos celtas .

La teoría matemática de los nudos fue desarrollada por primera vez en 1771 por Alexandre-Théophile Vandermonde, quien señaló explícitamente la importancia de las características topológicas al analizar las propiedades de los nudos relacionadas con la geometría de la posición. Los estudios matemáticos de los nudos comenzaron en el siglo XIX con Carl Friedrich Gauss , quien definió la integral de enlace ( Silver 2006 ) . En la década de 1860, la teoría de Lord Kelvin de que los átomos eran nudos en el éter llevó a Peter Guthrie Tait a crear las primeras tablas de nudos para una clasificación completa. Tait, en 1885, publicó una tabla de nudos con hasta diez cruces, y lo que se conoció como las conjeturas de Tait . Este registro motivó a los primeros teóricos de nudos, pero la teoría de nudos finalmente se convirtió en parte de la emergente disciplina de la topología .

Estos topólogos de principios del siglo XX —Max Dehn , JW Alexander y otros— estudiaron los nudos desde la perspectiva del grupo de nudos y los invariantes de la teoría de homología , como el polinomio de Alexander . Este sería el enfoque principal de la teoría de nudos hasta que una serie de avances transformaron la materia.

A finales de la década de 1970, William Thurston introdujo la geometría hiperbólica en el estudio de los nudos con el teorema de hiperbolización . Se demostró que muchos nudos eran hiperbólicos , lo que permitió el uso de la geometría para definir nuevos y potentes invariantes de nudos . El descubrimiento del polinomio de Jones por Vaughan Jones en 1984 ( Sossinsky 2002 , pp. 71-89) , y las contribuciones posteriores de Edward Witten , Maxim Kontsevich , Louis Kauffman y otros, revelaron profundas conexiones entre la teoría de nudos y los métodos matemáticos en mecánica estadística y teoría cuántica de campos . Desde entonces, se ha inventado una plétora de invariantes de nudos, utilizando herramientas sofisticadas como grupos cuánticos y homología de Floer . 

En las últimas décadas del siglo XX, los científicos se interesaron en el estudio de los nudos físicos para comprender los fenómenos de anudamiento en el ADN y otros polímeros. La teoría de nudos permite determinar si una molécula es quiral (tiene una "quiralidad") o no ( Simon 1986 ) . Los enredos , cadenas con ambos extremos fijos, se han utilizado eficazmente para estudiar la acción de la topoisomerasa sobre el ADN ( Flapan 2000 ) . La teoría de nudos podría ser crucial en la construcción de computadoras cuánticas, mediante el modelo de computación cuántica topológica ( Collins 2006 ) .

A la izquierda, el nudo simple y un nudo equivalente. Puede resultar más difícil determinar si los nudos complejos, como el de la derecha, son equivalentes al nudo simple.

Un nudo se crea partiendo de un segmento de línea unidimensional , enrollándolo sobre sí mismo de forma arbitraria y luego uniendo sus dos extremos libres para formar un bucle cerrado ( Adams 2004 ) ( Sossinsky 2002 ) . En pocas palabras, podemos decir que un nudo${\displaystyle K}$es una "curva cerrada simple" (véase Curva ) — es decir: una función "casi" inyectiva y continua${\displaystyle K\colon [0,1]\to \mathbb {R} ^{3}}$, siendo la única "no inyectividad"${\displaystyle K(0)=K(1)}$Los topólogos consideran que los nudos y otros enredos, como los enlaces y las trenzas, son equivalentes si el nudo se puede desplazar suavemente, sin que se cruce consigo mismo, hasta que coincida con otro nudo.

La idea de equivalencia de nudos es dar una definición precisa de cuándo dos nudos deben considerarse iguales incluso cuando están posicionados de manera muy diferente en el espacio. Una definición matemática formal es que dos nudos${\displaystyle K_{1},K_{2}}$son equivalentes si existe un homeomorfismo que preserva la orientación.${\displaystyle h\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}$con${\displaystyle h(K_{1})=K_{2}}$.

Lo que significa esta definición de equivalencia de nudos es que dos nudos son equivalentes cuando existe una familia continua de homeomorfismos.${\displaystyle \{h_{t}:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}\ \mathrm {para} \ 0\leq t\leq 1\}}$del espacio sobre sí mismo, de tal manera que el último de ellos lleva el primer nudo al segundo nudo. (En detalle: Dos nudos${\displaystyle K_{1}}$y${\displaystyle K_{2}}$son equivalentes si existe una aplicación continua${\displaystyle H:\mathbb {R} ^{3}\times [0,1]\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$de tal manera que a) para cada${\displaystyle t\in [0,1]}$el mapeo tomando${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{3}}$a${\displaystyle H(x,t)\in \mathbb {R} ^{3}}$es un homeomorfismo de${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$sobre sí mismo; b)${\displaystyle H(x,0)=x}$a pesar de${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{3}}$; y c)${\displaystyle H(K_{1},1)=K_{2}}$. Dicha función${\displaystyle H}$se conoce como isotopía ambiental .

Estas dos nociones de equivalencia de nudos coinciden exactamente en cuanto a qué nudos son equivalentes: Dos nudos que son equivalentes según la definición de homeomorfismo que preserva la orientación también son equivalentes según la definición de isotopía ambiental, porque cualquier homeomorfismo que preserva la orientación de${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$a sí mismo es la etapa final de una isotopía ambiental que comienza desde la identidad. Por el contrario, dos nudos equivalentes bajo la definición de isotopía ambiental también son equivalentes bajo la definición de homeomorfismo que preserva la orientación, porque${\displaystyle t=1}$La etapa (final) de la isotopía ambiental debe ser un homeomorfismo que preserve la orientación y lleve un nudo al otro.

Se puede intentar definir la equivalencia de nudos basándose en la ' isotopía ' en lugar de la propiedad más restringida de la isotopía ambiental. Es decir, dos nudos son isotópicos cuando existe una función continua que comienza en${\displaystyle t=0}$dando el${\displaystyle K_{1}}$incrustación, que termina en${\displaystyle t=1}$dando el${\displaystyle K_{2}}$Incrustaciones, con todos los valores intermedios correspondientes a incrustaciones. Sin embargo, esta definición haría que cada nudo fuera equivalente al nudo original, ya que las partes anudadas pueden "contraerse" hasta convertirse en una línea recta. El problema es que, si bien es continua, no es una función inyectiva del espacio euclidiano en el que se incrusta el nudo. Exigir que la homotopía se realice mediante homeomorfismos soluciona este problema.

El problema fundamental de la teoría de nudos, el problema del reconocimiento , consiste en determinar la equivalencia de dos nudos. Existen algoritmos para resolver este problema; el primero fue presentado por Wolfgang Haken a finales de la década de 1960 ( Hass 1998 ) . Sin embargo, estos algoritmos pueden ser extremadamente lentos, y un aspecto crucial de la teoría es comprender la verdadera dificultad de este problema ( Hass 1998 ) . El caso especial del reconocimiento del nudo desatado , denominado problema de desatar nudos , reviste especial interés ( Hoste 2005 ) . En febrero de 2021, Marc Lackenby anunció un nuevo algoritmo de reconocimiento de nudos desatados que se ejecuta en tiempo cuasipolinomial . ^{[ 2 ]}

Una forma útil de visualizar y manipular nudos es proyectarlos sobre un plano; imaginemos que el nudo proyecta una sombra en la pared. Un pequeño cambio en la dirección de la proyección garantiza que sea una correspondencia uno a uno, excepto en los puntos dobles, llamados cruces , donde la "sombra" del nudo se cruza a sí misma transversalmente una vez ( Rolfsen 1976 ) . En cada cruce, para poder recrear el nudo original, se debe distinguir el hilo superior del hilo inferior. Esto se suele hacer creando una interrupción en el hilo que pasa por debajo. El diagrama resultante es una curva plana inmersa con la información adicional de qué hilo está por encima y cuál está por debajo en cada cruce. (Estos diagramas se denominan diagramas de nudos cuando representan un nudo y diagramas de enlaces cuando representan un enlace ). De forma análoga, las superficies anudadas en el espacio de 4 dimensiones se pueden relacionar con superficies inmersas en el espacio de 3 dimensiones.

Un diagrama reducido es un diagrama de nudos en el que no hay cruces reducibles (también llamados cruces nulos o removibles ), o en el que se han eliminado todos los cruces reducibles. ^{[ 3 ] [ 4 ]} Una proyección de pétalo es un tipo de proyección en la que, en lugar de formar puntos dobles, todos los hilos del nudo se encuentran en un único punto de cruce, conectados a él por bucles que forman "pétalos" no anidados. ^{[ 5 ]}

Un invariante de nudo es una "cantidad" que es la misma para nudos equivalentes ( Adams 2004 ) ( Lickorish 1997 ) ( Rolfsen 1976 ) . Por ejemplo, si el invariante se calcula a partir de un diagrama de nudos, debería dar el mismo valor para dos diagramas de nudos que representen nudos equivalentes. Un invariante puede tomar el mismo valor en dos nudos diferentes, por lo que por sí solo puede ser incapaz de distinguir todos los nudos. Un invariante elemental es la tricolorabilidad .

Los invariantes de nudos "clásicos" incluyen el grupo de nudos , que es el grupo fundamental del complemento de nudos , y el polinomio de Alexander , que se puede calcular a partir del invariante de Alexander, un módulo construido a partir de la cubierta cíclica infinita del complemento de nudos ( Lickorish 1997 ) ( Rolfsen 1976 ) . A finales del siglo XX, se descubrieron invariantes como los polinomios de nudos "cuánticos", los invariantes de Vassiliev y los invariantes hiperbólicos. Estos invariantes mencionados son solo la punta del iceberg de la teoría de nudos moderna.

Polinomios de nudos

Un polinomio de nudo es un invariante de nudo que es un polinomio . Ejemplos conocidos incluyen el polinomio de Jones , el polinomio de Alexander y el polinomio de Kauffman . Una variante del polinomio de Alexander, el polinomio de Alexander-Conway , es un polinomio en la variable z con coeficientes enteros ( Lickorish 1997 ) .

El polinomio de Alexander-Conway se define en términos de enlaces , que consisten en uno o más nudos entrelazados entre sí. Los conceptos explicados anteriormente para los nudos, como los diagramas y los movimientos de Reidemeister, también son válidos para los enlaces.

Consideremos un diagrama de enlaces orientado, es decir, uno en el que cada componente del enlace tiene una dirección preferida indicada por una flecha. Para un cruce dado del diagrama, sea${\ Displaystyle L_ {+}, L_ {-}, L_ {0}}$sean los diagramas de enlace orientados resultantes de cambiar el diagrama como se indica en la figura:

El diagrama original podría ser${\displaystyle L_{+}}$o${\displaystyle L_{-}}$, dependiendo de la configuración del cruce elegido. Entonces el polinomio de Alexander-Conway,${\displaystyle C(z)}$, se define recursivamente según las reglas:

• ${\displaystyle C(O)=1}$(dónde${\displaystyle O}$es cualquier diagrama del nudo deshecho )
• ${\displaystyle C(L_{+})=C(L_{-})+zC(L_{0}).}$

La segunda regla es lo que comúnmente se conoce como relación de nudo . Para comprobar que estas reglas proporcionan un invariante de un enlace orientado, se debe determinar que el polinomio no cambia bajo los tres movimientos de Reidemeister. Muchos polinomios de nudos importantes pueden definirse de esta manera.

A continuación se muestra un ejemplo de un cálculo típico mediante una relación de swein. Calcula el polinomio de Alexander-Conway del nudo de trébol . Las zonas amarillas indican dónde se aplica la relación.

C ( )  = C ( ) + z C ( )   

da el nudo desenredado y el enlace de Hopf . Aplicando la relación al enlace de Hopf donde se indica,

C ( ) = C ( ) + z C ( )

da un enlace deformable a uno con 0 cruces (en realidad es el desenlace de dos componentes) y un nudo desenlace. El desenlace requiere un poco de astucia:

C ( ) = C ( ) + z C ( )

lo que implica que C (desvinculación de dos componentes) = 0, ya que los dos primeros polinomios son del nudo desencajado y por lo tanto son iguales.

Al juntar todo esto se verá:

${\displaystyle C(\mathrm {trébol} )=1+z(0+z)=1+z^{2}}$

Dado que el polinomio de Alexander-Conway es un invariante de nudos, esto demuestra que el trébol no es equivalente al nudo simple. Por lo tanto, el trébol sí está "anudado".

• 
  El nudo trébol para zurdos.
• 
  El nudo de trébol diestro.

En realidad, existen dos nudos de trébol, denominados tréboles diestros y zurdos, que son imágenes especulares entre sí (tomando el diagrama del trébol anterior y cambiando cada cruce en la dirección opuesta se obtiene la imagen especular). Estos no son equivalentes entre sí, lo que significa que no son anfiquirales. Esto fue demostrado por Max Dehn , antes de la invención de los polinomios de nudos, utilizando métodos de teoría de grupos ( Dehn 1914 ) . Sin embargo, el polinomio de Alexander-Conway de cada tipo de trébol será el mismo, como se puede observar al realizar el cálculo anterior con la imagen especular. El polinomio de Jones , de hecho, puede distinguir entre los nudos de trébol zurdos y diestros ( Lickorish 1997 ) .

invariantes hiperbólicas

William Thurston demostró que muchos nudos son nudos hiperbólicos , lo que significa que el complemento del nudo (es decir, el conjunto de puntos del espacio tridimensional que no pertenecen al nudo) admite una estructura geométrica, en particular la de la geometría hiperbólica . La estructura hiperbólica depende únicamente del nudo, por lo que cualquier magnitud calculada a partir de ella es un invariante del nudo ( Adams 2004 ) .

Los anillos borromeos son un vínculo cuya propiedad es que al quitar un anillo se desvinculan los demás.

La perspectiva de SnapPea : los anillos borromeos se complementan desde el punto de vista de un habitante que vive cerca del componente rojo.

La geometría nos permite visualizar el interior de un nudo o complemento de enlace imaginando rayos de luz que viajan a lo largo de las geodésicas de la geometría. Un ejemplo lo proporciona la imagen del complemento de los anillos borromeos . El habitante de este complemento de enlace observa el espacio desde cerca del componente rojo. Las esferas en la imagen son vistas de los vecindarios de horobolas del enlace. Al engrosar el enlace de forma estándar, se obtienen los vecindarios de horobolas de los componentes del enlace. Aunque el límite de un vecindario es un toroide, visto desde el interior del complemento del enlace, parece una esfera. Cada componente del enlace se muestra como infinitas esferas (de un color) porque hay infinitos rayos de luz desde el observador hasta el componente del enlace. El paralelogramo fundamental (que se indica en la imagen) tesela tanto vertical como horizontalmente y muestra cómo extender el patrón de esferas infinitamente.

Este patrón, el patrón horoball, es en sí mismo un invariante útil. Otros invariantes hiperbólicos incluyen la forma del paralelogramo fundamental, la longitud de la geodésica más corta y el volumen. Los esfuerzos modernos de tabulación de nudos y enlaces han utilizado estos invariantes de manera efectiva. Las computadoras rápidas y los métodos ingeniosos para obtener estos invariantes hacen que su cálculo sea, en la práctica, una tarea sencilla ( Adams, Hildebrand y Weeks, 1991 ) .

Un nudo tridimensional puede desatarse al colocarlo en un espacio tetradimensional. Esto se logra cambiando los cruces. Supongamos que una hebra está detrás de otra vista desde un punto determinado. Elevémosla a la cuarta dimensión, de modo que no haya ningún obstáculo (la hebra delantera no tiene componente allí); luego deslizándola hacia adelante y dejándola caer de nuevo, ahora al frente. Ejemplos de esto en el plano serían levantar una cuerda de la superficie o eliminar un punto del interior de un círculo.

De hecho, en cuatro dimensiones, cualquier bucle cerrado de cuerda unidimensional que no se cruce equivale a un nudo simple. Primero, se "empuja" el bucle a un subespacio tridimensional, lo cual siempre es posible, aunque su explicación sea técnica.

El espacio tetradimensional aparece en la teoría clásica de nudos, y un tema importante es el estudio de los nudos de rebanada y los nudos de cinta .

Un problema abierto de gran notoriedad, a menudo atribuido a Ralph Fox , ^{[ 6 ] [ 7 ]} plantea si todo nudo de corte es también un nudo de cinta. Un nudo se considera de corte suave si puede ser el límite de un disco incrustado suavemente en una esfera de cuatro dimensiones. (Generalmente se asume el adjetivo "suavemente", y los nudos de corte suave se denominan simplemente nudos de corte. Existen otros tipos de nudos, como los de corte racional, que no necesariamente son de corte suave). Un nudo de cinta es aquel que delimita un disco D inmerso en la 3-esfera. Se sabe que todos los nudos de cinta son nudos de corte.

Se pueden sumar dos nudos cortando ambos nudos y uniendo los pares de extremos. Esta operación se denomina suma de nudos , o a veces suma conectada o composición de dos nudos. Esto se puede definir formalmente de la siguiente manera ( Adams 2004 ) : consideremos una proyección plana de cada nudo y supongamos que estas proyecciones son disjuntas. Encontremos un rectángulo en el plano donde un par de lados opuestos sean arcos a lo largo de cada nudo, mientras que el resto del rectángulo sea disjunto de los nudos. Formemos un nuevo nudo eliminando el primer par de lados opuestos y uniendo el otro par de lados opuestos. El nudo resultante es una suma de los nudos originales. Dependiendo de cómo se haga esto, pueden resultar dos nudos diferentes (pero no más). Esta ambigüedad en la suma se puede eliminar considerando que los nudos están orientados , es decir, que tienen una dirección de recorrido preferida a lo largo del nudo, y exigiendo que los arcos de los nudos en la suma estén orientados de manera consistente con el límite orientado del rectángulo.

La suma de nudos orientados es conmutativa y asociativa . Un nudo es primo si no es trivial y no puede escribirse como la suma de dos nudos no triviales. Un nudo que puede escribirse como tal suma es compuesto . Existe una descomposición prima para nudos, análoga a la de los números primos y compuestos ( Schubert 1949 ) . Para nudos orientados, esta descomposición también es única. También se pueden sumar nudos de dimensiones superiores, pero existen algunas diferencias. Si bien no se puede formar el nudo simple en tres dimensiones sumando dos nudos no triviales, sí se puede en dimensiones superiores, al menos cuando se consideran nudos suaves en codimensión de al menos 3.

También se pueden construir nudos utilizando el enfoque de topología de circuitos . Esto se logra combinando unidades básicas llamadas contactos blandos mediante cinco operaciones (paralelo, serie, cruz, concertado y subconexión). ^{[ 10 ] [ 11 ]} Este enfoque también es aplicable a cadenas abiertas y puede extenderse para incluir los llamados contactos duros.

En un artículo de 2020 (basado en resultados obtenidos originalmente en la década de 1970), VM Nezhinskij y VV Nesterenok introdujeron una operación binaria en el conjunto de clases de isotopía de nudos orientados.${\displaystyle {\mathcal {K}}}$, denotado por${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:{\mathcal {K}}\times {\mathcal {K}}\to {\mathcal {K}}}$. ^{[ 12 ]}

Para definir la operación para las clases${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$Se eligen representantes en los semiespacios izquierdo y derecho.${\displaystyle \mathbb {R} _{-}^{3}}$y${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{3}}$respectivamente, de modo que sus intersecciones con el plano separador sean segmentos ortogonales específicos. Un par de superficies${\displaystyle V_{1}}$y${\displaystyle V_{2}}$Se construye la co-unión de estos segmentos y la operación${\displaystyle [\alfa,\beta]}$se define como la clase isotópica del límite suavizado de la unión${\displaystyle \partial (V_{1}\cup V_{2})}$.

La operación es antisimétrica, satisfaciendo${\displaystyle [\beta ,\alpha ]=-[\alpha ,\beta ]}$y tiene el nudo trivial estándar${\displaystyle \omega }$como un elemento nulo derecho:${\displaystyle [\alpha ,\omega ]=\omega }$. Una propiedad topológica clave de esta operación de corchetes es que produce nudos con un polinomio de Alexander-Conway trivial; específicamente,${\displaystyle \nabla ([\alpha ,\beta ])=1}$El artículo también establece una relación entre esta operación de corchetes y el polinomio HOMFLY-PT.${\displaystyle {\mathcal {P}}}$, expresando${\displaystyle {\mathcal {P}}([\alpha,\beta])}$como una combinación lineal de los polinomios de las sumas conexas y los componentes duplicados${\displaystyle D(\alpha )}$y${\displaystyle D(\beta )}$.

Tradicionalmente, los nudos se han catalogado en términos de número de cruce . Las tablas de nudos generalmente incluyen solo nudos primos y solo una entrada para un nudo y su imagen especular (incluso si son diferentes) ( Hoste, Thistlethwaite y Weeks 1998 ) . El número de nudos no triviales de un número de cruce dado aumenta rápidamente, lo que hace que la tabulación sea computacionalmente difícil ( Hoste 2005 , p. 20) . Los esfuerzos de tabulación han tenido éxito en enumerar más de 6 mil millones de nudos y enlaces ( Hoste 2005 , p. 28) . La secuencia del número de nudos primos de un número de cruce dado, hasta el número de cruce 16, es 0, 0, 1, 1, 2, 3, 7, 21, 49, 165, 552, 2176, 9988,  46 972 ,253 293 ,1 388 705 ... (secuencia A002863 en la OEIS ) . Si bien se conocen los límites superiores e inferiores exponenciales para esta secuencia, no se ha demostrado que esta secuencia sea estrictamente creciente ( Adams 2004 ) .

Las primeras tablas de nudos de Tait, Little y Kirkman utilizaban diagramas de nudos, aunque Tait también empleó un precursor de la notación de Dowker . Se han inventado diferentes notaciones para nudos que permiten una tabulación más eficiente ( Hoste 2005 ) .

Las primeras tablas intentaron enumerar todos los nudos de un máximo de 10 cruces y todos los nudos alternados de 11 cruces ( Hoste, Thistlethwaite y Weeks 1998 ) . El desarrollo de la teoría de nudos gracias a Alexander, Reidemeister, Seifert y otros facilitó la tarea de verificación, y Alexander-Briggs y Reidemeister publicaron tablas de nudos de hasta 9 cruces inclusive a finales de la década de 1920.

La primera verificación importante de este trabajo la realizó en la década de 1960 John Horton Conway , quien no solo desarrolló una nueva notación, sino también el polinomio de Alexander-Conway ( Conway 1970 ) ( Doll & Hoste 1991 ) . Esto verificó la lista de nudos de hasta 11 cruces y una nueva lista de enlaces de hasta 10 cruces. Conway encontró varias omisiones, pero solo una duplicación en las tablas de Tait-Little; sin embargo, pasó por alto las duplicaciones conocidas como el par de Perko , que solo serían detectadas en 1974 por Kenneth Perko ( Perko 1974 ) . Este famoso error se propagaría cuando Dale Rolfsen añadió una tabla de nudos en su influyente texto, basado en el trabajo de Conway. El artículo de Conway de 1970 sobre teoría de nudos también contiene una duplicación tipográfica en su página de nudos de 11 cruces no alternantes y omite 4 ejemplos: 2 previamente listados en la tesis de licenciatura de D. Lombardero de 1968 en Princeton y 2 más descubiertos posteriormente por Alain Caudron . [Véase Perko (1982), Primalidad de ciertos nudos, Topology Proceedings]. Menos conocido es el duplicado en su tabla de enlaces de 10 cruces: 2.-2.-20.20 es el espejo de 8*-20:-20. [Véase Perko (2016), Aspectos históricos destacados de la teoría de nudos no cíclicos, J. Knot Theory Ramifications].

A finales de la década de 1990, Hoste, Thistlethwaite y Weeks tabularon todos los nudos hasta 16 cruces ( Hoste, Thistlethwaite y Weeks 1998 ) . En 2003, Rankin, Flint y Schermann tabularon los nudos alternados hasta 22 cruces ( Hoste 2005 ) . En 2020, Burton tabuló todos los nudos primos con hasta 19 cruces ( Burton 2020 ) .

Notación de Dowker-Thistlethwaite

La notación de Dowker-Thistlethwaite , también llamada notación o código de Dowker, para un nudo es una secuencia finita de enteros pares. Los números se generan siguiendo el nudo y marcando los cruces con enteros consecutivos. Dado que cada cruce se visita dos veces, esto crea un emparejamiento de enteros pares con enteros impares. Se utiliza un signo apropiado para indicar cruces superiores e inferiores. Por ejemplo, en esta figura, el diagrama del nudo tiene cruces etiquetados con los pares (1,6), (3, -12 ), (5,2), (7,8), (9, -4 ) y (11, -10 ). La notación de Dowker-Thistlethwaite para este etiquetado es la secuencia: 6, − 12, 2, 8, − 4, − 10. Un diagrama de nudos tiene más de una notación de Dowker posible, y existe una ambigüedad bien conocida al reconstruir un nudo a partir de una notación de Dowker-Thistlethwaite.

Si bien la teoría clásica de nudos clasifica las incrustaciones mediante cruces, muchas cadenas plegadas que ocurren naturalmente incluyen cruces de cadena junto con enlaces intracadena que no son capturados por los métodos teóricos de nudos tradicionales, y son estudiados principalmente por la topología de circuitos . En 2019, Alireza Mashaghi y Colin Adams extendieron la teoría de nudos a incrustaciones 3D de cadenas lineales con enlaces intracadena. ^{[ 14 ]} Introdujeron movimientos de Reidemeister generalizados, códigos de Gauss adaptados y "bondles" ( quandles enlazados ) como invariantes para clasificar cadenas abiertas autointeractuantes, revelando una jerarquía de nudos más rica que los invariantes clásicos.

Más allá de las matemáticas puras, la teoría de nudos ha encontrado aplicaciones significativas en diversos campos científicos. En química , proporciona un marco para estudiar la quiralidad de las moléculas y para describir estructuras topológicamente no triviales como los catenanos y los nudos moleculares , donde el anudamiento de la cadena principal molecular influye en las propiedades físicas y químicas. En biología molecular , la teoría de nudos se utiliza para analizar la acción de enzimas como las topoisomerasas , que alteran el número de enlace y el superenrollamiento del ADN , y para modelar procesos como la recombinación y la replicación del ADN circular. En física , los invariantes de nudos surgen de forma natural en la teoría cuántica de campos topológica —por ejemplo, el polinomio de Jones emerge de la teoría de Chern-Simons— y las ideas de la teoría de nudos se emplean en el estudio de la dinámica de vórtices , las cuerdas cósmicas y ciertos modelos de mecánica estadística . Más recientemente, se han aplicado métodos de la teoría de nudos a la computación cuántica , donde las representaciones de grupos de trenzas sirven como modelo para los cúbits topológicos , y a la ciencia de los materiales en el diseño de nuevos polímeros y metamateriales mecánicos .

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• «Matemáticas y nudos». Esta es la versión en línea de una exposición creada para el «PopMath RoadShow» de la Royal Society en 1989. Su objetivo era utilizar nudos para presentar métodos matemáticos al público general.