Lista de temas de análisis numérico

• Tipos de matrices que aparecen en el análisis numérico:
  • Matriz dispersa
    • Matriz de bandas
    • Matriz bidiagonal
    • Matriz tridiagonal
    • Matriz pentadiagonal
    • Matriz de horizonte
  • Matriz circulante
  • Matriz triangular
  • Matriz diagonalmente dominante
  • Matriz de bloques : matriz compuesta por matrices más pequeñas.
  • Matriz de Stieltjes : simétrica definida positiva con entradas no positivas fuera de la diagonal.
  • Matriz de Hilbert : ejemplo de una matriz extremadamente mal condicionada (y, por lo tanto, difícil de manejar).
  • Matriz de Wilkinson : ejemplo de una matriz tridiagonal simétrica con pares de valores propios casi iguales, pero no exactamente iguales.
  • Matriz convergente : matriz cuadrada cuyas potencias sucesivas se aproximan a la matriz cero.
• Algoritmos para la multiplicación de matrices:
  • Algoritmo de Strassen
  • Algoritmo de Coppersmith-Winograd
  • El algoritmo de Cannon es un algoritmo distribuido, especialmente adecuado para procesadores dispuestos en una cuadrícula 2D.
  • Algoritmo de Freivalds : un algoritmo aleatorio para comprobar el resultado de una multiplicación.
• Descomposiciones matriciales :
  • Descomposición LU : triangular inferior multiplicada por triangular superior
  • Descomposición QR : matriz ortogonal multiplicada por matriz triangular.
    • Factorización RRQR : factorización QR que revela el rango, se puede utilizar para calcular el rango de una matriz.
  • Descomposición polar : matriz unitaria multiplicada por una matriz hermitiana semidefinida positiva.
  • Descomposiciones por similitud:
    • Descomposición en valores propios : descomposición en términos de vectores propios y valores propios.
    • Forma normal de Jordan : matriz bidiagonal de cierta forma; generaliza la descomposición en valores propios.
      • Forma canónica de Weyr : permutación de la forma normal de Jordan.
    • Descomposición de Jordan-Chevalley : suma de una matriz nilpotente conmutativa y una matriz diagonalizable.
    • Descomposición de Schur : transformación de similitud que convierte la matriz en una matriz triangular.
  • Descomposición en valores singulares : matriz unitaria multiplicada por matriz diagonal multiplicada por matriz unitaria
• Descomposición de matrices : expresar una matriz dada como suma o diferencia de matrices.

• eliminación gaussiana
  • Forma escalonada por filas : matriz en la que todas las entradas debajo de una entrada distinta de cero son cero.
  • Algoritmo de Bareiss : variante que garantiza que todas las entradas permanezcan enteras si la matriz inicial tiene entradas enteras.
  • Algoritmo de matriz tridiagonal : forma simplificada de la eliminación gaussiana para matrices tridiagonales.
• Descomposición LU : escribir una matriz como producto de una matriz triangular superior y una matriz triangular inferior.
  • Descomposición de la matriz de Crout
  • Reducción LU : una versión paralelizada especial de un algoritmo de descomposición LU.
• Descomposición LU en bloques
• Descomposición de Cholesky : para resolver un sistema con una matriz definida positiva.
  • Algoritmo de grado mínimo
  • Descomposición simbólica de Cholesky
• Refinamiento iterativo : procedimiento para convertir una solución inexacta en una más precisa.
• Métodos directos para matrices dispersas:
  • Solucionador frontal : utilizado en métodos de elementos finitos
  • Disección anidada : para matrices simétricas, basada en la partición de grafos.
• Recursión de Levinson — para matrices de Toeplitz
• Algoritmo SPIKE : solucionador paralelo híbrido para matrices de banda estrecha.
• Reducción cíclica : eliminar filas o columnas pares o impares, repetir
• Métodos iterativos:
  • Método de Jacobi
  • Método de Gauss-Seidel
    • Relajación sucesiva (SOR): una técnica para acelerar el método de Gauss-Seidel.
      • Relajación sucesiva simétrica (SSOR): variante de SOR para matrices simétricas
    • Algoritmo de ajuste inverso : procedimiento iterativo utilizado para ajustar un modelo aditivo generalizado, a menudo equivalente al de Gauss-Seidel.
  • Iteración de Richardson modificada
  • Método del gradiente conjugado (CG): supone que la matriz es definida positiva.
    • Derivación del método del gradiente conjugado
    • Método del gradiente conjugado no lineal : generalización para problemas de optimización no lineal.
  • Método del gradiente biconjugado (BiCG)
    • Método de gradiente biconjugado estabilizado (BiCGSTAB): variante de BiCG con mejor convergencia.
  • Método de residuos conjugados : similar al método de residuos conjugados, pero solo asume que la matriz es simétrica.
  • Método generalizado de residuos mínimos (GMRES) — basado en la iteración de Arnoldi
  • Iteración de Chebyshev : evita los productos internos, pero necesita límites en el espectro.
  • El método de Stone (SIP — Procedimiento Fuertemente Implícito) — utiliza una descomposición LU incompleta.
  • Método de Kaczmarz
  • Preacondicionador
    • Factorización de Cholesky incompleta : aproximación dispersa a la factorización de Cholesky.
    • Factorización LU incompleta : aproximación dispersa a la factorización LU.
  • Iteración de Uzawa : para problemas de nodos de silla de montar.
• Sistemas subdeterminados y sobredeterminados (sistemas que no tienen solución o tienen más de una):
  • Cálculo numérico del espacio nulo : encontrar todas las soluciones de un sistema subdeterminado.
  • Pseudoinversa de Moore-Penrose : para encontrar la solución con la norma 2 más pequeña (para sistemas subdeterminados) o el residuo más pequeño.
  • Aproximación dispersa : para encontrar la solución más dispersa (es decir, la solución con la mayor cantidad de ceros posible).

Algoritmo de valores propios : un algoritmo numérico para localizar los valores propios de una matriz.

• Iteración de potencia
• Iteración inversa
• Iteración del cociente de Rayleigh
• Iteración de Arnoldi — basada en subespacios de Krylov
• Algoritmo de Lanczos — Arnoldi, especializado para matrices definidas positivas
  • Algoritmo de Lanczos por bloques : para cuando la matriz está sobre un campo finito.
• Algoritmo QR
• Algoritmo de valores propios de Jacobi : seleccione una submatriz pequeña que pueda diagonalizarse exactamente y repita.
  • Rotación de Jacobi : el elemento básico, casi una rotación de Givens.
  • Método de Jacobi para matrices hermíticas complejas
• Algoritmo de autovalores de divide y vencerás
• Método del espectro plegado
• LOBPCG — Método de gradiente conjugado precondicionado por bloques localmente óptimo
• Perturbación de valores propios : estabilidad de los valores propios bajo perturbaciones de la matriz

• Algoritmos de ortogonalización :
  • Proceso de Gram-Schmidt
  • Transformación de Householder
    • Operador de Householder : análogo de la transformación de Householder para espacios de producto interno generales.
  • Rotación de Givens
• subespacio de Krylov
• pseudoinversa de matriz de bloques
• Bidiagonalización
• Algoritmo de Cuthill-McKee : permuta filas/columnas en una matriz dispersa para producir una matriz de banda estrecha.
• Transposición de matrices in situ : cálculo de la transpuesta de una matriz sin utilizar mucho almacenamiento adicional.
• Elemento pivote : entrada en una matriz en la que se centra el algoritmo.
• Métodos sin matriz : métodos que solo acceden a la matriz evaluando productos matriz-vector.

Interpolación polinómica — interpolación mediante polinomios

• Interpolación lineal
• El fenómeno de Runge
• Matriz de Vandermonde
• polinomios de Chebyshev
• nodos de Chebyshev
• constantes de Lebesgue
• Diferentes formas para el interpolante:
  • polinomio de Newton
    • Diferencias divididas
    • Algoritmo de Neville : para evaluar el interpolante; basado en la forma de Newton.
  • polinomio de Lagrange
  • Polinomio de Bernstein : especialmente útil para la aproximación.
  • Fórmula de interpolación de Brahmagupta : fórmula del siglo VII para la interpolación cuadrática.
• Extensiones a múltiples dimensiones:
  • interpolación bilineal
  • interpolación trilineal
  • interpolación bicúbica
  • interpolación tricúbica
  • Puntos de Padua : conjunto de puntos en R² con interpolante polinomial único y crecimiento mínimo de la constante de Lebesgue ^.
• interpolación de Hermite
• Interpolación de Birkhoff
• interpolación de Abel-Goncharov

Interpolación spline : interpolación mediante polinomios por partes.

• Spline (matemáticas) : los polinomios por partes que se utilizan como interpolantes.
• Spline perfecto : spline polinomial de grado m cuya m- ésima derivada es ±1
• Spline de Hermite cúbico
  • Spline centrípeto de Catmull-Rom : caso especial de splines cúbicos de Hermite sin autointersecciones ni cúspides.
• interpolación cúbica monótona
• Spline de Hermite
• Curva de Bézier
  • El algoritmo de De Casteljau
  • curva de Bézier compuesta
  • Generalizaciones a más dimensiones:
    • Triángulo de Bézier : transforma un triángulo en R³ ^.
    • Superficie de Bézier : mapea un cuadrado a R³ ^.
• B-spline
  • Spline de caja : generalización multivariada de las B-splines
  • Función de potencia truncada
  • Algoritmo de De Boor : generaliza el algoritmo de De Casteljau
• Spline B racional no uniforme (NURBS)
  • T-spline : puede considerarse como una superficie NURBS para la cual se permite que termine una fila de puntos de control.
• Spline de Kochanek-Bartels
• Parche de Coons : tipo de parametrización de variedad que se utiliza para unir suavemente otras superficies.
• M-spline : una función spline no negativa
• I-spline : una spline monótona, definida en términos de M-splines.
• Spline de suavizado : una spline ajustada suavemente a datos ruidosos.
• Blossom (funcional) : una aplicación única, afín y simétrica asociada a un polinomio o spline.
• Véase también: Lista de temas de geometría computacional numérica

Interpolación trigonométrica : interpolación mediante polinomios trigonométricos

• Transformada discreta de Fourier : puede considerarse como una interpolación trigonométrica en puntos equidistantes.
  • Relaciones entre las transformadas de Fourier y las series de Fourier
• Transformada rápida de Fourier (FFT): un método rápido para calcular la transformada discreta de Fourier.
  • Algoritmo FFT de Bluestein
  • Algoritmo FFT de Bruun
  • Algoritmo FFT de Cooley-Tukey
  • Algoritmo FFT de base dividida : variante del algoritmo Cooley-Tukey que utiliza una combinación de bases 2 y 4.
  • Algoritmo de Goertzel
  • Algoritmo FFT de factor primo
  • Algoritmo FFT de Rader
  • Permutación de inversión de bits : permutación particular de vectores con 2 ^m entradas que se utiliza en muchas transformadas rápidas de Fourier (FFT).
  • Diagrama de mariposa
  • Factor de rotación : los coeficientes constantes trigonométricos que se multiplican por los datos.
  • Transformada rápida de Fourier ciclotómica : para FFT sobre campos finitos
  • Métodos para calcular convoluciones discretas con filtros de respuesta de impulso finito utilizando la FFT:
    • Método de superposición y adición
    • Método de superposición y guardado
• aproximación sigma
• núcleo de Dirichlet : al convolucionar cualquier función con el núcleo de Dirichlet se obtiene su interpolante trigonométrico.
• Fenómeno de Gibbs

• aproximación racional simple
  • Modelado de funciones polinómicas y racionales : comparación de la interpolación polinómica y racional.
• Ondícula
  • ondícula continua
  • Matriz de transferencia
  • Véase también: Lista de temas de análisis funcional , Lista de transformadas relacionadas con ondículas
• ponderación de distancia inversa
• Función de base radial (RBF): una función de la forma ƒ( x ) = φ (| x − x ₀ |)
  • Spline poliharmónico : una función de base radial de uso común.
  • Spline de placa delgada : un spline poliharmónico específico: r ² log r
  • RBF jerárquico
• Superficie de subdivisión : construida mediante la subdivisión recursiva de un interpolante lineal por partes.
  • Superficie de subdivisión Catmull-Clark
  • Superficie de subdivisión de Doo-Sabin
  • Superficie de subdivisión de bucle
• Slerp (interpolación lineal esférica): interpolación entre dos puntos en una esfera.
  • Interpolación generalizada de cuaterniones: generaliza la interpolación SLRP para interpolaciones entre más de dos cuaterniones.
• Transformación ponderada discreta de base irracional
• Interpolación de Nevanlinna-Pick : interpolación mediante funciones analíticas en el disco unitario sujeta a una cota.
  • Matriz de Pick : la interpolación de Nevanlinna-Pick tiene solución si esta matriz es semidefinida positiva.
• Interpolación multivariante : la función que se interpola depende de más de una variable.
  • Interpolación de Barnes : método para funciones bidimensionales que utiliza gaussianas, común en meteorología.
  • Superficie de Coons : combinación de interpolación lineal e interpolación bilineal.
  • Remuestreo de Lanczos : basado en la convolución con una función sinc.
  • interpolación de vecinos naturales
  • Superficie PDE
  • Interpolación transfinita : construye una función en un dominio plano a partir de sus valores en el límite.
  • Análisis de superficies de tendencia : basado en polinomios de bajo orden de coordenadas espaciales; utiliza observaciones dispersas.
  • Los métodos basados ​​en polinomios se enumeran en Interpolación polinómica.

Teoría de la aproximación

• Órdenes de aproximación
• Lema de Lebesgue
• Ajuste de curvas
  • Reconstrucción del campo vectorial
• Módulo de continuidad : mide la suavidad de una función.
• Mínimos cuadrados (aproximación de funciones) : minimiza el error en la norma ^L2.
• Algoritmo de aproximación minimax : minimiza el error máximo en un intervalo (la norma L ^{∞ ).}
  • Teorema de equioscilación : caracteriza la mejor aproximación en la norma L ^∞.
• Conjunto de puntos unisolventes : una función de un espacio de funciones dado está determinada de forma única por los valores de dicho conjunto de puntos.
• Teorema de Stone-Weierstrass : las funciones continuas pueden aproximarse uniformemente mediante polinomios u otros espacios funcionales.
• Aproximación mediante polinomios:
  • Aproximación lineal
  • Polinomio de Bernstein : base de polinomios útiles para aproximar una función.
  • Constante de Bernstein : error al aproximar | x | mediante un polinomio.
  • Algoritmo de Remez : para construir la mejor aproximación polinómica en la norma L ^∞.
  • Desigualdad de Bernstein (análisis matemático) : cota superior del máximo de la derivada de un polinomio en un disco unitario.
  • Teorema de Mergelyan : generalización del teorema de Stone-Weierstrass para polinomios.
  • Teorema de Müntz-Szász : variante del teorema de Stone-Weierstrass para polinomios si algunos coeficientes deben ser cero.
  • Lema de Bramble-Hilbert : cota superior del error L ^p de la aproximación polinómica en múltiples dimensiones.
  • Polinomios de Chebyshev discretos : polinomios ortogonales con respecto a una medida discreta.
  • Teorema de Favard : los polinomios que satisfacen relaciones de recurrencia de 3 términos adecuadas son polinomios ortogonales.
• Aproximación mediante series de Fourier / polinomios trigonométricos:
  • Desigualdad de Jackson : límite superior para la mejor aproximación mediante un polinomio trigonométrico.
    • El teorema de Bernstein (teoría de la aproximación) es el recíproco de la desigualdad de Jackson.
  • Teorema de Fejér : las medias de Cesàro de sumas parciales de series de Fourier convergen uniformemente para funciones periódicas continuas.
  • Desigualdad de Erdős-Turán : limita la distancia entre la probabilidad y la medida de Lebesgue en términos de coeficientes de Fourier.
• Diferentes aproximaciones:
  • mínimos cuadrados móviles
  • Padé aproximante
    • Tabla de Padé — tabla de aproximantes de Padé
  • Teorema de Hartogs-Rosenthal : las funciones continuas pueden aproximarse uniformemente mediante funciones racionales en un conjunto de medida de Lebesgue cero.
  • Operador Szász-Mirakyan : aproximación por e ^{− n} x ^k en un intervalo semiinfinito
  • Operador Szász-Mirakjan-Kantorovich
  • Operador de Baskakov : generaliza los polinomios de Bernstein, los operadores de Szász-Mirakyan y los operadores de Lupas
  • Operador de Favard : aproximación mediante sumas de gaussianas.
• Modelo sustituto : aplicación: reemplazar una función que es difícil de evaluar por una función más simple.
• Teoría de la función constructiva : campo que estudia la conexión entre el grado de aproximación y la suavidad.
• Ecuación diferencial universal : ecuación diferencial-algebraica cuyas soluciones pueden aproximar cualquier función continua.
• Problema de Fekete : encontrar N puntos en una esfera que minimicen algún tipo de energía.
• Condición de Carleman : condición que garantiza que una medida está determinada de forma única por sus momentos.
• Condición de Krein : condición de que las sumas exponenciales sean densas en el espacio ^{L2 ponderado.}
• Teorema de letargo : sobre la distancia de los puntos en un espacio métrico a los miembros de una secuencia de subespacios.
• Teorema de representación y proyección de Wirtinger
• Revistas:
  • Aproximación constructiva
  • Revista de Teoría de la Aproximación

• Extrapolación
  • Análisis predictivo lineal — extrapolación lineal
• Funciones unisolventes : funciones para las que el problema de interpolación tiene una solución única.
• Análisis de regresión
  • regresión isotónica
• Compactación mediante ajuste de curvas
• Interpolación (gráficos por computadora)

• Conjunto activo
• Solución candidata
• Restricción (matemáticas)
  • Optimización con restricciones : estudia problemas de optimización con restricciones.
  • Restricción binaria : una restricción que involucra exactamente dos variables.
• Solución de esquina
• Región factible : contiene todas las soluciones que satisfacen las restricciones, pero que pueden no ser óptimas.
• Óptimo global y óptimo local
• Máximos y mínimos
• Variable de holgura
• Optimización continua
• Optimización discreta

Programación lineal (que también incluye la programación entera ): la función objetivo y las restricciones son lineales.

• Algoritmos para programación lineal:
  • Algoritmo simplex
    • Regla de Bland : regla para evitar ciclos en el método simplex.
    • Cubo de Klee-Minty : hipercubo perturbado; el método simplex tiene una complejidad exponencial en dicho dominio.
    • Algoritmo entrecruzado — similar al algoritmo simplex
    • Método Big M : variación del algoritmo simplex para problemas con restricciones de "menor que" y "mayor que".
  • Método del punto interior
    • Método elipsoidal
    • El algoritmo de Karmarkar
    • Método predictor-corrector de Mehrotra
  • Generación de columnas
  • k-aproximación de un conjunto de k impactos : algoritmo para problemas de programación lineal específicos (para encontrar un conjunto de impactos ponderado).
• Problema de complementariedad lineal
• Descomposiciones:
  • Descomposición de Benders
  • Descomposición de Dantzig-Wolfe
  • Teoría de la planificación de dos niveles
  • división de variables
• Solución básica (programación lineal) : solución en el vértice de la región factible.
• eliminación de Fourier-Motzkin
• Base de Hilbert (programación lineal) : conjunto de vectores enteros en un cono convexo que generan todos los vectores enteros en el cono.
• Problema de tipo LP
• Desigualdad lineal
• Problema de enumeración de vértices : enumerar todos los vértices del conjunto factible.

Optimización convexa

• Programación cuadrática
  • Mínimos cuadrados lineales (matemáticas)
  • mínimos cuadrados totales
  • Algoritmo de Frank-Wolfe
  • Optimización mínima secuencial : divide los grandes problemas de programación cuadrática en una serie de problemas de programación cuadrática lo más pequeños posible.
  • Programa bilineal
• Búsqueda de base : minimizar la norma L1 _de un vector sujeto a restricciones lineales.
  • Eliminación de ruido mediante búsqueda de base (BPDN): versión regularizada de la búsqueda de base.
    • Algoritmo de búsqueda interna : algoritmo para resolver problemas de eliminación de ruido en la búsqueda de bases.
• Desigualdad matricial lineal
• Optimización cónica
  • Programación semidefinida
  • Programación de conos de segundo orden
  • Optimización de la suma de cuadrados
  • Programación cuadrática (véase más arriba)
• Método de Bregman : método de acción por filas para problemas de optimización estrictamente convexos.
• Método del gradiente proximal : utiliza la división de la función objetivo en la suma de posibles partes no diferenciables.
• Método de subgradiente : extensión del método de descenso más pronunciado para problemas con una función objetivo no diferenciable.
• Optimización biconvexa : generalización en la que la función objetivo y el conjunto de restricciones pueden ser biconvexos.

Programación no lineal : el problema de optimización más general en el marco habitual.

• Casos especiales de programación no lineal:
  • Consulte la sección sobre programación lineal y optimización convexa más arriba.
  • Programación geométrica : problemas que involucran signomios o posinomios.
    • Signomial : similar a los polinomios, pero los exponentes no tienen por qué ser números enteros.
    • Posinomio : un signomio con coeficientes positivos
  • Programa cuadrático con restricciones cuadráticas
  • Programación lineal fraccionaria : el objetivo es la razón de funciones lineales, las restricciones son lineales.
    • Programación fraccionaria : el objetivo es la razón de funciones no lineales, las restricciones son lineales.
  • Problema de complementariedad no lineal (NCP): encontrar x tal que x ≥ 0, f ( x ) ≥ 0 y x ^T f ( x ) = 0
  • Mínimos cuadrados : la función objetivo es una suma de cuadrados.
    • mínimos cuadrados no lineales
    • Algoritmo de Gauss-Newton
      • Algoritmo BHHH : variante del algoritmo de Gauss-Newton en econometría.
      • Método generalizado de Gauss-Newton : para problemas de mínimos cuadrados no lineales con restricciones.
    • Algoritmo de Levenberg-Marquardt
    • Mínimos cuadrados ponderados iterativamente (IRLS): resuelve un problema de mínimos cuadrados ponderados en cada iteración.
    • Mínimos cuadrados parciales : técnicas estadísticas similares al análisis de componentes principales.
      • Mínimos cuadrados parciales iterativos no lineales (NIPLS)
  • Programación matemática con restricciones de equilibrio : las restricciones incluyen desigualdades variacionales o complementariedades.
  • Optimización univariada:
    • Búsqueda de la sección áurea
    • Interpolación parabólica sucesiva : basada en la interpolación cuadrática a través de las últimas tres iteraciones.
• Algoritmos generales:
  • Conceptos:
    • Dirección de descenso
    • Valor de estimación : la estimación inicial de una solución con la que comienza un algoritmo.
    • Búsqueda lineal
      • Búsqueda de línea con retroceso
      • Condiciones de Wolfe
  • Método del gradiente : método que utiliza el gradiente como dirección de búsqueda.
    • Descenso de gradiente
      • Descenso de gradiente estocástico
    • Iteración de Landweber : se utiliza principalmente para problemas mal condicionados.
  • Programación lineal sucesiva (PLS): reemplazar el problema por un problema de programación lineal, resolverlo y repetir.
  • Programación cuadrática secuencial (PQS): reemplazar el problema por un problema de programación cuadrática, resolverlo y repetir.
  • Método de Newton en optimización
    • Véase también el algoritmo de Newton en la sección « Cálculo de raíces de ecuaciones no lineales».
  • método de gradiente conjugado no lineal
  • Métodos sin derivadas
    • Descenso de coordenadas : moverse en una de las direcciones de las coordenadas.
      • Descenso de coordenadas adaptativo : adapta las direcciones de las coordenadas a la función objetivo.
      • Descenso de coordenadas aleatorias — versión aleatorizada
    • Método de Nelder-Mead
    • Búsqueda de patrones (optimización)
    • El método de Powell se basa en el descenso del gradiente conjugado.
    • Métodos de Rosenbrock : método sin derivadas, similar al de Nelder-Mead pero con convergencia garantizada.
  • Método del lagrangiano aumentado : reemplaza los problemas con restricciones por problemas sin restricciones con un término añadido a la función objetivo.
  • Búsqueda ternaria
  • Búsqueda tabú
  • Búsqueda local guiada : modificación de los algoritmos de búsqueda que acumula penalizaciones durante una búsqueda.
  • Optimización de búsqueda reactiva (RSO): el algoritmo adapta sus parámetros automáticamente.
  • Algoritmo MM : minimización de mayorización, un amplio marco de métodos.
  • Desviaciones absolutas mínimas
    • Algoritmo de expectativa-maximización
      • Maximización de la expectativa de subconjuntos ordenados
  • Búsqueda del vecino más cercano
  • Mapeo espacial : utiliza modelos "gruesos" (ideales o de baja fidelidad) y "finos" (prácticos o de alta fidelidad).

Control óptimo

• Principio mínimo de Pontryagin : versión de dimensión infinita de los multiplicadores de Lagrange.
  • Ecuaciones de coestado : ecuación para los "multiplicadores de Lagrange" en el principio mínimo de Pontryagin.
  • Hamiltoniano (teoría de control) : el principio del mínimo establece que esta función debe minimizarse.
• Tipos de problemas:
  • Regulador lineal-cuadrático : la dinámica del sistema es una ecuación diferencial lineal, la función objetivo es cuadrática.
  • Control lineal-cuadrático-gaussiano (LQG): la dinámica del sistema es una EDE lineal con ruido aditivo, la función objetivo es cuadrática.
    • Ecuaciones de proyección óptimas : método para reducir la dimensión del problema de control LQG.
• Ecuación algebraica de Riccati : ecuación matricial que aparece en muchos problemas de control óptimo.
• Control de tipo "bang-bang" : control que cambia abruptamente entre dos estados.
• Principio de mapeo de covectores
• Programación dinámica diferencial : utiliza modelos localmente cuadráticos de la dinámica y las funciones de coste.
• Punto DNSS : estado inicial para ciertos problemas de control óptimo con múltiples soluciones óptimas.
• Condición de Legendre-Clebsch : condición de segundo orden para la solución de un problema de control óptimo.
• control óptimo pseudoespectral
  • Método pseudoespectral de Bellman : basado en el principio de optimalidad de Bellman.
  • Método pseudoespectral de Chebyshev : utiliza polinomios de Chebyshev (de primera especie).
  • Método pseudoespectral plano : combina el método pseudoespectral de Ross-Fahroo con planitud diferencial.
  • Método pseudoespectral de Gauss : utiliza la colocación en los puntos de Legendre-Gauss.
  • Método pseudoespectral de Legendre : utiliza polinomios de Legendre.
  • Método de anudado pseudoespectral : generalización de los métodos pseudoespectrales en el control óptimo.
  • Método pseudoespectral de Ross-Fahroo : clase de métodos pseudoespectrales que incluye Chebyshev, Legendre y nudos.
• Lema de Ross-Fahroo : condición para que las operaciones de discretización y dualidad sean conmutativas.
• El lema π de Ross establece que existe una constante de tiempo fundamental dentro de la cual debe calcularse una solución de control para lograr controlabilidad y estabilidad.
• Modelo de Sethi : modelado de problemas de control óptimo en publicidad

Optimización de dimensión infinita

• Programación semiinfinita : número infinito de variables y número finito de restricciones, o viceversa.
• Optimización de la forma , optimización de la topología : optimización sobre un conjunto de regiones.
  • Derivada topológica : derivada con respecto al cambio de forma.
• Programación semiinfinita generalizada : número finito de variables, número infinito de restricciones.

• Enfoques para afrontar la incertidumbre:
  • proceso de decisión de Markov
  • Proceso de decisión de Markov parcialmente observable
  • Optimización robusta
    • Modelo maximin de Wald
  • Optimización de escenarios : las restricciones son inciertas.
  • Aproximación estocástica
  • Optimización estocástica
  • Programación estocástica
  • Descenso de gradiente estocástico
• Algoritmos de optimización aleatoria :
  • Búsqueda aleatoria : elige un punto al azar en la bola alrededor de la iteración actual.
  • Recocido simulado
    • Recocido simulado adaptativo : variante en la que los parámetros del algoritmo se ajustan durante el cálculo.
    • Algoritmo del Gran Diluvio
    • Recocido de campo medio : variante determinista del recocido simulado.
  • Optimización bayesiana : trata la función objetivo como una función aleatoria y coloca una distribución a priori sobre ella.
  • Algoritmo evolutivo
    • Evolución diferencial
    • Programación evolutiva
    • Algoritmo genético , programación genética
      • Algoritmos genéticos en economía
    • MCACEA (Algoritmo Evolutivo de Coevolución de Agentes Múltiples Coordinados) — utiliza un algoritmo evolutivo para cada agente
    • Aproximación estocástica de perturbación simultánea (SPSA)
  • Luus-Jaakola
  • Optimización por enjambre de partículas
  • Tunelización estocástica
  • Búsqueda de armonía : imita el proceso de improvisación de los músicos.
  • Véase también la sección Método de Monte Carlo

• Análisis convexo : función f tal que f ( tx + (1 − t ) y ) ≥ tf ( x ) + (1 − t ) f ( y ) para t ∈ [0,1]
  • Función pseudoconvexa : función f tal que ∇ f · ( y − x ) ≥ 0 implica f ( y ) ≥ f ( x )
  • Función cuasiconvexa : función f tal que f ( tx + (1 − t ) y ) ≤ max( f ( x ), f ( y )) para t ∈ [0,1]
  • Subderivada
  • Convexidad geodésica : convexidad para funciones definidas en una variedad riemanniana.
• Dualidad (optimización)
  • Dualidad débil : la solución dual proporciona una cota para la solución primal.
  • Fuerte dualidad : las soluciones primales y duales son equivalentes.
  • precio sombra
  • Cono doble y cono polar
  • Brecha de dualidad : diferencia entre solución primal y dual.
  • El teorema de dualidad de Fenchel relaciona los problemas de minimización con los problemas de maximización de conjugados convexos.
  • Función de perturbación : cualquier función relacionada con problemas primarios y duales.
  • Condición de Slater : condición suficiente para que se cumpla la dualidad fuerte en un problema de optimización convexa.
  • Integralidad dual total : concepto de dualidad para la programación lineal entera.
  • Dualidad de Wolfe : para cuando la función objetivo y las restricciones son diferenciables.
• El lema de Farkas
• Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker (KKT): condiciones suficientes para que una solución sea óptima.
  • Condiciones de Fritz John : variante de las condiciones KKT.
• multiplicador de Lagrange
  • Multiplicadores de Lagrange en espacios de Banach
• Semicontinuidad
• Teoría de la complementariedad : estudio de problemas con restricciones de la forma ⟨ u , v ⟩ = 0
  • problema de complementariedad mixta
    • problema de complementariedad lineal mixta
    • Algoritmo de Lemke : método para resolver problemas de complementariedad lineal (mixtos).
• Teorema de Danskin : utilizado en el análisis de problemas minimax.
• Teorema del máximo : el máximo y el maximizador son funciones continuas de los parámetros, bajo ciertas condiciones.
• En búsqueda y optimización no hay nada gratis.
• Relajación (aproximación) : aproximar un problema dado mediante un problema más sencillo, relajando algunas restricciones.
  • relajación lagrangiana
  • Relajación de la programación lineal : ignorar las restricciones de integralidad en un problema de programación lineal.
• Función autoconcordante
• Coste reducido : coste por aumentar una variable en una pequeña cantidad.
• Dificultad de aproximación : complejidad computacional para obtener una solución aproximada.

• En geometría:
  • Mediana geométrica : el punto que minimiza la suma de las distancias a un conjunto dado de puntos.
  • Centro de Chebyshev : el centro de la bola más pequeña que contiene un conjunto dado de puntos.
• En estadística:
  • Modos condicionales iterados : maximización de la probabilidad conjunta de un campo aleatorio de Markov.
  • Metodología de superficie de respuesta : utilizada en el diseño de experimentos.
• Colocación automática de etiquetas
• Detección comprimida : reconstruir una señal a partir del conocimiento de que es dispersa o compresible.
• Problema con el material de corte
• Optimización de la demanda
• Despacho de destino : una técnica de optimización para el despacho de ascensores
• minimización de energía
• Maximización de la entropía
• Tolerancia altamente optimizada
• Optimización de hiperparámetros
• Problema de control de inventario
  • Modelo de vendedor de periódicos
  • Modelo de vendedor de periódicos ampliado
  • Sistema de ensamblaje bajo pedido
• Decodificación de programación lineal
• Problema de búsqueda lineal : encontrar un punto en una línea moviéndose a lo largo de la línea.
• Aproximación de bajo rango : encontrar la mejor aproximación, la restricción es que el rango de alguna matriz sea menor que un número dado.
• Metaoptimización : optimización de los parámetros en un método de optimización.
• Optimización del diseño multidisciplinario
• Asignación óptima del presupuesto de computación : maximizar la eficiencia general de la simulación para encontrar una decisión óptima.
• El problema de las bolsas de papel
• Optimización de procesos
• Economía recursiva : los individuos toman una serie de decisiones de optimización en dos períodos a lo largo del tiempo.
• Dieta de Stigler
• problema de asignación de espacio
• Mayorización del estrés
• Optimización de trayectorias
• teoría del transporte
• Optimización de la forma del ala

• Optimización combinatoria
• Programación dinámica
  • ecuación de Bellman
  • Ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellman : análogo en tiempo continuo de la ecuación de Bellman.
  • Inducción hacia atrás : resolución de problemas de programación dinámica mediante el razonamiento hacia atrás en el tiempo.
  • Parada óptima : elegir el momento óptimo para realizar una acción determinada.
    • Algoritmo de probabilidades
    • El problema de Robbins
• Optimización global :
  • Algoritmo BRST
  • Algoritmo MCS
• Optimización multiobjetivo : existen múltiples objetivos en conflicto.
  • Algoritmo de Benson : para problemas de optimización vectorial lineal
• Optimización de dos niveles : estudia problemas en los que un problema está incrustado en otro.
• Subestructura óptima
• El algoritmo de proyección de Dykstra encuentra un punto en la intersección de dos conjuntos convexos.
• Conceptos algorítmicos:
  • Función de barrera
  • Método de penalización
  • Región de confianza
• Funciones de prueba para la optimización :
  • Función de Rosenbrock : función bidimensional con un valle en forma de plátano.
  • Función de Himmelblau : bidimensional con cuatro mínimos locales, definida por${\displaystyle f(x,y)=(x^{2}+y-11)^{2}+(x+y^{2}-7)^{2}}$
  • Función de Rastrigin : función bidimensional con muchos mínimos locales.
  • Función de Shekel : multimodal y multidimensional.
• Sociedad de Optimización Matemática

Método de diferencias finitas : basado en la aproximación de operadores diferenciales con operadores de diferencias.

• Diferencia finita : el análogo discreto de un operador diferencial.
  • Coeficiente de diferencias finitas : tabla de coeficientes de aproximaciones de diferencias finitas a derivadas
  • Operador de Laplace discreto : aproximación por diferencias finitas del operador de Laplace.
    • Autovalores y autovectores de la segunda derivada : incluye los autovalores del operador de Laplace discreto.
    • Suma de Kronecker de laplacianos discretos : se utiliza para el operador de Laplace en múltiples dimensiones.
  • Ecuación de Poisson discreta : análogo discreto de la ecuación de Poisson que utiliza el operador de Laplace discreto.
• Plantilla (análisis numérico) : la disposición geométrica de los puntos de la cuadrícula afectada por un paso básico del algoritmo.
  • Plantilla compacta : plantilla que utiliza solo unos pocos puntos de la cuadrícula, generalmente solo los vecinos inmediatos y diagonales.
    • Esquema de diferencias finitas compactas de orden superior
  • Plantilla no compacta : cualquier plantilla que no sea compacta.
  • Plantilla de cinco puntos : plantilla bidimensional que consta de un punto y sus cuatro vecinos inmediatos en una cuadrícula rectangular.
• Métodos de diferencias finitas para la ecuación del calor y ecuaciones diferenciales parciales relacionadas:
  • Esquema FTCS (espacio central de tiempo hacia adelante) — explícito de primer orden
  • Método de Crank-Nicolson : implícito de segundo orden
• Métodos de diferencias finitas para ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas como la ecuación de onda:
  • Método de Lax-Friedrichs : explícito de primer orden
  • Método de Lax-Wendroff : explícito de segundo orden
  • Método de MacCormack — explícito de segundo orden
  • Plan contra el viento
    • Esquema de diferencias ascendentes para convección : esquema de primer orden para problemas de convección-difusión.
  • Teorema de Lax-Wendroff : el esquema conservativo para un sistema hiperbólico de leyes de conservación converge a la solución débil.
• Método implícito de dirección alterna (ADI): actualización utilizando el flujo en la dirección x y luego utilizando el flujo en la dirección y.
• Esquema de diferencias finitas no estándar
• Aplicaciones específicas:
  • Métodos de diferencias finitas para la valoración de opciones
  • Método de diferencias finitas en el dominio del tiempo : un método de diferencias finitas para la electrodinámica.

Método de elementos finitos : basado en una discretización del espacio de soluciones . Método de discretización de gradiente : basado tanto en la discretización de la solución como de su gradiente.

• Método de elementos finitos en mecánica estructural : un enfoque físico de los métodos de elementos finitos.
• Método de Galerkin : un método de elementos finitos en el que el residuo es ortogonal al espacio de elementos finitos.
  • Método de Galerkin discontinuo : un método de Galerkin en el que la solución aproximada no es continua.
• Método de Rayleigh-Ritz : un método de elementos finitos basado en principios variacionales.
• Método de elementos espectrales : métodos de elementos finitos de alto orden
• hp-FEM : variante en la que tanto el tamaño como el orden de los elementos se adaptan automáticamente.
• Ejemplos de elementos finitos:
  • Elemento cuadrilátero bilineal — también conocido como elemento Q4
  • Elemento triangular de deformación constante (CST), también conocido como elemento T3.
  • Elemento cuadrilátero cuadrático — también conocido como elemento Q8
  • Elementos de Barsoum
• Método de rigidez directa : una implementación particular del método de elementos finitos, frecuentemente utilizado en análisis estructurales.
• Método Trefftz
• Actualización de elementos finitos
• Método de elementos finitos extendido : coloca funciones adaptadas al problema en el espacio de aproximación.
• Elementos de gradación funcional : elementos para describir materiales de gradación funcional.
• Superelemento : agrupación particular de elementos finitos, empleada como un solo elemento.
• Método de elementos finitos de intervalo : combinación de elementos finitos con aritmética de intervalos.
• Cálculo exterior discreto : forma discreta del cálculo exterior de la geometría diferencial.
• Análisis modal mediante el método de elementos finitos (MEF) : solución de problemas de valores propios para hallar vibraciones naturales.
• Lema de Céa : la solución en el espacio de elementos finitos es una aproximación casi óptima en ese espacio de la solución verdadera.
• Prueba de parche (elementos finitos) : prueba sencilla para la calidad de un elemento finito.
• MAFELAP (Matemáticas de Elementos Finitos y Aplicaciones) — conferencia internacional celebrada en la Universidad de Brunel.
• NAFEMS : organización sin fines de lucro que establece y mantiene estándares en el análisis de ingeniería asistido por computadora.
• Optimización topológica multifásica : técnica basada en elementos finitos para determinar la composición óptima de una mezcla.
• Elemento finito de intervalo
• Método de elementos aplicados : para la simulación de grietas y colapso estructural.
• Método Wood-Armer : método de análisis estructural basado en elementos finitos utilizado para diseñar el refuerzo de losas de hormigón.
• Análisis isogeométrico : integra elementos finitos en herramientas de diseño CAD convencionales basadas en NURBS.
• iteración de Loubignac
• Matriz de rigidez : análogo de dimensión finita del operador diferencial.
• Combinación con métodos sin malla:
  • Forma débil debilitada : forma de una ecuación diferencial parcial que es más débil que la forma débil estándar.
  • Espacio G : espacio funcional utilizado en la formulación de la forma débil debilitada.
  • Método de elementos finitos suavizados
• Método multiescala variacional
• Lista de paquetes de software de elementos finitos

• Método espectral : basado en la transformada de Fourier.
  • Método pseudoespectral
• Método de las líneas : reduce la ecuación diferencial parcial a un sistema grande de ecuaciones diferenciales ordinarias.
• Método de elementos de contorno (BEM): se basa en transformar la ecuación diferencial parcial en una ecuación integral en el contorno del dominio.
  • Método de elementos de frontera de intervalo : una versión que utiliza aritmética de intervalos.
• Método de elementos analíticos : similar al método de elementos de contorno, pero la ecuación integral se evalúa analíticamente.
• Método de volumen finito : se basa en dividir el dominio en muchos dominios pequeños; popular en dinámica de fluidos computacional.
  • Esquema de Godunov : esquema conservativo de primer orden para el flujo de fluidos, basado en la aproximación constante por partes.
  • Esquema MUSCL : variante de segundo orden del esquema de Godunov.
  • AUSM — método de división de la advección aguas arriba
  • Limitador de flujo : limita las derivadas espaciales (flujos) para evitar oscilaciones espurias.
  • Solucionador de Riemann : un solucionador para problemas de Riemann (una ley de conservación con datos constantes por partes).
  • Propiedades de los esquemas de discretización : los métodos de volumen finito pueden ser conservativos, acotados, etc.
• Método de elementos discretos : un método en el que los elementos pueden moverse libremente entre sí.
  • Método de elementos discretos extendido : añade propiedades como la deformación a cada partícula.
  • Autómata celular móvil : combinación de autómatas celulares con elementos discretos.
• Métodos sin malla : no utilizan una malla, sino una vista de partículas del campo.
  • Método discreto de mínimos cuadrados sin malla : basado en la minimización de la suma ponderada del residuo al cuadrado.
  • Método de elementos difusos
  • Método de conjunto de puntos finitos : representación del continuo mediante una nube de puntos.
  • Método semiimplícito de partículas en movimiento
  • Método de soluciones fundamentales (MSF): representa la solución como una combinación lineal de soluciones fundamentales.
  • Variantes de MFS con puntos de origen en el límite físico:
    • Método de nudos de frontera (BKM)
    • Método de partículas de contorno (BPM)
    • Método sin malla regularizado (RMM)
    • Método de frontera singular (SBM)
• Métodos diseñados para problemas de electromagnetismo:
  • Método de diferencias finitas en el dominio del tiempo : un método de diferencias finitas
  • Análisis riguroso de ondas acopladas : método semianalítico del espacio de Fourier basado en el teorema de Floquet.
  • Método de matriz de líneas de transmisión (TLM): basado en la analogía entre el campo electromagnético y la malla de líneas de transmisión.
  • Teoría uniforme de la difracción : diseñada específicamente para problemas de dispersión.
• Partícula en celda : se utiliza especialmente en dinámica de fluidos.
  • Método de partículas en celda multifásico : considera las partículas sólidas como partículas numéricas y fluidas.
• Esquema de alta resolución
• método de captura de choque
• Confinamiento de vorticidad : para flujos dominados por vórtices en dinámica de fluidos, similar a la captura de ondas de choque.
• Método de pasos divididos
• método de marcha rápida
• colocación ortogonal
• Métodos de Boltzmann en red : para la solución de las ecuaciones de Navier-Stokes
• Solucionador de Roe : para la solución de la ecuación de Euler.
• Relajación (método iterativo) : un método para resolver ecuaciones diferenciales parciales elípticas mediante su conversión en ecuaciones de evolución.
• Clases generales de métodos:
  • Métodos miméticos : métodos que respetan en cierto sentido la estructura del problema original.
  • Multifísica : modelos que constan de varios submodelos con diferentes leyes físicas.
  • Método de contorno inmerso : para simular estructuras elásticas inmersas en fluidos.
• Integrador multisimpléctico : extensión de los integradores simplécticos, que se utilizan para EDO.
• Método de cuadrícula estirada : para la solución de problemas que pueden estar relacionados con el comportamiento de una cuadrícula elástica.

• Método multigrid : utiliza una jerarquía de mallas anidadas para acelerar los métodos.
• Métodos de descomposición de dominio : dividen el dominio en varios subdominios y resuelven la ecuación diferencial parcial en estos subdominios.
  • Método aditivo de Schwarz
  • Método aditivo de Schwarz abstracto : versión abstracta del método aditivo de Schwarz sin referencia a información geométrica.
  • Método de descomposición de dominio de equilibrio (BDD): precondicionador para matrices simétricas definidas positivas.
  • Descomposición de dominio equilibrada mediante restricciones (BDDC): desarrollo posterior de BDD
  • Desgarro e interconexión mediante elementos finitos (FETI)
  • FETI-DP : desarrollo posterior de FETI
  • Método de dominio ficticio : precondicionador construido con una malla estructurada en un dominio ficticio de forma simple.
  • Métodos de mortero : las mallas en el subdominio no se mallan.
  • Método de Neumann-Dirichlet : combina el problema de Neumann en un subdominio con el problema de Dirichlet en otro subdominio.
  • Métodos de Neumann-Neumann : métodos de descomposición de dominio que utilizan problemas de Neumann en los subdominios.
  • Operador de Poincaré-Steklov : mapea el campo eléctrico tangencial sobre la corriente eléctrica equivalente.
  • Método del complemento de Schur : método inicial y básico para subdominios que no se superponen.
  • Método alternante de Schwarz : método inicial y básico en subdominios que se superponen.
• Espacio grueso : variante del problema que utiliza una discretización con menos grados de libertad.
• Refinamiento adaptativo de la malla : utiliza la solución calculada para refinar la malla solo donde sea necesario.
• Método multipolar rápido : método jerárquico para evaluar las interacciones partícula-partícula.
• Capa perfectamente adaptada : capa absorbente artificial para ecuaciones de ondas, utilizada para implementar condiciones de contorno absorbentes.

• Clasificación de la cuadrícula / Tipos de malla :
  • Malla poligonal : consta de polígonos en 2D o 3D.
  • Malla triangular : consta de triángulos en 2D o 3D.
    • Triangulación (geometría) : subdivisión de una región dada en triángulos o en un análogo de dimensiones superiores.
    • Malla no obtusa : malla en la que todos los ángulos son menores o iguales a 90°.
    • Triangulación de conjuntos de puntos : malla triangular tal que un conjunto dado de puntos son todos vértices de un triángulo.
    • Triangulación poligonal : malla triangular dentro de un polígono.
    • Triangulación de Delaunay : triangulación tal que ningún vértice se encuentra dentro del circuncentro del triángulo.
    • Triangulación de Delaunay restringida : generalización de la triangulación de Delaunay que fuerza la inclusión de ciertos segmentos requeridos en la triangulación.
    • Triangulación de Pitteway : para cualquier punto, el triángulo que lo contiene tiene como vértice al vecino más cercano de dicho punto.
    • Triangulación de peso mínimo : triangulación de longitud total de arista mínima
    • Triangulación cinética : una triangulación que se mueve a lo largo del tiempo.
    • Red irregular triangulada
    • Cuasi-triangulación : subdivisión en símplices, donde los vértices no son puntos sino segmentos de línea inclinados arbitrarios.
  • Malla volumétrica : consta de formas tridimensionales.
  • Cuadrícula regular : consta de paralelogramos congruentes o análogos de dimensiones superiores.
  • Red no estructurada
  • Malla geodésica : malla isotrópica sobre una esfera.
• Generación de malla
  • Mallado basado en imágenes : procedimiento automático para generar mallas a partir de datos de imágenes 3D.
  • Marching cubes : extrae una malla poligonal de un campo escalar.
  • Generación de malla paralela
  • El algoritmo de Ruppert crea una triangularización de Delaunay de calidad a partir de datos lineales por partes.
• Subdivisiones:
• Red apolínea : grafo no dirigido formado por la subdivisión recursiva de un triángulo.
• Subdivisión baricéntrica : método estándar para dividir polígonos convexos arbitrarios en triángulos, o su análogo de mayor dimensión.
• Mejorar una malla existente:
  • El segundo algoritmo de Chew mejora la triangularización de Delauney refinando los triángulos de baja calidad.
  • Suavizado laplaciano : mejora las mallas polinómicas moviendo los vértices.
• Algoritmo de salto y caminata : para encontrar un triángulo en una malla que contiene un punto dado.
• Continuo de torsión espacial : representación dual de una malla compuesta por hexaedros
• Pseudotriángulo : región simplemente conexa entre tres conjuntos convexos tangentes entre sí.
• Complejo simplicial : todos los vértices, segmentos de línea, triángulos, tetraedros, ..., que forman una malla.

• Teorema de equivalencia laxa : un método consistente converge si y solo si es estable.
• Condición de Courant-Friedrichs-Lewy : condición de estabilidad para ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas.
• Análisis de estabilidad de Von Neumann : todos los componentes de Fourier del error deben ser estables.
• Difusión numérica : difusión introducida por el método numérico, por encima de la que está presente de forma natural.
  • Difusión falsa
• Dispersión numérica
• Resistividad numérica : lo mismo, pero con resistividad en lugar de difusión.
• Formulación débil : una reformulación funcional-analítica de la ecuación diferencial parcial necesaria para algunos métodos.
• Disminución de la variación total : propiedad de los esquemas que no introducen oscilaciones espurias.
• Teorema de Godunov : los esquemas monótonos lineales solo pueden ser de primer orden.
• El problema de Motz : un problema de referencia para los problemas de singularidad.